精品解析：山东淄博市周村区2025-2026学年九年级上学期期末数学试卷

九年级数学试题 一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项填在题后的括号内，每小题4分，共40分） 1. 在中，，则（ ） A. 1 B. C. D. 2 2. 如图，是反比例函数图象上第二象限内的一点，轴，垂足为，若的面积为，则的值为（ ） A. B. C. D. 3. 古代粮仓等必备的粮食量器——米斗，因陶渊明“不为五斗米折腰”的典故而广为人知．如图1，这是一种无盖米斗，其示意图（不计厚度）如图2所示，则其俯视图是（ ） A. B. C. D. 4. 将抛物线向右平移1个单位，得到的抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，是⊙O的直径，点在⊙O上，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 6. 从，，这三个数中任取两个数作为点的坐标，则点在第二象限的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，，是的切线，A，B为切点，点C是优弧上的一点（不与A，B重合），连接，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，点B、E是以为直径的半圆O的三等分点，弧的长为，，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的边分别在y轴和x轴上，已知对角线，．F是边上一点，过点F的反比例函数的图象与边交于点E，若将沿翻折后，点C恰好落在上的点M处，则k的值为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 10. 已知，二次函数（a，b是常数，a≠0）的图象经过，，三个点中的其中两个点，平移该函数的图象，使其顶点始终在直线上，则平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标的（ ） A. 最大值为 B. 最小值为 C. 最大值为 D. 最小值为 二、填空题（请将最终结果填入题中的横线上，每小题4分，共20分） 11. 中，若，则_______． 12. 如果正多边形的一个外角是，那么这个正多边形的边数为___________． 13. 如图，线段是的直径，，为上两点，如果，，那么的度数是______． 14. 如图，在正方形网格中，点都在格点处，与相交于点，则的值是_____． 15. 如图，在中，，，，点是线段上的一点，连接，过点作交线段于点，则线段的最大值是_____． 三、解答题（要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，共90分） 16. 计算 （1）， （2）； 17. 已知二次函数的图象经过点和． （1）求的值； （2）求此二次函数的对称轴和顶点坐标． 18. 如图，在平面直角坐标系中，．经过A，B，C三点． （1）点M的坐标是 ； （2）判断与y轴的位置关系，并说明理由． 19. 如图，在平面直角坐标系中，点光源位于处，木杆平行于轴，木杆两端的坐标分别为． （1）画出木杆在轴上的投影； （2）求出其投影的长． 20. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）根据图象直接写出不等式的解集； （3）求的面积． 21. 如图1，是的直径，弦，垂足为，为上一点，连接，，． （1）求证：； （2）如图2，，， ①若恰好经过圆心，求线段的长； ②如图3，为上的一个动点，作，连接，求的最小值． 22. 如图，以为直径的上有两点E，F．点E是弧的中点，过点E作直线交的延长线于点D，交的延长线于点C．过点C作平分交于点M，交于点N． （1）求证：是的切线； （2）求的度数； （3）若点N是的中点，且，求的长． 23. 已知二次函数，其中． （1）写出该二次函数图象的对称轴； （2）无论取任意非零实数，该二次函数图象都经过，两个定点，其中，求的值； （3）若，当时，该二次函数的最大值和最小值的差为3，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学试题 一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项填在题后的括号内，每小题4分，共40分） 1. 在中，，则（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】题目考查了特殊角的三角函数值和直角三角形的性质，关键是掌握特殊三角函数值．因为，可得，所以，即为． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 2. 如图，是反比例函数图象上第二象限内的一点，轴，垂足为，若的面积为，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据反比例函数k值的几何意义解答． 【详解】根据题意得：， 解得k=4或k=-4， ∵函数图象在第二象限内， ∴k=-4， 故选：A． 【点睛】此题考查反比例函数解析式中k值的几何意义，熟记k值的几何意义是解题的关键． 3. 古代粮仓等必备的粮食量器——米斗，因陶渊明“不为五斗米折腰”的典故而广为人知．如图1，这是一种无盖米斗，其示意图（不计厚度）如图2所示，则其俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了几何体三视图，正确识别几何体的三视图是解题的关键. 根据米斗的示意图，即可得到米斗的俯视图. 【详解】解：米斗的示意图如图所示， 米斗的俯视图为 故选：A. 4. 将抛物线向右平移1个单位，得到的抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，直接根据“左加右减”的原则进行解答即可． 【详解】解：由“左加右减”的原则可知，将抛物线向右平移1个单位，得到的抛物线的解析式为． 故选：D． 5. 如图，是⊙O的直径，点在⊙O上，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接，由是圆的直径可得，由可得，再由圆周角定理可得结论 【详解】连接，如图， ∵为直径， ∴∠ACB=90°， ∴ ∴ 故选∶B． 【点睛】此题考查了圆周角定理，解题的关键是熟记圆周角定理．． 6. 从，，这三个数中任取两个数作为点的坐标，则点在第二象限的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查坐标系的概念，画树状图法求概率． 第二象限的点横坐标为负，纵坐标为正，根据题目要求画出树状图求概率即可． 【详解】解： ． 故选：A． 7. 如图，，是的切线，A，B为切点，点C是优弧上的一点（不与A，B重合），连接，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质，四边形内角和定理及圆周角定理，利用切线的性质得出，再由已知条件结合四边形内角和定理可得出的度数，最终利用圆周角定理可求得的度数． 【详解】解：如图，连接，， ∵，是的切线， ∴， 又∵， ∴， 由圆周角定理可知，， 故选：B． 8. 如图，点B、E是以为直径的半圆O的三等分点，弧的长为，，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了求扇形的面积，勾股定理，求弧长，直角三角形的性质，余弦函数．先连接，设半径为R，根据“弧，弦，圆心角的关系”得，可得，再根据弧长公式求出即，接下来根据特殊角的三角函数值求出，再解直角三角形求出，，即可求出，最后根据得出阴影部分的面积． 【详解】解：连接，设半径为R， ∵点B,E是半的三等分点， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， 解得即． ∵是的直径， ∴， ∴， 在中，， ∴, 根据勾股定理，得， ∴． ∵和的面积相等， ∴． 故选：A． 9. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的边分别在y轴和x轴上，已知对角线，．F是边上一点，过点F的反比例函数的图象与边交于点E，若将沿翻折后，点C恰好落在上的点M处，则k的值为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查矩形性质，相似三角形的判定及性质，勾股定理，已知正切值求边长及反比例函数图象上点的坐标特征．解题的关键是求出，，表示出，，，利用相似的性质求出．作交OB于点G，利用．．求出，，表示出，，进一步求出，，，证明，利用相似的性质求出，再利用勾股定理即可求出k的值． 【详解】解：作交OB于点G， ∵矩形的对角线．． ∴，，即， ∵E，F分别在AC，BC上，且在反比例函数上， ∴，， ∵将沿翻折后，点恰好落在上的点处， ∴，，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，即，解得：， 又∵， 即，解得：． 故选：D． 10. 已知，二次函数（a，b是常数，a≠0）的图象经过，，三个点中的其中两个点，平移该函数的图象，使其顶点始终在直线上，则平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标的（ ） A. 最大值为 B. 最小值为 C. 最大值为 D. 最小值为 【答案】C 【解析】 【分析】分二次函数的图象经过点A，B或B、C或点A，C三种情况讨论求解即可． 【详解】解：由题意得，二次函数的图象经过点A，B或B、C或点A，C， ①若经过点A和点B， ∵，都在直线上，而抛物线与轴交点始终在直线上， ∴二次函数的图象不能同时经过点A，B； ②∵，， ∴抛物线也不同时经过点B，点C， ③经过点A、点C，如图， ∴ 解得， ∴， 当时，， 则点是的顶点， 此时二次函数的顶点在上，且与y轴交点，此时纵坐标为； 而经过平移，顶点始终在直线上， 故平移后函数表达式为， 当时，， 当时，y有最大值，为：， 故选：C． 【点睛】此题主要考查了二次函数的图象与性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用二次函数的性质解答． 二、填空题（请将最终结果填入题中的横线上，每小题4分，共20分） 11. 中，若，则_______． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题主要考查了特殊角三角函数值的计算，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键． 根据特殊角的三角函数值，直接求解． 【详解】解：∵ ∴， 故答案为：． 12. 如果正多边形的一个外角是，那么这个正多边形的边数为___________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了多边形的外角和定理．根据外角和为，除以每个外角的度数即可得出多边形的边数． 【详解】解：， ∴这个多边形的边数为5． 故答案为：5． 13. 如图，线段是的直径，，为上两点，如果，，那么的度数是______． 【答案】30 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，特殊角的三角函数值，连接，根据圆周角定理，得到，进而得到，得到，即可得出结果． 【详解】解：连接，则：， ∵线段是的直径， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为： 14. 如图，在正方形网格中，点都在格点处，与相交于点，则的值是_____． 【答案】3 【解析】 【分析】此题考查了求角的正切值，勾股定理，如图所示，取格点E，F，连接，，利用勾股定理求出，，由得到，然后根据正切的定义求解即可． 【详解】解：如图所示，取格点E，F，连接，， 设格点之间的长度为1， ∴，， 由网格特点得，，， ∴ ∴． 故答案为：3． 15. 如图，在中，，，，点是线段上的一点，连接，过点作交线段于点，则线段的最大值是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理、相似三角形的判定与性质以及一元二次不等式的最值，解题的关键是通过证明相似三角形建立线段关于的函数关系，再利用一元二次不等式求最值． 先利用勾股定理求出斜边的长度．过点作于点，证明，设，结合相似三角形的比例关系，然后整理为一元二次方程，判断判别式的取值范围，然后解关于y的一元二次不等式．结合图形求出的最大值． 【详解】解：在中，，，， 由勾股定理： ， 过点作于点． ，且， ． 在中，， ． ∴． 设（），则． 设． 由三边比，可得： 由，得： 代入，，，： ， 令，整理为关于的二次方程： 该方程有实数解，判别式 ： ， ， ， 解方程 ， 得（舍去，因 ），． ∵， ∴，开口向上， ∴或， ∵， ∴， 所以的最大值为． 故答案为：． 三、解答题（要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，共90分） 16. 计算 （1）， （2）； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查特殊角的三角函数，实数的混合运算，掌握知识点是解题的关键． （1）先求出特殊角的三角函数，再进行实数的混合运算即可； （2）先求出特殊角的三角函数，再进行实数的混合运算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 ． 17. 已知二次函数的图象经过点和． （1）求的值； （2）求此二次函数的对称轴和顶点坐标． 【答案】（1）， （2）对称轴为直线，顶点坐标为 【解析】 【分析】（）利用待定系数法解答即可； （）由（）可得二次函数解析式，再利用配方法把函数解析式转化为顶点式即可求解； 本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的顶点式，掌握待定系数法是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵二次函数的图象经过点和， ∴， 解得， 即，； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴对称轴为直线，顶点坐标为． 18. 如图，在平面直角坐标系中，．经过A，B，C三点． （1）点M的坐标是 ； （2）判断与y轴的位置关系，并说明理由． 【答案】（1） （2）相交，理由见解析 【解析】 【分析】此题考查了过三点的圆，圆与直线的位置关系，熟练掌握圆心的确定方法，理解圆与直线的位置关系是解决问题的关键． （1）连接，分别作的垂直平分线交于点M，以点M为圆心； （2）先利用勾股定理求出，即得的半径为，再根据点M的坐标求出点M到y轴的距离，然后比较d与r的大小即可得出于y轴的位置关系． 【小问1详解】 连接，分别作的垂直平分线交于点M，如图所示： 根据网格的特征可得：点M的坐标为， 故答案为：． 【小问2详解】 相交． 根据网格特征可得： 的半径 圆心M到y轴的距离 ∴ ∴与y轴相交． 19. 如图，在平面直角坐标系中，点光源位于处，木杆平行于轴，木杆两端的坐标分别为． （1）画出木杆在轴上的投影； （2）求出其投影的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了中心投影及相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题关键． （1）连接，并延长分别交x轴于点C，D即为所求； （2）如图，过作轴于，交于，证明出，得到，然后代入求解即可． 【小问1详解】 解：如图所示，投影即为所求； 【小问2详解】 解：如图，过作轴于，交于， ． ， ， ， ， ， ． 20. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）根据图象直接写出不等式的解集； （3）求的面积． 【答案】（1）， （2）或 （3） 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数的交点坐标满足两函数的解析式．解决问题的关键是掌握用待定系数法确定一次函数的解析式． （1）先把点的坐标代入反比例函数解析式，可得到，把点的坐标代入反比例函数解析式，求出，再用待定系数法求一次函数解析式即可； （2）找出反比例函数图象位于一次函数的图象的下方的部分，再确定这部分对应的取值范围即可； （3）设直线与轴相交于点，求出的坐标，利用，确定底和高后计算即可． 【小问1详解】 解：把点代入反比例函数中，得， 则反比例函数的解析式为． 当时，， 所以点的坐标为 把点，点代入一次函数中， 得， 解得， 所以一次函数的解析式为． 【小问2详解】 由图象可得不等式的解集为或． 【小问3详解】 设一次函数与轴相交于点，当时，，即点的坐标为 即． 21. 如图1，是的直径，弦，垂足为，为上一点，连接，，． （1）求证：； （2）如图2，，， ①若恰好经过圆心，求线段的长； ②如图3，为上的一个动点，作，连接，求的最小值． 【答案】（1） 证明：∵是的直径，弦， ∴， ∴. （2）①，②的最小值为． 【解析】 【分析】（1）根据垂径定理可得，进一步可得答案. （2）①证明，设的半径为，由勾股定理可得，求解，可得，再进一步求解即可； ②如图，由，取的中点，则在以为圆心，为半径的圆上，连接，当三点共线时，最小，连接，，设交于点，证明，得出,，再进一步求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①∵是的直径，弦，， ∴， 设的半径为， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴，， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴； ②如图，∵， ∴， 取的中点，则在以为圆心，为半径的圆上， ∴当三点共线时，最小， 连接，，设交于点， ∵分别为的中点， ∴ ∴ ∴ ∴, 在中， ∴ ∴ 又∵ ∴的最小值为． 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，垂径定理的应用，圆周角定理的应用，点与圆上各点距离的最值问题，相似三角形的性质与判定，作出合适的辅助线是解本题的关键. 22. 如图，以为直径的上有两点E，F．点E是弧的中点，过点E作直线交的延长线于点D，交的延长线于点C．过点C作平分交于点M，交于点N． （1）求证：是的切线； （2）求的度数； （3）若点N是的中点，且，求的长． 【答案】（1）证明：如图所示，连接； ∵E是弧的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的切线； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）连接；由E是弧的中点得，再由半径相等得，从而得，则；再由即可证明； （2）由平分及，得；再直径对的圆周角是直角，得的度数，从而求得的度数； （3）由（2）的证明得，由N为中点得；从而可证明，由此求得，进而求得；再证明，求得，进而求得，最后由勾股定理即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵平分， ， 又， ， ， ， 是的直径， ， ， ； 【小问3详解】 解：， ， ， ∵点N是的中点， ， ， ， ∴， ∴， ， ， ， ， ∴， ∴， ， ， ． 【点睛】本题是圆与三角形的综合，考查了切线的判定，直径对的圆周角是直角，同弧或等弧对的圆周角相等，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理等知识点，涉及较多的知识点，有一定的综合性． 23. 已知二次函数，其中． （1）写出该二次函数图象的对称轴； （2）无论取任意非零实数，该二次函数图象都经过，两个定点，其中，求的值； （3）若，当时，该二次函数的最大值和最小值的差为3，求的值． 【答案】（1） （2）4 （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象与性质． （1）根据抛物线对称轴公式即可求解； （2）将原函数整理得，由于无论取任意非零实数，该二次函数图象都经过两个定点，由令，解得，即可求解； （3）先求出顶点为，对称轴为，再分三种情况讨论求解即可． 【小问1详解】 解：对称轴为直线； 【小问2详解】 解：，整理得，， ∵无论取任意非零实数，该二次函数图象都经过两个定点， 令，解得； 代入得，，；即，； ∴． 【小问3详解】 解：若，则，其顶点为，对称轴为， 分情况讨论： 当时，即时，此时函数的最大值为， 最小值为；由题意得， ， 解得，但，故舍去． 当时，即时，此时函数的最大值为9， 最小值为或． 若最小值为，则， 解得； ， 若最小值为，则， 解得； ． 当时，此时函数的最大值为， 最小值为，由题意得，， 解得，但，故舍去． 综上分析，的值为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $