二次函数：实际应用中的面积问题、利润问题、动态几何问题专项训练-2025-2026学年人教版九年级数学上册

二次函数：实际应用中的面积问题、利润问题、动态几何问题专项训练 二次函数：实际应用中的面积问题、利润问题、动态几何问题专项训练 考点目录 二次函数与实际应用中的面积问题 二次函数与实际应用中的利润问题 二次函数与动态几何问题 考点一 二次函数与实际应用中的面积问题 例1．（25-26九年级上·山东滨州·期中）某学校计划在教学楼后面搭建一个矩形自行车车棚（如图间隔成相同的两个矩形），车棚一边是利用教学楼的部分后墙（可利用墙长为），其他的边用总长为的不锈钢栅栏围成，左右两侧各留一个距离后墙的出口（不锈钢栅栏形如“山”字），搭建车棚时还要注意在自行车棚后面（边侧）距教学楼后墙处，规划有机动车停车位． (1)若矩形车棚面积为，求车棚的长和宽各是多少m？ (2)问该车棚面积最大可达到多少？并说明理由． 例2．（25-26九年级上·内蒙古巴彦淖尔·期中）如图，夏宇家一段长10m的墙的旁边有一片空地（足够大），夏宇爸爸想用这段墙和长18m的篱笆围一个矩形鸡舍．爸爸说：“如图1，若把墙和篱笆全部用上，墙作为矩形的一边，其他三边用篱笆，所围成的矩形鸡舍面积最大；”夏宇说：“如图2，若只用墙的一部分，篱笆全部用上，还可以围出面积更大的矩形鸡舍．” (1)夏宇爸爸方法所围成的矩形鸡舍面积为______； (2)请利用所学知识，判断爸爸和夏宇谁的说法是正确的？并说明理由． 例3．（25-26九年级上·福建龙岩·期中）综合与实践 问题情境：为了传承中华民族传统的中医药文化，推进中医药文化课程的开发与实施，让学生充分体验中草药种植的乐趣，学校规划了一块如图所示的矩形用地，其中种植金银花区域的轮廓可近似看成由抛物线的一部分与线段、组成的封闭图形，点、分别在矩形的边、上．现要对该金银花种植区域重新进行规划，以种植不同颜色的金银花，学校面向全体同学征集设计方案． 如图、，，点是抛物线的顶点，于点，且． 小红设计的方案：如图，用篱笆沿线段分隔出区域①；在抛物线上取动点、（不与、重合），在上取动点、，，在的左侧，且，之间的距离等于，用篱笆沿，将线段与抛物线围成的区域分隔成②、③、④． 小明设计的方案：如图，用篱笆沿线段分隔出区域①；在抛物线上取动点（不与、重合），连结、，用篱笆沿、将线段与抛物线围成的区域分隔成②、③、④． 方案实施：拟定，区域①、②、③、④分别种植白、黄、红、紫颜色的金银花；拟定，在图、中，以所在直线为轴，所在直线为轴，以为个单位长度，建立平面直角坐标系．解答问题： (1)求抛物线的解析式； (2)若学校采用了小红的方案，在完成第一步区域的分隔后，发现仅剩篱笆材料．若分隔中恰好用完所有篱笆材料，求与之间的距离； (3)若学校采用了小明的方案，求区域③（）的面积取到最大时点的坐标． 例4．（25-26九年级上·河南·期末）综合与实践 【问题背景】 我们在初学二次函数时，遇到这样一个问题：用总长为的围栏材料，一面靠墙，围成一个矩形花圃．怎样围才能使花圃的面积最大？ 【尝试探究】 （1）如图，设围成的矩形花圃为．我们先列举一些不同的围法，观察矩形花圃的面积是怎样变化的．请补充完整如表格： 的长（） 的长（） 面积（） 【观察发现】 （2）设的长为，矩形的面积为，我们发现：是的函数． ①请写出与的函数关系式为：_______________（整理成一般形式）； ②自变量的取值范围是：_______________； 【问题解决】 （3）请将与的函数关系式配成顶点式，求出矩形面积的最大值； 【拓展探究】 （4）用总长为米的围栏材料，一面靠墙，围成一个矩形花圃．当与墙垂直的一边长度为___________时，围成的花圃的面积最大，最大面积为___________． 变式1．（25-26九年级上·湖北黄冈·期中）某居民小区要在一块一边靠墙（墙长20米）的空地上修建一个矩形花园，花园的一边靠墙，另三边用总长40米的栅栏围成（如图所示）．若设花园的边长为米，花园的面积为平方米． (1)求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (2)满足条件的花园面积能否达到50平方米？若能，请求出的值；若不能，请说明理由； (3)当是多少时，矩形场地面积最大？最大面积是多少？ 变式2．（25-26九年级上·湖北武汉·期中）某公园要铺设广场地面，其图案设计如图，矩形地面的长，宽，四周各角留一个矩形花坛，中心建设一个正方形景观空地，其边长等于四个角上每个矩形花坛的宽的4倍，图中阴影处铺设地砖．已知矩形花坛的长比宽多，设每个矩形花坛的宽均为． (1)用的式子表示：每个矩形花坛的长为_______m；铺设地砖的面积为________． (2)若铺设地砖的面积为，则求正方形景观空地的面积； (3)若四个角的矩形花坛面积之和为，则求出当面积最大时，矩形花坛的长和宽各是多少m？ 变式3．（25-26九年级上·福建漳州·期中）如图，某农场计划建造一个长方形养殖场，为充分利用现有资源，该长方形养殖场一面靠墙（墙的长度为），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成长方形和长方形，且长方形与长方形面积比为，若栅栏的总长度为，请解决以下问题： (1)若设的长度为，则的长度可表示为_____，的长度可表示为_____，（用含的代数式表示） (2)当的长度为多少时，长方形养殖场总面积最大？最大为多少？ 变式4．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）某学校为美化学校环境，打造绿色校园，决定用篱笆围成一个一面靠墙（墙足够长）的矩形花园，用一道篱笆把花园分为甲、乙两块（如图所示），花园里种满牡丹和芍药．学校已订购篱笆120米（恰好用完）． (1)设，整个花园的面积为S，求S关于x的函数表达式，并求出S的最大值； (2)在花园面积最大的条件下，甲，乙两块内分别种植牡丹和芍药，每平方米种植2株，已知牡丹每株售价25元，芍药每株售价15元，学校计划购买费用不超过5万元，求最多可以购买多少株牡丹？ 考点二 二次函数与实际应用中的利润问题 例1．（25-26九年级上·上海·阶段练习）如图，在四边形中，，截取．已知，，． (1)求图中阴影部分的面积关于的函数表达式和的取值范围． (2)当为的中点时，图中阴影部分的面积为多少？ (3)（求最值，用配方法）当为何值时，图中阴影部分的面积有最小值？这个最小值是多少？ 例2．（25-26九年级上·吉林·阶段练习）有一根直尺短边长，长边长，还有一块锐角为的直角三角形纸板，它的斜边长为，如图，将直尺的短边与直角三角形纸板的斜边重合，且点与点重合．将直尺沿射线方向平移，设平移的长度为，且直尺和三角形纸板重叠部分的面积为． (1)当直角顶点落在直尺的长边上时，______． (2)当时，求与之间的函数关系式． (3)是否存在一个位置，使重叠部分面积为？若存在直接写出的值；若不存在说明理由． 例3．（25-26九年级上·河北廊坊·期中）如图，在中，，，，点P从点A出发沿以的速度向点B移动，同时点Q从点B出发沿以的速度向点C移动，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为秒，阴影部分的面积为． (1)的长为______cm（用含t的代数式表示）； (2)写出S与t的函数解析式及t的取值范围； (3)当t为何值时，阴影部分的面积最小？ 例4．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，中，，P在边上，于D，点E在P的右侧． (1)若设为x，则的面积是多少． (2)若P是边上的动点，P从点A出发，沿方向运动，始终有，当E到达点B时，P停止运动，求整个运动过程中，阴影部分面积的最小值． 变式1．（25-26九年级上·吉林松原·月考）如图，在中，，，．动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿边运动．过点作交折线于点，当点与点重合时，点停止运动．以为边向其右侧作正方形，设点的运动时间为，正方形与的重叠部分图形的面积为． (1)当点与点重合时，的值为______； (2)求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (3)连接，当平分正方形的边时，直接写出的值． 变式2．（25-26九年级上·吉林·期中）如图，在等腰直角三角形中，，边上的高．点P从点A出发，沿以的速度向终点B运动，当点P不与点A、B重合时，过点P作，交边或边于点Q，以为边向下作正方形，设正方形与重叠部分图形的面积为，点P运动的时间为． (1)求的长； (2)直接写出点M落在边上时t的值； (3)求S与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围． 变式3．（25-26九年级上·湖南岳阳·期中）已知：与中，，，，，．现将与按图1的方式摆放，使点与点重合，点、（E）、在同一条直线上，并按如下方式运动． 运动一：如图2，从图1的位置出发，以的速度沿方向向右匀速运动，与相交于点Q，当点Q与点D重合时暂停运动； 运动二：在运动一的基础上，如图3，绕着点C顺时针旋转，与交于点Q，与交于点P，此时点Q在上匀速运动，速度为，当时暂停旋转； 运动三：在运动二的基础上，如图4，以的速度沿向终点F匀速运动，直到点C与点F重合时为止．设运动时间为t（s），中间的暂停不计时，解答下列问题∶ (1)在从运动一到最后运动三结束时，整个过程共耗时 s； (2)在整个运动过程中，设与的重叠部分的面积为S（），求S与t之间的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围； (3)在整个运动过程中，是否存在某一时刻，点Q正好在线段的中垂线上，若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 变式4．（25-26九年级上·广西南宁·阶段练习）在矩形中，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒． (1)当t为何值时，的长度等于？ (2)是否存在t的值，使得五边形的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． (3)是否存在t的值，使的面积最大，若存在，请直接写出此时t的值；若不存在，请说明理由． 考点三 二次函数与动态几何问题 例1．（25-26九年级上·贵州遵义·期中）某文具店销售一款进价为元/个的篮球，经统计发现，当销售单价不低于进价时，日销售量（个）与销售单价（元）之间满足如图所示的函数关系． (1)求与的函数关系式； (2)若文具店计划销售该款篮球每日获利元，且尽可能让利于顾客，求该款篮球的销售单价应定为多少元？ (3)该款篮球销售单价定为多少元时，文具店所获日销售利润最大，最大利润是多少？ 例2．（25-26九年级上·辽宁葫芦岛·期中）汴绣是流传于河南省开封市的传统美术，也是国家级非物质文化遗产之一，《东京梦华录》中有“金碧相射，锦绣交辉”之誉．某商店将每个进价为60元绣有不同图案的手包按每件100元出售，一天可售出20个．后来经过市场调查发现，这款手包的单价每降低1元，则销量可增加2个． (1)求商店经营这款手包原来一天可获得的利润为多少元； (2)求该款手包的单价降价多少元时，商店一天可获得的利润最大，最大利润是多少元？ 例3．（25-26九年级上·江西赣州·期中）某商场销售儿童玩具，一天可售出20套，每套盈利30元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取降价措施．若一套玩具每降价1元，平均每天可多售出2套．设每套玩具降价x元时，商场一天可获利润y元． (1)求y关于x的函数表达式； (2)若要商场每天盈利672元，则需降价多少元？ (3)当每套玩具降价多少元时，商场一天可获最大利润？最大利润为多少？ 例4．（25-26九年级上·安徽六安·期中）2025年7月26日至8月10日，霍邱县马店镇隆重举行了首届龙虾音乐节，某龙虾养殖大户为了发挥技术优势，一次性收购小龙虾，计划养殖一段时间后再出售．已知每天养殖龙虾的养殖成本相同，放养10天的总成本为83000元，放养30天的总成本为89000元．设这批小龙虾放养t天后的质量为，销售单价为y元/，根据往年的行情预测，a与t的函数关系为，y与t的函数关系如图所示． （总成本养殖成本收购成本；利润销售总额总成本） (1)求这批小龙虾的收购成本和每天养殖成本； (2)求y与之间的函数表达式； (3)如果将这批小龙虾放养t天后一次性出售所得利润为W元．问该龙虾养殖大户将这批小龙虾放养多少天后一次性出售所得利润最大？最大利润是多少？ 变式1．（25-26九年级上·江苏无锡·月考）某商场销售杭州亚运会吉祥物“宸宸”，进货价为40元/件．当售价为60元/件时，每天的销售量为300件．在销售过程中发现：销售单价每上涨2元，每天的销售量就减少20件．设销售价格上涨x元/件（x为偶数），每天的销售量为y件． (1)当销售价格上涨4元时，每天对应的销售量为________件．请直接写出y与x的函数关系式________； (2)设每天的销售利润为w元，为了让利于顾客，则每件商品的销售单价定为多少元时，每天获得的利润最大，最大利润是多少？ 变式2．（25-26九年级上·广东江门·期中）某水果批发商场销售一种高档水果，如果每千克进价40元，每千克售价50元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下．若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克． (1)现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，每千克应涨价多少元？ (2)每千克水果涨价多少元时，商场每天获得的利润最大？获得的最大利润是多少元？ 变式3．（25-26九年级上·青海西宁·期中）经过调查往年的统计数据发现，云南省批发“阳光玫瑰葡萄”的最低价格为每斤15元若按每斤30元的价格到市区销售，平均每天可售出60斤若每斤“阳光玫瑰葡萄”的售价每降低1元，那么平均每天的销售量会增加10斤，为了尽快减少库存，该水果商决定降价销售． (1)若该经销商计划销售“阳光玫瑰葡萄”每天盈利1100元，那么每斤“阳光玫瑰葡萄”的售价应降至每斤多少元？（其它成本忽略不计） (2)将商品的销售单价定为多少元时，商场每天销售该商品获得的利润最大？最大利润是多少元？ 变式4．（25-26九年级上·江苏泰州·期中）某桶装水公司每天的房租、水电费、人员工资等固定成本为250元，每桶水的进价是5元，规定销售单价不得高于12元，也不得低于7元，调查发现日均销售量y（桶）与销售单价x（元）的函数图象如图所示． (1)求日均销售量y（桶）与销售单价x（元）的函数关系式； (2)设日均获利为w（元），求销售单价x多少元时，w达到最大，w最大多少元． 2 学科网（北京）股份有限公司 $二次函数：实际应用中的面积问题、利润问题、动态几何问题专项训练 二次函数：实际应用中的面积问题、利润问题、动态几何问题专项训练 考点目录 二次函数与实际应用中的面积问题 二次函数与实际应用中的利润问题 二次函数与动态几何问题 考点一 二次函数与实际应用中的面积问题 例1．（25-26九年级上·山东滨州·期中）某学校计划在教学楼后面搭建一个矩形自行车车棚（如图间隔成相同的两个矩形），车棚一边是利用教学楼的部分后墙（可利用墙长为），其他的边用总长为的不锈钢栅栏围成，左右两侧各留一个距离后墙的出口（不锈钢栅栏形如“山”字），搭建车棚时还要注意在自行车棚后面（边侧）距教学楼后墙处，规划有机动车停车位． (1)若矩形车棚面积为，求车棚的长和宽各是多少m？ (2)问该车棚面积最大可达到多少？并说明理由． 【答案】(1)自行车车棚的长为，宽为． (2)．理由见解析 【详解】（1）解：设车棚宽是，依题意，得 ，整理，得， 解得，（不合题意，舍去）， ． 答：自行车车棚的长为，宽为． （2）解：设车棚宽度为时，自行车车棚面积为，由题得 ， 依题意，得解得． 中，，， 当时，有最大值为． 答：自行车车棚面积最大可达到． 例2．（25-26九年级上·内蒙古巴彦淖尔·期中）如图，夏宇家一段长10m的墙的旁边有一片空地（足够大），夏宇爸爸想用这段墙和长18m的篱笆围一个矩形鸡舍．爸爸说：“如图1，若把墙和篱笆全部用上，墙作为矩形的一边，其他三边用篱笆，所围成的矩形鸡舍面积最大；”夏宇说：“如图2，若只用墙的一部分，篱笆全部用上，还可以围出面积更大的矩形鸡舍．” (1)夏宇爸爸方法所围成的矩形鸡舍面积为______； (2)请利用所学知识，判断爸爸和夏宇谁的说法是正确的？并说明理由． 【答案】(1)40 (2)夏宇的说法是正确的，理由见解析 【详解】（1）解：由题意可得，夏宇爸爸方法所围成的矩形鸡舍的长为，宽为， 故夏宇爸爸方法所围成的矩形鸡舍面积为； 故答案为：40； （2）解：夏宇的说法是正确的，理由如下， 设夏宇方法所围成的矩形鸡舍的宽为，则长为，夏宇方法所围成的矩形鸡舍的面积为， 由题意可得：，， 解得：， 此时夏宇方法所围成的矩形鸡舍的面积为， ∵， ∴当时，最大，为， 故夏宇方法所围成的矩形鸡舍的最大面积为． 例3．（25-26九年级上·福建龙岩·期中）综合与实践 问题情境：为了传承中华民族传统的中医药文化，推进中医药文化课程的开发与实施，让学生充分体验中草药种植的乐趣，学校规划了一块如图所示的矩形用地，其中种植金银花区域的轮廓可近似看成由抛物线的一部分与线段、组成的封闭图形，点、分别在矩形的边、上．现要对该金银花种植区域重新进行规划，以种植不同颜色的金银花，学校面向全体同学征集设计方案． 如图、，，点是抛物线的顶点，于点，且． 小红设计的方案：如图，用篱笆沿线段分隔出区域①；在抛物线上取动点、（不与、重合），在上取动点、，，在的左侧，且，之间的距离等于，用篱笆沿，将线段与抛物线围成的区域分隔成②、③、④． 小明设计的方案：如图，用篱笆沿线段分隔出区域①；在抛物线上取动点（不与、重合），连结、，用篱笆沿、将线段与抛物线围成的区域分隔成②、③、④． 方案实施：拟定，区域①、②、③、④分别种植白、黄、红、紫颜色的金银花；拟定，在图、中，以所在直线为轴，所在直线为轴，以为个单位长度，建立平面直角坐标系．解答问题： (1)求抛物线的解析式； (2)若学校采用了小红的方案，在完成第一步区域的分隔后，发现仅剩篱笆材料．若分隔中恰好用完所有篱笆材料，求与之间的距离； (3)若学校采用了小明的方案，求区域③（）的面积取到最大时点的坐标． 【答案】(1) (2)与之间的距离为 (3)当时，点的坐标为 【详解】（1）解：建立平面直角坐标系，如图所示： 设抛物线的解析式为， 由题意可知，对称轴为， ∴， ∴． ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵，之间的距离等于，设， ∴． 设直线，则 ， 解得， ∴直线． ∴． ∴， ∴， ∵， ∴， 解得或． ∴在的左侧， ∴，即与之间的距离为； （3）解：过点作轴于点，交于点． 设的坐标为， 由（）可知直线， ∴，． ∴ ． ∵，抛物线的开口向下，顶点为， ∵当仅当时， ∵当时，， ∴当时，点的坐标为． 例4．（25-26九年级上·河南·期末）综合与实践 【问题背景】 我们在初学二次函数时，遇到这样一个问题：用总长为的围栏材料，一面靠墙，围成一个矩形花圃．怎样围才能使花圃的面积最大？ 【尝试探究】 （1）如图，设围成的矩形花圃为．我们先列举一些不同的围法，观察矩形花圃的面积是怎样变化的．请补充完整如表格： 的长（） 的长（） 面积（） 【观察发现】 （2）设的长为，矩形的面积为，我们发现：是的函数． ①请写出与的函数关系式为：_______________（整理成一般形式）； ②自变量的取值范围是：_______________； 【问题解决】 （3）请将与的函数关系式配成顶点式，求出矩形面积的最大值； 【拓展探究】 （4）用总长为米的围栏材料，一面靠墙，围成一个矩形花圃．当与墙垂直的一边长度为___________时，围成的花圃的面积最大，最大面积为___________． 【答案】（1）表格见详解；（2）①；②；（3），最大值为；（4）． 【详解】解：（1）列表如下， 的长（） 的长（） 面积（） 42 （2）①； 故答案为： ②∵， ∴， 故答案为：． （3）， ∵， ∴当时，最大值为； （4）设与墙垂直的一边长度为，围成的花圃的面积为， 依题意，， ∴当时，最大值为； 故答案为：． 变式1．（25-26九年级上·湖北黄冈·期中）某居民小区要在一块一边靠墙（墙长20米）的空地上修建一个矩形花园，花园的一边靠墙，另三边用总长40米的栅栏围成（如图所示）．若设花园的边长为米，花园的面积为平方米． (1)求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (2)满足条件的花园面积能否达到50平方米？若能，请求出的值；若不能，请说明理由； (3)当是多少时，矩形场地面积最大？最大面积是多少？ 【答案】(1)，． (2)当时，满足条件的花园面积能达到50平方米； (3)当时，最大，最大面积为200平方米． 【详解】（1）解：∵，三边栅栏总长40， ∴． ∴，即． ∵墙长20， ∴， 解得． （2）解：令，则， 整理得， 解得． ∵， ，（舍去）， ∴， ∴当时，满足条件的花园面积能达到50平方米； （3）解：， 化为顶点式：． ∵， ∴当时，最大，最大面积为200平方米． 变式2．（25-26九年级上·湖北武汉·期中）某公园要铺设广场地面，其图案设计如图，矩形地面的长，宽，四周各角留一个矩形花坛，中心建设一个正方形景观空地，其边长等于四个角上每个矩形花坛的宽的4倍，图中阴影处铺设地砖．已知矩形花坛的长比宽多，设每个矩形花坛的宽均为． (1)用的式子表示：每个矩形花坛的长为_______m；铺设地砖的面积为________． (2)若铺设地砖的面积为，则求正方形景观空地的面积； (3)若四个角的矩形花坛面积之和为，则求出当面积最大时，矩形花坛的长和宽各是多少m？ 【答案】(1)， (2)正方形景观空地的面积为 (3)矩形的长为，宽为 【详解】（1）解：由题意，每个矩形花坛的长为，中间正方形的边长为， 故铺设地砖的面积为； 故答案为：，； （2）由题意，， 解得（不合题意，舍去）； ∴正方形景观空地的边长为， ∴正方形景观空地的面积为； （3）由题意，， 由图可知：， 解得， ∵， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大， ∵， ∴当时，最大，此时； 故当矩形的长为，宽为时，最大． 变式3．（25-26九年级上·福建漳州·期中）如图，某农场计划建造一个长方形养殖场，为充分利用现有资源，该长方形养殖场一面靠墙（墙的长度为），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成长方形和长方形，且长方形与长方形面积比为，若栅栏的总长度为，请解决以下问题： (1)若设的长度为，则的长度可表示为_____，的长度可表示为_____，（用含的代数式表示） (2)当的长度为多少时，长方形养殖场总面积最大？最大为多少？ 【答案】(1)；； (2)当的长度为时，长方形养殖场总面积最大，最大为 【详解】（1）解：∵长方形的面积，长方形的面积，且长方形与长方形面积比为，设的长度为， ∴， 由图形可得，， ∴； （2）解：， ， ∵长方形养殖场总面积为， 当时，长方形养殖场总面积取得最大值，为， 故当的长度为时，长方形养殖场总面积最大，最大为． 变式4．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）某学校为美化学校环境，打造绿色校园，决定用篱笆围成一个一面靠墙（墙足够长）的矩形花园，用一道篱笆把花园分为甲、乙两块（如图所示），花园里种满牡丹和芍药．学校已订购篱笆120米（恰好用完）． (1)设，整个花园的面积为S，求S关于x的函数表达式，并求出S的最大值； (2)在花园面积最大的条件下，甲，乙两块内分别种植牡丹和芍药，每平方米种植2株，已知牡丹每株售价25元，芍药每株售价15元，学校计划购买费用不超过5万元，求最多可以购买多少株牡丹？ 【答案】(1)S关于x的函数表达式为，S的最大值为1200平方米 (2)最多可以购买1400株牡丹 【详解】（1）解：设， 则， ∴面积为， ∵，墙足够长， ∴当时，S有最大值是1200， 即最大面积为1200平方米． （2）解：设种植牡丹的面积为a平方米，则种植芍药的面积为平方米， 由题意，得， 解得：， 即牡丹最多种植700平方米， （株）， 答：最多可以购买1400株牡丹． 考点二 二次函数与实际应用中的利润问题 例1．（25-26九年级上·上海·阶段练习）如图，在四边形中，，截取．已知，，． (1)求图中阴影部分的面积关于的函数表达式和的取值范围． (2)当为的中点时，图中阴影部分的面积为多少？ (3)（求最值，用配方法）当为何值时，图中阴影部分的面积有最小值？这个最小值是多少？ 【答案】(1)； (2)； (3)不存在最小值． 【详解】（1）解： ， ，且，，， ， 函数表达式是； （2）解：为的中点， ， ； （3）解：， 由于不在的取值范围内，而也取不到， 则面积的最小值不存在； 例2．（25-26九年级上·吉林·阶段练习）有一根直尺短边长，长边长，还有一块锐角为的直角三角形纸板，它的斜边长为，如图，将直尺的短边与直角三角形纸板的斜边重合，且点与点重合．将直尺沿射线方向平移，设平移的长度为，且直尺和三角形纸板重叠部分的面积为． (1)当直角顶点落在直尺的长边上时，______． (2)当时，求与之间的函数关系式． (3)是否存在一个位置，使重叠部分面积为？若存在直接写出的值；若不存在说明理由． 【答案】(1)4或8 (2) (3)存在， 【详解】（1）解：如图，，，直角三角形的锐角为， 当直角顶点落在直尺的点边上时，为等腰直角的高， ， ， 当直角顶点落在直尺的点D边上时，为等腰直角的高， ， 故答案为：4或8； （2）解：设直尺与直角三角形的直角边交于、两点， ①当时，如图1所示， 由题意可知：，， ； ②当时，如图2，过点作于点， ，，，，， ； ③当时，如图3， ，， ， 综上，． （3）解：当时，， 所以当时，必然大于4，即， 解得， 所以当时，阴影部分面积为． 例3．（25-26九年级上·河北廊坊·期中）如图，在中，，，，点P从点A出发沿以的速度向点B移动，同时点Q从点B出发沿以的速度向点C移动，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为秒，阴影部分的面积为． (1)的长为______cm（用含t的代数式表示）； (2)写出S与t的函数解析式及t的取值范围； (3)当t为何值时，阴影部分的面积最小？ 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：当运动t秒时，， ∴． 故答案为： ． （2）解：∵点P从点A运动到点B，需要时间为， 点Q从点B运到到点C，需要时间为， 又点Q运动到点C时，两点停止运动， ∴． ∵，，，，， ∴， ， ∴， ∴S与t的函数解析式为． （3）解：∵， ∵， ∴当时，阴影部分的面积S最小，为． 例4．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，中，，P在边上，于D，点E在P的右侧． (1)若设为x，则的面积是多少． (2)若P是边上的动点，P从点A出发，沿方向运动，始终有，当E到达点B时，P停止运动，求整个运动过程中，阴影部分面积的最小值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：由题意得：； 设边上的高为h， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴,即 ∴， ∴的面积； （2）解：由（1）可知：； ∴， ∵， ∴当时，阴影部分面积有最小值，且最小值为； 变式1．（25-26九年级上·吉林松原·月考）如图，在中，，，．动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿边运动．过点作交折线于点，当点与点重合时，点停止运动．以为边向其右侧作正方形，设点的运动时间为，正方形与的重叠部分图形的面积为． (1)当点与点重合时，的值为______； (2)求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (3)连接，当平分正方形的边时，直接写出的值． 【答案】(1)1 (2) (3)或 【详解】（1）解：根据题意得：， 当点Q在上时， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴当点与点重合时，， ∴， 故答案为：1； （2）解：由（1）得：点Q到达点A所用时间为1秒，点P到达点C所用时间为2秒， 当时，正方形与的重叠部分图形为正方形， 由（1）得：为等腰直角三角形， ∴， ∴正方形的面积为， 即此时； 当时，如图，设交于点E，过点A作于点F，则为等腰直角三角形，此时正方形与的重叠部分图形为为多边形， ∴， ∵四边形是平行四边形， ， ∴，，， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴； 综上所述，与之间的函数关系式为； （3）解：如图，当平分时，设，交于点H， 由（1）得：，， ∴，， ∵为等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 解得：； 如图，当平分时，设交于点G， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（2）得：， ∴， 解得：； 综上所述，t的值为或． 变式2．（25-26九年级上·吉林·期中）如图，在等腰直角三角形中，，边上的高．点P从点A出发，沿以的速度向终点B运动，当点P不与点A、B重合时，过点P作，交边或边于点Q，以为边向下作正方形，设正方形与重叠部分图形的面积为，点P运动的时间为． (1)求的长； (2)直接写出点M落在边上时t的值； (3)求S与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围． 【答案】(1)； (2)2； (3)． 【详解】（1）解：在等腰直角三角形中，，边上的高． 是等腰直角三角形斜边上的中线， ； （2）解：是等腰直角三角形， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ，     如图：点M落在边上时， 四边形是正方形， ，， 是等腰直角三角形， ， 由（1）知， ，解得：； （3）由（2）知，当时，如图： 为正方形的面积，即； 当时，如图： 由题意可知：和均为等腰直角三角形， ， ； 当时，如图： ； ． 变式3．（25-26九年级上·湖南岳阳·期中）已知：与中，，，，，．现将与按图1的方式摆放，使点与点重合，点、（E）、在同一条直线上，并按如下方式运动． 运动一：如图2，从图1的位置出发，以的速度沿方向向右匀速运动，与相交于点Q，当点Q与点D重合时暂停运动； 运动二：在运动一的基础上，如图3，绕着点C顺时针旋转，与交于点Q，与交于点P，此时点Q在上匀速运动，速度为，当时暂停旋转； 运动三：在运动二的基础上，如图4，以的速度沿向终点F匀速运动，直到点C与点F重合时为止．设运动时间为t（s），中间的暂停不计时，解答下列问题∶ (1)在从运动一到最后运动三结束时，整个过程共耗时 s； (2)在整个运动过程中，设与的重叠部分的面积为S（），求S与t之间的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围； (3)在整个运动过程中，是否存在某一时刻，点Q正好在线段的中垂线上，若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)10 (2) (3)存在，3.5或 【详解】（1）解：根据题意得， 运动一： 是等腰三角形，，， ， 运动一所用时间为：（秒）， 运动二： 当时暂停旋转， ， 运动二所用时间为：（秒）， 运动三： ， 运动三所用的时间为：（秒）， 整个过程共耗时（秒）； 故答案为：10； （2）解：运动一：如图2， 设为，则为， ， 与之间的函数关系式为：， 运动二：如图3，连接， 在和中， ， 与之间的函数关系式为：， 运动三：如图4， 可得四边形为矩形， ， ， ； 与之间的函数关系式为：， 综上可得，； （3）解：存在点，理由如下： 如图5，连接， 运动一： 点在线段的中垂线上， ， ， ，， 解得，， ， ， 此时，为：秒． 如图6， 运动二： 同理：， 过点作交于点，， 在中，， ， ； 运动三时，最大为， 所以无解． 综上，或时，点正好在线段的中垂线上． 变式4．（25-26九年级上·广西南宁·阶段练习）在矩形中，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒． (1)当t为何值时，的长度等于？ (2)是否存在t的值，使得五边形的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． (3)是否存在t的值，使的面积最大，若存在，请直接写出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)或2时，； (2)存在秒，能够使得五边形的面积等于．理由见解析 (3) 【详解】（1）解：由题意，得：， ∴， ∵矩形， ∴， ∴， ∴当时，， 解得：或； （2）存在，理由如下： ∵五边形的面积， ∴当五边形的面积等于时，， 解得：或， ∵点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动， ∴当点到达点时，， ∴， ∴当时，五边形的面积等于； （3）存在， ∵， ∵， ∴当时，的面积最大为． 考点三 二次函数与动态几何问题 例1．（25-26九年级上·贵州遵义·期中）某文具店销售一款进价为元/个的篮球，经统计发现，当销售单价不低于进价时，日销售量（个）与销售单价（元）之间满足如图所示的函数关系． (1)求与的函数关系式； (2)若文具店计划销售该款篮球每日获利元，且尽可能让利于顾客，求该款篮球的销售单价应定为多少元？ (3)该款篮球销售单价定为多少元时，文具店所获日销售利润最大，最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)该款篮球的销售单价应定60元 (3)该款篮球销售单价定为元时，文具店所获日销售利润最大，最大利润是多800元 【详解】（1）解：由图可知，设一次函数的解析式为， 把点和点代入，得 ，解得， ∴一次函数的解析式为； （2）解：设该款篮球的销售单价应定为元，根据题意得， ， 解得：，， ∵尽可能让利于顾客， ∴该款篮球的销售单价应定60元； （3）解：设文具店所获日销售利润为，根据题意得 ， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为800； ∴该款篮球销售单价定为元时，文具店所获日销售利润最大，最大利润是800元． 例2．（25-26九年级上·辽宁葫芦岛·期中）汴绣是流传于河南省开封市的传统美术，也是国家级非物质文化遗产之一，《东京梦华录》中有“金碧相射，锦绣交辉”之誉．某商店将每个进价为60元绣有不同图案的手包按每件100元出售，一天可售出20个．后来经过市场调查发现，这款手包的单价每降低1元，则销量可增加2个． (1)求商店经营这款手包原来一天可获得的利润为多少元； (2)求该款手包的单价降价多少元时，商店一天可获得的利润最大，最大利润是多少元？ 【答案】(1)商店经营这款手包原来一天可获得的利润为800元 (2)该款手包的单价降价为15元时，商店一天可获得的利润最大，最大利润是1250元 【详解】（1）解：由题意得，（元）， 答：商店经营这款手包原来一天可获得的利润为800元； （2）解：设该款手包的单价降价元，商店一天可获得的利润为元， ， ∵， ∴抛物线开口向下，w有最大值， ∴当时，w的最大值元， 答：该款手包的单价降价15元时，商店一天可获得的利润最大，最大利润是1250元． 例3．（25-26九年级上·江西赣州·期中）某商场销售儿童玩具，一天可售出20套，每套盈利30元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取降价措施．若一套玩具每降价1元，平均每天可多售出2套．设每套玩具降价x元时，商场一天可获利润y元． (1)求y关于x的函数表达式； (2)若要商场每天盈利672元，则需降价多少元？ (3)当每套玩具降价多少元时，商场一天可获最大利润？最大利润为多少？ 【答案】(1)； (2)需降价18元； (3)当每套玩具降价元时，商场一天可获最大利润，最大利润为元． 【详解】（1）解：设每套玩具降价x元时，商场一天可获利润y元． 则， 即y关于x的函数表达式为． （2）解：由题意得：， 整理得：， 解得：，， 为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存， ， 答：若要商场每天盈利672元，则需降价18元； （3）解：， ， 当时，有最大值为， 即当每套玩具降价元时，商场一天可获最大利润，最大利润为元． 例4．（25-26九年级上·安徽六安·期中）2025年7月26日至8月10日，霍邱县马店镇隆重举行了首届龙虾音乐节，某龙虾养殖大户为了发挥技术优势，一次性收购小龙虾，计划养殖一段时间后再出售．已知每天养殖龙虾的养殖成本相同，放养10天的总成本为83000元，放养30天的总成本为89000元．设这批小龙虾放养t天后的质量为，销售单价为y元/，根据往年的行情预测，a与t的函数关系为，y与t的函数关系如图所示． （总成本养殖成本收购成本；利润销售总额总成本） (1)求这批小龙虾的收购成本和每天养殖成本； (2)求y与之间的函数表达式； (3)如果将这批小龙虾放养t天后一次性出售所得利润为W元．问该龙虾养殖大户将这批小龙虾放养多少天后一次性出售所得利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)收购成本为80000元，每天养殖成本为300元 (2) (3)该龙虾养殖大户将这批小龙虾放养25天后一次性出售所得利润最大，最大利润是54250元 【详解】（1）解：设这批小龙虾的收购成本为m元，每天养殖成本为n元，根据题意得： ，解得： 答：这批小龙虾的收购成本为80000元，每天养殖成本为300元． （2）解：当时，设y与t之间的函数表达式为：， 由图可知：当时，；当时，；即， 解得：， ∴y与t之间的函数表达式为：； 当时，设y与t之间的函数表达式为：， 由图可知：当时，；当时，；即， 解得：， ∴y与t之间的函数表达式为：； 综上所述，y与t之间的表达式为：； （3）解：由题意可得：， 当时，，即， ∵， ∴时，W最大，； 当时，， 即 ∵， ∴时，W最大，． 答：该龙虾养殖大户将这批小龙虾放养25天后一次性出售所得利润最大，最大利润是54250元． 变式1．（25-26九年级上·江苏无锡·月考）某商场销售杭州亚运会吉祥物“宸宸”，进货价为40元/件．当售价为60元/件时，每天的销售量为300件．在销售过程中发现：销售单价每上涨2元，每天的销售量就减少20件．设销售价格上涨x元/件（x为偶数），每天的销售量为y件． (1)当销售价格上涨4元时，每天对应的销售量为________件．请直接写出y与x的函数关系式________； (2)设每天的销售利润为w元，为了让利于顾客，则每件商品的销售单价定为多少元时，每天获得的利润最大，最大利润是多少？ 【答案】(1)260， (2)每件商品的销售单价定为64元时，每天获得的利润最大，最大利润是6240元 【详解】（1）解：∵销售单价每上涨2元，每天的销售量就减少20件． ∴（件）， ∴当销售价格上涨4元时，每天对应的销售量为260件； ∵设销售价格上涨x元/件（x为偶数），每天的销售量为y件， ∴， （2）解：依题意，设每天的销售利润为w元， ∴ ∵， ∴开口方向向下，对称轴为直线 ∵x为偶数 ∴当或时，有最大值， ∵为了让利于顾客， ∴舍去， ∴把代入， 得， 则（元）， ∴每件商品的销售单价定为64元时，每天获得的利润最大，最大利润是6240元． 变式2．（25-26九年级上·广东江门·期中）某水果批发商场销售一种高档水果，如果每千克进价40元，每千克售价50元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下．若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克． (1)现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，每千克应涨价多少元？ (2)每千克水果涨价多少元时，商场每天获得的利润最大？获得的最大利润是多少元？ 【答案】(1) 每千克应涨价元 (2) 每千克水果涨价元时，商场每天获得的利润最大，最大利润是元 【详解】（1）解：设每千克水果应涨价元， 依题意列方程得：， 整理，得， 解这个方程，得， 要使顾客得到实惠，应取， 答：每千克应涨价元． （2）解：设每千克水果应涨价元，商场的利润为， 根据题意得 ． ∴当时，取得最大值为． 答：每千克水果涨价元时，商场每天获得的利润最大，最大利润是元． 变式3．（25-26九年级上·青海西宁·期中）经过调查往年的统计数据发现，云南省批发“阳光玫瑰葡萄”的最低价格为每斤15元若按每斤30元的价格到市区销售，平均每天可售出60斤若每斤“阳光玫瑰葡萄”的售价每降低1元，那么平均每天的销售量会增加10斤，为了尽快减少库存，该水果商决定降价销售． (1)若该经销商计划销售“阳光玫瑰葡萄”每天盈利1100元，那么每斤“阳光玫瑰葡萄”的售价应降至每斤多少元？（其它成本忽略不计） (2)将商品的销售单价定为多少元时，商场每天销售该商品获得的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1) “阳光玫瑰葡萄”的售价应降至每斤25元或26元 (2) 将商品的销售单价定为元时，商场每天销售该商品获得的利润w最大，最大利润是元 【详解】（1）解：设每斤“阳光玫瑰葡萄”应降价x元， 根据题意得：， 整理得：， 解得， ∵为了尽快减少库存， ∴或， 此时或， 答：“阳光玫瑰葡萄”的售价应降至每斤25元或26元； （2）解：设水果商每天获得的利润为w元， 根据题意得： ， ∵， ∴当时，w有最大值，最大值为1102.5， 此时， 答：将商品的销售单价定为元时，商场每天销售该商品获得的利润w最大，最大利润是元． 变式4．（25-26九年级上·江苏泰州·期中）某桶装水公司每天的房租、水电费、人员工资等固定成本为250元，每桶水的进价是5元，规定销售单价不得高于12元，也不得低于7元，调查发现日均销售量y（桶）与销售单价x（元）的函数图象如图所示． (1)求日均销售量y（桶）与销售单价x（元）的函数关系式； (2)设日均获利为w（元），求销售单价x多少元时，w达到最大，w最大多少元． 【答案】(1) (2)销售单价x为11元时，w达到最大，w最大为1550元 【详解】（1）解：设日均销售量y（桶）与销售单价x（元）的函数关系式为（），根据题意得， ， 解得， ∴， 所以，日均销售量y（桶）与销售单价x（元）的函数关系式为； （2）解：设销售单价x元，日均获利为w元，根据题意得， ， ， ∵，且， ∴当时，有最大值，最大为． 2 学科网（北京）股份有限公司 $