相似三角形的判定、相似三角形的实际应用、动态几何中的相似问题专项训练-2025-2026学年人教版九年级数学下册

相似三角形的判定、相似三角形的实际应用、动态几何中的相似问题专项训练 相似三角形的判定、相似三角形的实际应用、动态几何中的相似问题专项训练 考点目录 相似三角形的判定 相似三角形的实际应用 动态几何中的相似问题 考点一 相似三角形的判定 例1．（25-26九年级上·浙江杭州·月考）如图，锐角中，，是边上的高线，在边上取点E，使．，与交于点F． (1)求证：． (2)若F为的中点，的面积为1，求和的面积． 【答案】(1)见解析 (2)的面积是4．△的面积是6 【详解】（1）证明：是边上的高线， 于点， 在边上取点，与交于点， ， ， ， △△． （2）解：为的中点，△的面积为1， ， ，， △△． ， ， ， △的面积是6． 例2．（25-26九年级上·吉林松原·期中）如图，在等边三角形中，是边上任意一点，且． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明过程见解析； (2)的长为． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵是等边三角形，，， ∴， ∴， 由（1）知， ∴， ∴， ∴． ∴的长为． 例3．（25-26九年级上·安徽合肥·月考）如图：D是的边上的一点，连接，已知． (1)求证：△ABD∽△ACB； (2)若，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)9 【详解】（1）证明：，， ． （2）解：， ， ∴，解得：． 例4．（25-26九年级上·湖南株洲·期中）如图，四边形是某校一块学农基地，其中是蔬菜园，是水果园，已知． (1)求证：： (2)若蔬菜园的面积为，求水果园的面积． 【答案】(1)见详解 (2) 【详解】（1）证明：∵， ∴，， ∴， ∴； （2）解：由（1）可知：，且相似比为， ∴， ∵， ∴． 变式1．（25-26九年级上·山东菏泽·期中）如图，正方形边长为，点为对角线上一点，，点在边上以的速度由点向点运动，同时点在边上以的速度由点向点运动，设运动时间为秒（）． (1)求证：； (2)当是直角三角形时，求的值． 【答案】(1)见解析； (2)秒或2秒． 【详解】（1）证明：四边形是正方形， ． ， ． （2）解：过点E作于点M，过点E作于点N． ∵正方形中，， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴均为等腰直角三角形， ∴ ∵，， ∴ ，即， ，即， ，即．          ①当时，有． 即， 整理得． 解得（不合题意，舍去）．              ②当时，有． 即， 整理得， 解得． ③当时，有． 即， 整理得， ∵ ∴该方程无实数解． 综上所述，当是直角三角形时，t的值为秒或2秒． 变式2．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，点D，E分别在边上且，连接，． (1)求证：． (2)若点E为中点，，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：∵， ∴， 又∵， ∴； （2）解：∵点E为中点，， ∴， ∵， ∴， 根据解析（1）可知：， ∴， 解得：， ∴． 变式3．（25-26九年级上·江苏泰州·期中）如图，在中，，D是的中点，点E在的延长线上，点F在边上，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴． （2）解：∵， ∴ 又∵D是的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 变式4．（25-26九年级上·安徽六安·月考）如图，在矩形中，E点在边上，连接，且． (1)求证：； (2)F为延长线上一点，满足，连接交于点G．若，，求矩形面积和的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)矩形的面积为10，的长为 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴矩形的面积为10，的长为． 考点二 相似三角形的实际应用 例1．（25-26九年级上·辽宁盘锦·月考）国庆期间某同学去某古楼游玩．想测量该楼的高度，测量方案及相关数据如下： 测量方案及示意图 测量步骤 步骤 把米长的标杆垂直立于地面点处，后退米到点处，此时楼顶端、标杆顶端和点正好处于同一直线； 步骤 再将此标杆垂直立于地面点处（其中米），后退米到点处，此时楼顶端、标杆顶端和点正好处于同一直线． 备注 点，，，，均在同一水平直线上． (1)若米，只根据步骤中的测量信息，计算楼的高度； (2)结合步骤和步骤中的测量信息，计算楼的高度． 【答案】(1)楼的高度为米 (2)楼的高度为米 【详解】（1）解：由题意得，，米，米， （米），， ， ，即， ． 答：楼的高度为米． （2）解：设米， 由题意得米，米，米，米，，，， ， ，， ， ，即， ， （米）， ， ，即， 解得， 即（米）． 答：楼的高度为米． 例2．（25-26九年级上·四川达州·月考）小明和小华利用阳光下的影子来测量一建筑物顶部的旗杆顶端到地面的高度．如图，在某一时刻，他们在阳光下分别测得的影长，小明的影长，其中点，，，在同一直线上，点，在同一直线上，且，．已知小明的身高，求旗杆顶端到地面的高度． 【答案】旗杆顶端到地面的高度为 【详解】解：∵，， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴, ∴， 答：旗杆顶端到地面的高度为． 例3．（25-26九年级上·陕西西安·期中）通常，路灯、台灯、手电筒……的光可以看成是从一个点发出的，在点光源的照射下，物体所产生的投影称为中心投影． 如图，河对岸有一灯杆， 在灯光下，小明在点 D 处测得自己的影长，沿方向前进到达点F处测得自己的影长 ． 已知小明的身高为 ，求灯杆的高度． 【答案】 【详解】解：由题意，可知：，， ∵， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， 解得：， 把代入， 解得：． 例4．（25-26九年级上·河南濮阳·月考）万佛楼位于陕西省榆林市境内，创建于清康熙二十七年．某数学小组的成员想利用所学知识测量万佛楼的高度（如图）．首先，该小组成员在点处测得万佛楼的顶端的仰角；随后，该小组成员从点处移动16米到达点处（即米），在点处竖立一根高为2米的标杆，此时，万佛楼在太阳光下的影子末端与标杆在太阳光下的影子末端恰好重合于地面上的点处．经测量知米，已知，，点、、、在同一直线上，图中所有点均在同一平面内，请你帮助该数学小组的成员求出万佛楼的高度．（参考数据：，，） 【答案】万佛楼的高度为18米 【详解】解：，， ， ， ， ，即①， ，， ②， 联立①②得：， 万佛楼的高度为18米． 变式1．（25-26九年级上·四川成都·期中）为了测量路灯的的高度，小明从灯杆底部点沿人行道垂直方向拉一卷尺到处，在，之间水平放置一平面镜；移动镜子的位置，当镜子在点时，小明能在镜中看到灯的点；当镜子在点，小明能在镜中看到灯的点；其视线如图所示；，，三点共线，且，．已知小明的眼睛离地面的高度，，，，． (1)求线段和灯杆的高度； (2)求长． 【答案】(1)，； (2)路灯的长约为． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴， 根据反射可得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图，过作于，则四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴， 答：路灯的长约为． 变式2．（25-26九年级上·甘肃甘南·月考）万佛楼位于陕西省榆林市境内，创建于清康熙二十七年．某数学小组的成员想利用所学知识测量万佛楼的高度（如图）．首先，该小组成员在点处测得万佛楼的顶端的仰角；随后，该小组成员从点处移动16米到达点处（即米），在点处竖立一根高为2米的标杆，此时，万佛楼在太阳光下的影子末端与标杆在太阳光下的影子末端恰好重合于地面上的点处．经测量知米，已知，，点、、、在同一直线上，图中所有点均在同一平面内，请你帮助该数学小组的成员求出万佛楼的高度．（参考数据：，，） 【答案】18米 【详解】解：，，， ， ， ， 即， ∴ ，， ， ∴， 万佛楼的高度为18米． 变式3．（25-26九年级上·安徽蚌埠·期中）某校数学兴趣小组进行数学实践活动．如图，每个小组选一名同学作为观测者，在观测者与旗杆之间的地面上直立一根高度适当的标杆．观测者适当调整自己所处的位置，使旗杆的顶端、标杆的顶端与自己的眼睛恰好在一条直线上，这时其他同学立即测出观测者的脚到旗杆底端的距离，以及观测者的脚到标杆底端的距离，然后算出旗杆的高． 数学兴趣小组的同学记录了相关数据，标杆的高为，观测者的脚离标杆底部的距离为，离旗杆底部的距离为，观测者的眼离地面的高度为，那么旗杆的高为多少米？ 【答案】 【详解】解：如图所示，过点A作于H，交于G， 由题意得，， ∴， ∴， ∴四边形和四边形都是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 答：旗杆的高为． 变式4．（25-26九年级上·山东日照·月考）课本中有一道作业题，有一块三角形余料，它的边，高．要把它加工成正方形零件如图1，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在，上，交于点， (1)加工成的正方形零件的边长为多少？ (2)如果原题中所要加工的零件只是一个矩形，如图2，这样，此矩形零件的相邻两边长就不能确定，但这个矩形的面积有最大值，求这个矩形面积的最大值； (3)如图3，小颖想如果这块余料形状改为的斜板，已知，，，要把它加工成一个形状为平行四边形的工件，使在上，、两点分别在上，且，则平行四边形的面积为多少？ 【答案】(1)加工成的正方形零件的边长为 (2)这个矩形面积的最大值是 (3)平行四边形的面积为 【详解】（1）解：当加工零件是正方形时，，，， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴设，则， ∵， ∴， ∴，即， 解得，， ∴加工成的正方形零件的边长为； （2）解：根据题意，四边形是矩形，四边形是矩形，，， 设，则， ∴，即， ∴， ∵，， ∴当时，有最大值，最大值为， ∴这个矩形面积的最大值是； （3）解：如图所示，过点作于点，交于点， 同理，，， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得，， ∴， ∴平行四边形的面积为． 考点三 动态几何中的相似问题 例1．（25-26九年级上·山东日照·月考）如图，在直角三角形中，直角边，．设P，Q分别为上的动点，在点P自点A沿方向向B作匀速移动的同时，点Q自点B沿方向向点C作匀速移动，它们移动的速度均为每秒，当Q点到达C点时，P点就停止移动．设P，Q移动的时间t秒． (1)______ ，______ （用含t的代数式表示）． (2)当t为何值时，与相似？并说明理由． (3)当______时，是等腰三角形． 【答案】(1)5， (2)当t为秒或秒时，与相似，理由见详解 (3)当秒或秒或秒，是等腰三角形． 【详解】（1）解：∵在直角三角形中，直角边，． ∴， ∵ 在点P自点A沿方向向B作匀速移动，移动的速度为每秒， ∴； （2）解：当t为或时，与相似，理由如下： ∵点Q自点B沿方向向点C作匀速移动，移动的速度为每秒， ∴， 由（1）得，， ∵， 故当时，则， ∵ ∴， ∴； ∵， 故当时，则， ∵ ∴， ∴； 综上：当t为或时，与相似． （3）解：由（2）得， 由（1）得，， 依题意，当时，如图所示： 则， 解得； 依题意，当时，如图所示： 过点P作， ∴ ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 则， 解得， 依题意，当时，如图所示： 过点Q作， 则， ∵， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得； 综上：当秒或秒或秒，是等腰三角形． 例2．（25-26九年级上·江苏连云港·月考）如图，在矩形中，，点E、F、G分别从点A、B、C三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向移动，点E、G的速度均为，点F的速度为，当点F追上点G（即点F与点G重合）时，三个点随之停止移动．设移动开始后第t秒时，的面积为． (1)求出S和t之间的函数关系式，并指出自变量t的取值范围； (2)若点F在矩形的边上移动，当t为何值时，以点E、B、F为顶点的三角形与以点F、C、G为顶点的三角形相似？请说明理由． 【答案】(1) (2)为秒或秒，以点E、B、F为顶点的三角形与以点F、C、G为顶点的三角形相似，理由见解析 【详解】（1）解：∵点、、分别从点、、三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向移动，点、的速度均为，点的速度为，在矩形中，，， ∴，，， ①当在上，即时，如图： ，，， ，，， ； ②当在上时，由解得， 追上所用时间是， 此时， 如图： ，， ， ， 综上所述，； （2）解：当为秒或秒，以点E、B、F为顶点的三角形与以点F、C、G为顶点的三角形相似，理由见解析 如图： ， 以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形相似，只需或， 当时，， 解得， 当时，， 解得， 综上所述，当为或时，以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形相似． 例3．（25-26九年级上·四川宜宾·期中）如图，在中，．点P沿边从点A开始向点C移动，移动的时间用表示，点Q沿边从点B向点A移动，它们的移动速度都是． (1)如果P、Q同时出发，当t为何值时，？ (2)如果点Q比点P提前2秒移动，当t为何值时，以点A、P、Q为顶点的三角形与相似？ (3)如果点Q比点P提前4秒移动，当t为何值时，P与Q的距离是？ 【答案】(1)； (2)或； (3)或． 【详解】（1）解：根据题意，得，， 又， 故． 则 又， 故， 解得． （2）解：根据题意，，， 则，根据（1）解答可得， 由以点A、P、Q为顶点的三角形与相似，得到是直角三角形， 当时，， 故， 解得； 当时，， 故， 解得； 故当t为或时，以点A、P、Q为顶点的三角形与相似． （3）解：根据题意，，， 则，， 当表示点P到的距离时，根据勾股定理，得， 解得； 当表示点Q到的距离时，根据勾股定理，得； 解得； 综上所述，点P运动或时，P与Q的距离是． 例4．（25-26九年级上·四川内江·月考）如图，在矩形中，，，动点P从点D出发沿向终点A运动，同时动点Q从点A出发沿对角线向终点C运动．过点P作，交于点E，动点P、Q的运动速度是每秒2个单位长度，当点P运动到点A时，P、Q两点同时停止运动．设运动时间为t秒． (1)当时，求的长； (2)当t为何值时，与相似？ (3)是否存在这样的点P和点Q，使P、Q、E为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出满足条件的t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)当时，与相似 (3)存在，t的值为或或 【详解】（1）解：∵四边形是矩形，， ∴，，，， ∴， 由题意得：，则有，t的取值范围为， ∴当时，则有， ∵， ∴， ∴，即， ∴； （2）解：由（1）可知：，，， ∴，即， ∴，， ∵， ∴ ∴ 当时，则有 ∴，即， 解得：，（不符合题意，舍去）； 当时，则有，此时， ∵， ∴点C、Q重合，则， ∴，与相矛盾，故此种情况不成立； 综上所述：当时，与相似； （3）解：存在，当时，如图1，作于点H，则， ∵， ∴， ∴， 由得， 解得； 当时，如图2， 由（2）可知：， ∴， ∴， 解得； 当时，如图3，则， ， ∵， ∴， ∴， 由得， 解得， 综上所述，t的值为或或． 变式1．（25-26九年级上·河北沧州·期中）如图-1，在中，，，． (1)求边的长； (2)动点从点出发沿折线以每秒2个单位长度的速度运动．同时动点从点出发、沿向点以每秒1个单位长度的速度运动，连接．当，中有一个点停止运动时另一点也停止运动，设运动时间为（秒）． ①当时，求的值； ②如图，点在边上运动，当与相似时，求的长； ③如图，点在边上运动，过点作于点，连接，．当时，直接写出线段的长． 【答案】(1) (2)①；②或；③ 【详解】（1）解：∵，，． ∴在中，； （2）解：①由（1）得， 在中，可得， ∵动点从点出发沿折线以每秒2个单位长度的速度运动．同时动点从点出发、沿向点以每秒1个单位长度的速度运动，设运动时间为（秒）． ∴，， 当点在边上运动时，， ∵， ∴， 即， 解得； ②点在边上运动， 当与相似时， 分以下两种情况： 情况1：如图1， 当时， 则， 即， 解得， ； 情况2：如图2，当时， 则， 此时， 即， 解得， ； 综上，的长为或； ③， ， ， ， 即， .， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ， ， 则， 整理得， 解得，， ∵当时，则，此时点与点重合，不存在，故舍去． 此时的长为． 变式2．（25-26九年级上·黑龙江绥化·期中）如图，在钝角三角形中，，，点D从点A出发沿以的速度向点B移动，点E从点C出发沿以的速度向A点移动，如果两点同时移动，经过多少秒时，以A、D、E为顶点与相似． 【答案】经过或时，以A、D、E为顶点与相似 【详解】解：根据题意，点D从点A出发到点的时间为，点E从点C出发到点的时间为， 设运动时间为， ∴， 当时，， ∴， 解得，； 当时，， ∴， 解得，； 综上所述，经过或时，以A、D、E为顶点与相似． 变式3．（25-26九年级上·陕西西安·期中）如图，已知矩形中，，．某一时刻，动点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动；同时，动点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动． (1)经过多长时间，的面积等于矩形面积的？ (2)是否存在时刻，使以，，为顶点的三角形与相似？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)秒或秒 (2)存在，秒或秒 【详解】（1）解：设经过秒，的面积等于矩形面积的， 由题意得，，， ∵矩形中，， ∴，，， ∴矩形的面积为：， ∴的面积， ∴， 解得：，， 答：经过秒或秒，的面积等于矩形面积的； （2）由题意得，，， 若， 则有， ∴， 解得：， 若， 则有， ∴， 解得：， 答：当秒或秒时，以、、为顶点的三角形与相似． 变式4．（25-26九年级上·甘肃天水·期中）如图所示，在中，，点在上，点在上，且，，，，动点从点出发，沿边以每秒2个单位的速度向终点运动，同时动点从点出发，在线段上以每秒1个单位的速度向终点运动，设运动时间为秒． (1)线段的长______； (2)当与相似时，求的值． 【答案】(1)6 (2) 【详解】（1）解：如图，过点E作于点H， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， 在中，， ∴， ∴； （2）解：根据题意得：，，且， ∴，， 当时，， 即， 解得：或（不合题意，舍去）； 当时，， 即， 解并检验得（不合题意，舍去）或（是增根，舍去）． 综上，的值为． 2 学科网（北京）股份有限公司 $相似三角形的判定、相似三角形的实际应用、动态几何中的相似问题专项训练 相似三角形的判定、相似三角形的实际应用、动态几何中的相似问题专项训练 考点目录 相似三角形的判定 相似三角形的实际应用 动态几何中的相似问题 考点一 相似三角形的判定 例1．（25-26九年级上·浙江杭州·月考）如图，锐角中，，是边上的高线，在边上取点E，使．，与交于点F． (1)求证：． (2)若F为的中点，的面积为1，求和的面积． 例2．（25-26九年级上·吉林松原·期中）如图，在等边三角形中，是边上任意一点，且． (1)求证：； (2)若，，求的长． 例3．（25-26九年级上·安徽合肥·月考）如图：D是的边上的一点，连接，已知． (1)求证：△ABD∽△ACB； (2)若，求线段的长． 例4．（25-26九年级上·湖南株洲·期中）如图，四边形是某校一块学农基地，其中是蔬菜园，是水果园，已知． (1)求证：： (2)若蔬菜园的面积为，求水果园的面积． 变式1．（25-26九年级上·山东菏泽·期中）如图，正方形边长为，点为对角线上一点，，点在边上以的速度由点向点运动，同时点在边上以的速度由点向点运动，设运动时间为秒（）． (1)求证：； (2)当是直角三角形时，求的值． 变式2．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，点D，E分别在边上且，连接，． (1)求证：． (2)若点E为中点，，若，求的长． 变式3．（25-26九年级上·江苏泰州·期中）如图，在中，，D是的中点，点E在的延长线上，点F在边上，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 变式4．（25-26九年级上·安徽六安·月考）如图，在矩形中，E点在边上，连接，且． (1)求证：； (2)F为延长线上一点，满足，连接交于点G．若，，求矩形面积和的长． 考点二 相似三角形的实际应用 例1．（25-26九年级上·辽宁盘锦·月考）国庆期间某同学去某古楼游玩．想测量该楼的高度，测量方案及相关数据如下： 测量方案及示意图 测量步骤 步骤 把米长的标杆垂直立于地面点处，后退米到点处，此时楼顶端、标杆顶端和点正好处于同一直线； 步骤 再将此标杆垂直立于地面点处（其中米），后退米到点处，此时楼顶端、标杆顶端和点正好处于同一直线． 备注 点，，，，均在同一水平直线上． (1)若米，只根据步骤中的测量信息，计算楼的高度； (2)结合步骤和步骤中的测量信息，计算楼的高度． 例2．（25-26九年级上·四川达州·月考）小明和小华利用阳光下的影子来测量一建筑物顶部的旗杆顶端到地面的高度．如图，在某一时刻，他们在阳光下分别测得的影长，小明的影长，其中点，，，在同一直线上，点，在同一直线上，且，．已知小明的身高，求旗杆顶端到地面的高度． 例3．（25-26九年级上·陕西西安·期中）通常，路灯、台灯、手电筒……的光可以看成是从一个点发出的，在点光源的照射下，物体所产生的投影称为中心投影． 如图，河对岸有一灯杆， 在灯光下，小明在点 D 处测得自己的影长，沿方向前进到达点F处测得自己的影长 ． 已知小明的身高为 ，求灯杆的高度． 例4．（25-26九年级上·河南濮阳·月考）万佛楼位于陕西省榆林市境内，创建于清康熙二十七年．某数学小组的成员想利用所学知识测量万佛楼的高度（如图）．首先，该小组成员在点处测得万佛楼的顶端的仰角；随后，该小组成员从点处移动16米到达点处（即米），在点处竖立一根高为2米的标杆，此时，万佛楼在太阳光下的影子末端与标杆在太阳光下的影子末端恰好重合于地面上的点处．经测量知米，已知，，点、、、在同一直线上，图中所有点均在同一平面内，请你帮助该数学小组的成员求出万佛楼的高度．（参考数据：，，） 变式1．（25-26九年级上·四川成都·期中）为了测量路灯的的高度，小明从灯杆底部点沿人行道垂直方向拉一卷尺到处，在，之间水平放置一平面镜；移动镜子的位置，当镜子在点时，小明能在镜中看到灯的点；当镜子在点，小明能在镜中看到灯的点；其视线如图所示；，，三点共线，且，．已知小明的眼睛离地面的高度，，，，． (1)求线段和灯杆的高度； (2)求长． 变式2．（25-26九年级上·甘肃甘南·月考）万佛楼位于陕西省榆林市境内，创建于清康熙二十七年．某数学小组的成员想利用所学知识测量万佛楼的高度（如图）．首先，该小组成员在点处测得万佛楼的顶端的仰角；随后，该小组成员从点处移动16米到达点处（即米），在点处竖立一根高为2米的标杆，此时，万佛楼在太阳光下的影子末端与标杆在太阳光下的影子末端恰好重合于地面上的点处．经测量知米，已知，，点、、、在同一直线上，图中所有点均在同一平面内，请你帮助该数学小组的成员求出万佛楼的高度．（参考数据：，，） 变式3．（25-26九年级上·安徽蚌埠·期中）某校数学兴趣小组进行数学实践活动．如图，每个小组选一名同学作为观测者，在观测者与旗杆之间的地面上直立一根高度适当的标杆．观测者适当调整自己所处的位置，使旗杆的顶端、标杆的顶端与自己的眼睛恰好在一条直线上，这时其他同学立即测出观测者的脚到旗杆底端的距离，以及观测者的脚到标杆底端的距离，然后算出旗杆的高． 数学兴趣小组的同学记录了相关数据，标杆的高为，观测者的脚离标杆底部的距离为，离旗杆底部的距离为，观测者的眼离地面的高度为，那么旗杆的高为多少米？ 变式4．（25-26九年级上·山东日照·月考）课本中有一道作业题，有一块三角形余料，它的边，高．要把它加工成正方形零件如图1，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在，上，交于点， (1)加工成的正方形零件的边长为多少？ (2)如果原题中所要加工的零件只是一个矩形，如图2，这样，此矩形零件的相邻两边长就不能确定，但这个矩形的面积有最大值，求这个矩形面积的最大值； (3)如图3，小颖想如果这块余料形状改为的斜板，已知，，，要把它加工成一个形状为平行四边形的工件，使在上，、两点分别在上，且，则平行四边形的面积为多少？ 考点三 动态几何中的相似问题 例1．（25-26九年级上·山东日照·月考）如图，在直角三角形中，直角边，．设P，Q分别为上的动点，在点P自点A沿方向向B作匀速移动的同时，点Q自点B沿方向向点C作匀速移动，它们移动的速度均为每秒，当Q点到达C点时，P点就停止移动．设P，Q移动的时间t秒． (1)______ ，______ （用含t的代数式表示）． (2)当t为何值时，与相似？并说明理由． (3)当______时，是等腰三角形． 例2．（25-26九年级上·江苏连云港·月考）如图，在矩形中，，点E、F、G分别从点A、B、C三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向移动，点E、G的速度均为，点F的速度为，当点F追上点G（即点F与点G重合）时，三个点随之停止移动．设移动开始后第t秒时，的面积为． (1)求出S和t之间的函数关系式，并指出自变量t的取值范围； (2)若点F在矩形的边上移动，当t为何值时，以点E、B、F为顶点的三角形与以点F、C、G为顶点的三角形相似？请说明理由． 例3．（25-26九年级上·四川宜宾·期中）如图，在中，．点P沿边从点A开始向点C移动，移动的时间用表示，点Q沿边从点B向点A移动，它们的移动速度都是． (1)如果P、Q同时出发，当t为何值时，？ (2)如果点Q比点P提前2秒移动，当t为何值时，以点A、P、Q为顶点的三角形与相似？ (3)如果点Q比点P提前4秒移动，当t为何值时，P与Q的距离是？ 例4．（25-26九年级上·四川内江·月考）如图，在矩形中，，，动点P从点D出发沿向终点A运动，同时动点Q从点A出发沿对角线向终点C运动．过点P作，交于点E，动点P、Q的运动速度是每秒2个单位长度，当点P运动到点A时，P、Q两点同时停止运动．设运动时间为t秒． (1)当时，求的长； (2)当t为何值时，与相似？ (3)是否存在这样的点P和点Q，使P、Q、E为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出满足条件的t的值；若不存在，请说明理由． 变式1．（25-26九年级上·河北沧州·期中）如图-1，在中，，，． (1)求边的长； (2)动点从点出发沿折线以每秒2个单位长度的速度运动．同时动点从点出发、沿向点以每秒1个单位长度的速度运动，连接．当，中有一个点停止运动时另一点也停止运动，设运动时间为（秒）． ①当时，求的值； ②如图，点在边上运动，当与相似时，求的长； ③如图，点在边上运动，过点作于点，连接，．当时，直接写出线段的长． 变式2．（25-26九年级上·黑龙江绥化·期中）如图，在钝角三角形中，，，点D从点A出发沿以的速度向点B移动，点E从点C出发沿以的速度向A点移动，如果两点同时移动，经过多少秒时，以A、D、E为顶点与相似． 变式3．（25-26九年级上·陕西西安·期中）如图，已知矩形中，，．某一时刻，动点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动；同时，动点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动． (1)经过多长时间，的面积等于矩形面积的？ (2)是否存在时刻，使以，，为顶点的三角形与相似？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 变式4．（25-26九年级上·甘肃天水·期中）如图所示，在中，，点在上，点在上，且，，，，动点从点出发，沿边以每秒2个单位的速度向终点运动，同时动点从点出发，在线段上以每秒1个单位的速度向终点运动，设运动时间为秒． (1)线段的长______； (2)当与相似时，求的值． 2 学科网（北京）股份有限公司 $