相似三角形的实际应用、相似三角形与动态几何问题专项训练-2025-2026学年人教版九年级数学下册

相似三角形的实际应用、相似三角形与动态几何问题专项训练 相似三角形的实际应用、相似三角形与动态几何问题专项训练 考点目录 相似三角形的实际应用 相似三角形与动态几何问题 考点一 相似三角形的实际应用 例1．（25-26九年级上·陕西咸阳·期末）咸阳湖畔，清渭楼以九层飞檐直指苍穹，这座被誉为“西北第一楼”的仿古建筑，既是咸阳城的文化地标，更是中华文明传承的活态载体．在确保安全的前提下，小明所在的数学兴趣小组想利用所学知识测量清渭楼的高度，形成了如下活动报告． 项目主题 测量清渭楼的高度 工具 卷尺、平面镜等 测量示意图    方案说明 某校社会实践小组为了测量清渭楼（如图1）的高度，如图2，小明先在地面上处垂直于地面竖立了标杆，这时地面上的点、标杆的顶端点、清渭楼的顶端正好在同一直线上；小明再从点出发沿着方向前进一段距离到达点．在点处放置一平面镜，小组成员小刚站在处时，恰好在平面镜中看到清渭楼的顶端的像，此时测得小刚的眼睛到地面的距离．已知点与清渭楼的底端在同一直线上，图中所有点均在同一平面内，． 数据 米，米，米，米，米 请你根据以上测量报告，计算清渭楼的高度．（平面镜大小忽略不计） 【答案】清渭楼的高度为51米 【详解】解： ， ， ，即， ．① ， 又 ， ，即，② ①②联立解得：， 清渭楼的高度为51米． 例2．（25-26九年级上·河南南阳·期末）如图，南阳白河国家湿地公园有一灯柱，M为光源．某兴趣小组为了测量灯柱的高度，在灯柱同侧竖立两根长度均为的标杆和，点N，B，C在同一条直线上．测得长度为，的影长为． (1)求灯柱的高度； (2)请画出标杆的影子，并直接写出的长度． 【答案】(1)灯柱的高度为 (2)图见解析，的长度为 【详解】（1）解：由题意得，， ∴， ∴， ∴， ∴ 解得， ∴灯柱的高度为； （2）解：标杆的影子如图所示： 同理可证明， ∴ ∴， 解得， ∴的长度为． 例3．（25-26九年级上·江苏盐城·期末）我们知道当人们的视线与物体的表面互相垂直且视线恰好落在物体中心位置时的视觉效果最佳，如图是小然站在地面欣赏悬挂在墙壁上的油画的示意图，设油画与墙壁的夹角，此时小然的眼睛与油画底部A处于同一水平线上，视线恰好落在油画的中心位置E处，且与垂直．已知油画的高度为． (1)仰角的度数为_____；（用含的式子表示） (2)若此时小然到墙壁的距离，求油画顶部点到墙壁的距离； (3)当油画底部处位置不变，油画与墙壁的夹角逐渐减小时，小然为了保证欣赏油画的视觉效果最佳，他应该更靠近墙壁，还是不动或者远离墙壁？（直接回答即可） 【答案】(1) (2) (3)他应该远离墙壁 【详解】（1）∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∵，点是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴油画顶部到墙壁的距离是； （3）因为当人们的视线与物体的表面互相垂直且视线恰好落在物体中心位置时的视觉效果最佳，所以当油画底部处位置不变，油画与墙壁的夹角逐渐减小时，则人与油画的中心位置所夹的角也越来越小，进而小然为了保证欣赏油画的视觉效果最佳，他应该远离墙壁． 例4．（25-26九年级上·陕西咸阳·期末）小华利用所学知识测量了某建筑物的高度（如图），测量过程与数据信息如下：首先小华在点处用测角仪（高度忽略不计）测得该建筑物顶端的仰角；随后，小华从点处沿方向移动6米到达点处（即米），在点处竖立一根高为2米的标杆，某一时刻，该建筑物在阳光下的影子顶端恰好落在地面上的点处，此时标杆在阳光下的影子顶端落在地面上的点处，米，已知，点在同一条直线上，图中所有点均在同一平面内．请你根据以上数据求出该建筑物的高度．（参考数据：） 【答案】24米 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形的应用． 根据相似三角形的判定和性质得到，根据求出，联立求解即可 【详解】解： ， 由题意知 ， ， 即，① ， 在中，， ， 即，② 联立①②解得米， 该建筑物的高度为24米． 变式1．（25-26九年级上·浙江杭州·期末）受刘徽《海岛算经》中的“测望法”启发，方方设计如下方法测量河宽．如图，从B处沿与垂直的直线方向走到达C处，插一根标杆，然后沿同方向继续走到达D处，再右转走到E处，使点A，C，E恰好在一条直线上，量得． (1)求证：． (2)求河宽的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)河宽为60米 【详解】（1）解： ，， ． （2）解：∵， ， 由题意知，，，， 即， ， 答：河宽为60米． 变式2．（25-26九年级上·河南信阳·期末）中国文字博物馆，国家一级博物馆，是中国首座以文字为主题的博物馆．如图，在一个阳光明媚的上午，陈老师组织学生测量馆徽的高度，为了测量方便，在后面斜放了一个背景板，与地面的夹角为（），站立在水平地面上身高米的小明在地面上的影长为米，此刻馆徽在背景板上的影长为米，求馆徽的高度（取，结果保留位小数）． 【答案】馆徽的高度约为米 【详解】解：如图，过点作于点， 由题意可得， ∴， ∵， ∴， 又， ∴，， ∴，， 又∵，即， 解得（米）， ∴（米）， 答：馆徽的高度约为米． 变式3．（25-26九年级上·四川成都·期末）【学科融合】如图1，在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一个平面内：反射光线和入射光线分别位于法线两侧；入射角i等于反射角r，这就是光的反射定律． 【问题解决】如图2，小红同学计划利用平面镜镜面反射的光学特性，测算望江公园崇丽阁的高度．如图，小红在地面E点和G点处分别安放平面镜，并在镜子上做一个标记，当她走到M点时，看到崇丽阁顶部A点在镜中的像与镜子上的标记重合；当她走到D点时，再次看到崇丽阁顶部A点在镜中的像与镜子上的标记重合．已知点B，E，D，G，M在同一直线上，且，测得，，，求崇丽阁的高． 【答案】崇丽阁的高为 【详解】解：由题意得：， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， 解得：， ∴， 解得：， ∴崇丽阁的高为． 考点二 相似三角形与动态几何问题 例1．（25-26九年级上·安徽六安·期末）如图，中，，，．点D从A点出发沿射线以的速度移动，点E从C点出发沿射线以的速度移动，若两点同时出发，移动时间为， (1)用含t的式子表示的长； (2)经过几秒，与相似？ 【答案】(1)当时，；当时， (2)经过3秒或秒或8秒时，与相似 【详解】（1）解：由题意可得，， ∵，， ∴当时，；当时，； （2）解：当且时，则， 即， 解得：； 当且时，则， 即， 解得； 当且时，则， 即，此方程无解； 当且时，则， 即， 解得； 综上所述：经过3或或8秒时，与相似． 例2．（25-26九年级上·吉林·期末）如图，在中，，，，点是的中点，点从点出发，沿以每秒个单位长度的速度向终点运动（点不与点、重合）．在上方作正方形，且，．设点的运动时间为秒，正方形与重叠部分的面积为． (1)线段的长为________； (2)当点落在边上时，求的值； (3)当时，求与之间的函数关系式． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【详解】（1）解：，，， ， 是的中点， ， 故答案为； （2）解：当点在上时，如图： 则，， ， ， ， ，即， 解得； 当点在上时，； （3）解：当点在上时，，则当，即求在上运动时，正方形与重叠部分的面积为和时间的函数关系式． 当正方形还未完全进入到中时，重叠面积为矩形， ，且， ， ， ， ， ， ， 当在上时，如图： 则，且，同理可知， ， ， ， 解得， 故当时，； 当时，正方形与重叠，重叠面积为正方形的面积，故； 综上所述，． 例3．（25-26九年级上·内蒙古·期中）如图，在平面直角坐标系内，已知点、点，动点从点开始在线段上以每秒个单位长度的速度向点移动，同时动点从点开始在线段上以每秒个单位长度的速度向点移动，设点、移动的时间为秒 (1)当t为何值时，以，，为顶点的三角形与相似？ (2)当t为何值时，的面积最大？求面积最大时点的坐标． 【答案】(1)当或时，以，，为顶点的三角形与相似 (2)当时，的面积最大，面积最大时点的坐标为 【详解】（1）解：、， ，， ， ， 由题意得，， ， 如图1，，则， ， ， ， 解得； 如图2，， ， ， ， ， 解得， 综上所述，当或时，以，，为顶点的三角形与相似． （2）如图3，作于点D， ，， ， ， ， ， ， 当时，， ， ， 当时，的面积最大，面积最大时点的坐标为． 例4．（25-26九年级上·山东青岛·月考）如图，在菱形中，对角线、相交于点，，，动点从点A出发沿方向匀速运动，速度为；动点从点C出发沿方向匀速运动，速度为．连接，设运动时间为，解答下列问题： (1)当为何值时，． (2)设的面积为，求S与 t的函数关系式； (3)当t为何值时，经过线段的中点？ 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）在菱形中，对角线、互相垂直平分， ，， ，， ， 经过后，，， ， ， ， ，即，解得， 所以当时，； （2）如图，过点作，分别交于，连接， ，即， ， ， ，即，解得， ，， 又易得四边形为矩形， ， ， ， 所以； （3）设交于， 则为中点，故，， 由（2）知，，， ，， ， ，即， 解得， 所以当时，经过线段的中点． 变式1．（25-26九年级上·江苏无锡·月考）如图，在平面直角坐标系内，已知点、点，动点P从点A开始在线段上以每秒1个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B开始在线段上以每秒2个单位长度的速度向点A移动，设点P、Q移动的时间为t秒． (1)当t为何值时，； (2)当t为何值时，与相似． 【答案】(1)当的值为时，； (2)当的值为或时，与相似． 【详解】（1）解：∵点，点，， ∴，， ； 由题意，，则， 由题意则有：， 解得， 当时，； （2）解：∵是公共角， ∴①当时，， ∴， 即， 解得； ②当时，， ∴， 即， 解得； 综上，当的值为或时，与相似． 变式2．（2025·安徽淮南·模拟预测）如图，在矩形中，，动点P以的速度从A点出发，沿向C点移动，同时动点以的速度从C点出发，沿向B点移动，设P、Q两点移动的时间为t秒．() (1)t为多少时，以P、Q、C为顶点的三角形与相似? (2)探究：在P、Q两点移动过程中，四边形与的面积能否相等?若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由． 【答案】(1)当为或时相似 (2)四边形与的面积不能相等，理由见解析 【详解】（1）解：在中， ∵ ， ∴当时，△CQP∽△CBA， 则，即， 解得； 当时，△CQP∽△CAB， 则 ，即， 解得 ； ∴当为或时，以P、Q、C为顶点的三角形与相似； （2）解：四边形与的面积不能相等．理由如下：    作于点，如图， ∵， ∴， ∴ ，即 ∴ ， 当四边形与的面积相等时， ， 即 ， ∴ ， 整理得, ∵， ∴此时方程无实数解， ∴四边形与的面积不能相等． 变式3．（25-26九年级上·山东济南·月考）如图， 矩形中，厘米，厘米， P、Q分别是、上运动的两点，若点P从点A出发，以1厘米/秒的速度沿方向运动，同时，点Q从点B出发以2厘米/秒的速度沿方向运动，一个点停止，另一个点也随之停止 ，设点P，Q运动的时间为x秒． (1)设的面积为y，求y与x之间的函数关系式； (2)当x为何值时，以P，B，Q为顶点的三角形与相似？ 【答案】(1)x (2)或 x= 【详解】（1）解：根据题意，得，，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 即y 与 x 的函数关系式为； （2）解：∵和相似，， ∴或， ∴或． ∵，，，，． ∴或， 解得或， 当或时，和 相似． 变式4．（24-25九年级下·湖南郴州·开学考试）如图，在矩形中，，，动点M以的速度从A点出发，沿向点B运动，同时动点N以的速度从点D出发，沿向点A运动，设运动的时间为秒（）． (1)______；______．（用含t的式子表示） (2)当为何值时，的面积等于矩形面积的？ (3)是否存在某一时刻，使得以A、M、N为顶点的三角形与相似?若存在，求出的值，若不存在,请说明理由． 【答案】(1)， (2)或 (3)或 【详解】（1）解：由题意可得：，， ∵在矩形中，，， ∴，， ∴； （2）解：由（1），，； ∵的面积等于矩形面积的， ∴， 解之得:，， ∴或时，的面积等于矩形面积的； （3）存在．理由如下： 解：∵与相似， ∴分为两种情况： ①当时 ∴，即， 解得：， ②当时， ∴，即， 解得：， 综上所述,当或时，以A、M、N为顶点的三角形与相似. 2 学科网（北京）股份有限公司 $相似三角形的实际应用、相似三角形与动态几何问题专项训练 相似三角形的实际应用、相似三角形与动态几何问题专项训练 考点目录 相似三角形的实际应用 相似三角形与动态几何问题 考点一 相似三角形的实际应用 例1．（25-26九年级上·陕西咸阳·期末）咸阳湖畔，清渭楼以九层飞檐直指苍穹，这座被誉为“西北第一楼”的仿古建筑，既是咸阳城的文化地标，更是中华文明传承的活态载体．在确保安全的前提下，小明所在的数学兴趣小组想利用所学知识测量清渭楼的高度，形成了如下活动报告． 项目主题 测量清渭楼的高度 工具 卷尺、平面镜等 测量示意图    方案说明 某校社会实践小组为了测量清渭楼（如图1）的高度，如图2，小明先在地面上处垂直于地面竖立了标杆，这时地面上的点、标杆的顶端点、清渭楼的顶端正好在同一直线上；小明再从点出发沿着方向前进一段距离到达点．在点处放置一平面镜，小组成员小刚站在处时，恰好在平面镜中看到清渭楼的顶端的像，此时测得小刚的眼睛到地面的距离．已知点与清渭楼的底端在同一直线上，图中所有点均在同一平面内，． 数据 米，米，米，米，米 请你根据以上测量报告，计算清渭楼的高度．（平面镜大小忽略不计） 例2．（25-26九年级上·河南南阳·期末）如图，南阳白河国家湿地公园有一灯柱，M为光源．某兴趣小组为了测量灯柱的高度，在灯柱同侧竖立两根长度均为的标杆和，点N，B，C在同一条直线上．测得长度为，的影长为． (1)求灯柱的高度； (2)请画出标杆的影子，并直接写出的长度． 例3．（25-26九年级上·江苏盐城·期末）我们知道当人们的视线与物体的表面互相垂直且视线恰好落在物体中心位置时的视觉效果最佳，如图是小然站在地面欣赏悬挂在墙壁上的油画的示意图，设油画与墙壁的夹角，此时小然的眼睛与油画底部A处于同一水平线上，视线恰好落在油画的中心位置E处，且与垂直．已知油画的高度为． (1)仰角的度数为_____；（用含的式子表示） (2)若此时小然到墙壁的距离，求油画顶部点到墙壁的距离； (3)当油画底部处位置不变，油画与墙壁的夹角逐渐减小时，小然为了保证欣赏油画的视觉效果最佳，他应该更靠近墙壁，还是不动或者远离墙壁？（直接回答即可） 例4．（25-26九年级上·陕西咸阳·期末）小华利用所学知识测量了某建筑物的高度（如图），测量过程与数据信息如下：首先小华在点处用测角仪（高度忽略不计）测得该建筑物顶端的仰角；随后，小华从点处沿方向移动6米到达点处（即米），在点处竖立一根高为2米的标杆，某一时刻，该建筑物在阳光下的影子顶端恰好落在地面上的点处，此时标杆在阳光下的影子顶端落在地面上的点处，米，已知，点在同一条直线上，图中所有点均在同一平面内．请你根据以上数据求出该建筑物的高度．（参考数据：） 变式1．（25-26九年级上·浙江杭州·期末）受刘徽《海岛算经》中的“测望法”启发，方方设计如下方法测量河宽．如图，从B处沿与垂直的直线方向走到达C处，插一根标杆，然后沿同方向继续走到达D处，再右转走到E处，使点A，C，E恰好在一条直线上，量得． (1)求证：． (2)求河宽的长． 变式2．（25-26九年级上·河南信阳·期末）中国文字博物馆，国家一级博物馆，是中国首座以文字为主题的博物馆．如图，在一个阳光明媚的上午，陈老师组织学生测量馆徽的高度，为了测量方便，在后面斜放了一个背景板，与地面的夹角为（），站立在水平地面上身高米的小明在地面上的影长为米，此刻馆徽在背景板上的影长为米，求馆徽的高度（取，结果保留位小数）． 变式3．（25-26九年级上·四川成都·期末）【学科融合】如图1，在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一个平面内：反射光线和入射光线分别位于法线两侧；入射角i等于反射角r，这就是光的反射定律． 【问题解决】如图2，小红同学计划利用平面镜镜面反射的光学特性，测算望江公园崇丽阁的高度．如图，小红在地面E点和G点处分别安放平面镜，并在镜子上做一个标记，当她走到M点时，看到崇丽阁顶部A点在镜中的像与镜子上的标记重合；当她走到D点时，再次看到崇丽阁顶部A点在镜中的像与镜子上的标记重合．已知点B，E，D，G，M在同一直线上，且，测得，，，求崇丽阁的高． 考点二 相似三角形与动态几何问题 例1．（25-26九年级上·安徽六安·期末）如图，中，，，．点D从A点出发沿射线以的速度移动，点E从C点出发沿射线以的速度移动，若两点同时出发，移动时间为， (1)用含t的式子表示的长； (2)经过几秒，与相似？ 例2．（25-26九年级上·吉林·期末）如图，在中，，，，点是的中点，点从点出发，沿以每秒个单位长度的速度向终点运动（点不与点、重合）．在上方作正方形，且，．设点的运动时间为秒，正方形与重叠部分的面积为． (1)线段的长为________； (2)当点落在边上时，求的值； (3)当时，求与之间的函数关系式． 例3．（25-26九年级上·内蒙古·期中）如图，在平面直角坐标系内，已知点、点，动点从点开始在线段上以每秒个单位长度的速度向点移动，同时动点从点开始在线段上以每秒个单位长度的速度向点移动，设点、移动的时间为秒 (1)当t为何值时，以，，为顶点的三角形与相似？ (2)当t为何值时，的面积最大？求面积最大时点的坐标． 例4．（25-26九年级上·山东青岛·月考）如图，在菱形中，对角线、相交于点，，，动点从点A出发沿方向匀速运动，速度为；动点从点C出发沿方向匀速运动，速度为．连接，设运动时间为，解答下列问题： (1)当为何值时，． (2)设的面积为，求S与 t的函数关系式； (3)当t为何值时，经过线段的中点？ 变式1．（25-26九年级上·江苏无锡·月考）如图，在平面直角坐标系内，已知点、点，动点P从点A开始在线段上以每秒1个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B开始在线段上以每秒2个单位长度的速度向点A移动，设点P、Q移动的时间为t秒． (1)当t为何值时，； (2)当t为何值时，与相似． 变式2．（2025·安徽淮南·模拟预测）如图，在矩形中，，动点P以的速度从A点出发，沿向C点移动，同时动点以的速度从C点出发，沿向B点移动，设P、Q两点移动的时间为t秒．() (1)t为多少时，以P、Q、C为顶点的三角形与相似? (2)探究：在P、Q两点移动过程中，四边形与的面积能否相等?若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由． 变式3．（25-26九年级上·山东济南·月考）如图， 矩形中，厘米，厘米， P、Q分别是、上运动的两点，若点P从点A出发，以1厘米/秒的速度沿方向运动，同时，点Q从点B出发以2厘米/秒的速度沿方向运动，一个点停止，另一个点也随之停止 ，设点P，Q运动的时间为x秒． (1)设的面积为y，求y与x之间的函数关系式； (2)当x为何值时，以P，B，Q为顶点的三角形与相似？ 变式4．（24-25九年级下·湖南郴州·开学考试）如图，在矩形中，，，动点M以的速度从A点出发，沿向点B运动，同时动点N以的速度从点D出发，沿向点A运动，设运动的时间为秒（）． (1)______；______．（用含t的式子表示） (2)当为何值时，的面积等于矩形面积的？ (3)是否存在某一时刻，使得以A、M、N为顶点的三角形与相似?若存在，求出的值，若不存在,请说明理由． 2 学科网（北京）股份有限公司 $