专题4.2 平面向量的线性运算及数量积（举一反三专项训练）-【上好课】2026年高考数学二轮复习举一反三系列（全国通用）

专题4.2 平面向量的线性运算及数量积（举一反三专项训练） 【全国通用】 目录 第一部分 题型专练 【题型1 向量的线性运算】 1 【题型2 向量共线定理及其应用】 3 【题型3 平面向量数量积的运算】 4 【题型4 平面向量的夹角问题】 7 【题型5 平面向量的模长问题】 8 【题型6 向量数量积与其他知识交汇】 10 第二部分 分层突破 A组 基础跟踪练 B组 培优提升练 【题型1 向量的线性运算】 1．（2025·四川自贡·三模）在中，是边上的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据平面向量的线性运算求解即可. 【解答过程】因为是边上的中点， 所以，即. 故选：A. 2．（2025·辽宁·一模）已知，点D满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由图形结合向量的加法法则可得. 【解答过程】 . 故选：B. 3．（2025·山东临沂·一模）在中，点是的中点，点在上，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由题意，，根据点在上，即可列方程求解. 【解答过程】由题意点是的中点，所以， 又，所以， 解得， 又因为点在上， 所以，解得或（舍去）. 故选：B. 4．（2025·辽宁·模拟预测）在平行四边形中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】运用平行四边形法则和三角形法则，结合线性运算法则解题即可. 【解答过程】如图，由题意,可知是的中点， 所以 ． 故选：C． 【题型2 向量共线定理及其应用】 5．（2025·广东茂名·二模）已知向量不共线，且，则实数（   ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据向量共线，可设，利用向量相等的条件求解即可． 【解答过程】因为向量不共线，且， 设，即， 所以，解得． 故选：D． 6．（2025·江苏南通·三模）已知，为平面内一组基底，，，，若A，B，D三点共线，则a的值为（   ） A．2 B． C．0 D．1 【答案】A 【解题思路】根据向量的减法运算求出，再由共线向量定理求解即可. 【解答过程】，， 因为与共线，， 故选：A． 7．（2025·吉林长春·二模）在中，，点E在上，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用向量的线性运算将用与表示出来，再利用向量共线定理的推理即可得解. 【解答过程】因为，所以， 则 ， 因为三点共线，所以，解得. 故选：C. 8．（2025·黑龙江齐齐哈尔·一模）已知向量不共线，，其中，若三点共线，则的最小值为（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【解题思路】根据向量共线定理和基本不等式即可求解. 【解答过程】因为三点共线， 所以存在实数k，使，即， 又向量不共线，所以， 由，所以， 当且仅当时，取等号， 即的最小值为4. 故选：B. 【题型3 平面向量数量积的运算】 9．（2025·山西·三模）已知向量，，均为单位向量，且，则（     ） A．0 B． C．2 D． 【答案】D 【解题思路】由数量积的运算律变形为和，再分别平方后可得. 【解答过程】由，，，有， 又由，，，有， 故. 故选：D. 10．（2025·福建漳州·模拟预测）已知向量，，且，则（   ） A． B． C．6 D．10 【答案】A 【解题思路】根据平面向量平行的坐标表示计算出的值，可求得数量积. 【解答过程】由可得，求得； 因此可得. 故选：A. 11．（2025·河南·模拟预测）在菱形中，，，E为边上的动点（包括端点），F为的中点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】设，由，，结合数量积的运算律即可求解. 【解答过程】设， 则， 由为的中点，得， 在菱形中，，， 所以，， 所以， 故选：D. 12．（2025·青海·模拟预测）青铜太阳轮，出土于三星堆，距今已有3000多年历史，其状若车轮，现存于三星堆博物馆．如图，该青铜太阳轮圆周上有5个孔，可看成5个点，记为，，，，，五边形ABCDE为正五边形，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】解法一：取的中点，连接,则求解；解法二：，进行求解． 【解答过程】解法一：取的中点，连接, 因为，所以在中，， 则． 解法二：在正五边形中，，，． ， ， ． 故选：A. 【题型4 平面向量的夹角问题】 13．（2025·湖北·模拟预测）已知平面向量，设在上的投影向量为，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据投影向量公式可得，再根据向量夹角公式求解即可. 【解答过程】在上的投影向量为，即， 所以，则， 因为，所以. 故选：A. 14．（2025·全国·模拟预测）已知向量，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据已知向量，，利用向量减法求出和，再通过点积计算求出，通过模长计算求出和，利用向量夹角的余弦公式求解. 【解答过程】， . . . . . . 故选：C. 15．（2025·河北唐山·模拟预测）非零向量满足与垂直，则与的夹角为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据向量垂直数量积为零可求得与的关系式，即可求得夹角. 【解答过程】易知，即； 又，所以，即； 因此， 又，所以所求夹角为. 故选：C. 16．（2025·安徽·模拟预测）已知平面向量满足且在方向上的投影向量为，则与夹角的余弦值大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据投影向量求得，进而求夹角余弦值. 【解答过程】因为在方向上的投影向量为，所以， 所以，所以， 故选：D. 【题型5 平面向量的模长问题】 17．（2025·河北沧州·模拟预测）已知两两不共线的三个平面向量满足：，使得，则（    ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【解题思路】设，求得，得到两两的夹角相等，且为，结合向量数量积的运算律，即可求解. 【解答过程】设，因为， 则， 又因为向量夹角的范围为，所以两两的夹角相等，且为， 所以. 故选：B. 18．（2025·河北沧州·一模）已知向量.若，则（    ） A． B．5 C． D．45 【答案】A 【解题思路】利用向量平行的坐标运算得出，再根据向量线性运算的坐标表示以及求模公式计算. 【解答过程】由题意可得，，得，则， 所以，则. 故选：A. 19．（2025·山东临沂·三模）在平行四边形中，，，，为边上一点，若，则线段的长为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】A 【解题思路】利用向量垂直则数量积为0，求出，再平方求向量的模即可. 【解答过程】设，如图， 因为， 所以, 即，解得， 所以， ， 故选：A. 20．（2025·云南昭通·模拟预测）已知向量满足，记，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据向量的模长公式可得，进而建立直角坐标系，根据坐标运算可得点的轨迹，进而根据点到直线的距离公式求解. 【解答过程】因为，所以．又， 所以，解得．因为， 所以． 建立如图所示的直角坐标系， 设， 因为，所以，整理得， 即点的轨迹是：圆心为，半径为2的圆． 设，则点在直线上运动，则， 令点到直线的距离为，则，无最大值， 故选：B． 【题型6 向量数量积与其他知识交汇】 21．（2025·四川乐山·三模）已知等腰三角形中，，，，，，那么（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】解法一：由余弦定理求出，再由数量积的定义求解即可；解法二：由余弦定理求出，再由可得，代入求解即可得出答案. 【解答过程】解法一：由余弦定理可知：， 所以，； 解法二：由余弦定理可知， 因为，则， 所以， 即， 故选：B. 22．（2025·四川广安·模拟预测）已知，，，，则函数的值域是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由题知，再根据向量的模长公式可得，接着利用二倍角公式化简可得，继而可得到值域. 【解答过程】，， 则，， . 故选：C. 23．（2025·江苏镇江·模拟预测）已知A，B，C是函数的图象上的三点，且A在x轴上，轴，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】首先画出图象确定点的坐标，然后根据轴设出的坐标，根据绝对值的对称性求出它们的坐标，然后利用向量的数量积坐标公式可求出结果. 【解答过程】根据函数的解析式画出图象为： 因为点在轴上，所以. 因为，所以设，则. 根据绝对值函数的对称性，，所以， 化简得：，解得（舍去）或. 所以，. 所以，. 所以. 故选：C. 24．（2025·安徽合肥·模拟预测）如图，在中，为上一点，且满足，若，则的最小值是（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】C 【解题思路】设，从而得到，结合已知有，应用三角形面积公式得，最后由向量数量积的运算律、基本不等式求向量模长的最值. 【解答过程】设，则， 所以，解得， ，则， ，当且仅当时，等号成立， 的最小值为． 故选：C. A组 基础跟踪练 一、单选题 1．（2026·贵州毕节·一模）已知向量满足，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用向量的模长与数量积运算即可求解. 【解答过程】因为，所以， 展开得，又，所以. 因为，则，所以， 解得（负值舍去）. 故选：. 2．（2026·重庆·一模）边长为 2 的等边三角形 的外心为 ，则 （    ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【解题思路】取BC边的中点D，连接AD，可得，利用向量的数量积的运算法则计算可求得. 【解答过程】取BC边的中点D，连接AD， 因为O为边长为2的等边三角形的外心， 所以，所以， 所以 . 故选：A.    3．（2026·四川绵阳·二模）在中，，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用向量加法的平行四边形法则即可求解. 【解答过程】由可得点是的中点，根据平行四边形法则：，即.    故选：D. 4．（2026·广东湛江·一模）设为单位向量，且，则（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【解题思路】根据向量模的关系得，再计算即可. 【解答过程】因为为单位向量，所以， 因为，平方得，即， 所以，即. 故选：B． 5．（2026·福建漳州·模拟预测）在中，为中点，是边长为的等边三角形，则向量在向量方向上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据题意得出点在以为圆心，为半径的圆上，再根据数量积的定义计算，最后根据公式计算即可. 【解答过程】因为是边长为的等边三角形，为中点， 所以， 则点在以为圆心，为半径的圆上， 则，，， 则， 则向量在向量方向上的投影向量为.    故选：B. 6．（2026·陕西西安·一模）已知平面向量，，，满足，，，则（   ） A． B．或 C．5 D．5或 【答案】B 【解题思路】先根据已知条件，得到与的关系，再利用向量夹角公式建立关于的方程，最后求解即可. 【解答过程】由可得，则， 因为，故有，即， 又因为，两边同时平方得， 将与代入上式， 得，整理得， 解得或， 故选：B. 7．（2026·四川雅安·一模）已知平面向量与的夹角为，，则（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【解题思路】先由条件求出，再利用向量数量积的运算律计算即得. 【解答过程】由题意，，，与的夹角为， 故， 则. 故选：C. 8．（2026·辽宁辽阳·一模）已知向量，满足，则向量与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用向量坐标运算求出，再利用向量数量积公式求向量的夹角. 【解答过程】因为， 所以，解得， 所以， 所以，又， 所以向量与的夹角为， 故选：B. 二、填空题 9．（2026·四川攀枝花·一模）若平面向量，，均为单位向量，且，则与的夹角为 ． 【答案】 【解题思路】对进行平方求出的值，再利用向量的数量积公式求解即可. 【解答过程】由可得，，即， 因为，，均为单位向量，所以， 所以，即. 设与的夹角为 ， 则，所以. 故答案为：. 10．（2025·黑龙江牡丹江·模拟预测）已知向量.若，则的值为 . 【答案】10 【解题思路】先应用向量坐标的线性运算，再根据数量积坐标运算公式计算求参. 【解答过程】因为向量，所以， 又因为，所以， 则. 故答案为：. 11．（2026·河南鹤壁·一模）已知是夹角为的两个单位向量，若，则实数 ． 【答案】4 【解题思路】根据给定条件，利用数量积的运算律及数量积定义求解即得. 【解答过程】由是夹角为的两个单位向量，得， 由，得，即，所以. 故答案为：4. 12．（2026·河北沧州·一模）已知向量，，若，且，则 ． 【答案】 【解题思路】根据求出的值，结合进行验证，最后代入求值即可. 【解答过程】因为，所以，即，解得或. 当时，，，此时，，满足； 当时，，，此时，，不满足，舍去； 因此，，， 所以． 故答案为：.   B组 培优提升练 一、单选题 1．（2026·河北沧州·一模）蜂巢的精密结构是通过优胜劣汰的进化自然形成的，若不计蜂巢壁的厚度．蜂巢的横截面可以看成正六边形网格图，如图所示．已知为图中7个正六边形（边长为1）的三个固定顶点，则（   ）    A．12 B． C．16 D． 【答案】A 【解题思路】建立如图所示的平面直角坐标系，得，，再由平面向量的数量积运算即可求解． 【解答过程】建立如图所示的平面直角坐标系：    由于正六边形的边长为1， 所以，， 所以， 所以， 故选：A. 2．（2026·河南洛阳·模拟预测）在中，是的中点，过点的直线分别交直线，于点，，设，，则的最小值是（   ） A．1 B．2 C．4 D．6 【答案】B 【解题思路】结合图形，利用三点共线，推出，再根据基本不等式求解即可. 【解答过程】如图，由点O是BC的中点，得， 由三点共线，得，，， 则， 当且仅当，即时取等号，所以取得最小值2. 故选：B. 3．（2026·河北·模拟预测）已知中，，，若G为的重心，则的最大值为（    ） A．4 B．3 C． D． 【答案】D 【解题思路】建立直角坐标系，设点根据数量积得出，再根据重心得出，再应用两点间距离公式得出，最后平方化简得出的最大值即可求解. 【解答过程】以中点为坐标原点，以为轴，以过中点垂直为轴，建立直角坐标系， 所以，设，因为， 又因为， 所以，所以， G为的重心，， 所以， 令，则， 当且仅当时，取得的最大值，即得的最大值. 故选：D. 4．（2026·湖南株洲·一模）已知向量，将向量绕坐标原点逆时针旋转角得到向量，则下列说法正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由题意可得，利用向量的模与数量积的关系计算可判断ABC；利用数量积可判断D. 【解答过程】因为，所以，所以， 对于A，，所以 ， 当时，即时，，故A错误； 对于B，由A可知， 又 ， 当时，，可得，故B错误； 对于C，当，，可得， 所以，故C错误； 对于D，因为， 所以，故D正确. 故选：D. 5．（2026·广东茂名·一模）向量，且，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】设，则，由可得，作出相应图象，结合图象利用二倍角公式计算即可求解. 【解答过程】设，则， 因为，所以， 即，即，所以． 如图，设，，，    则，， 因为是等腰直角三角形， 设边中点为，则， 所以边上的高，， 因为，所以三点共线， 所以， 则， 所以，， 所以． 故选：C． 6．（2026·新疆·二模）已知向量，若非零向量与的夹角为，向量满足则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先确定向量所表示的点的轨迹，再根据直线与圆的位置关系求出最小值． 【解答过程】依题意，， 则由可知：，即. 又因为非零向量与的夹角为， 得：， 化简可得：， 则的最小值即为圆上一点到两射线一点连线的最小值， 即圆心到两射线的距离减去半径， 圆心到射线的距离为，圆的半径为2， 则的最小值为. 故选：A. 二、解答题 7．（2025·陕西咸阳·二模）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若. (1)求角C； (2)已知，，D为AB边上一点，且，求CD. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）利用余弦定理可得，可求； （2）由题意可得，两边平方可求得. 【解答过程】（1）因为，所以由余弦定理可得， 整理得，所以，所以， 所以，因为，所以； （2）因为，所以，又， 两边平方得，又，，， 所以， 所以. 8．（2025·江苏淮安·模拟预测）已知，． (1)将函数的图象向左平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，求函数的解析式； (2)若，求． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）先利用向量数量积的坐标运算及降幂公式和辅助角公式得到的解析式，再利用三角函数的平移及伸缩变换得到的解析式； （2）根据的解析式求出，再利用同角关系求其余弦值，最后利用两角和的余弦公式求出的值. 【解答过程】（1） 将函数的图象向左平移个单位长度，则， 再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，则有． （2）由题意得，所以， . 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题4.2 平面向量的线性运算及数量积（举一反三专项训练） 【全国通用】 目录 第一部分 题型专练 【题型1 向量的线性运算】 1 【题型2 向量共线定理及其应用】 2 【题型3 平面向量数量积的运算】 2 【题型4 平面向量的夹角问题】 3 【题型5 平面向量的模长问题】 3 【题型6 向量数量积与其他知识交汇】 4 第二部分 分层突破 A组 基础跟踪练 B组 培优提升练 【题型1 向量的线性运算】 1．（2025·四川自贡·三模）在中，是边上的中点，则（   ） A． B． C． D． 2．（2025·辽宁·一模）已知，点D满足，则（   ） A． B． C． D． 3．（2025·山东临沂·一模）在中，点是的中点，点在上，若，则（    ） A． B． C． D． 4．（2025·辽宁·模拟预测）在平行四边形中，，则（    ） A． B． C． D． 【题型2 向量共线定理及其应用】 5．（2025·广东茂名·二模）已知向量不共线，且，则实数（   ） A．3 B． C． D． 6．（2025·江苏南通·三模）已知，为平面内一组基底，，，，若A，B，D三点共线，则a的值为（   ） A．2 B． C．0 D．1 7．（2025·吉林长春·二模）在中，，点E在上，若，则（    ） A． B． C． D． 8．（2025·黑龙江齐齐哈尔·一模）已知向量不共线，，其中，若三点共线，则的最小值为（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【题型3 平面向量数量积的运算】 9．（2025·山西·三模）已知向量，，均为单位向量，且，则（     ） A．0 B． C．2 D． 10．（2025·福建漳州·模拟预测）已知向量，，且，则（   ） A． B． C．6 D．10 11．（2025·河南·模拟预测）在菱形中，，，E为边上的动点（包括端点），F为的中点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 12．（2025·青海·模拟预测）青铜太阳轮，出土于三星堆，距今已有3000多年历史，其状若车轮，现存于三星堆博物馆．如图，该青铜太阳轮圆周上有5个孔，可看成5个点，记为，，，，，五边形ABCDE为正五边形，，则（    ） A． B． C． D． 【题型4 平面向量的夹角问题】 13．（2025·湖北·模拟预测）已知平面向量，设在上的投影向量为，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 14．（2025·全国·模拟预测）已知向量，，则（   ） A． B． C． D． 15．（2025·河北唐山·模拟预测）非零向量满足与垂直，则与的夹角为（　　） A． B． C． D． 16．（2025·安徽·模拟预测）已知平面向量满足且在方向上的投影向量为，则与夹角的余弦值大小为（    ） A． B． C． D． 【题型5 平面向量的模长问题】 17．（2025·河北沧州·模拟预测）已知两两不共线的三个平面向量满足：，使得，则（    ） A．3 B． C． D． 18．（2025·河北沧州·一模）已知向量.若，则（    ） A． B．5 C． D．45 19．（2025·山东临沂·三模）在平行四边形中，，，，为边上一点，若，则线段的长为（    ） A． B． C．3 D． 20．（2025·云南昭通·模拟预测）已知向量满足，记，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【题型6 向量数量积与其他知识交汇】 21．（2025·四川乐山·三模）已知等腰三角形中，，，，，，那么（   ） A． B． C． D． 22．（2025·四川广安·模拟预测）已知，，，，则函数的值域是（   ） A． B． C． D． 23．（2025·江苏镇江·模拟预测）已知A，B，C是函数的图象上的三点，且A在x轴上，轴，，则（    ） A． B． C． D． 24．（2025·安徽合肥·模拟预测）如图，在中，为上一点，且满足，若，则的最小值是（    ） A．2 B．4 C． D． A组 基础跟踪练 一、单选题 1．（2026·贵州毕节·一模）已知向量满足，且，则（    ） A． B． C． D． 2．（2026·重庆·一模）边长为 2 的等边三角形 的外心为 ，则 （    ） A． B．2 C． D． 3．（2026·四川绵阳·二模）在中，，若，，则（    ） A． B． C． D． 4．（2026·广东湛江·一模）设为单位向量，且，则（   ） A．1 B． C． D．2 5．（2026·福建漳州·模拟预测）在中，为中点，是边长为的等边三角形，则向量在向量方向上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 6．（2026·陕西西安·一模）已知平面向量，，，满足，，，则（   ） A． B．或 C．5 D．5或 7．（2026·四川雅安·一模）已知平面向量与的夹角为，，则（    ） A．2 B． C． D． 8．（2026·辽宁辽阳·一模）已知向量，满足，则向量与的夹角为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 9．（2026·四川攀枝花·一模）若平面向量，，均为单位向量，且，则与的夹角为 ． 10．（2025·黑龙江牡丹江·模拟预测）已知向量.若，则的值为 . 11．（2026·河南鹤壁·一模）已知是夹角为的两个单位向量，若，则实数 ． 12．（2026·河北沧州·一模）已知向量，，若，且，则 ． B组 培优提升练 一、单选题 1．（2026·河北沧州·一模）蜂巢的精密结构是通过优胜劣汰的进化自然形成的，若不计蜂巢壁的厚度．蜂巢的横截面可以看成正六边形网格图，如图所示．已知为图中7个正六边形（边长为1）的三个固定顶点，则（   ）    A．12 B． C．16 D． 2．（2026·河南洛阳·模拟预测）在中，是的中点，过点的直线分别交直线，于点，，设，，则的最小值是（   ） A．1 B．2 C．4 D．6 3．（2026·河北·模拟预测）已知中，，，若G为的重心，则的最大值为（    ） A．4 B．3 C． D． 4．（2026·湖南株洲·一模）已知向量，将向量绕坐标原点逆时针旋转角得到向量，则下列说法正确的是（ ） A． B． C． D． 5．（2026·广东茂名·一模）向量，且，则（     ） A． B． C． D． 6．（2026·新疆·二模）已知向量，若非零向量与的夹角为，向量满足则的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、解答题 7．（2025·陕西咸阳·二模）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若. (1)求角C； (2)已知，，D为AB边上一点，且，求CD. 8．（2025·江苏淮安·模拟预测）已知，． (1)将函数的图象向左平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，求函数的解析式； (2)若，求． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $