8.4 课时1 完全平方公式-【初中必刷题】2025-2026学年七年级下册数学同步课件(苏科版·新教材)

该初中数学课件聚焦七年级下册“完全平方公式”，通过实际问题（如绿化区域面积、正方形花坛绿道）导入，衔接整式乘法基础，搭建从公式推导到应用的学习支架，帮助学生逐步掌握公式本质及变形。 其亮点在于融合几何直观（三种方案验证公式几何背景）、运算能力（简便计算、公式变形）和模型意识（用公式解决实际问题），通过分层练习（刷基础、提升、易错、素养）培养学生抽象能力与推理意识，助力学生提升解题能力，教师可借助同步资源优化教学效率。

数 学 七年级下册 SK 1 2 3 第8章 整式乘法 4 8.4 乘法公式 课时1 完全平方公式 5 刷基础 刷提升 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 6 基础 知识点1 完全平方公式 1.【2024江苏常州质检】若，则常数 的值是( ) B A.2 B.4 C.1 D. 【解析】因为，所以 .故选B. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 7 2.【2025江苏扬州期中】下列计算中正确的是( ) C A. B. C. D. 【解析】A选项, ，原计算错误，不符合题意；B选项, ，原计算错误，不符合题意；C选项, ，原计算正确，符合题意；D选项, ，原计算错误，不符合题意.故选C． 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 8 知识点2 完全平方公式的应用 3.【2025河北保定期中】已知，则 的 值是( ) C A.11 B.13 C.15 D.19 【解析】设，所以 ， ，所以 ，所以 ，所以，所以 ，所以 ．故选C． 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 4.【2025广西贺州期中】如图是某校规划的绿化区域的平面图， 它是分别以长方形 的四条边为边向外作四个正方形，设计 出的这个“中”字图案，经测量得知，四个正方形的周长之和为 80米，面积之和为180平方米.将长方形 这部分区域铺上草 80 【解析】设米，米.由题意得， ， ，所以， ，所以 ，所以 ，所以用于购买草皮的 费用为 （元），故答案为80． 皮，若草皮的市场价为每平方米16元，则该学校用于购买草皮的费用为____元. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 10 5.用简便方法计算： （1） ； 【解】 . （2） . 【解】 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 11 6.【2025北京西城区调研】如图，市民公园中有一个边长为 的 正方形花坛，花坛四周有一圈宽为 的绿道，沿绿道中心线铺设 了一圈鹅卵石小路，已知鹅卵石小路的长度为 .试说明绿道的 面积 . 【解】设大正方形面积为,小正方形（花坛）面积为,则 , ,，同时,所以 ，即 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 12 知识点3 完全平方公式的几何背景 7.有一张边长为 厘米的正方形桌面，因为实际需要，需将该正方形桌面的边长增 加 厘米，木工师傅设计了如图所示的三种方案： 小明发现这三种方案都能验证公式： . 对于方案一，小明是这样验证的： . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 13 请你根据方案二、方案三，写出公式的验证过程. 方案二： 方案三： 【解】方案二： . 方案三： . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 14 刷易错 易错点 没有分类讨论完全平方式中间项系数的符号致错 8.【2024江苏盐城期中】若是完全平方式，则 的值为( ) B A.6 B.或8 C. 或6 D.0 【解析】因为 是完全平方式，所以 ,所以 或，解得或 .故选B. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 15 易错警示 完全平方式有两种情况，即和 ，注意分类讨论，不要 漏解. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 16 提升 1.［中］设，是有理数，定义*的一种运算如下： ，则下列结 论：，则且； ； ； .其中正确的有( ) B A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 17 【解析】因为，，所以，即 ，所以 ，互为相反数，故①不符合题意.， ，所以 ,故②符合题意. ， ，故③不符合题意.因为 ， ，所以 ，故④符合题意. 因此正确的有2个，故选B. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 18 2.【2025浙江宁波期末，较难】如图，将两张长为、宽为 的长方形纸片按图 （1）、图（2）两种方式放置在正方形 中，图（1）和图（2）中两张长方形 纸片重叠部分分别记为①和②，正方形 中未被这两张长方形纸片覆盖部分用 阴影表示，图（1）和图（2）中阴影部分的面积分别记为和 .若知道下列条件， 仍不能求 值的是( ) D 图（1） 图（2） A.长方形纸片的周长和面积 B.长方形纸片长和宽的差 C.①和②的面积差 D.长方形纸片和①的面积差 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 19 【解析】如图，设正方形的边长为，则 ， ，所以 .因为长 方形纸片的周长为，面积为 ，所以若知道长方形纸片的周长和面积或 长方形纸片长和宽的差，就能求出 的值，即选项A、B不符合题意；①的面 积为 ，②的 面积为 ，所以①和②的面积差为 ，所以若知 道①和②的面积差，就能求出 的值，即选项C不符合题意；因为长方形纸片 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 20 和①的面积差为 ，所以若知道长方形纸片和①的面 积差，不能求出 的值，即选项D符合题意.故选D． 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 思路分析 设正方形的边长为,用含,,的式子分别表示出, ,①和②的面积,再 逐项分析即可. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 22 3.［中］若 加上一个单项式能成为二次三项式，且是一个完全平方式， 这个单项式是____________. 或 【解析】因为是二次项，且为平方项,所以 ，所 以可添加的项是或.故答案为或 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 23 关键点拨 是二次项,且是平方项，根据完全平方式的特点即可解答. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 24 4.【2025福建漳州期中，较难】请运用 解决问题：已知,, 满足 ，则 的最大值是____. 12 【解析】因为 ，所以 .因为 ，所以 ，所以原式 .因为 ，所 以原式 ,故原式的最大值是12.故答案为12． 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 25 5.【2024浙江宁波期末，较难】如图，已知四边形，四边形 都是正方 形，的面积为5， 的长为7，则阴影部分的面积是______. 14.5 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 26 【解析】因为四边形，四边形 都是正方形，所以 ,, ，所以 ，所以.因为 ，所以 ，所以 .因为 ，所以阴 影部分的面积为 .故答案为14.5. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 27 方法点拨 计算不规则图形的面积时，可以将不规则图形分割或补全，将其转换成规则图形 面积的和差进行计算. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 28 6.【2025江苏苏州期末，中】如图，分别以，，， 为边长作正方形，已知 且满足， .若图（1）中阴影部分的面积为3，图 （2）中四边形 的面积为5，求图（2）中阴影部分的面积. 图（1） 图（2） 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 29 【解】因为,，所以, ， 所以， ，两式相加得 ．因为题图（1）中阴影部分的面积为3，所以 ．因为 ，所 以．因为题图（2）中四边形 的面积为5，所以题图（2）中阴 影部分的面积为 ． 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 30 7.【2025广东汕头期末，较难】当我们利用两种不同的方法计算 同一图形的面积时，可以得到一个等式，例如：由下图可得等式 . （1）已知等式 ， 请仿照上图构造相应的图形. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 31 【解】以 为边，构造一个正方形，如图所示. 可得 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 32 （2）利用（1）中等式，解决下面的问题： ①已知,，求 的值； 【解】由（1）可得， . 当,时， ,即 ，所以 . ②已知，用等式表示,, 之间的关系，并验证. 【解】.验证:由 ，可得 ,令, ，则 ，所以，即 ，所以 ，即，所以 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 33 刷素养 8.核心素养 几何直观［较难］ （1）分别计算图（1）、图（2）、图（3）中阴影部分的面积，并写出关于， 的等量关系式. 图（1） 图（2） 图（3） 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 34 【解】由题图（1）可得阴影部分面积既可以表示为 ，又可以表示为 ，则 ；由题图（2）可得阴影部分面积既可 以表示为，又可以表示为，则 ； 由题图（3）可得阴影部分面积既可以表示为 ，又可以表示为 ，则 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 35 （2）尝试解决： ①已知，，则 _________________________________ _______________________________________________________________________ _________________________ ； ②已知，，求 的值； 【解】因为，所以.因为 ， ，，所以 . ③已知，求 的值. 【解】因为，所以 .因为 ，所以 . 因为 ，所以 .因为，所以 ，所以 ，故答案为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 36 （3）填数游戏：如图（4），把数字 填入构成三角形的9个圆圈中，使得各边 上的四个数字的和都等于21，将每边四个数字的平方和分别记为，， ，已知 .如果将位于这个三角形顶点处的三个圆圈填入的数字分别表 示为，，，求 的值. 图（4） 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 37 【解】数字的和为 . 因为各边上的四个数字的和都等于21，所以 ，所以 ，即 . 因为每边四个数字的平方和分别记为，，，满足 ，且 ，所以 ，所以 ，所以 ，所以，所以 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 38 微专题1 完全平方公式变形（知2求2） 1.【2025湖南衡阳期中，中】已知，，求与 的值. 【解】因为 ，① ，② 所以得，即，得 ，即 . 返回目录 1 2 3 1 2 3 39 2.【2025广东河源校级期中，中】已知，，求 及 的值. 【解】因为， ，所以 , . 返回目录 1 2 3 1 2 3 40 3.【2025江西吉安质检，中】已知，满足， . （1）求 的值； 【解】因为， ，所以 ，所以 . （2）求 的值. 【解】由（1）得.因为 ，所以 ，所以或 . 返回目录 1 2 3 1 2 3 41 微专题2 已知 的值求代数式的值 1.【2025四川成都期末，中】若，则 的值为____. 27 【解析】因为,所以，所以 ， 所以，故 的值为27. 返回目录 1 2 1 2 42 关键点拨 与互为倒数，即乘积为1，所以完全平方公式中“ ”这一项就等于2. 返回目录 1 2 1 2 43 2.【2025浙江宁波调研，中】已知，则 ___. 2 【解析】因为，所以，即 ，所以 ，即 .故答案为2. 返回目录 1 2 1 2 44 $