平面向量的线性运算、数量积及坐标运算专项训练-2026届高三数学二轮复习

平面向量的线性运算、平面向量的数量积、平面向量的坐标运算专项训练 平面向量的线性运算、平面向量的数量积、平面向量的坐标运算专项训练 考点目录 平面向量的线性运算 平面向量的数量积 平面向量的坐标运算 考点一 平面向量的线性运算 例1．（25-26高一上·辽宁辽阳·期末）如图，在平行四边形中，F为的中点，，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为在平行四边形中，F为的中点，， 所以. 故选：B. 例2．（24-25高一下·重庆渝中·月考）已知向量，，，若，，三点共线，则实数的值为（   ） A． B． C． D．1 【答案】C 【详解】由，，，得， 由，，三点共线，得存在实数，使得，即， 因此，解得. 故选：C 例3．（25-26高一上·云南昆明·期末·多选）中，，点满足，设，则（    ） A．若为的重心，则 B．若为的内心，则 C．若为的垂心，则 D．若为的外心，则 【答案】ABC 【详解】如图以中点为原点，为轴建立平面直角坐标系， 则，，，，， 对于A，若为的重心，则，，即， 所以， 若，则，解得， 此时，A说法正确； 对于B，若为的内心，由点到，的距离相等可知在上， 设内切圆的半径为，则， 即，解得，所以，， 若，则，解得， 此时，B说法正确； 对于C，若为的垂心，由可知在上， 设，则，解得， 所以，， 若，则，解得， 此时，C说法正确； 对于D，若为的外心，由可知在上， 设，则，即，解得， 所以，， 若，则，解得， 此时，D说法错误； 故选：ABC 例4．（25-26高一上·山东日照·期末）如图，在中，，是上的一点，若，则实数的值为 . 【答案】/0.25 【详解】由题意及图，， 又，所以， 所以， 又，所以，解得m，t． 故答案为：． 例5．（24-25高一下·河北·期末）在直角三角形中，角所对的边分别为，是所在平面内一点.若，则以下说法正确的是 （填写序号）. ①若为的重心，则    ②若为的外心，则 ③若为的垂心，则    ④若为的内心，则 【答案】②③④ 【详解】对于①，直角三角形中，为中点，的重心为，如图所示， ， 则，故①错误； 对于②，直角三角形中，的外心为，则为中点，如图所示， ，则，故②正确； 对于③，直角三角形中，的垂心为，则与点重合，， 则，故③正确； 对于④，直角三角形中，的内心为，则点是三角形内角平分线交点，直角三角形中，角的对边分别为，设内切圆半径为， 则，得， ， 则，故④正确. 故答案为：②③④. 变式1．（2026·四川绵阳·二模）在中，，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由可得点是的中点，根据平行四边形法则：，即.    故选：D. 变式2．（25-26高三上·北京西城·期末）在平行四边形中，为的中点．记，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为四边形是平行四边形，所以， 又因为为的中点，所以， 在平行四边形中，， . 故选：A. 变式3．（2026·河北·模拟预测·多选）如图，在梯形中，，．且 为的中点．若 ，，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】对于A：，故选项 A 正确； 对于B：由 知 在 上，且 ，则 ， 计算得：，故选项B错误； 对于C： 为 中点，则 ，于是： ，故选项C正确； 对于D： ，其中 ， 则：，故选项 D 正确. 故选：ACD 变式4．（24-25高一下·内蒙古巴彦淖尔·期末）在中，，E是线段的中点，过点E的直线分别与线段，交于点M，N，若，，则 . 【答案】 【详解】因为，所以， 所以， 又因为E是线段的中点，所以 因为，，所以， 又因为三点共线，所以，解得.    故答案为：. 变式5．（24-25高一下·河北秦皇岛·期末）如图，在△ABC中，，若，则x＋y＝ . 【答案】/ 【详解】因为，所以， 因为，所以， 所以， 所以. 因为 所以. 故答案为： 考点二 平面向量的数量积 例1．（25-26高二上·云南昆明·期末）在中，为的中点，则（    ） A．0 B．16 C．40 D．32 【答案】D 【详解】在中，由，得，则， 由为的中点，得， 所以. 故选：D 例2．（25-26高三上·贵州贵阳·期末）已知点为外接圆的圆心，且，则（   ） A． B． C．7 D．14 【答案】A 【详解】取中点为，连接， 因为点为外接圆的圆心， 所以， 同理可得， 则. 故选：A． 例3．（25-26高三上·湖北·期末）已知向量满足在上的投影向量是，则的最小值为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】A 【详解】因为，在上的投影向量是，所以，则， 则， 因为，所以， 则的最小值为. 故选：A 例4．（25-26高一上·新疆乌鲁木齐·期末）在中，，，，D为BC中点，则 ． 【答案】 【详解】∵D为BC中点，∴， ∵，∴，即，∴， ∴. 故答案为：. 例5．（25-26高三上·河北秦皇岛·月考）已知向量是单位向量，，若，则在上的投影向量为 . 【答案】 【详解】由，得，而向量是单位向量，则， 由，得，所以在上的投影向量为. 故答案为： 例6．（2026·山东济南·一模）若向量满足，且，则的值为 . 【答案】 【详解】因为，所以两边平方得，则， 因为，所以. 故答案为： 变式1．（25-26高三上·湖北·期末）已知向量满足在上的投影向量是，则的最小值为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】A 【详解】因为，在上的投影向量是，所以， 则， 因为，所以， 则的最小值为. 故选：A 变式2．（25-26高三上·陕西咸阳·期末）已知向量，满足，，且，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，得，又， 所以，，且, 所以， 故选：C. 变式3．（25-26高三上·安徽滁州·期末）已知平面向量，满足，，则向量在向量上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，， 所以，即， 也即， 解得：， 所以， 由向量在向量上的投影向量为： ， 故选：A. 变式4．（25-26高一上·广东深圳·期末）若平面向量，满足，，则当最小时， ；记与的夹角为，则的最大值为 . 【答案】 1 【详解】因为平面向量，满足，所以等式两边平方得 ，展开化简得. 因为，所以. 所以， 设向量的夹角为时，， 所以，所以. 由于取最小值时，取最大值， 所以此时，所以. 因为，所以. 所以. 令 ，则 ，令 ，则 . 由基本不等式，当 即 时， 取得最大值 . 故答案为：①1；②. 变式5．（25-26高三上·天津滨海新区·月考）已知平行四边形，，点满足，记．用表示 ；若，则 ． 【答案】 ； 【详解】如下图所示：    根据题意可知 ； 易知 ； 又； 因为可知； 所以 ； 故答案为：；； 变式6．（25-26高三上·湖北咸宁·期末）已知，，与的夹角为，若，则 ． 【答案】 【详解】因为，，与的夹角为，所以， 因为， 所以，即，. 所以. 故答案为：. 考点三 平面向量的坐标运算 例1．（25-26高一上·广东深圳·期末）设向量，向量，若，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【详解】因为向量，向量， 所以， 因为， 所以，解得. 故选：A 例2．（25-26高三上·内蒙古呼和浩特·期末）向量，，，若，则k的值是（    ） A．4 B．－4 C．6 D．－6 【答案】D 【详解】向量，，则 因为， 所以， 故选：D 例3．（25-26高三上·黑龙江齐齐哈尔·期末·多选）已知向量，，，，且，则（    ） A．与的夹角为 B．在上的投影向量为 C． D． 【答案】ABD 【详解】，与的夹角为， 所以A正确； 因为在上的投影向量为，所以B正确； 由且，得， 解得或，则或，所以C不正确； 当时，， 当时，，故D正确. 故选：ABD. 例4．（25-26高三上·甘肃·月考·多选）已知向量，下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则或 D．若，则或 【答案】AC 【详解】若，则，解得，A正确，B错误． 若，则，解得或，C正确，D错误． 故选：AC 例5．（25-26高三上·甘肃白银·月考）已知向量，，若，则 ，若，则 【答案】 【详解】若，则即， 若，则即， 故答案为：，. 例6．（2026·重庆·模拟预测）若向量，则 . 【答案】 【详解】因为，则， 又因为， 所以，解得. 所以，， 故答案为：. 变式1．（2026·湖北十堰·一模）若向量，，记，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题设， 所以， 所以. 故选：A 变式2．（25-26高三上·安徽·期末）已知向量，，若，则（   ） A． B．5 C． D．8 【答案】C 【详解】因为向量，，所以. 由于，所以， 所以，解得. 所以，所以. 故选：C. 变式3．（24-25高一上·重庆渝中·月考·多选）已知向量，则下列说法正确的有（    ） A．若与垂直，则 B．若，则的值为 C．若，则 D．若，则在方向上的投影向量为 【答案】BC 【详解】因为向量， 对于A：若与垂直，可得，解得，所以A不正确； 对于B：若，可得，解得，即，则，所以B正确； 对于C：若，可得，则，所以，所以C正确； 对于D：若，可得，则，. 此时投影向量为，所以D不正确， 故选：BC. 变式4．（25-26高一上·江苏南通·月考·多选）已知向量，则下列结论正确的是（   ） A． B．与同向的单位向量为 C．在上的投影向量为 D．若与的夹角为锐角，则实数的取值范围是 【答案】AB 【详解】对于，故A正确； 对于B，与共线的单位向量，同向为，故B正确； 对于在上的投影向量为，故C错误； 对于D，因，则， 由与的夹角为锐角，可得：，解得且，故D错误． 故选：AB. 变式5．（25-26高二上·贵州遵义·月考）已知向量，且，则 . 【答案】7 【详解】因为，所以， 所以，解得. 故答案为：7. 变式6．（25-26高三上·湖南长沙·期末）已知向量满足，若向量在向量方向上的投影向量的坐标为，则 . 【答案】 【详解】由题意可得，又，， 所以， 所以，所以，又， 所以. 故答案为：. 2 学科网（北京）股份有限公司 $平面向量的线性运算、平面向量的数量积、平面向量的坐标运算专项训练 平面向量的线性运算、平面向量的数量积、平面向量的坐标运算专项训练 考点目录 平面向量的线性运算 平面向量的数量积 平面向量的坐标运算 考点一 平面向量的线性运算 例1．（25-26高一上·辽宁辽阳·期末）如图，在平行四边形中，F为的中点，，则（   ）    A． B． C． D． 例2．（24-25高一下·重庆渝中·月考）已知向量，，，若，，三点共线，则实数的值为（   ） A． B． C． D．1 例3．（25-26高一上·云南昆明·期末·多选）中，，点满足，设，则（    ） A．若为的重心，则 B．若为的内心，则 C．若为的垂心，则 D．若为的外心，则 例4．（25-26高一上·山东日照·期末）如图，在中，，是上的一点，若，则实数的值为 . 例5．（24-25高一下·河北·期末）在直角三角形中，角所对的边分别为，是所在平面内一点.若，则以下说法正确的是 （填写序号）. ①若为的重心，则    ②若为的外心，则 ③若为的垂心，则    ④若为的内心，则 变式1．（2026·四川绵阳·二模）在中，，若，，则（    ） A． B． C． D． 变式2．（25-26高三上·北京西城·期末）在平行四边形中，为的中点．记，则（   ） A． B． C． D． 变式3．（2026·河北·模拟预测·多选）如图，在梯形中，，．且 为的中点．若 ，，则（    ）    A． B． C． D． 变式4．（24-25高一下·内蒙古巴彦淖尔·期末）在中，，E是线段的中点，过点E的直线分别与线段，交于点M，N，若，，则 . 变式5．（24-25高一下·河北秦皇岛·期末）如图，在△ABC中，，若，则x＋y＝ . 考点二 平面向量的数量积 例1．（25-26高二上·云南昆明·期末）在中，为的中点，则（    ） A．0 B．16 C．40 D．32 例2．（25-26高三上·贵州贵阳·期末）已知点为外接圆的圆心，且，则（   ） A． B． C．7 D．14 例3．（25-26高三上·湖北·期末）已知向量满足在上的投影向量是，则的最小值为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 例4．（25-26高一上·新疆乌鲁木齐·期末）在中，，，，D为BC中点，则 ． 例5．（25-26高三上·河北秦皇岛·月考）已知向量是单位向量，，若，则在上的投影向量为 . 例6．（2026·山东济南·一模）若向量满足，且，则的值为 . 变式1．（25-26高三上·湖北·期末）已知向量满足在上的投影向量是，则的最小值为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 变式2．（25-26高三上·陕西咸阳·期末）已知向量，满足，，且，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 变式3．（25-26高三上·安徽滁州·期末）已知平面向量，满足，，则向量在向量上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 变式4．（25-26高一上·广东深圳·期末）若平面向量，满足，，则当最小时， ；记与的夹角为，则的最大值为 . 变式5．（25-26高三上·天津滨海新区·月考）已知平行四边形，，点满足，记．用表示 ；若，则 ． 变式6．（25-26高三上·湖北咸宁·期末）已知，，与的夹角为，若，则 ． 考点三 平面向量的坐标运算 例1．（25-26高一上·广东深圳·期末）设向量，向量，若，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 例2．（25-26高三上·内蒙古呼和浩特·期末）向量，，，若，则k的值是（    ） A．4 B．－4 C．6 D．－6 例3．（25-26高三上·黑龙江齐齐哈尔·期末·多选）已知向量，，，，且，则（    ） A．与的夹角为 B．在上的投影向量为 C． D． 例4．（25-26高三上·甘肃·月考·多选）已知向量，下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则或 D．若，则或 例5．（25-26高三上·甘肃白银·月考）已知向量，，若，则 ，若，则 例6．（2026·重庆·模拟预测）若向量，则 . 变式1．（2026·湖北十堰·一模）若向量，，记，则（   ） A． B． C． D． 变式2．（25-26高三上·安徽·期末）已知向量，，若，则（   ） A． B．5 C． D．8 变式3．（24-25高一上·重庆渝中·月考·多选）已知向量，则下列说法正确的有（    ） A．若与垂直，则 B．若，则的值为 C．若，则 D．若，则在方向上的投影向量为 变式4．（25-26高一上·江苏南通·月考·多选）已知向量，则下列结论正确的是（   ） A． B．与同向的单位向量为 C．在上的投影向量为 D．若与的夹角为锐角，则实数的取值范围是 变式5．（25-26高二上·贵州遵义·月考）已知向量，且，则 . 变式6．（25-26高三上·湖南长沙·期末）已知向量满足，若向量在向量方向上的投影向量的坐标为，则 . 2 学科网（北京）股份有限公司 $