解三角应用之距离问题专项训练-2024届高三数学二轮复习

解三角应用之距离问题 一、填空题 1．圭表是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根呈南北方向的水平长尺（称为“圭”）和一根直立于圭面的标杆（称为“表”），如图．成语有云：“立竿见影”，《周髀算经》里记载的二十四节气就是通过圭表测量日影长度来确定的．利用圭表测得某市在每年夏至日的早上8：00和中午13：00的太阳高度角分别为（）和（）．设表高为1米，则影差 米（参考数据：，） 二、解答题 2．海上某货轮在处看灯塔在货轮的北偏东，距离为海里；在处看灯塔在货轮的北偏西，距离为海里；货轮向正北由处行驶到处时，若灯塔在南偏东的方向上，则灯塔与处之间的距离为多少海里？ 3．某海轮航行的速度大小为30海里/小时，在A点测得海面上油井P在南偏东，向北航行40分钟后到达B点，测得油井P在南偏东，海轮改为北偏东的航向再行驶80分钟到达C点，求P，C间的距离． 4．如图，为方便市民游览市民中心附近的“网红桥”，现准备在河岸一侧建造一个观景台，已知射线，为两边夹角为的公路（长度均超过3千米），在两条公路，上分别设立游客上下点，，从观景台到，建造两条观光线路，，测得千米， 千米． (1)求线段的长度； (2)若，求两条观光线路与之和的最大值． 5．一艘海轮从出发，沿北偏东70°的方向航行后到达海岛，然后从出发，沿北偏东10°的方向航行到达海岛. (1)求的长; (2)如果下次航行直接从出发到达，应沿什么方向航行多少？ 6．如图，若小河两岸平行，为了知道河对岸两棵树C，D（CD与河岸平行）之间的距离，选取岸边两点A，B（AB与河岸平行），测得数据：，，，，试求C，D之间的距离． 7．在某海域开展的“海上联合”反潜演习中，我方军舰要到达C岛完成任务．已知军舰位于B市的南偏东方向上的A处，且在C岛的北偏东方向上，B市在C岛的北偏东方向上，且距离C岛此时，我方军舰沿着方向以的速度航行，问：我方军舰大约需要多长时间到达C岛？（参考数据：，） 8．如图，某渔轮在航行中不幸遇险，发出呼救信号．我海军舰艇在A处获悉后，测出该渔轮在方位角为45°、距离为10nmile的C处，并测得该渔轮正沿方位角为105°的方向，以9nmile/h的速度向小岛靠拢．我海军舰艇立即以21nmile/h的速度前去营救．求舰艇的航向和靠拢渔轮所需的时间（角度精确到0.1°，时间精确到1min）．    9．如图，为了测量河对岸两点之间的距离，在河岸这边取点，测得，，，，．设在同一平面内，试求两点之间的距离（精确到1m）．    10．如图，某城市有一条从正西方通过市中心后转向东偏北方向的公路，为了缓解城市交通压力，现准备修建一条绕城高速公路，并在上分别设置两个出口在的东偏北的方向（两点之间的高速公路可近似看成直线段），由于之间相距较远，计划在之间设置一个服务区．    (1)若在的正北方向且，求到市中心的距离和最小时的值； (2)若在市中心的距离为，此时在的平分线与的交点位置，且满足，求到市中心的最大距离． 试卷第2页，共3页 试卷第3页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 答案第6页，共7页 答案第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 解三角应用之距离问题 一、填空题 1．圭表是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根呈南北方向的水平长尺（称为“圭”）和一根直立于圭面的标杆（称为“表”），如图．成语有云：“立竿见影”，《周髀算经》里记载的二十四节气就是通过圭表测量日影长度来确定的．利用圭表测得某市在每年夏至日的早上8：00和中午13：00的太阳高度角分别为（）和（）．设表高为1米，则影差 米（参考数据：，） 解析 在中，（米）． 在中，由正弦定理，得， 即， 所以（米）． 因为， 且， 所以，所以（米）． 故答案为： 二、解答题 2．海上某货轮在处看灯塔在货轮的北偏东，距离为海里；在处看灯塔在货轮的北偏西，距离为海里；货轮向正北由处行驶到处时，若灯塔在南偏东的方向上，则灯塔与处之间的距离为多少海里？ 【答案】. 解析 在中， ， 由正弦定理得，则，即， 在中，，由余弦定理得， 因此，解得， 所以灯塔与处之间的距离为海里. 3．某海轮航行的速度大小为30海里/小时，在A点测得海面上油井P在南偏东，向北航行40分钟后到达B点，测得油井P在南偏东，海轮改为北偏东的航向再行驶80分钟到达C点，求P，C间的距离． 【答案】20 解析 如图，在中， (海里)，，， 由正弦定理，得， 即，解得 (海里)． 在中， (海里)， 由已知，得， ∴ (海里)． ∴P，C间的距离为海里． 4．如图，为方便市民游览市民中心附近的“网红桥”，现准备在河岸一侧建造一个观景台，已知射线，为两边夹角为的公路（长