边角互化与正余弦定理的综合应用、正余弦定理的实际应用问题专项训练-2026届高三数学二轮复习

边角互化与正余弦定理的综合应用、正余弦定理的实际应用问题专项训练 边角互化与正余弦定理的综合应用、正余弦定理的实际应用问题专项训练 考点目录 边角互化与正余弦定理的综合应用 正余弦定理的实际应用问题 考点一 边角互化与正余弦定理的综合应用 例1．（25-26高三上·陕西西安·期末·多选）已知的面积为，角所对的边分别为，下列条件中，能使为等腰三角形的是（    ） A． B． C． D． 例2．（2026·四川泸州·二模·多选）在锐角中，角的对边分别是，已知，则（   ） A． B． C． D． 例3．（25-26高三上·福建福州·期末）记的内角所对的边分别为，. (1)求； (2)若，求外接圆面积的最小值. 例4．（25-26高三上·甘肃嘉峪关·期末）在中，内角A，B，C所对的边分别为边上的高为． (1)求角的大小； (2)求边的长． 例5．（2026·河南南阳·模拟预测）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中，. (1)若，求边上的高； (2)若，求的周长. 例6．（25-26高三上·广东深圳·月考）在中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且有. (1)求角； (2)若为BC中点，且，求面积的最大值． 变式1．（25-26高三上·山西临汾·期末·多选）已知，，分别是内角，，的对边，为边上一点，的面积为，且满足，，则（   ） A． B．当为中线时， C．当为高线时， D．当为角平分线时， 变式2．（25-26高三上·山西太原·期末·多选）在中，，，分别为内角，，的对边，，，的面积为，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 变式3．（25-26高三上·安徽·期末）在中，内角所对的边长分别是，且． (1)求角； (2)若，求的面积的最大值． 变式4．（25-26高二上·贵州遵义·月考）在中，角的对边分别为，且. (1)求的值； (2)若是锐角，且，求的面积. 变式5．（25-26高二上·湖南娄底·期末）在中，角所对的边分别为，且,,． (1)求； (2)求的面积． 变式6．（25-26高三上·安徽宣城·期末）在中，内角的对边分别为，已知. (1)求角的大小； (2)若边上的中线长为的角平分线交于点，求线段的长. 考点二 正余弦定理的实际应用问题 例1．（2026·河南濮阳·一模）如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底在同一水平面内的两个测点与.现测得，并在点测得塔顶的仰角为，则塔高AB为（    ） A． B． C． D． 例2．（25-26高三上·甘肃酒泉·期末）“年度十大最美桥梁”评选结果在广州揭晓，由甘肃公交建集团投资建设的线清傅公路桑园子黄河大桥凭借卓越的工程品质、独特的美学设计与突出的创新价值，获“全国最美桥梁提名奖”，为本次评选中西北地区唯一入选的桥梁.数学兴趣小组想要测量桑园子黄河大桥北塔的高度，但不能直接测量，现采用以下方案：假定大桥北塔垂直于桥面，一辆小汽车在行驶过程中，车内观测员两次仰望塔顶的仰角分别为，（如图），设乘客眼睛离地面的距离为，.若在同一水平高度，且，，在同一竖直平面内，则北塔高为（    ）    A． B． C． D． 例3．（2025·上海长宁·一模）如图，两塔的塔尖分别为，塔底分别为，塔身均垂直水平面已测得与的距离，4名同学分别测得如下4组数据： ①，，；②，，； ③；④． 其中不能唯一确定与之间距离的数据的序号有 ． 例4．（25-26高二上·贵州铜仁·月考）为加快推进“光网”双千兆城市建设，如图，在东北某地地面有四个基站，，，.已知，两个基站建在松花江的南岸，距离为；基站，在江的北岸，测得 ， ， ， ，则，两个基站之间的距离为 .    参考数据:. 例5．（25-26高三上·重庆·月考）飞盘运动是一项无肢体接触、低门槛、强社交属性的有氧运动，以塑胶飞盘为核心器材，兼具竞技性与休闲性. 如图，小华位于 处，小明位于 处，小华以 (单位:米/秒)的速度沿着 方向将飞盘抛出，同时，小明以 的速度去接飞盘. 已知 米， . 已知经过 秒. 小明在 处接到飞盘. 假设飞盘的飞行速度不变，小明的奔跑速度也不变. (1)求 的最大值； (2)若 米秒， 秒，求 . 例6．（2026·重庆·一模）如图所示，一艘海轮在海面上的处发现两座小岛，测得小岛在的北偏东的方向上，小岛在的北偏东的方向上，海轮从处向正东方向航行海里后到达处，测得小岛在的北偏西的方向上，小岛在的北偏东的方向上.    (1)求处与小岛之间的距离； (2)求两座小岛之间的距离. 例7．（25-26高三上·河北·月考）某勘测队在河岸的一侧隔河进行测绘工作，河岸一侧两地相距50米，河对岸有两地，测得米，. (1)求的值； (2)若测量后发现，求两地的距离. 变式1．（25-26高三上·甘肃·月考）小河的对岸有一棵树，设树底为，树顶为．如图，为了测量这棵树的高度，在河的另一侧选取两点，使得在同一水平面上，且三点共线，米．若在处测得树顶的仰角为，在处测得树顶的仰角为，则这棵树的高度（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 变式2．（25-26高三上·福建·月考）如图，某施工队将从到修建一条隧道，为确定、之间的距离，测得了以下数据：，，，，则、间的距离为（   ） A．3 B． C． D． 变式3．（25-26高三上·吉林四平·月考）紫峰大厦为南京最高的大楼，某数学建模兴趣小组的同学去实地进行测量：在水平的地面上选择三个点，点作为测量基点，设大厦主体的最高点为（与水平面垂直），在点和点处测得点处的仰角分别为和，测得米，测角仪的高度不计，则紫峰大厦主体的高度约为 米（精确到整数位）（）. 变式4．（2025·上海黄浦·三模）三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A、B、C三点，且A、B、C在同一水平面上的投影、、，满足，．由C点测得B点的仰角为，与的差为100；由B点测得A点的仰角为，则A、C两点到水平面的高度差约为 ．（精确到1） 变式5．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·月考）如图，某海面上有三个小岛（面积大小忽略不计），岛在岛的北偏东方向处，岛在岛的正东方向处．已知在经过三个点的圆形区域内有未知暗礁，以为坐标原点，的正东方向为轴正方向，为单位长度，建立平面直角坐标系． (1)写出暗礁所在区域边界的圆的方程； (2)现有一船在岛的南偏西方向距岛处，正沿着北偏东行驶，若不改变方向，试问该船有没有触礁的危险？ 变式6．（25-26高二上·北京·期中）A市为进一步缓解交通压力，现经过甲公路和乙公路，分别修建新地铁线和快速通道，如图已知S小区在两条公路汇合处，两条公路夹角为60°，为了便于施工拟在两条公路之间的区域内建一混凝土搅拌站P，并分别在两条公路边上建两个中转站M、N（异于点S），要求（单位：千米）．设． (1)用表示SN并写出的范围； (2)当搅拌站P与小区S的距离最远时，求的值． 变式7．（25-26高三上·甘肃平凉·月考）目前，中国已经建成全球最大的网络，无论是大山深处还是广袤平原，处处都能见到基站的身影.如图，某同学在一条水平公路上观测对面山顶上的一座基站，已知基站高.该同学眼高（眼睛到地面的距离），该同学在初始位置处（眼睛所在位置）测得基站底部的仰角为，测得基站顶端的仰角为. (1)求出山高（结果保留一位小数）； (2)如图（第二幅），当该同学面向基站前行时（保持在同一铅垂面内），记该同学所在位置处（眼睛所在位置）到基站所在直线的距离，且记在处观测基站底部的仰角为，观测基站顶端的仰角为.试问当多大时，观测基站的视角最大？ 参考数据：，，，. 2 学科网（北京）股份有限公司 $边角互化与正余弦定理的综合应用、正余弦定理的实际应用问题专项训练 边角互化与正余弦定理的综合应用、正余弦定理的实际应用问题专项训练 考点目录 边角互化与正余弦定理的综合应用 正余弦定理的实际应用问题 考点一 边角互化与正余弦定理的综合应用 例1．（25-26高三上·陕西西安·期末·多选）已知的面积为，角所对的边分别为，下列条件中，能使为等腰三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，由正弦定理，可得或或，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，由正弦定理，可得 ， 由复合函数的性质可知在和上单调递增，且当时，，当时，， 故，故D正确. 故选：ACD 例2．（2026·四川泸州·二模·多选）在锐角中，角的对边分别是，已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】对于A，因为，由正弦定理得， 又因为，可得， 所以， 即，可得， 因为，所以或， 即或（舍去），所以A正确； 对于B，由，可得， 由正弦定理得，因为，所以，所以，所以B错误； 对于C，由余弦定理得， 因为，代入可得， 整理得，即， 又因为，可得，所以， 所以，所以C正确； 对于D，由，可得，则， 因为，可得 ， 因为为锐角三角形，可得，解得， 令，可得在单调递增， 当时，；当时，， 所以， 因为，所以成立，所以D正确. 故选：ACD. 例3．（25-26高三上·福建福州·期末）记的内角所对的边分别为，. (1)求； (2)若，求外接圆面积的最小值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由，整理得：， 由正弦定理，可得， 即， 因为， 所以， 又，则， 所以，即，所以. （2）由正弦定理，外接圆的半径， 要使外接圆的半径最小，只需最小， 由余弦定理，， 当且仅当时取等号，此时，则， 故外接圆面积的最小值为. 例4．（25-26高三上·甘肃嘉峪关·期末）在中，内角A，B，C所对的边分别为边上的高为． (1)求角的大小； (2)求边的长． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）在中，由及正弦定理得，， 由余弦定理得， 而，所以. （2）由边上的高为，得三角形面积，又， 则，即，由，得， 而，因此，即，解得， 所以. 例5．（2026·河南南阳·模拟预测）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中，. (1)若，求边上的高； (2)若，求的周长. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：因为， 所以，由正弦定理边角互化得， 因为， 所以，即，即， 因为，， 所以，由余弦定理得， 解得， 因为，，所以，即， 所以，即为等边三角形， 所以边上的高为. （2）解：因为，， 所以， 由（1）知，故， 所以，即， 所以，即， 因为，，所以，即， 所以，即为直角三角形，，，，. 所以由，得， 所以，即的周长为. 例6．（25-26高三上·广东深圳·月考）在中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且有. (1)求角； (2)若为BC中点，且，求面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由正弦定理得， 由余弦定理得，即     又因为， 故 ， 整理得，            ； （2）由题意知， 则，   ， （当且仅当时等号成立），         的面积为， 则面积的最大值为. 变式1．（25-26高三上·山西临汾·期末·多选）已知，，分别是内角，，的对边，为边上一点，的面积为，且满足，，则（   ） A． B．当为中线时， C．当为高线时， D．当为角平分线时， 【答案】ABD 【详解】由以及正弦定理可得，，得，故A正确； 因为的面积为，所以，即， 因为，所以， 因为，所以，则，则， 在中利用余弦定理可得，， 则， 当为中线时，，则， 即，得，故B正确； 当为高线时，，得，故C错误； 当为角平分线时，则， 由，得， 则，故D正确. 故选：ABD 变式2．（25-26高三上·山西太原·期末·多选）在中，，，分别为内角，，的对边，，，的面积为，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】因为，所以，根据正弦定理边角互化得， 因为，，所以，即 所以，由余弦定理可知，，故， 若，则，注意到， 所以（两者同负会有两个钝角，不成立），即， 因为，都是锐角， 所以， 于是，这和相矛盾， 故不成立，所以. 所以，， 所以，A选项正确； ，即， 所以或，即或， 当时，，； 当时，，，故B选项正确； 因为的面积为， 所以，当，时，，，， 解得，，； 当，时，，，， 解得，，； 所以C选项错误，D选项正确. 故选：ABD 变式3．（25-26高三上·安徽·期末）在中，内角所对的边长分别是，且． (1)求角； (2)若，求的面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由 ， 由于，所以， 又因为，所以，即， 因为，所以，即, 故； （2）因为，，所以由余弦定理可得： ， 由基本不等式可得：，所以， 当且仅当取等号， 则的面积， 故的面积的最大值为. 变式4．（25-26高二上·贵州遵义·月考）在中，角的对边分别为，且. (1)求的值； (2)若是锐角，且，求的面积. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由以及正弦定理得，， 所以 因为，所以，所以； （2）因为，且是锐角，所以， 由余弦定理可得， 则， 因为，所以，得， 故的面积为. 变式5．（25-26高二上·湖南娄底·期末）在中，角所对的边分别为，且,,． (1)求； (2)求的面积． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由， 得， 因为，所以， 所以，则， 因为，所以， 由正弦定理，，因为， 则； （2）因为， 所以 ， 则. 变式6．（25-26高三上·安徽宣城·期末）在中，内角的对边分别为，已知. (1)求角的大小； (2)若边上的中线长为的角平分线交于点，求线段的长. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）根据题意，且， 由正弦定理得， 化简得，因为， 所以，又， 所以； （2）根据题意，在中，边上的中线长为， 得， 两边平方得 化简，故有， 解得（舍去）或. 在中，， 又，故为直角三角形， 在中，，所以， 又， 所以根据正弦定理得 ， 解得. 考点二 正余弦定理的实际应用问题 例1．（2026·河南濮阳·一模）如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底在同一水平面内的两个测点与.现测得，并在点测得塔顶的仰角为，则塔高AB为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】在中利用正弦定理得，， 即，则， 在中得，，则. 故选：D 例2．（25-26高三上·甘肃酒泉·期末）“年度十大最美桥梁”评选结果在广州揭晓，由甘肃公交建集团投资建设的线清傅公路桑园子黄河大桥凭借卓越的工程品质、独特的美学设计与突出的创新价值，获“全国最美桥梁提名奖”，为本次评选中西北地区唯一入选的桥梁.数学兴趣小组想要测量桑园子黄河大桥北塔的高度，但不能直接测量，现采用以下方案：假定大桥北塔垂直于桥面，一辆小汽车在行驶过程中，车内观测员两次仰望塔顶的仰角分别为，（如图），设乘客眼睛离地面的距离为，.若在同一水平高度，且，，在同一竖直平面内，则北塔高为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题知，设， 则，， 所以， 解得. 所以. 故选：B 例3．（2025·上海长宁·一模）如图，两塔的塔尖分别为，塔底分别为，塔身均垂直水平面已测得与的距离，4名同学分别测得如下4组数据： ①，，；②，，； ③；④． 其中不能唯一确定与之间距离的数据的序号有 ． 【答案】② 【详解】①： 与的长度，用余弦定理确定唯一， 与的值，在中可确定唯一， 与的值，在中可确定唯一， 由知唯一确定. ②：取，设， ， 解得或，故②不能唯一确定. ③： 与的值，在中可确定唯一， 与的值，在中可确定唯一， 由，及已知，可确定唯一. ④：由三余弦定理可求得，后续与①一致，可唯一确定的长度. 故答案为：② 例4．（25-26高二上·贵州铜仁·月考）为加快推进“光网”双千兆城市建设，如图，在东北某地地面有四个基站，，，.已知，两个基站建在松花江的南岸，距离为；基站，在江的北岸，测得 ， ， ， ，则，两个基站之间的距离为 .    参考数据:. 【答案】 【详解】在中， ， ，所以 ， 则有，所以. 又 ，所以 ， 在中， ， 由正弦定理得. 在中，由余弦定理得 ， 所以，即，两个基站之间的距离为. 故答案为：. 例5．（25-26高三上·重庆·月考）飞盘运动是一项无肢体接触、低门槛、强社交属性的有氧运动，以塑胶飞盘为核心器材，兼具竞技性与休闲性. 如图，小华位于 处，小明位于 处，小华以 (单位:米/秒)的速度沿着 方向将飞盘抛出，同时，小明以 的速度去接飞盘. 已知 米， . 已知经过 秒. 小明在 处接到飞盘. 假设飞盘的飞行速度不变，小明的奔跑速度也不变. (1)求 的最大值； (2)若 米秒， 秒，求 . 【答案】(1) (2)米秒 【详解】（1）由题意可得， 在中，由正弦定理可得， 即，化简可得， 因为， 所以当，即时，取最大值为； （2）若 米秒， 秒，则米， 由余弦定理可得，， 解得米， 因为，所以米秒. 例6．（2026·重庆·一模）如图所示，一艘海轮在海面上的处发现两座小岛，测得小岛在的北偏东的方向上，小岛在的北偏东的方向上，海轮从处向正东方向航行海里后到达处，测得小岛在的北偏西的方向上，小岛在的北偏东的方向上.    (1)求处与小岛之间的距离； (2)求两座小岛之间的距离. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题可知在中，，，所以， 由正弦定理可得：，及， 所以（海里）． （2）由题可知在中：，，所以． 所以（海里）， 由余弦定理可得： ， 所以（海里）， 由题意可知，在中，， 由余弦定理可得： ， 所以（海里）. 例7．（25-26高三上·河北·月考）某勘测队在河岸的一侧隔河进行测绘工作，河岸一侧两地相距50米，河对岸有两地，测得米，. (1)求的值； (2)若测量后发现，求两地的距离. 【答案】(1) (2)米 【详解】（1）因为，所以. 所以，所以. 在中，根据正弦定理，，即， 解得. （2）在中，根据余弦定理，， 化简得，由于，所以解得米. 因为，在中，根据余弦定理， 化简得，解得米. 在中，根据余弦定理， 化简得，解得米. 变式1．（25-26高三上·甘肃·月考）小河的对岸有一棵树，设树底为，树顶为．如图，为了测量这棵树的高度，在河的另一侧选取两点，使得在同一水平面上，且三点共线，米．若在处测得树顶的仰角为，在处测得树顶的仰角为，则这棵树的高度（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】D 【详解】在中，，，米， 在中，由正弦定理可得，所以， 又因为， 所以，解得米， 在中，，米， 所以米， 故选：D. 变式2．（25-26高三上·福建·月考）如图，某施工队将从到修建一条隧道，为确定、之间的距离，测得了以下数据：，，，，则、间的距离为（   ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【详解】连接，因为，，所以为等腰直角三角形， 所以，， 又，所以， 又，在中由余弦定理， 即. 故选：C 变式3．（25-26高三上·吉林四平·月考）紫峰大厦为南京最高的大楼，某数学建模兴趣小组的同学去实地进行测量：在水平的地面上选择三个点，点作为测量基点，设大厦主体的最高点为（与水平面垂直），在点和点处测得点处的仰角分别为和，测得米，测角仪的高度不计，则紫峰大厦主体的高度约为 米（精确到整数位）（）. 【答案】389 【详解】由题意可知，， 设，在中，，所以， 同理在中，， 在中，由余弦定理得， 即， 所以. 故紫峰大厦主体的高度约为米. 故答案为： 变式4．（2025·上海黄浦·三模）三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A、B、C三点，且A、B、C在同一水平面上的投影、、，满足，．由C点测得B点的仰角为，与的差为100；由B点测得A点的仰角为，则A、C两点到水平面的高度差约为 ．（精确到1） 【答案】373 【详解】如图，过C作，过B作， 则， 由B点测得A点的仰角为，得为等腰直角三角形，， 则， 由，得， 在中，由正弦定理得，， 而， 因此，所以. 故答案为：373 变式5．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·月考）如图，某海面上有三个小岛（面积大小忽略不计），岛在岛的北偏东方向处，岛在岛的正东方向处．已知在经过三个点的圆形区域内有未知暗礁，以为坐标原点，的正东方向为轴正方向，为单位长度，建立平面直角坐标系． (1)写出暗礁所在区域边界的圆的方程； (2)现有一船在岛的南偏西方向距岛处，正沿着北偏东行驶，若不改变方向，试问该船有没有触礁的危险？ 【答案】(1)； (2)有. 【详解】（1）岛在岛的北偏东方向处，， 岛在岛的正东方向处，， 设过三点的圆的方程为， 将代入圆的方程得 ，解得， 则圆的方程为； （2）圆的方程为，圆心为，半径为， 设船起初所在的点为，则， 且该船航线所在直线的斜率为，则该船航线所在直线方程为， 即， 圆心到直线的距离为 ， 则该船若不改变方向，该船有触礁的危险. 变式6．（25-26高二上·北京·期中）A市为进一步缓解交通压力，现经过甲公路和乙公路，分别修建新地铁线和快速通道，如图已知S小区在两条公路汇合处，两条公路夹角为60°，为了便于施工拟在两条公路之间的区域内建一混凝土搅拌站P，并分别在两条公路边上建两个中转站M、N（异于点S），要求（单位：千米）．设． (1)用表示SN并写出的范围； (2)当搅拌站P与小区S的距离最远时，求的值． 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）在中利用正弦定理可得，， 因，，，则， 则，； （2）因，，则， 在中利用余弦定理可得， ， 因，则， 则当，即时，有最大值，有最大值千米， 故当搅拌站P与小区S的距离最远时. 变式7．（25-26高三上·甘肃平凉·月考）目前，中国已经建成全球最大的网络，无论是大山深处还是广袤平原，处处都能见到基站的身影.如图，某同学在一条水平公路上观测对面山顶上的一座基站，已知基站高.该同学眼高（眼睛到地面的距离），该同学在初始位置处（眼睛所在位置）测得基站底部的仰角为，测得基站顶端的仰角为. (1)求出山高（结果保留一位小数）； (2)如图（第二幅），当该同学面向基站前行时（保持在同一铅垂面内），记该同学所在位置处（眼睛所在位置）到基站所在直线的距离，且记在处观测基站底部的仰角为，观测基站顶端的仰角为.试问当多大时，观测基站的视角最大？ 参考数据：，，，. 【答案】(1) (2)时，视角最大 【详解】（1）由题意可知，，，，， 在中，，所以， 在中，， 所以山高. （2）由题意知，，，且， 则， 在中，， 在中，， 则， 当且仅当，即时取等号， 所以时，取得最大值， 又，所以此时视角最大. 综上，当时，视角最大. 2 学科网（北京）股份有限公司 $