21.1四边形及其内角和、多边形及其内角和寒假预习讲义-2025-2026学年人教版八年级下学期数学（知识点归纳+题型精讲+综合测试）

21.1四边形及其内角和、多边形及其内角和寒假预习讲义（人教版） ☟ 预习内容速览 1. 课前预习◆目标 2.重点知识◆梳理归纳 3.核心考点◆精讲精练 4.巩固提升◆综合测试 ✅ 课前预习◆目标 ◆明确四边形的定义，识别四边形的边、顶点、对角线； ◆理解四边形外角和：通过“内角与外角互补”或“外角和内角和的关系”，推导四边形外角和为360°； ◆掌握多边形的相关概念及其内角和，并能够对其熟练应用； ◆掌握正多边形的相关概念及其相关计算，并能够熟练地对其应用。 💧 重点知识◆梳理归纳 【知识点1四边形及其内角和】 1. 定义：在平面内，由不在同一直线上的四条线段首尾顺次相接组成的图形叫作四边形； 2. 组成四边形的各条线段叫作四边形的边，每相邻两条线段的公共端点叫作四边形的顶点，如下图，画出四边形ABCD的任何一条边（例如CD）所在直线，整个四边形都在这条直线的同一侧，这样的四边形叫作凸四边形； 3. 连接四边形不相邻的两个顶点的线段，叫作四边形的对角线； 4. 与三角形类似，四边形相邻两边组成的角叫作四边形的内角，简称四边形的角； 5. 四边形的角的一边与另一边的延长线组成的角叫作四边形的外角。 【知识点2. 四边形的内角与外角性质】 （1）四边形的内角和等于360°； （2）四边形的外角和等于360°； （3）四边形具有不稳定性。 【知识点3多边形及其内角和】 1. 多边形的定义：在平面中，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形； 2. 每条线段称为多边形的边，每两条边的交点称为多边形的顶点。连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线。 3.多边形的性质： （1）内角和定理：一个n边形的内角和为(n−2)×180°（n≥3）； （2）外角和：任何多边形的外角和恒为360°； （3）对角线：一个n边形的对角线条数为​； （4）顶点和边的关系：多边形的顶点数和边数相等，即一个n边形有n个顶点和n条边； （5）对称性：正多边形具有较高的对称性，例如：正三角形有3条对称轴，正方形有4条对称轴，正五边形有5条对称轴等。不规则多边形可能没有对称轴，或者只有一条对称轴。 💦 核心考点◆精讲精练 题型1四边形的不稳定性 例1．下列图形中不具有稳定性的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的稳定性，解题的关键是判断图形是否由三角形完全分割（三角形具有稳定性，未被三角形分割的多边形不具有稳定性）． 【详解】解：A、该图形包含未被三角形完全分割的四边形结构，不具有稳定性，此选项符合题意； B、图形由多个三角形组成，三角形具有稳定性，此选项不符合题意； C、四边形被对角线分隔为两个三角形，三角形具有稳定性，此选项不符合题意； D、图形是三角形，三角形具有稳定性，此选项不符合题意． 故选：A． 变式1．妈妈买来一个木制活动衣帽架，如图，小颖发现这个衣帽架能伸缩，这说明： ． 【答案】四边形不具有稳定性 【分析】本题考查了四边形的不稳定性，熟练掌握该知识点是解题的关键．根据四边形的不稳定性作答即可． 【详解】解：小颖发现这个衣帽架能伸缩，这说明四边形不具有稳定性． 故答案为：四边形不具有稳定性． 变式2．（1）下列图形中具有稳定性是 ；（只填图形序号） （2）对不具有稳定性的图形，请适当地添加线段，使之具有稳定性． 【答案】（1）①④⑥；（2）图见解析 【分析】根据三角形具有稳定性，只要图形分割成了三角形，则具有稳定性． 【详解】解：（1）具有稳定性的是①④⑥三个． （2）如图所示： 【点睛】本题主要考查了三角形的稳定性，因此要使一些图形具有稳定的结构，往往通过连接辅助线转化为三角形而获得． 题型2多边形的概念与分类 例2．下列图形中不是凸四边形的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了凸四边形的定义，正确理解该概念是解题的关键． 根据凸四边形的定义，所有内角小于，且所有顶点位于任意一边的同一侧叫做凸四边形，逐一判断即可． 【详解】解：A、是一个矩形，满足凸四边形的定义，是凸四边形，不符合题意； B、是一个平行四边形，满足凸四边形的定义，是凸四边形，不符合题意； C、满足凸四边形的定义，是凸四边形，不符合题意； D、有一个内角大于，且有一个顶点位于其他顶点的对侧，不满足凸四边形的定义，不是凸四边形，符合题意； 故选：D． 变式1．在如图所示的图形中，是多边形的有 ；是凸多边形的有 ． 【答案】 ①⑤⑥ ①⑥/⑥① 【分析】本题考查了多边形的定义，正确理解概念是解题的关键． 根据多边形的定义进行判断即可． 【详解】解：在如图所示的图形中，是多边形的有①⑤⑥；是凸多边形的有①⑥． 故答案为：①⑤⑥；①⑥． 变式2．用示意图表示下列概念之间的关系． (1)三角形，等腰三角形，等边三角形； (2)四边形，梯形，平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了三角形的分类，四边形的分类，解题的关键是理解相应的概念，会利用韦恩图来表示之间的关系； （1）三角形不一定是等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形，等边三角形一定是等腰三角形，等腰三角形一定是三角形； （2）四边形不一定是平行四边形或梯形，平行四边形一定不是梯形，平行四边形和梯形一定是四边形． 【详解】（1）解：如图①．    （2）解：如图②．    题型3正多边形概念辨析 例3．下列图形中，一定是正多边形的是（   ） A．三角形 B．四边形 C．平行四边形 D．正方形 【答案】D 【分析】正多边形需所有边相等且所有角相等. 三角形、四边形、平行四边形不一定满足条件，而正方形一定满足． 本题考查了正多边形的定义，熟练掌握正多边形的定义是解题的关键． 【详解】解： 正多边形定义：各边相等，各角相等． A.、三角形不一定各边相等（如不等边三角形），不一定是正多边形，不符合题意． B、四边形不一定各边相等或各角相等（如梯形）， 不一定是正多边形，不符合题意． C、平行四边形对边相等，但邻边不一定相等，角不一定相等，不一定是正多边形，不符合题意． D、正方形所有边相等，所有角均为90°， 一定是正多边形，符合题意． 故选：D． 变式1．如图，正六边形的边长是，点是上的一动点，的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了正六边形的性质，轴对称的性质，等边三角形的性质，两点之间线段最短，由正多边形的性质可得点关于的对称点为点，连接交于点，则，最小，根据正六边形性质可得都是等边三角形，，从而求得即可，掌握正六边形的性质以及轴对称解决路径最短问题的解题方法是解题的关键． 【详解】解：如图，由正多边形的性质可得点关于的对称点为点，连接交于点， ∴， ∴最小，最小值为的长， ∵六边形是正六边形，对角线交于， ∴都是等边三角形， ∴， ∴， ∴最小值为， 故答案为：． 变式2．如图，正十二边形的面积是2022，那么图中阴影部分的面积是（    ）． A．504 B．568 C．612 D．674 【答案】D 【分析】根据图，将阴影部分等积变形，推出阴影部分和正十二边形的关系，计算得到结论即可． 本题考查了面积与等积变换，正确地识别图形是解题的关键． 【详解】解：如图，正十二边形是有12个正三角形和6个四边形组成的， 设正三角形的面积为a，四边形的面积为b， 而阴影部分是有4个正三角形和2个四边形组成的，恰好是正十二边形的， 图中阴影部分的面积是， 故选：D． 题型4多边形截角后的边数问题 例4．若一个多边形截去一个角后，变成五边形，则原来的多边形的边数不可能为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题考查多边形的知识．一个多边形截去一个角后，边数可能增加、不变或减少．由于截去后变成五边形，因此原多边形边数可能为4、5或6，不可能为3． 【详解】解：∵一个多边形截去一个角后，边数可能增加一条、不变或减少一条， ∴当新多边形为五边形时，原多边形边数可能为4、5或6． ∴原多边形边数不可能为3． 故选：A． 变式1．若一个多边形截去一个角后，得到的新多边形为十五边形，则原来的多边形边数为 ． 【答案】14或15或16 【分析】分三种情况进行讨论，得出答案即可． 【详解】解：如图，一个多边形减去一个角后，比原来多边形少了一条边， ∴此时原多边形的边数为； 如图，一个多边形减去一个角后，与原来多边形的边数相同， ∴此时原多边形的边数为15； 如图，一个多边形减去一个角后，比原来多边形多了一条边， ∴此时原多边形的边数为； 综上分析可知，原来的多边形边数为14或15或16． 故答案为：14或15或16． 【点睛】本题主要考查了多边形的边数问题，解题的关键是数形结合，注意进行分类讨论． 变式2．如图，从五边形纸片中剪去一个三角形，剩余的部分是几边形？请画出示意图说明． 【答案】剩余的部分分别为四边形、五边形和六边形，示意图见解析 【分析】本题考查了多边形的截法，正确分类截多边形是解题的关键．分为三种情况，画出图形，解答即可． 【详解】解：如图，剩余的部分分别为四边形、五边形和六边形． 题型5多边形的周长 例5．如图，一张长方形纸片剪去一个角后，剩下的纸片是一个梯形，则这个梯形的周长为（   ） A．10 B．22 C．24 D．32 【答案】D 【分析】本题主要考查了长方形的性质，勾股定理，解题的关键是掌握勾股定理解直角三角形． 根据长方形的性质求出相关边长，再利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：根据长方形的性质得， ，，， 根据勾股定理得， ∴梯形的周长为， 故选：D． 变式1．已知某正八边形的一边长为2，则该正八边形的周长为 ． 【答案】16 【分析】本题考查了正多边形，熟练掌握正多边形的定义是解题关键．根据正八边形的所有边相等解答即可得． 【详解】解：∵正八边形的所有边相等，且其一边长为2， ∴该正八边形的周长为． 故答案为：16． 变式2．学科实践 某中学计划修建一个面积为的花坛，花坛四周用色围起来，数学小组成员洋洋和强强设计了如下两种方案： 洋洋：建设一个正方形花坛 强强：建设一个长方形花坛，长是宽的3倍． 请通过计算比较按哪种方案建设花坛所需要的篱笆（四边形周长）更短． 【答案】洋洋的设计方案建设花坛所需要的篱笆更短 【分析】本题考查了算术平方根和一元二次方程，根据题意，先求出洋洋设计的正方形花坛的边长，再求出周长，设强强设计的长方形花坛的宽为，则长为，列出面积等式求出，进而得到强强设计的长方形花坛的周长，两者比较即可． 【详解】解：由题意，洋洋设计的正方形花坛的边长为， 所以正方形花坛的周长为：． 设强强设计的长方形花坛的宽为，则长为，所以． 所以（负值已舍去）．所以． 所以长方形花坛的周长为． 因为，所以按洋洋的设计方案建设花坛所需要的篱笆更短． 题型6网格中多边形面积比较 例6．如图，网格图中每个小正方形的边长均为1，以为半径的扇形经过平移到达扇形的位置，那么图中阴影部分的面积是（　　）．    A．8 B．6 C．6.5 D．7.5 【答案】B 【分析】如图：连接和，可以发现，然后求得平行四边形的面积即可解答． 【详解】解：连接和，则 ．    故选：B． 【点睛】本题主要考查了求阴影部分的面积，将阴影部分的面积转换成求平行四边形的面积是解答本题的关键． 变式1．如图，小个方格都是边长为1的正方形，图中四边形的面积为 ． 【答案】 【分析】利用大正方形的面积减去四边形周围的小三角形面积即可． 【详解】解：四边形ABCD的面积为： =， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了四边形面积求法，掌握割补法是解题的关键． 变式2．在平面直角坐标系中，的顶点坐标，， (1)作关于y轴的对称图形，并写出、、的坐标． (2)连接、，求出四边形的面积． 【答案】(1)图见解析，、、； (2)12 【分析】本题主要考查了网格画图，轴对称的性质，求网格图形的面积等知识点，解题的关键是熟练掌握相关性质． （1）利用轴对称的性质即可画出图形； （2）通过对称点的坐标求出边的长度，根据梯形的面积公式即可求得面积． 【详解】（1）解：如图，即为所求； 点、、； （2）解：如图， 根据轴对称的性质，找出点、的对称点、， ∴，， 四边形是等腰梯形， ∴四边形的面积为． 题型7多边形对角线的条数问题 例7．从正十四边形的一个顶点出发，可画出对角线（    ） A．11条 B．12条 C．13条 D．14条 【答案】A 【分析】本题主要考查正多边形的特点，多边形的对角线的定义，从多边形一个顶点出发的对角线数等于总顶点数减3（排除自身和两个相邻顶点），由正n边形从一个顶点出发有条对角线，由此即可求解． 【详解】解：∵ ，从一个顶点出发的可连接顶点数为， ∴ 对角线数为， 故选：A． 变式1．银川市金凤区某中学要举办数学文化节，需要制作一种多边形的宣传标牌．已知从这个多边形的一个顶点出发，最多可以引出12条对角线，则它的边数为 ． 【答案】15 【分析】本题考查了多边形对角线的计算，根据多边形中，从一个顶点出发可以引出（是多边形的边数）条对角线的计算方法即可求解． 【详解】解：根据题意，设多边形的边数为， ， 解得，， ∴这个多边形的边数为15， 故答案为：15． 变式2．探究归纳题： 【试验分析】 （1）如图①，过点可以作1条对角线；同样，经过点可以作1条对角线；经过点可以作1条对角线；经过点可以作1条对角线；且对角线与为同一条．通过以上分析和总结，图①共有________条对角线； 【拓展延伸】 （2）运用（1）的分析方法可得：图②每个顶点出发有________条对角线，共有________条对角线；图③共有________条对角线； 【探索归纳】 （3）对于边形，共有________条对角线（用含的代数式表示）； 【特例验证】 （4）十边形共有________条对角线． 【答案】（1）2；（2）2，5，9；（3）；（4）35． 【分析】本题考查了多边形的对角线，发现多边形对角线公式是解题关键． （1）根据对角线的定义，可得答案； （2）根据对角线的定义，可得答案； （3）根据探索，可发现规律； （4）根据对角线的公式，可得答案． 【详解】解：（1）四边形有4个顶点，每个顶点可作1条对角线（不能与自身、相邻两个顶点连线）； 由于每条对角线被两个顶点各计算一次，因此总对角线数为条； （2）过五边形每个顶点可作条对角线，共有5个顶点，总对角线数为条； 过六边形每个顶点可作条对角线，共有6个顶点，总对角线数为条； （3）对于边形，每个顶点可作条对角线（不能与自身、相邻两个顶点连线），总顶点数为； 由于每条对角线被两个顶点重复计算，因此总对角线数为：； （4）将代入计算，得， 故十边形共有35条对角线． 题型8对角线分成的三角形个数问题 例8．从一个多边形的一个顶点出发的所有对角线，将这个多边形分成6个三角形，则这个多边形是（    ） A．六边形 B．七边形 C．八边形 D．九边形 【答案】C 【分析】本题考查了多边形的对角线，多边形，根据n边形从一个顶点出发可引出条对角线，可组成个三角形，依此可得n的值． 【详解】解：∵从n边形一个顶点出发的所有对角线将多边形分成个三角形， 又∵该多边形被分成6个三角形， ∴， 解得， ∴这个多边形是八边形， 故选：C． 变式1．如图，从八边形的顶点A出发画对角线，将这个八边形分成 个三角形．    【答案】 【分析】本题考查了多边形的性质． 画出对角线，进而作答即可． 【详解】解：如图，    可知从八边形的顶点A出发画对角线，将这个八边形分成个三角形． 故答案为：． 变式2．把一个多边形用连接它的不相邻顶点的线段（这些线段不在多边形内部相交）划分为若干个三角形，叫作多边形的三角剖分． 【初步探究】如图所示，从多边形的一个顶点出发，分别连接这个多边形的其余各顶点，则可以把这个多边形分成若干个三角形． （1）若多边形是一个五边形，则可以分割成______个三角形；若多边形是一个六边形，则可以分割成______个三角形，…，则n边形可以分割成______个三角形； （2）如果从一个多边形的一个顶点出发，分别连接其余各顶点，将这个多边形分割成了2026个三角形，那么此多边形的边数为______； 【深入探究】创新小组的小梦同学想到了另一种剖分方法，如下图所示： （1）按照图中所示的方法将多边形分割成三角形，图1中四边形可分割出4个三角形；图2中五边形可分割出______个三角形；图3中六边形可分割出______个三角形； （2）你能由（1）的结论归纳出分割成三角形的个数n与多边形边数m之间的关系吗？ 【答案】初步探究：（1）3，4，；（2）2028；深入探究：（1）5，6；（2） 【分析】本题考查多边形对角线或多边形内一点分多边形的三角形个数问题，根据前几个图形的特点寻找规律是关键． 初步探究：（1）分别求出三角形，四边形，五边形和六边形可以分割的三角形的个数，然后总结出规律求解即可； （2）设此多边形的边数为n，根据题意得到，进而求解即可； 深入探究：（1）根据图中的分割方法求解即可； （2）由（1）的结论总结出规律即可． 【详解】初步探究：（1）根据题意得，若多边形是一个三角形，则可以分割成个三角形； 若多边形是一个四边形，则可以分割成个三角形； 若多边形是一个五边形，则可以分割成个三角形； 若多边形是一个六边形，则可以分割成个三角形 …， ∴n边形可以分割成个三角形； （2）设此多边形的边数为n 根据题意得， ∴ ∴此多边形的边数为2028； 深入探究：（1）图1中四边形可分割出4个三角形； 图2中五边形可分割出5个三角形； 图3中六边形可分割出6个三角形； （2） 由（1）可得，三角形的个数n与多边形边数m之间的关系． 题型9多边形内角和问题 例9．如图，在中，，将沿虚线剪去，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形内角和性质，根据在中，，得出，再把数值代入计算，即可作答． 【详解】解：∵在中，， ∴， 则， 故选：B． 变式1．如图，把一张长方形纸片沿折叠后，D、C分别落在、的位置上，与交于点G，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查四边形内角和，长方形的性质，周角、平角的定义，先求出，由折叠的性质得，再根据周角、平角的定义计算即可． 【详解】解：∵四边形是长方形，， ∴， ∴， 由折叠的性质得， ∴， ∴， 故答案为． 变式2．如果一个多边形的边数为n，就说这个多边形为n边形．多边形所有内角的度数和就是多边形的内角和． (1)求四边形和五边形的内角和； (2)如果一个n边形的内角和为，求n的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了多边形内角和公式，解题的关键是熟练掌握边形内角和公式为． （1）直接根据多边形内角和公式求解即可； （2）由多边形内角和公式得到方程，即可求解． 【详解】（1）解：四边形的内角和为；五边形的内角和为； （2）解：由题意得，， 解得． 题型10正多边形的内角和问题 例10．若正多边形的一个内角是，则该多边形的边数是（   ） A．6 B．12 C．16 D．18 【答案】D 【分析】本题考查了多边形的内角和公式，利用正多边形内角公式建立方程求解即可，熟练掌握多边形的内角和公式是解此题的关键． 【详解】解：设正多边形的边数为，则每个内角为， ∵正多边形的一个内角是， ∴， 解得：， 即该多边形的边数是， 故选：D． 变式1．如图，正五边形内接于，过点C的直径与交于点F，连接，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正多边形和圆．连接，，先求得，利用等边对等角求得即可． 【详解】解：连接，， ∵正五边形内接于， ∴， ∴， ∵， ∴， 的度数为． 故答案为：． 变式2．如下图，以正六边形的一边为边向外作正方形，连接，．求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了多边形内角与外角、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，根据等腰三角形的性质结合三角形内角和定理求出、的度数是解题的关键． 根据正多边形的性质、三角形内角和定理以及等腰三角形的性质可求出的度数，同理可求出的度数，再根据即可求出结论． 【详解】解：六边形为正六边形， ，， ． 四边形为正方形， ，， ， ， ． 题型11多（少）算一个角问题 例11．一个多边形除去一个内角后，其余各内角的和为，则这个内角是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查多边形内角和公式的灵活运用，解题的关键是根据多边形内角和公式建立边数与内角度数的等式．设这个内角度数为，边数为，根据多边形内角和的公式建立等式，再根据多边形的一个内角一定大于，并且小于计算出边数，最后再根据边数和内角和计算出所求内角的值． 【详解】解：设这个内角度数为，边数为， 则， ， ∵为正整数，， ∴， ∴这个内角度数为． 故选：C． 变式1．小明同学在计算一个多边形的内角和时，由于粗心少算一个内角，结果得到的结果是，则少算的这个内角的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题主要考查了多边形内角和定理，解不等式，设多边形的边数是n（，且n为整数），根据多边形内角和定理列出不等式，进而求出，再计算出该多边形内角和即可得到答案． 【详解】解：设多边形的边数是n（，且n为整数）， 依题意得， 解得． ∵少算一个内角，且该内角小于， ∴． ∴多边形的内角和是， ∴少算的这个内角的度数为， 故答案为：． 变式2．看下图解答问题． (1)小明为什么说多边形的内角和不可能是？ (2)小华求的是几边形的内角和？内角和是多少度？多加的那个外角是多少度？ 【答案】(1)见解析 (2)十三边形，内角和，外角 【分析】本题考查了多边形的内角和定理，解题的关键是掌握边形的内角和为：． （1）由边形的内角和公式为，可知边形的内角和一定是的整数倍，而不能被整除，所以小明说不可能； （2）由（1）可得到多加的那个外角的度数，以及多边形的边数和内角和． 【详解】（1）解：∵边形的内角和是， ∴多边形的内角和一定是的整数倍． ∵， ∴小明说多边形的内角和不可能是． （2）解：． ， ． 故小华求的是十三边形的内角和，内角和是，多加的那个外角是． 题型12多边形截角后的内角和问题 例12．若一个多边形截去一个角后，变成十四边形，则原来的多边形的边数可能为（    ） A．13 B．14或15 C．13或15 D．13或14或15 【答案】D 【分析】根据多边形截角的不同情况（截线不过顶点、过一个顶点、过两个顶点），分析原多边形边数的可能情况．本题主要考查了多边形截角后边数的变化情况，熟练掌握多边形截角的三种不同情况是解题的关键． 【详解】解：一个多边形截去一个角，有三种情况： 截线不过任何顶点，此时边数增加，若截后是十四边形，则原多边形边数为； 截线过一个顶点，此时边数不变，若截后是十四边形，则原多边形边数为； 截线过两个顶点，此时边数减少，若截后是十四边形，则原多边形边数为． ∴ 原来的多边形的边数可能为或或． 故选：D． 变式1．如图，一个多边形纸片按图示的剪法剪去一个内角后，得到一个内角和为的新多边形，则原多边形的边数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了多边形内角和公式，熟练掌握多边形内角和公式（为边数且且为整数）是解题的关键．先根据新多边形内角和求出新多边形边数，再结合剪角后多边形边数的变化规律，得出原多边形边数． 【详解】解：设新多边形的边数为，根据多边形内角和公式， 解得． 因为按图示剪法剪去一个内角后，多边形边数增加了， 所以原多边形边数为． 故答案为：． 变式2．已知一个多边形的内角和与外角和相加等于． (1)求这个多边形的边数及对角线的条数． (2)这个多边形剪去一个角后，所形成的新多边形有______条边． 【答案】(1)，； (2)或或 【分析】本题考查多边形内角和定理：多边形内角和为，解题的关键是剪角时注意分类讨论． （1）已知一个多边形的内角和与外角和的和为，外角和是，因而内角和是．边形的内角和是，代入就得到一个关于n的方程，就可以解得边数，从而得到这个多边形的对角线的条数． （2）剪掉一个角以后，多边形的边数可能增加了条，也可能减少了条，或者不变，由此即可求出答案． 【详解】（1）解：设这个多边形的边数为， ， 解得：； ∴对角线的条数为：； 所以这个多边形的边数是，它的对角线的条数是． （2）解：因为剪掉一个角以后，多边形的边数可能增加了条，也可能减少了条，或者不变， ①当沿两边中间点剪时，多边形多出一条边，边数为， ②当沿一边中间点与一顶点剪时，多边形边数不变，边数为， ③当沿两顶点剪时，多边形边减少1边，边数为， 综上所述：新多边形可能是条或条或条边． 题型13复杂图形的内角和 例13．如图，顺次连接图中六个点，得到以下图形，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了复杂图形的内角和，熟练掌握三角形内角和为，四边形内角和为是解题的关键．连接，记与交于点，利用三角形内角和定理推出，再将转化为四边形的内角和，即可解答． 【详解】解：如图，连接，记与交于点， ，， ， 又， ， ， ， ， ． 故选：C． 变式1．如图，的度数为 ． 【答案】/360度 【分析】本题考查了三角形外角的性质、四边形的内角和定理，熟练掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键．根据三角形外角的性质得到，再根据四边形的内角和定理即可求解． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵四边形的内角和为， ∴， ∴． 故答案为：． 变式2．如下图，四边形中，若，，平分，是外角的平分线，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了四边形内角和定理、角平分线的性质与三角形外角性质，掌握四边形内角和为，及利用角平分线、三角形外角性质转化角的关系是解题的关键． 先利用四边形内角和求出的度数，再得到其外角的度数；接着通过角平分线分别求出相关角的度数，最后利用三角形的外角性质计算的度数． 【详解】解：，， ， ． 平分， ． 平分， ， ． 题型14正多边形的外角问题 例14．一个多边形的每个外角都等于，则这个多边形的边数为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】A 【分析】本题主要考查多边形，根据多边形的外角和等于即可求得答案． 【详解】解：边数． 故选：A 变式1．中国古典园林里面的窗型，丰富多样．如图所示的是颐和园小长廊五角加膛窗的示意图，它的一个外角的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正多边形的外角和性质，掌握任意正多边形的外角和为，每个外角的度数等于除以边数是解题的关键． 根据正多边形外角和为，正五边形的5个外角相等，用外角和除以边数即可求出一个外角的度数． 【详解】解：∵正多边形的外角和恒为 ∵该图形为正五边形，共有个相等的外角 ∴其一个外角的度数为 故答案为：． 变式2．如图，小明从点A出发，前进后向右转，再前进后又向右转，…，如此反复下去，直到他第一次回到出发点A，他所走的路径恰好构成了一个正多边形． (1)小明一共走了多少米? (2)求这个正多边形的内角和． 【答案】(1)小明一共走了 (2) 【分析】本题考查了正多边形的外角的计算以及多边形的内角和． （1）第一次回到出发点A时，所经过的路线正好构成一个外角是度的正多边形，求得边数，即可求解； （2）根据多边形的内角和公式即可得到结论． 【详解】（1）解：由题意，得这个正多边形的外角为， 该正多边形的边数为， ． 答：小明一共走了． （3） 解：由（1）知这个正多边形的边数为9边形，则这个正多边形的内角和为． 题型15多边形外角和的实际应用 例15．某人从A点出发，沿着六边形的公园逆时针转了一圈又回到了A处（如图）．如果在B，C，D，E，F五个转角处都转了，那么他在A处转过多少度角才能仍面向所指的方向（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查多边形外角和定理的应用，熟练掌握多边形外角和定理是解题的关键． 根据转过的角度之和等于多边形外角和，解答即可． 【详解】解：根据题意得：某人在途中转过了， 由于在B，C，D，E，F五个转角处都转了， 则他在A处转过的度数为 故选：D． 变式1．如图，，则 ． 【答案】240° 【分析】本题主要考查了多边形的内角和外角，解题关键是熟练掌握任意多边形的外角和都是． 根据邻补角的概念，多边形的外角和是进行解答即可． 【详解】解：如图： ∵四边形的外角和是， ∴， ∵， ， ∴， 故答案为：． 变式2．如下图，四边形中，，，，的外角分别为，，．求的值． 【答案】 【分析】本题考查了四边形的外角和定理，掌握四边形的外角和为是解题的关键． 先利用四边形的外角和为的性质，再求出对应的外角，最后用外角和减去的外角，得到的和． 【详解】解：， 的外角为， ． 题型16多边形内角和与外角和综合 例16．若一个正多边形的内角和为，则这个正多边形的一个外角为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据多边形内角和公式求出边数，再根据外角和定理求出一个外角的度数即可；本题主要考查了多边形的内角和公式与外角和定理，熟练掌握多边形内角和公式和外角和定理是解题的关键． 【详解】解：设正多边形的边数为， ∴， 解得， 又∵多边形的外角和为， ∴一个外角的度数为． 故选：B． 变式1．已知一个正多边形的每一个外角为，则这个多边形的边数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了多边形的内角与外角的关系，利用正多边形的外角和为360°，每个外角相等，计算边数即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵正多边形的外角和为，每个外角为， ∴边数为：， 故答案为：． 变式2．（1）已知实数满足，试化简式子． （2）一个多边形的内角和是它的外角和的4倍．求这个多边形的边数． 【答案】（1）；（2）这个多边形的边数是10 【分析】本题考查了二次根式的性质、绝对值的化简、多边形内角和与外角和等知识点，掌握二次根式的性质、绝对值的化简、多边形内角和与外角和是解题的关键． （1）先利用二次根式的性质，将转化为，结合已知条件得出的取值范围，再根据绝对值的性质化简式子； （2）根据内角和是外角和的4倍列出方程，求解多边形的边数． 【详解】解：（1）， ， 解得， ． （2）设这个多边形的边数为． 由题意，得， 解得． 故这个多边形的边数是． 题型17平面镶嵌 例17．商店出售下列形状的地砖：①长方形；②正方形；③正五边形；④正六边形．若只选购其中某一种地砖用来镶嵌教室地面，可供选择的地砖是（   ） A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．②③ 【答案】C 【分析】本题考查平面镶嵌，正多边形的内角和．解题的关键是熟练掌握平面镶嵌的条件和正多边形的内角和公式． 镶嵌地面要求多边形的内角能整除，从而围绕一点拼接无空隙. 计算各正多边形内角并判断是否整除，即可解题． 【详解】解：∵长方形内角为，，能整除， ∴长方形可镶嵌； ∵正方形内角为，，能整除， ∴正方形可镶嵌； ∵正五边形内角为，，不能整除， ∴正五边形不可镶嵌； ∵正六边形内角为，，能整除， ∴正六边形可镶嵌. ∴可供选择的地砖是①②④． 故选：C． 变式1．公园的一段甬道是由完全相同的五边形密铺而成，其部分密铺图案如图所示，若，，则的度数为 ． 【答案】/120度 【分析】本题主要考查了多边形内角和定理，平面镶嵌，先根据多边形内角和定理得出五边形的内角和，然后再根据题意即可得出答案． 【详解】解：五边形的内角和为：， ∵， ． 故答案为：． 变式2．【问题背景】生活中，我们经常可以看到由各种形状的地砖铺成的地面，在这些地面上，相邻的地砖平整地贴合在一起，整个地面没有一点空隙．从数学角度来看，当一个顶点周围围绕的各个多边形的内角恰好拼成一个周角时，就能形成一个既不留空隙又不互相重叠的平面图案，我们把这类问题叫做多边形平面镶嵌问题．如图1是由若干正方形镶嵌而成的图案，图2是由若干正三角形、正方形和正六边形镶嵌的图案． 【探究发现】 （1）填写下表： 正多边形的边数 3 4 5 6 8 正多边形每个外角的度数 ___________ ___________ ___________ （2）若只用一种正多边形镶嵌整个平面图案，则这样的正多边形有___________（填序号） ①正三角形；②正五边形；③正六边形；④正七边形；⑤正八边形 【拓展应用】 （3）如图3，由六个全等的正五边形和五个全等的等腰三角形镶嵌组成了一个大五边形．求的度数． 【答案】（1）；；；（2）①③；（3） 【分析】该题主要考查了正n边形内角和定理以及平面镶嵌，解题的关键是掌握正n边形内角和定理以及平面镶嵌的相关知识． （1）用再除以n即可求解； （2）根据正n边形的每一个内角度数与相邻外角的度数之各为进行求解即可； （3）根据正五边形每一个内角的度数结合周角进行求解即可． 【详解】（1）解：正五边形每个外角的度数为， 正六边形每个外角的度数为， 正八边形每个外角的度数为， 正多边形的边数 3 4 5 6 8 正多边形每个外角的度数 （2）解：正三角形每个内角的度数为， 正五边形每个内角的度数为， 正六边形每个内角的度数为， 正七边形每个内角的度数为， 正八边形每个内角的度数为， ∵，，， ∴只用一种正多边形镶嵌，那么能镶嵌成一个平面图案的正多边形有①③， 故答案为：①③． （3）解：∵正五边形的内角为， ∴． 一、单选题 1．下列图形中具有稳定性的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是三角形的性质，熟记三角形具有稳定性是解题的关键；根据三角形具有稳定性判断． 【详解】解：选项B是三角形，具备稳定性，四边形和五边形都不具有稳定性， 故选：B． 2．下列说法正确的是（       ） A．两点之间，直线最短 B．过两点有且只有一条直线 C．若，则为中点 D．各边相等的多边形是正多边形 【答案】B 【分析】本题考查了线的性质、两点间距离、中点定义和多边形的定义．根据直线的性质、两点间距离、中点定义和多边形的定义判断． 【详解】A.∵两点之间线段最短， 不是直线， ∴A错误． B.∵过两点有且只有一条直线， 这是公理， ∴B正确． C. ∵若、、三点不共线， 则不能推出为中点， ∴C错误． D.∵各边相等的多边形不一定是正多边形，例如菱形， ∴D错误． ∴只有B正确． 故选：B． 3．下列图形中，是正多边形的是（   ） A．等腰三角形 B．长方形 C．正方形 D．五边都相等的五边形 【答案】C 【分析】该题考查了正多边形的定义，正多边形需所有边相等且所有角相等．据此解答即可． 【详解】解：∵正多边形定义：各边相等，各角相等； A．等腰三角形不一定各边都相等，各角也不一定都相等，不是正多边形，不符合题意； B．长方形角相等但边不一定相等，不是正多边形，不符合题意； C．正方形四边相等且四角均为，是正多边形，符合题意； D．五边都相等的五边形边相等但角不一定相等，不是正多边形，不符合题意； 故选：C． 4．把一张形状是四边形的纸片剪去其中某一个角，剩下的部分的形状不可能是（   ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 【答案】D 【分析】本题考查了多边形．把一张形状是四边形的纸片剪去其中某一个角，剩下的部分的形状可能是三角形或四边形或五边形． 【详解】解：把一张形状是四边形的纸片剪去其中某一个角，剩下的部分的形状可能是三角形或四边形或五边形，不可能是六边形． 故选：D． 5．已知某正八边形的一边长为2，则该正八边形的周长为（   ） A．12 B．15 C．16 D．18 【答案】C 【分析】此题主要考查正多边形的性质．根据正八边形的八条边长相等即可得出正八边形的周长． 【详解】解：正八边形八条边长相等，， 故选：． 6．正方形网格中的交点，我们称之为格点．如图所示的网格图中，每个小正方形的边长都为．现有格点，那么，在网格图中找出格点，使以和格点为顶点的三角形的面积为1．这样的点可找到的个数为（       ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】根据题意画出图形，即可求解． 【详解】解：如图，根据题意画出图形，这样的点有6个． 故选：C 【点睛】本题考查了三角形的面积，两平行线间的距离．应注意数形结合，防止漏解或错解． 7．如图，过一个顶点，四边形有1条对角线；五边形有2条对角线：六边形有3条对角线：……按此规律，过十二边形一个顶点的对角线有（   ） A．9条 B．10条 C．11条 D．12条 【答案】A 【分析】本题考查了多边形对角线的条数问题，根据从一个多边形一个顶点出发，可以连的对角线的条数是边数，即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵四边形从一个顶点出发，可以画条对角线， 五边形从一个顶点出发，可以画条对角线， 六边形从一个顶点出发，可以画条对角线， …， ∴n边形从一个顶点出发，可以画条对角线， ∴十二边形从一个顶点出发，可以画条对角线， 故选：A． 8．从某多边形的一个顶点引出的所有对角线，把这个多边形分成了6个三角形，则此多边形是（    ） A．九边形 B．八边形 C．七边形 D．六边形 【答案】B 【分析】本题考查了多边形的对角线．根据n边形从一个顶点出发可引出条对角线，可组成个三角形，依此可得n的值． 【详解】解：设这个多边形是n边形， 由题意得，， 解得：， 即这个多边形是八边形， 故选∶B． 9．若等腰三角形两腰上的高线所在的直线相交所得的锐角为，则等腰三角形的顶角的度数为（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查等腰三角形的性质，四边形内角和定理等知识，解题的关键是用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型． 分两种情形画出图形分别求解即可解决问题． 【详解】解：在中，分别为的高，垂足分别为D，E， 如图，当是钝角时， 由题意：， ∴； 当是锐角时， 由题意：， ∴， ∴； 综上所述，等腰三角形的顶角的度数为或． 故选：D． 10．如图，正五边形与正方形的两邻边相交，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正多边形的性质，多边形的内角和，对顶角的性质，由正多边形的性质及多边形的内角和公式可得，，即得，再根据对顶角的性质即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：如图， 由题意得，，， ∴， ∵，， ∴， 故选：． 二、填空题 11．某同学在进行多边形的内角和的计算时，求得的内角和为，当发现错了之后，重新检查，发现是多加了一个内角，问：多加的这个内角的度数是 ，这个多边形是 边形． 【答案】 /45度 八 【分析】本题考查了多边形的内角和，熟练掌握多边形的内角和公式 ，多边形的内角在之间，是解决问题的关键，首先由题意列出不等式组，进而求出边数的取值范围，注意边数为不小于3的整数，然后确定多加的内角度数． 【详解】解：解：由题意可知：多加的内角为． 解得． ∵n为正整数， ∴． ∴多加的内角为：． 故多加的这个内角是，这个多边形是八边形． 故答案为：，八． 12．如图，一个方桌截掉一个角后，得到一个五边形， ． 【答案】 【分析】本题考查了多边形内角与外角，掌握多边形的内角和公式是解题的关键．如图所示，根据正方形的性质可得，再根据多边形的内角和公式可得：，即，进而得出答案． 【详解】解：如图所示， 根据正方形的性质，可得， 根据题意，可得五边形的内角和为：，即， ． 故答案为：． 13．如图，已知两块三角板如图摆放，点和点分别在两块三角板的边上，一块三角板的顶点在另一块三角板的边上，且，，，则 ． 【答案】68 【分析】延长交于D，延长交于G， 根据外角的性质得到根据四边形的内角和和邻补角的定义得到于是得到结论． 【详解】解：延长BE交AC于D，延长CF交BD于G， 故答案为： 【点睛】本题考查了三角形的外角的性质，四边形的内角和，邻补角的定义，熟练掌握三角形的外角的性质是解题的关键． 14．如图，在正五边形的外部，以 为边作正六边形，连结 ，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题主要考查多边形的性质、等腰三角形的判定及性质，根据题意可知，，结合，求得． 【详解】解：如图所示，延长交于点． 根据题意可知，， 所以． 因为， 所以． 故答案为： 15．如图，五边形的一个内角，则 ． 【答案】290° 【分析】本题考查了邻补角的性质与多边形的外角和，掌握利用邻补角将内角转化为相关角，结合周角计算角度和是解题的关键． 延长得到的邻补角，利用邻补角的性质求出该邻补角的度数；再结合多边形的外角和为，由此可得到的和． 【详解】解：如图，延长，令为． ，， ． ， ． 故答案为：． 16．一个多边形的每个内角都相等，且内角和是外角和的5倍，则这个多边形的每个内角为 ． 【答案】 /度 【分析】本题考查了多边形的内角和，外角和，抓住内角，外角的关系列方程是解题的关键．设多边形的一个内角的度数是，则每个外角的度数为，根据内角和是外角和的5倍，可得每一个内角的度数是每一个外角度数的5倍，据此建立方程求解即可． 【详解】解：设多边形的一个内角的度数是，则每个外角的度数为， 根据题意，得每一个内角的度数是每一个外角度数的5倍， 则， 解得， 则这个多边形的每个内角为． 故答案为：． 17．要用边长相同的正三角形、正六边形两种材料两种材料都要用到密铺地面，必须满足：有公共顶点的若干个个正三角形的内角与若干个个正六边形的内角的和等于，则 ． 【答案】2或4/4或2 【分析】本题考查了多边形的内角与外角，二元一次方程的正整数解，正确计算是解题的关键，先求出正三角形、正六边形的每个内角的度数，再根据题意列出，再求正整数解即可． 【详解】解：正三角形的每个内角是，正六边形的每个内角是， 根据题意得，即（、n为正整数）， 解得，， 的值是2或4， 故答案为：2或． 18．过某个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成5个三角形，这个多边形是 边形，该多边形有 条对角线． 【答案】 七 14 【分析】本题考查了多边形的对角线，多边形中过一个顶点的所有对角线有条，把这个多边形分成个三角形，根据这一点得出，求出n的值，再代入，计算即可求解． 【详解】解：设这个多边形的边数为n， 由题意得， 解得， 所以． 即这个多边形是七边形，该多边形有14条对角线． 故答案为：七；14． 19．如图，每个小正方形的边长为1，把阴影部分剪下来，用剪下来的阴影部分拼成个正方形，那么新正方形的边长是 【答案】 【分析】用阴影部分所在的正方形的面积减去两个直角三角形的面积，得到阴影部分的面积，再根据算术平方根的性质，即可求解． 【详解】解：根据题意得： 阴影部分的面积为， ∴新正方形的边长是． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了算术平方根的应用，熟练掌握算术平方根的性质是解题的关键． 20．一个多边形截去一个角后，形成一个六边形，那么原多边形边数为 ． 【答案】5或6或7 【分析】实际画图，数形结合，可知六边形可以是五边形，六边形，七边形截去一个角后得到． 【详解】解：如图所示： 六边形可以是五边形，六边形，七边形截去一个角后得到． 故答案为：5或6或7． 【点睛】本题主要考查了多边形，此类问题要从多方面考虑，注意不能漏掉其中的任何一种情况． 三、解答题 21．一个正多边形的周长为60，边长为a，一个外角为b°． (1)若，求b的值； (2)若，求a的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了正多边形，多边形的内角与外角， （1）根据正多边形的周长为，边长为，求得边数为，于是得到； （2）根据多边形的外角和等于，求得边数为，根据正多边形的周长为，边长为，于是得到结论． 【详解】（1）解：正多边形的周长为，边长为， 边数为， 一个外角为， ； （2）一个外角为，＝， ， 正多边形的周长为，边长为， ． 22．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别是，，． (1)在图中画出关于轴对称的； (2)写出三点的坐标； (3)求四边形的面积． 【答案】(1)见详解 (2)，， (3)9 【分析】本题主要考查了画轴对称图形，写出直角坐标系中的点的坐标，利用网格求梯形面积等知识． （1）先得出关于点A，点B，点C关于y轴的对称点，然后顺次连接即可． （2）直接写出三点的坐标即可． （3）连接，，再利用网格求出梯形面积即可． 【详解】（1）解：如下图所示： （2）解：，， （3）解：连接，， 则梯形的面积为： 23．已知一个多边形的边数为． (1)若，求这个多边形共有多少条对角线． (2)若这个多边形的内角和等于外角和的倍，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了多边形内角和与外角和，多边形的对角线，熟练掌握多边形内角和公式以及多边形的外角和为是解本题的关键． （1）直接根据多边形对角线公式求解即可； （2）根据多边形的外角和为，然后根据多边形内角和列方程求解即可． 【详解】（1）解：，多边形对角线为 （2）解： 解得． 24．如图，在正五边形中完成下列问题 (1)请画出过顶点A的所有对角线，此时，图中有________个三角形； (2)求正五边形的一个内角的度数． 【答案】(1)图见解析， (2) 【分析】本题考查了正多边形内角和问题，正多边形对角线分三角形个数问题，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）画出过顶点A的所有对角线，再结合图形数出三角形个数即可； （2）根据正多边形的内角和公式计算即可得出结果． 【详解】（1）解：画出过顶点A的所有对角线如图所示： ， 由图形可得，此时，图中有个三角形，分别为、、； 故答案为：3； （2）解：正五边形的一个内角的度数为． 25．已知正多边形的每一个内角的度数等于相邻外角的倍． (1)求这个正多边形的边数． (2)若截去一个角，求截完后所形成的新多边形的内角和． 【答案】(1)这个多边形的边数为； (2)截完后所形成的新多边形的内角和为或或． 【分析】（）利用邻补角互补求出外角，用外角和除以一个外角的度数即可求解； （）分三种情况，根据多边形的内角和计算公式即可求解； 本题考查了正多边形的内角和外角，掌握多边形的内角和计算及分类讨论是解题的关键． 【详解】（1）设正多边形的一个外角的度数为，则与其相邻的内角的度数等于， ∴， 解得，     答：这个多边形的边数为； （2）剪掉一个角以后，多边形的边数可能增加了条，也可能减少了条，或者不变， 当多边形为九边形时， 内角和； 当多边形为八边形时， 内角和； 当多边形为七边形时， 内角和． 综上所述，截完后所形成的新多边形的内角和为或或． 26．用两种方法证明“三角形的外角和等于360°”． 如图，是的三个外角． 求证：． 证法1：∵ ， ∴． ∴． ∵ ， ∴． 请把证法1补充完整，并用不同的方法完成证法2． 【答案】，，见解析 【分析】本题主要考查了三角形外角和等于的证明，对于证法一，先根据3个平角的和为，再减去三角形内角和，可得答案；证法二，作，再根据平行线的性质将另外两个外角转化到同一周角，即可得出答案. 【详解】证法一∵， ∴． ∴． ∵， ∴． 故答案为：，； 证法2：如图，过点 A 作射线，使． ∵， ∴． ∵， ∴． 27．如下图，，，，，是五边形的外角，且．求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了多边形的内角与外角，熟知多边形的外角和是是解题的关键． 先根据多边形的外角和定理求出的度数，再根据邻补角互补即可求出的度数． 【详解】解：， ， ． 28．如何密铺地板 活动任务 小明家进行装修，想给厨房和客厅的地板既不留空隙、又不重叠地铺满地砖（要求：地砖不能切割）． 活动过程 素材1 装修公司提供了如下几种规格的地砖及其价格： 形状 边长 米 米 米 米 米 价格 30元/块 40元/块 120元/块 150元/块 180元/块 素材2 如图1，小明家厨房地面是一个长为3米，宽为米的长方形．如图2，小明家客厅中间区域想设计为各边长均为3米的平行四边形，且． 任务1：小明想用装修公司提供的现有规格中的同一种正多边形地砖铺满厨房地板，请你帮他算出该方案的费用． 任务2：小明想用两种不同的正多边形地砖铺满图2区域，他能实现吗?若能，请你帮他设计一种最省钱的方案，在图2中画出示意图，并计算出最省的费用；若不能，请说明理由． 【答案】任务1：1200元；任务2：能实现，见解析 【分析】本题考查平面镶嵌问题，掌握正多边形的内角公式是解题的关键． 任务一：由厨房是长方形可得只能用正方形的地砖；任务二：选正三角形与正六边形来铺设地板． 【详解】解：（1）厨房地板是长方形，且要求用同一种正多边形铺设， 只能用正方形． 每块正方形的面积为平方米， 需正方形（块）． 正方形总费用为（元）． （2）能实现，理由如下： ，且正三角形每个内角，正六边形每个内角， 选正三角形与正六边形来铺设地板． 如图所示，用9块正六边形和18块正三角形地砖铺设费用最少． 总费用为（元）． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 21.1四边形及其内角和、多边形及其内角和寒假预习讲义（人教版） ☟ 预习内容速览 1. 课前预习◆目标 2.重点知识◆梳理归纳 3.核心考点◆精讲精练 4.巩固提升◆综合测试 ✅ 课前预习◆目标 ◆明确四边形的定义，识别四边形的边、顶点、对角线； ◆理解四边形外角和：通过“内角与外角互补”或“外角和内角和的关系”，推导四边形外角和为360°； ◆掌握多边形的相关概念及其内角和，并能够对其熟练应用； ◆掌握正多边形的相关概念及其相关计算，并能够熟练地对其应用。 💧 重点知识◆梳理归纳 【知识点1四边形及其内角和】 1. 定义：在平面内，由不在同一直线上的四条线段首尾顺次相接组成的图形叫作四边形； 2. 组成四边形的各条线段叫作四边形的边，每相邻两条线段的公共端点叫作四边形的顶点，如下图，画出四边形ABCD的任何一条边（例如CD）所在直线，整个四边形都在这条直线的同一侧，这样的四边形叫作凸四边形； 3. 连接四边形不相邻的两个顶点的线段，叫作四边形的对角线； 4. 与三角形类似，四边形相邻两边组成的角叫作四边形的内角，简称四边形的角； 5. 四边形的角的一边与另一边的延长线组成的角叫作四边形的外角。 【知识点2四边形的内角与外角性质】 （1）四边形的内角和等于360°； （2）四边形的外角和等于360°； （3）四边形具有不稳定性。 【知识点3多边形及其内角和】 1. 多边形的定义：在平面中，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形； 2. 每条线段称为多边形的边，每两条边的交点称为多边形的顶点。连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线。 3.多边形的性质： （1）内角和定理：一个n边形的内角和为(n−2)×180°（n≥3）； （2）外角和：任何多边形的外角和恒为360°； （3）对角线：一个n边形的对角线条数为​； （4）顶点和边的关系：多边形的顶点数和边数相等，即一个n边形有n个顶点和n条边； （5）对称性：正多边形具有较高的对称性，例如：正三角形有3条对称轴，正方形有4条对称轴，正五边形有5条对称轴等。不规则多边形可能没有对称轴，或者只有一条对称轴。 💦 核心考点◆精讲精练 题型1四边形的不稳定性 例1．下列图形中不具有稳定性的是（    ） A． B． C． D． 变式1．妈妈买来一个木制活动衣帽架，如图，小颖发现这个衣帽架能伸缩，这说明： ． 变式2．（1）下列图形中具有稳定性是 ；（只填图形序号） （2）对不具有稳定性的图形，请适当地添加线段，使之具有稳定性． 题型2多边形的概念与分类 例2．下列图形中不是凸四边形的是（   ）． A． B． C． D． 变式1．在如图所示的图形中，是多边形的有 ；是凸多边形的有 ． 变式2．用示意图表示下列概念之间的关系． (1)三角形，等腰三角形，等边三角形； (2)四边形，梯形，平行四边形． 题型3正多边形概念辨析 例3．下列图形中，一定是正多边形的是（   ） A．三角形 B．四边形 C．平行四边形 D．正方形 变式1．如图，正六边形的边长是，点是上的一动点，的最小值是 ． 变式2．如图，正十二边形的面积是2022，那么图中阴影部分的面积是（    ）． A．504 B．568 C．612 D．674 题型4多边形截角后的边数问题 例4．若一个多边形截去一个角后，变成五边形，则原来的多边形的边数不可能为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 变式1．若一个多边形截去一个角后，得到的新多边形为十五边形，则原来的多边形边数为 ． 变式2．如图，从五边形纸片中剪去一个三角形，剩余的部分是几边形？请画出示意图说明． 题型5多边形的周长 例5．如图，一张长方形纸片剪去一个角后，剩下的纸片是一个梯形，则这个梯形的周长为（   ） A．10 B．22 C．24 D．32 变式1．已知某正八边形的一边长为2，则该正八边形的周长为 ． 变式2．学科实践 某中学计划修建一个面积为的花坛，花坛四周用色围起来，数学小组成员洋洋和强强设计了如下两种方案： 洋洋：建设一个正方形花坛 强强：建设一个长方形花坛，长是宽的3倍． 请通过计算比较按哪种方案建设花坛所需要的篱笆（四边形周长）更短． 题型6网格中多边形面积比较 例6．如图，网格图中每个小正方形的边长均为1，以为半径的扇形经过平移到达扇形的位置，那么图中阴影部分的面积是（　　）．    A．8 B．6 C．6.5 D．7.5 变式1．如图，小个方格都是边长为1的正方形，图中四边形的面积为 ． 变式2．在平面直角坐标系中，的顶点坐标，， (1)作关于y轴的对称图形，并写出、、的坐标． (2)连接、，求出四边形的面积． 题型7多边形对角线的条数问题 例7．从正十四边形的一个顶点出发，可画出对角线（    ） A．11条 B．12条 C．13条 D．14条 变式1．银川市金凤区某中学要举办数学文化节，需要制作一种多边形的宣传标牌．已知从这个多边形的一个顶点出发，最多可以引出12条对角线，则它的边数为 ． 变式2．探究归纳题： 【试验分析】 （1）如图①，过点可以作1条对角线；同样，经过点可以作1条对角线；经过点可以作1条对角线；经过点可以作1条对角线；且对角线与为同一条．通过以上分析和总结，图①共有________条对角线； 【拓展延伸】 （2）运用（1）的分析方法可得：图②每个顶点出发有________条对角线，共有________条对角线；图③共有________条对角线； 【探索归纳】 （3）对于边形，共有________条对角线（用含的代数式表示）； 【特例验证】 （4）十边形共有________条对角线． 题型8对角线分成的三角形个数问题 例8．从一个多边形的一个顶点出发的所有对角线，将这个多边形分成6个三角形，则这个多边形是（    ） A．六边形 B．七边形 C．八边形 D．九边形 变式1．如图，从八边形的顶点A出发画对角线，将这个八边形分成 个三角形．    变式2．把一个多边形用连接它的不相邻顶点的线段（这些线段不在多边形内部相交）划分为若干个三角形，叫作多边形的三角剖分． 【初步探究】如图所示，从多边形的一个顶点出发，分别连接这个多边形的其余各顶点，则可以把这个多边形分成若干个三角形． （1）若多边形是一个五边形，则可以分割成______个三角形；若多边形是一个六边形，则可以分割成______个三角形，…，则n边形可以分割成______个三角形； （2）如果从一个多边形的一个顶点出发，分别连接其余各顶点，将这个多边形分割成了2026个三角形，那么此多边形的边数为______； 【深入探究】创新小组的小梦同学想到了另一种剖分方法，如下图所示： （1）按照图中所示的方法将多边形分割成三角形，图1中四边形可分割出4个三角形；图2中五边形可分割出______个三角形；图3中六边形可分割出______个三角形； （2）你能由（1）的结论归纳出分割成三角形的个数n与多边形边数m之间的关系吗？ 题型9多边形内角和问题 例9．如图，在中，，将沿虚线剪去，则的度数为（    ） A． B． C． D． 变式1．如图，把一张长方形纸片沿折叠后，D、C分别落在、的位置上，与交于点G，若，则 ． 变式2．如果一个多边形的边数为n，就说这个多边形为n边形．多边形所有内角的度数和就是多边形的内角和． (1)求四边形和五边形的内角和； (2)如果一个n边形的内角和为，求n的值． 题型10正多边形的内角和问题 例10．若正多边形的一个内角是，则该多边形的边数是（   ） A．6 B．12 C．16 D．18 变式1．如图，正五边形内接于，过点C的直径与交于点F，连接，则的度数为 ． 变式2．如下图，以正六边形的一边为边向外作正方形，连接，．求的度数． 题型11多（少）算一个角问题 例11．一个多边形除去一个内角后，其余各内角的和为，则这个内角是（     ） A． B． C． D． 变式1．小明同学在计算一个多边形的内角和时，由于粗心少算一个内角，结果得到的结果是，则少算的这个内角的度数为 ． 变式2．看下图解答问题． (1)小明为什么说多边形的内角和不可能是？ (2)小华求的是几边形的内角和？内角和是多少度？多加的那个外角是多少度？ 题型12多边形截角后的内角和问题 例12．若一个多边形截去一个角后，变成十四边形，则原来的多边形的边数可能为（    ） A．13 B．14或15 C．13或15 D．13或14或15 变式1．如图，一个多边形纸片按图示的剪法剪去一个内角后，得到一个内角和为的新多边形，则原多边形的边数为 ． 变式2．已知一个多边形的内角和与外角和相加等于． (1)求这个多边形的边数及对角线的条数． (2)这个多边形剪去一个角后，所形成的新多边形有______条边． 题型13复杂图形的内角和 例13．如图，顺次连接图中六个点，得到以下图形，则的度数为（    ） A． B． C． D． 变式1．如图，的度数为 ． 变式2．如下图，四边形中，若，，平分，是外角的平分线，求的度数． 题型14正多边形的外角问题 例14．一个多边形的每个外角都等于，则这个多边形的边数为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 变式1．中国古典园林里面的窗型，丰富多样．如图所示的是颐和园小长廊五角加膛窗的示意图，它的一个外角的度数为 ． 变式2．如图，小明从点A出发，前进后向右转，再前进后又向右转，…，如此反复下去，直到他第一次回到出发点A，他所走的路径恰好构成了一个正多边形． (1)小明一共走了多少米? (2)求这个正多边形的内角和． 题型15多边形外角和的实际应用 例15．某人从A点出发，沿着六边形的公园逆时针转了一圈又回到了A处（如图）．如果在B，C，D，E，F五个转角处都转了，那么他在A处转过多少度角才能仍面向所指的方向（    ） A． B． C． D． 变式1．如图，，则 ． 变式2．如下图，四边形中，，，，的外角分别为，，．求的值． 题型16多边形内角和与外角和综合 例16．若一个正多边形的内角和为，则这个正多边形的一个外角为（   ） A． B． C． D． 变式1．已知一个正多边形的每一个外角为，则这个多边形的边数为 ． 变式2．（1）已知实数满足，试化简式子． （2）一个多边形的内角和是它的外角和的4倍．求这个多边形的边数． 题型17平面镶嵌 例17．商店出售下列形状的地砖：①长方形；②正方形；③正五边形；④正六边形．若只选购其中某一种地砖用来镶嵌教室地面，可供选择的地砖是（   ） A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．②③ 变式1．公园的一段甬道是由完全相同的五边形密铺而成，其部分密铺图案如图所示，若，，则的度数为 ． 变式2．【问题背景】生活中，我们经常可以看到由各种形状的地砖铺成的地面，在这些地面上，相邻的地砖平整地贴合在一起，整个地面没有一点空隙．从数学角度来看，当一个顶点周围围绕的各个多边形的内角恰好拼成一个周角时，就能形成一个既不留空隙又不互相重叠的平面图案，我们把这类问题叫做多边形平面镶嵌问题．如图1是由若干正方形镶嵌而成的图案，图2是由若干正三角形、正方形和正六边形镶嵌的图案． 【探究发现】 （1）填写下表： 正多边形的边数 3 4 5 6 8 正多边形每个外角的度数 ___________ ___________ ___________ （2）若只用一种正多边形镶嵌整个平面图案，则这样的正多边形有___________（填序号） ①正三角形；②正五边形；③正六边形；④正七边形；⑤正八边形 【拓展应用】 （3）如图3，由六个全等的正五边形和五个全等的等腰三角形镶嵌组成了一个大五边形．求的度数． ✍ 巩固提升◆综合测试 一、单选题 1．下列图形中具有稳定性的是（   ） A． B． C． D． 2．下列说法正确的是（       ） A．两点之间，直线最短 B．过两点有且只有一条直线 C．若，则为中点 D．各边相等的多边形是正多边形 3．下列图形中，是正多边形的是（   ） A．等腰三角形 B．长方形C．正方形D．五边都相等的五边形 4．把一张形状是四边形的纸片剪去其中某一个角，剩下的部分的形状不可能是（   ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 5．已知某正八边形的一边长为2，则该正八边形的周长为（   ） A．12 B．15 C．16 D．18 6．正方形网格中的交点，我们称之为格点．如图所示的网格图中，每个小正方形的边长都为．现有格点，那么，在网格图中找出格点，使以和格点为顶点的三角形的面积为1．这样的点可找到的个数为（       ） A．4 B．5 C．6 D．7 7．如图，过一个顶点，四边形有1条对角线；五边形有2条对角线：六边形有3条对角线：……按此规律，过十二边形一个顶点的对角线有（   ） A．9条 B．10条 C．11条 D．12条 8．从某多边形的一个顶点引出的所有对角线，把这个多边形分成了6个三角形，则此多边形是（    ） A．九边形 B．八边形 C．七边形 D．六边形 9．若等腰三角形两腰上的高线所在的直线相交所得的锐角为，则等腰三角形的顶角的度数为（　　） A． B． C．或 D．或 10．如图，正五边形与正方形的两邻边相交，则的大小为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 11．某同学在进行多边形的内角和的计算时，求得的内角和为，当发现错了之后，重新检查，发现是多加了一个内角，问：多加的这个内角的度数是 ，这个多边形是 边形． 12．如图，一个方桌截掉一个角后，得到一个五边形， ． 13．如图，已知两块三角板如图摆放，点和点分别在两块三角板的边上，一块三角板的顶点在另一块三角板的边上，且，，，则 ． 14．如图，在正五边形的外部，以 为边作正六边形，连结 ，则的度数为 ． 15．如图，五边形的一个内角，则 ． 16．一个多边形的每个内角都相等，且内角和是外角和的5倍，则这个多边形的每个内角为 ． 17．要用边长相同的正三角形、正六边形两种材料两种材料都要用到密铺地面，必须满足：有公共顶点的若干个个正三角形的内角与若干个个正六边形的内角的和等于，则 ． 18．过某个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成5个三角形，这个多边形是 边形，该多边形有 条对角线． 19．如图，每个小正方形的边长为1，把阴影部分剪下来，用剪下来的阴影部分拼成个正方形，那么新正方形的边长是 20．一个多边形截去一个角后，形成一个六边形，那么原多边形边数为 ． 三、解答题 21．一个正多边形的周长为60，边长为a，一个外角为b°． (1)若，求b的值； (2)若，求a的值． 22．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别是，，． (1)在图中画出关于轴对称的； (2)写出三点的坐标； (3)求四边形的面积． 23．已知一个多边形的边数为． (1)若，求这个多边形共有多少条对角线． (2)若这个多边形的内角和等于外角和的倍，求的值． 24．如图，在正五边形中完成下列问题 (1)请画出过顶点A的所有对角线，此时，图中有________个三角形； (2)求正五边形的一个内角的度数． 25．已知正多边形的每一个内角的度数等于相邻外角的倍． (1)求这个正多边形的边数． (2)若截去一个角，求截完后所形成的新多边形的内角和． 26．用两种方法证明“三角形的外角和等于360°”． 如图，是的三个外角． 求证：． 证法1：∵ ， ∴． ∴． ∵ ， ∴． 请把证法1补充完整，并用不同的方法完成证法2． 27．如下图，，，，，是五边形的外角，且．求的度数． 28．如何密铺地板 活动任务 小明家进行装修，想给厨房和客厅的地板既不留空隙、又不重叠地铺满地砖（要求：地砖不能切割）． 活动过程 素材1 装修公司提供了如下几种规格的地砖及其价格： 形状 边长 米 米 米 米 米 价格 30元/块 40元/块 120元/块 150元/块 180元/块 素材2 如图1，小明家厨房地面是一个长为3米，宽为米的长方形．如图2，小明家客厅中间区域想设计为各边长均为3米的平行四边形，且． 任务1：小明想用装修公司提供的现有规格中的同一种正多边形地砖铺满厨房地板，请你帮他算出该方案的费用． 任务2：小明想用两种不同的正多边形地砖铺满图2区域，他能实现吗?若能，请你帮他设计一种最省钱的方案，在图2中画出示意图，并计算出最省的费用；若不能，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $