2.1 课时1 平方根和算术平方根-【初中必刷题】2025-2026学年七年级下册数学同步课件(湘教版·新教材)

该初中数学课件聚焦七年级下册“实数”章节中“平方根”核心知识点，通过正方形面积计算等实际问题导入，衔接乘方运算基础，为无理数学习铺垫，以“刷基础-刷提升-刷易错-刷素养”分层题目构建学习支架。 其亮点在于结合数学思维（运算能力、推理意识）和数学眼光（几何直观），设计实际应用（如溢水杯体积计算）、易错警示（√49平方根辨析）及开放性试题（格点正方形作图），助力学生提升解题能力与核心素养，为教师提供结构化教学资源，提高课堂效率。

数 学 七年级下册 XJ 1 2 3 第2章 实数 4 2.1 平方根 课时1 平方根和算术平方根 5 刷基础 刷提升 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 6 基础 知识点1 平方根与算术平方根的定义 1.“的平方根是 ”，用数学式子可以表示为( ) B A. B. C. D. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 7 2.【2025湖南邵阳期末】下列说法正确的是( ) D A.平方根是本身的数是0和1 B.1的平方根是1 C.的平方根是 D.0.1是0.01的一个平方根 【解析】平方根是本身的数是0，故A不符合题意；1的平方根是 ，故B不符合题意； 没有平方根，故C不符合题意；0.1是0.01的一个平方根，故D符合题意.故选D. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 8 知识点2 平方根的性质 3.【2025湖南岳阳期末】若和 是同一个数的两个不同的平方根，则 的值为( ) B A. B.5 C. D.7 【解析】因为和 是同一个数的两个不同的平方根，所以 ，解得 ，故选B. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 9 4.【2024湖南衡阳期中】已知正数的平方根为和 . （1）当时， 的值为___； 9 【解析】因为正数的平方根是和，所以.因为 ，所以 ，所以，所以 .故答案为9. （2）若，则 的值为___. 2 【解析】因为正数的平方根是和，所以， .因为 ，所以，所以.因为，所以 .故答 案为2. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 知识点3 开平方运算及简单应用 5.面积为4的正方形的边长是( ) B A.4的平方根 B.4的算术平方根 C.4开平方的结果 D.无法判断 【解析】面积为4的正方形的边长是 ，即为4的算术平方根.故选B. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 11 6.已知是16的算术平方根，则 的平方根为____. 【解析】16的算术平方根是4,4的平方根是 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 12 7.小华用一根细线将一圆柱体铁块拴住，完全浸入盛满水的溢水杯中，并用量筒 量得从溢水杯中溢出的水的体积为60立方厘米，小华又将铁块从溢水杯中拿出来， 量得溢水杯的水位下降了0.8厘米，则溢水杯内部的底面半径为___厘米. 取3 5 【解析】设溢水杯内部的底面半径为厘米.由题意得 ,所以 .因为,所以 .故答案为5. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 13 8.【2024湖南常德质检】墨墨参加了学校组织的“节约资源，废物利用”比赛， 他想将一个废旧易拉罐的侧面制成一个正方体（有底有盖）储存盒，他经过测量 得到废旧易拉罐的高是，底面直径是 ，废旧易拉罐的侧面刚好用完， 正方体储存盒的接头部分忽略不计，求墨墨所做的正方体储存盒的棱长. 取3 【解】设正方体储存盒的棱长为.由题意，得，解得 （负值已舍去）. 答：墨墨所做的正方体储存盒的棱长为 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 14 刷易错 易错点 求含“”的式子的平方根，忽略“ ”的作用致错 9. 的平方根是( ) C A. B. C. D. 【解析】因为，所以的平方根是 .故选C. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15 易错警示 本题是求的平方根，很容易忽略“ ”,误认为是求49的平方根出错. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 16 提升 1.【2025湖南吉首质检，中】观察下列计算过程：因为 ，所以 ;因为，所以;因为 ， 所以; ，由此猜想 ( ) A A.111 111 111 B.11 111 111 C.1 111 111 D.111 111 【解析】观察题中规律可知，被开方数最中间的数字即为开方结果的位数.因为 最中间的数为9，所以其开方结果为九位数，所以 .故选A. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 17 2.［中］如果,且为整数是一个整数，那么 可取的值共有 ( ) B A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 【解析】因为，而是一个整数，且 为整数，所以一定可以写成一个整数平方的形式，所以 可以是6， 24，54，96,共有4个.故选B. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 18 关键点拨 若,且为整数是一个整数，则 一定是一个整数的平方的 形式. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 19 3. 开放性试题 【2025湖南株洲期中，中】如图，A，B，C均为正方形，若A的 面积为4，C的面积为1，则B的边长可以是_________________.（写出一个答案即可） （答案不唯一） （第3题图） 【解析】由题可得，正方形A的边长为2，正方形C的边长为1，所以B的边长在1和2 之间（不包含1和2），正方形B的边长可以是.故答案为 （答案不唯一）. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 20 4.［中］如图所示，两个边长为2的正方形重叠，重叠部分是边长为 的正方形.若 空白部分面积之和为，则 的值是__. （第4题图） 【解析】由题意知，解得或（舍去）.故答案为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 21 5.［中］全球气候变暖导致一些冰川融化并消失.在冰川消失12年后，一种低等植 物苔藓就开始在岩石上生长.每一个苔藓都会长成近似圆形，苔藓的直径和冰川消 失的时间近似地满足如下的关系式：,其中 代表苔藓的 直径，单位是厘米； 代表冰川消失的时间，单位是年. （1）计算冰川消失16年后苔藓的直径； 【解】当时， （厘米）. 答：冰川消失16年后苔藓的直径约为14厘米. （2）若测得一些苔藓的直径是35厘米，则冰川约是在多少年前消失的？ 【解】当时，，即，解得 . 答：若测得一些苔藓的直径是35厘米，则冰川约是在37年前消失的. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 22 6.［中］规定表示一个数对，给出如下定义：， . 将与称为数对 的一对“对称数对”. 例如：数对的一对“对称数对”为与 . （1）数对 的一对“对称数对”是_ ______________. 与 【解析】因为，所以数对的一对“对称数对”是与 .故答 案为与 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 23 （2）若数对的一个“对称数对”是，则 的值是多少？ 【解】因为数对的一个“对称数对”是，所以，所以 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 24 （3）若数对的一个“对称数对”是 ，可列方程组为 _ ________________________. 【解析】因为数对的一个“对称数对”是，所以 或 故答案为或 或 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 刷素养 走向重高 7.思想方法 数形结合 【2025湖南湘西州期中，中】【阅读理解】在数学学习中， 我们常常借助由边长为1的小正方形组成的网格来解决问题，并把顶点为格点 （小正方形的顶点）的正方形称为格点正方形.图（1）是由四个边长为1的小正方 形组成的网格，容易发现格点正方形 的面积为2，则这个格点正方形的边长 为 . 图（1） 图（2） 图（3） 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 26 【问题解决】 （1）图（2）是由9个边长为1的小正方形组成的网格，则格点正方形 的边 _________________________________________________________________ _______________________________________________________________________. （2）图（3）是由16个边长为1的小正方形组成的网格，在图（3）中画出边长为 的格点正方形. 【解】由题图（2）可得， ，所以 ，故答案为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 27 【解】如图所示,正方形 即为所作. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 28 $