1.2.2 完全平方公式-【初中必刷题】2025-2026学年七年级下册数学同步课件(湘教版·新教材)

该初中数学课件聚焦七年级下册“完全平方公式”，通过几何图形拼接（如长方形分拼正方形）导入，衔接整式乘法基础，构建“公式推导-基础应用-综合提升-易错警示”的学习支架，帮助学生逐步掌握公式本质。 其亮点在于融合几何直观与运算能力，通过图形面积验证公式（如用边长为a+b的正方形面积推导公式），设置分层训练（刷基础、刷提升）和微专题（公式变形“知2求2”），培养推理意识。学生能深化理解公式应用，教师可依托结构化内容提升教学效率。

数 学 七年级下册 XJ 1 2 3 第1章 整式的乘法 4 1.2 乘法公式 1.2.2 完全平方公式 5 刷基础 刷提升 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 6 基础 知识点1 完全平方公式 1.计算 的结果为( ) C A. B. C. D. 【解析】根据完全平方公式可知，原式 .故选C. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 7 2.【2024湖南邵阳质检】与 相等的是( ) C A. B. C. D. 【解析】原式 .故选C. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 8 3.【2025湖南岳阳质检】若，则 等于_____. 【解析】因为, ，且 ,所以，所以 . 故答案为 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 9 4.【2024湖南株洲炎陵期中】先化简，再求值： ,其 中， . 【解】 原式 . 当，时，原式 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 10 知识点2 完全平方公式的应用 5.【2024湖南湘潭湘乡期中】下列关于 的简便计算方法正确的是( ) B A. B. C. D. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 11 【解析】 选项 分析 结论 A 错误 B 正确 C 错误 D 错误 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 6.【2024湖南永州质检】已知，则代数式 的值是 ( ) D A.12 B.16 C.24 D.36 【解析】因为，所以 ，所以 ，故选D. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 13 7.【2025湖南永州期末】已知，则 的值 是( ) B A. B. C. D. 【解析】设，则,,所以，所以，所以 ，故选B. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 14 8.【2025湖南张家界期末】已知，，则 的值为____. 72 【解析】因为,,所以 .故答案为72. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 15 9.计算： . 【解】原式 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 16 10.如图（1），将一个长为,宽为 的长方形，沿图中虚线均匀分成4个小长方 形，然后按图（2）的方式拼成一个正方形. 图（1） 图（2） （1）图（2）中的空白正方形的边长是多少？（用含, 的式子表示） 【解】题图（2）中的空白正方形的边长是 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 17 （2）若，且 ，求图（2）中的空白正方形的面积. 【解】题图（2）中的空白正方形的面积为 . （3）观察图（2），用等式表示出，和 的数量关系. 【解】题图（2）中阴影部分的面积既可以表示为 ,又可以表 示为,故 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 18 刷易错 易错点 因对完全平方式的两种形式考虑不全而漏解 11.若关于的多项式是完全平方式，则 的值为_________. 13或 【解析】因为关于的多项式 是完全平方式，所以 .当时， ；当 时，.综上所述，的值为13或 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 19 易错警示 完全平方公式分为和 两种，因 此求一个完全平方式的中间项的系数时一定要考虑全面，不要漏解. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 20 提升 1.【2025湖南永州期中，中】如图，A类卡片是边长为 的正方形，B类卡片是长为 ，宽为的长方形，C类卡片是边长为 的正方形，现有4张A卡片，6张B卡片，9张 C卡片，取其中的若干张卡片无缝隙不重叠地拼成正方形或长方形，下列说法不正 确的是( ) B A.可拼成边长为 的正方形 B.可拼成长、宽分别为， 的长方形 C.可拼成长、宽分别为， 的长方形 D.可拼成面积为 的正方形 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 21 【解析】A选项，，即拼成边长为 的正方形需要 1张A卡片，6张B卡片和9张C卡片，故A选项正确；B选项， ，即拼成长、宽分别为, 的长方 形需要2张A卡片，7张B卡片和3张C卡片，故B选项不正确；C选项， ，即拼成长、宽分别为, 的长方形需 要1张A卡片，3张B卡片和2张C卡片，故C选项正确；D选项， ，即拼成面积为 的正方形需要4张A卡片，4 张B卡片和1张C卡片，故D选项正确.故选B. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 22 2.【2025湖南邵阳期末，中】已知， 分别是一个三角形的底边长和该底边上的 高，且满足， ，则此三角形的面积为( ) D A.24 B.12 C. D. 【解析】因为，，所以 ， .② 由得，，所以 ,所以此三 角形的面积为 ，故选D. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 23 （第3题图） 3.【2024江苏扬州期末，中】如图，在线段上取一点 ，分别以 ，为边作正方形、正方形 .这两个正方形的面积和 为20，三角形的面积为，则 的长度是( ) B A.2 B.3 C. D. 【解析】设正方形的边长为，，则 . 因为三角形 的面积为，所以，所以 .因为两个正方形的面 积和为20，所以，所以 ，所以 .将代入，得，所以 ，解得 或（不合题意，舍去），所以 的长度为3，故选B. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 24 4.【2024湖南怀化质检，中】若，则 的值是 _____. 124 【解析】，则 .故答案为124. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 25 （第5题图） 5.【2025江西抚州期中，中】为落实劳动素质教育，推动学生劳动 实践的有效进行，某学校在校园开辟了劳动实践基地，如图是从实 践基地中抽象出来的几何模型，两块边长分别为， 的正 方形的重叠部分B为池塘，， 分别表示八年级和九年级的实践 基地（阴影部分）的面积.若，，则 ____. 16 【解析】由题意得，所以 . 因为，，所以 .因为 ，所以，所以 .故答案为16. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 26 6.【2025湖南娄底期末，中】先化简，再求值： ，其中, . 【解】 . 当， 时， 原式 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 27 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 7. 【2025浙江杭州期中，中】如图（1），A，B，C三种正方形的边长分别 为，，，且 . 图（1） 图（2） 图（3） 图（4） 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 29 （1）用两个A种正方形组合成图（2）的图形，外边框可以围成一个大正方形，则 这个大正方形的面积为_____.（用含 的代数式表示） 【解析】由题意得大正方形的边长为，则这个大正方形的面积为 ， 故答案为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 30 （2）将一个A种和一个B种正方形组合成图（3）的图形，外边框可以围成一个大 正方形，用两种不同的方法表示这个大正方形的面积为_________或 ___________________________________________，从而可以得到一个乘法公式： __________________________. （前两个空的答案可以互换） 【解析】方法一：这个大正方形的边长为 ，则这个大正方形的面积为 ； 方法二：因为这个大正方形的面积等于两个小正方形的面积与两个小长方形的面 积之和，所以这个大正方形的面积为 ,从而可以得到一个乘法公 式：，故答案为， （前两个空 的答案可以互换）, . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 31 （3）将一个A种、一个B种和一个C种正方形组合成图（4）的图形，外边框可以围 成一个大正方形，类比（2）的思路进行思考，直接写出所得到的等式：________ ________________________________________. 【解析】方法一：这个大正方形的边长为 ，则这个大正方形的面积为 ； 方法二：因为这个大正方形的面积等于3个小正方形的面积与6个小长方形的面积 之和，所以这个大正方形的面积为 ，则所得到 的等式为 .故答案为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 32 关键点拨 类比（2）的思路，用两种方法分别表示出大正方形的面积，即可得出结果. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 33 （4）用A，B，C三种正方形画出恰当的图形，说明 . 【解】如图（图形不唯一）,图形丁是边长为 的正方形，则图形丁的面 积为.因为图形甲的面积为 ，所以 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 34 刷素养 走向重高 8.核心素养 几何直观 【2024湖南娄底质检，中】现有长与宽分别为， 的小长 方形若干个，用两个这样的小长方形拼成如图（1）所示的图形，用四个这样的小 长方形拼成如图（2）所示的图形，请认真观察图形，解答下列问题： 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 35 （1）请写出图（1）和图（2）所验证的关于， 的关系式. 图（1）：________________________；图（2）：________________________. 【解析】题图（1）中，，也可表示为 ， 则 . 题图（2）中，，， . 因为，所以 . 故答案为， . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 36 关键点拨 本题考查完全平方公式的几何背景，用两种方法表示同一个图形的面积是解答本 题的关键. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 37 （2）若，，求和 的值. 【解】因为，所以 . 因为，，所以 ，所以 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 38 （3）如图（3），点是线段上的一点，分别以，为边向 两侧作正方 形，设，两正方形的面积和，为, 延长线的交点，则 阴影部分的面积是____. 32 【解析】因为，所以 . 因为，所以 .因为 ，所以 ，所以 ，即阴影部分的面积为32.故答案为32. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 39 微专题2 完全平方公式变形（知2求2） 1.【2025湖南衡阳期中，中】已知，，求与 的值. 【解】因为 ，① ，② 所以得，即，得 ，即 . 刷提升 返回目录 1 2 3 1 2 3 40 2.【2025广东河源校级期中，中】已知，，求 及 的值. 【解】因为， ，所以 , . 刷提升 返回目录 1 2 3 1 2 3 41 3.【2025江西吉安质检，中】已知两个不相等的实数，满足 ， . （1）求 的值； 【解】因为， ，所以 ，所以 . （2）求 的值. 【解】由（1）得.因为 ，所以 ，所以或 . 刷提升 返回目录 1 2 3 1 2 3 42 微专题3 已知 的值求代数式的值 1.【2025四川成都期末，中】若，则 的值为____. 27 【解析】因为,所以，所以 ， 所以，故 的值为27. 刷提升 返回目录 1 2 1 2 43 关键点拨 与互为倒数，即乘积为1，所以完全平方公式中“ ”这一项就等于2. 刷提升 返回目录 1 2 1 2 44 2.【2025浙江宁波调研，中】已知，则 ___. 2 【解析】因为，所以，即 ，所以 ，即 .故答案为2. 刷提升 返回目录 1 2 1 2 45 $