解三角形：正余弦定理的综合应用、边角互化与解三角形专项训练-2026届高三数学二轮复习

解三角形：正余弦定理的综合应用、边角互化与解三角形专项训练 解三角形：正余弦定理的综合应用、边角互化与解三角形专项训练 考点目录 正余弦定理的综合应用 边角互化与解三角形 考点一 正余弦定理的综合应用 -25 例1.(2026陕西咸阳一模多选)在ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a=2,c= 3 A=120°，则() A.b=22 B.C=30° 3 C.ABC的周长为2+5 D.A8C的面积为 3 例2.(25-26高三上·辽宁期末·多选)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,其面积为S,已知 a=√2，b=2,C=135°，则() A.S=1 B.c=3 C.sinA= o 10 D.△ABC的外接圆的半径为2 一上上海杨浦·期末)在aABC中，角4、B、C所对应的边分别是a、方、©已知 b=2√万 (1)求c的值； (2)求sinB与△ABC的面积 解三角形：正余弦定理的综合应用、边角互化与解三角形专项训练 例4.(2526高三上河北唐山-月考)在4BC中，角4，B,C的对边分别为a,hc,A=3江，b=6-2,c=2. 4 (1)求a; (2)若D为BC上一点，且BD=2V6-2V2,求∠DAC. 变式1.(25-26高三上江苏盐城月考多选)在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、C,A=交 a=2√2，若满足条件的三角形有且只有一个，则边c的长可以是() A.1 B.2√2 C.32 D.4 变式2.(25-26高三上陕西咸阳月考多选)在ABC中，a,b,C分别是角A,B,C的对边.若a=3,b=2 ，且cos1=2BC边上的高为h,则（） A.sinB= B.C是钝角 C.c=1+6 D.h=3+32 3 3 解三角形：正余弦定理的综合应用、边角互化与解三角形专项训练 变式3.(2026-陕西榆林模拟预测)在4BC中，内角4，B,C的对边分别为ab,c,已知a+b=11,c=7,cosA=-1 7 (1)求a的值： (2)求sinA-C)的值. 变式4.(25-26高三上云南楚雄月考)在ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,己知b=2,B= 3 (0)若4=子，求a (2)若a2+c2=7,求ABC的面积. 解三角形：正余弦定理的综合应用、边角互化与解三角形专项训练 考点二 边角互化与解三角形 例1.(25-26高三上·河北衡水·期末多选)已知锐角三角形ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,C,且满 足c2+sin22A=2csin22A,则() A:A=四 B.c=1 c.5<b<5 D.a+b>√2 3 2 例2.(25-26高三上~广东江门月考·多选)已知ABC的面积为4，若c0s2A+c0s2B+2inC=2, 6sinC=4则（) A.sinC=sin2A+sin2B B.AB=3 C.sind+sinB= 4 D.AC2+BC2=2 例3.(24-25高一下·内蒙古锡林郭勒盟·期中)锐角三角形ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,己知 2cos A(ccos B+bcosC)=a. (1)求A; (2)若a=3,求ABC的周长的取值范围. 解三角形：正余弦定理的综合应用、边角互化与解三角形专项训练 例4.(25-26高三上甘肃兰州期末)在ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足 √5 asinC=c2+cosA. (I)求角A的大小： (②)若a=2√5，求ABC的周长的最大值 变式1.(25-26高三上·河南南阳·期末·多选)记锐角ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,己知2a2-2b2=c2, 则() A.c=4bcosA B.tan A =3 tan B C.A-B的最大值为 6 D.tan A tan B tan C的最小值为6 变式2.(2026·河北邢台·一模·多选)在锐角三角形ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c且 ,11 a(a-l+22 -acos4B则() A.a=1 B.B= 6 C.c的取值范围为 25 D.a2+b2+c2的取值范围为(2,4 解三角形：正余弦定理的综合应用、边角互化与解三角形专项训练 变式3.(25-26高三上湖南长沙月考)在ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,C, cind+asin (1)求角C; (2)若c=√3b,求ABC的周长 变式4.(25-26高二上·辽宁朝阳期末)在ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且c=asin B+bc0sA. (1)求B: (Q若a=3,c=V反，点D是边BC上的一点，且os∠ADC=-子，求sin∠DAC和△ADC的面积 6解三角形：正余弦定理的综合应用、边角互化与解三角形专项训练 解三角形：正余弦定理的综合应用、边角互化与解三角形专项训练 考点目录 正余弦定理的综合应用 边角互化与解三角形 考点一 正余弦定理的综合应用 例1．（2026·陕西咸阳·一模·多选）在中，角，，所对的边分别为，，，已知，，，则（   ） A． B． C．的周长为 D．的面积为 【答案】BD 【详解】因为，，，所以 由正弦定理可得：，即， 则，得，则， 所以， 所以的周长， 所以 的面积为, 由上可知AC错误，BD正确， 故选：BD 例2．（25-26高三上·辽宁·期末·多选）记 的内角的对边分别为，其面积为，已知，则（    ） A． B． C． D． 的外接圆的半径为2 【答案】AC 【详解】对于A，由三角形的面积公式得，A项正确； 对于B，由余弦定理得，所以，B项错误； 对于C，由正弦定理得，C项正确； 对于D，设的外接圆的半径为，所以，则，D项错误. 故选：AC. 例3．（25-26高一上·上海杨浦·期末）在中，角A、B、C所对应的边分别是a、b、c，已知，，. (1)求c的值； (2)求与的面积. 【答案】(1) (2)； 【详解】（1）在中，由余弦定理可得，即， 整理可得，分解因式可得，由，解得. （2）在中，由正弦定理可得， 解得，所以. 例4．（25-26高三上·河北唐山·月考）在中，角的对边分别为，，，． (1)求； (2)若为上一点，且，求． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）中，， 由余弦定理得： ，即， 解得. （2）在中，， 由余弦定理得：. 在中， ，由余弦定理得：. 即，得. 又，所以. 故. 变式1．（25-26高三上·江苏盐城·月考·多选）在中，角、、所对的边分别为、、，，，若满足条件的三角形有且只有一个，则边的长可以是（   ） A．1 B． C． D．4 【答案】ABD 【详解】在中，当已知边和锐角，判断三角形的个数时，若，有且只有一个解； 当时，有两个解；当时，有且只有一个解；当时，无解. 因为. 由，即，解得，故D正确； 由，可得，选项中，满足此条件，故A，B正确； 对于C，，此时三角形无解， 故C错误. 故选：ABD 变式2．（25-26高三上·陕西咸阳·月考·多选）在中，，，分别是角，，的对边．若，，且，边上的高为，则（    ） A． B．是钝角 C． D． 【答案】ACD 【详解】，则为锐角，所以，. 由正弦定理得，故选项A正确. 由余弦定理，代入、， 得，整理得. 解得，舍去负根得，故选项C正确. ， 由余弦定理， 故角为锐角，选项B错误. 三角形面积. 边上的高为，则， 得，故选项D正确. 故选：ACD 变式3．（2026·陕西榆林·模拟预测）在中，内角的对边分别为，已知． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）在中，因为，所以，由， 及余弦定理得：， 解得． （2）解法1：由，得．由正弦定理得，， 即． 因为，则，所以是锐角，，则， 所以． 解法2：由，得．由余弦定理得， 所以， 又由，得， 所以． 变式4．（25-26高三上·云南楚雄·月考）在中，内角的对边分别为，已知． (1)若，求； (2)若，求的面积． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由正弦定理得， 所以； （2）由余弦定理得，， 因为， 所以，所以． 所以的面积为． 考点二 边角互化与解三角形 例1．（25-26高三上·河北衡水·期末·多选）已知锐角三角形ABC的内角，，的对边分别为，，，且满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】由题意得，所以，则. 由题设及基本不等式可得 解得，又，所以， 可得，即解得，故A错误. 将代入， 可得，即，所以，故B正确； 由正弦定理得，且， 得. 又为锐角三角形，所以，解得， 所以，则，故C正确； 由余弦定理得， 又，可得，则，故D正确. 故选：BCD. 例2．（25-26高三上·广东江门·月考·多选）已知的面积为，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】对于A，由二倍角公式， ， 则，故A正确； 对于C，由A分析可得，下证. 因，则. 则，. 从而，由正弦定理边角互化可得. 若，则. 注意到，，则， 又三角形中至多1个钝角，则，均为锐角. 又，正弦函数在上单调递增， 则，. 从而，这与矛盾. 故.从而，,,， . 则，易得，不妨设，则. 从而，故C错误. 对于BD，因，则， 从而，则， 则，. 从而，故B错误，D正确. 故选：AD 例3．（24-25高一下·内蒙古锡林郭勒盟·期中）锐角三角形的内角的对边分别为，已知． (1)求； (2)若，求的周长的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：因为， 由正弦定理得， 又因为，所以， 所以， 因为为锐角三角形，可得，所以， 所以，可得. （2）解：设外接圆的半径为， 由（1）知，因为，可得， 所以， 则 ， 因为为锐角三角形，可得，解得， 可得，所以，则， 即，所以的周长， 所以的周长的取值范围为. 例4．（25-26高三上·甘肃兰州·期末）在中，角所对的边分别为，且满足． (1)求角的大小； (2)若，求的周长的最大值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为， 所以， 因为，所以， 即，即， 所以， 因为，所以，； （2）由余弦定理及， 得，即， 即，又，即， 所以，即，当且仅当时，等号成立， 所以周长， 所以周长最大值为． 变式1．（25-26高三上·河南南阳·期末·多选）记锐角的内角的对边分别为，已知，则（    ） A． B． C．的最大值为 D．的最小值为 【答案】ABD 【详解】对于A，由余弦定理得， 因为，可得， 整理得，即，所以A正确； 对于B，因为，由正弦定理得， 又因为，可得， 所以，即， 所以，所以B正确； 对于C，由且为锐角三角形，设，则， 又由，可得， 可得，解得， 因为， 因为，可得，当且仅当时，即时等号成立， 又因为，所以等号不成立，则， 所以，所以C不正确； 对于D，由选项C得，其中， 设，可得，令，解得或（舍去）， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以当时，取得最小值，最小值为， 所以的最小值为，所以D正确. 故选：ABD. 变式2．（2026·河北邢台·一模·多选）在锐角三角形中，角 所对的边分别为且则（    ） A． B． C．的取值范围为 D．的取值范围为 【答案】AD 【详解】对于A B， ， 整理得：， 是锐角三角形， ,则， , 由基本不等式得：， 当且仅当时等号成立， ，，又，， ，即时，，故A正确，B错误； 对于C， ，,, ， , 是锐角三角形，, ，，的取值范围为，故C错误； 对于D，由余弦定理得：， 即，的取值范围为， ， 当时，，当时，，故D正确. 故选：AD 变式3．（25-26高三上·湖南长沙·月考）在中，角，，所对的边分别为，，，，. (1)求角； (2)若，求的周长. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由得， 由正弦定理得：， 又，，则有，即， 又，所以. （2）由且，则有， 由余弦定理得， 即， 由，解得， 所以周长为. 变式4．（25-26高二上·辽宁朝阳·期末）在中，内角的对边分别为，且. (1)求； (2)若，，点是边上的一点，且，求和的面积. 【答案】(1) (2)； 【详解】（1）依题意，由正弦定理得，其中为的外接圆半径；所以； 又在中，，所以，所以； 又，所以，即； 所以，化简得；又，所以，即，又，所以. （2）方法1：由（1）知，，又，所以，即，；    在中，由正弦定理得，所以； 又，，所以，即，即，化简得，即； 又因为，所以，所以，所以，同理； 由余弦定理得，所以； 在中，由，得； 所以；    在中，，所以； 由正弦定理得，即，解得； 所以的面积为. 方法2：由（1）知，，又，所以，即，；    在中，由余弦定理得，所以； 由正弦定理得，即，解得；    在中，由，得，为钝角，所以角为锐角，所以； 又，所以； 由正弦定理得，即，解得； 所以的面积为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $