6.1.1 平方根-【初中必刷题】2025-2026学年七年级下册数学同步课件(沪科版·新教材)

该初中数学课件聚焦七年级下册“实数”章节中的平方根与算术平方根，通过“刷基础-刷提升-刷易错-刷素养”的分层设计，从概念辨析（如289的平方根表达式）入手，逐步过渡到计算技巧（带分数化假分数）、实际应用（圆面积与圆柱体积问题），构建从基础到综合的学习支架，帮助学生衔接前后知识。 其亮点在于融合数学抽象能力、推理意识与应用意识，通过“零+零”模型归纳、易错点分类讨论（如正数平方根的两种情况）、核心素养题（图形拼接与面积计算）等设计，培养学生用数学眼光观察问题、用数学思维解决问题。教师可借助分层例题与解析提升教学效率，学生能在分层训练中巩固知识，提升数学表达与应用能力。

数 学 七年级下册 HK 1 2 3 第6章 实数 4 6.1 平方根、立方根 6.1.1 平方根 5 刷基础 刷提升 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 6 基础 知识点1 平方根与算术平方根 1.289的平方根是 的数学表达式是( ) C A. B. C. D. 【解析】289的平方根是的数学表达式是 ，故选C. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 7 2.【2024江苏扬州广陵区期末】下列各式计算正确的是( ) B A. B. C. D. 【解析】A选项， ，原计算错误，故此选项不符合题意；B选项， ，原计算正确，故此选项符合题意；C选项， ，原 计算错误，故此选项不符合题意；D选项， 没有意义，原计算错误，故此选 项不符合题意.故选B. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 8 3.一个数的平方根与这个数的算术平方根相等，这个数是( ) C A.1 B. C.0 D.1或0 【解析】因为一个正数有两个平方根，它们互为相反数，0的平方根是0,负数没有 平方根；一个正数有一个算术平方根，0的算术平方根是0，所以平方根与算术平 方根相等的数只有0.故选C. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 9 4.计算： __. 【解析】 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 10 技巧总结 当被开方数是带分数时，应先把带分数化为假分数，再求值. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 11 5.如果，是2 023的两个平方根，那么 _______. 2 023 【解析】因为，是2 023的两个平方根，所以， ，所以 ，故答案为2 023. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 6.【2025安徽合肥期中】若数，满足，则 的值为___. 4 归纳总结 （1）“零 零”模型：几个非负数相加的和为0，则这几个非负数均为0. （2）初中学过的几种非负数: 一个数的绝对值是非负数，可表示为 ； 一个数的偶次方是非负数，可表示为 是正整数）； 一个数的算术平方根是非负数，且这个数也是非负数，可表示为 . 【解析】因为，所以，,所以, ， 所以 ，故答案为4. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 13 7.求下列各数的平方根、算术平方根. （1） ； 【解】.因为，所以225的平方根是 ，225的算术 平方根是15，所以的平方根是 ，算术平方根是15. （2） ； 【解】.因为，所以的平方根是， 的算术平方根 是，所以的平方根是,算术平方根是 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 14 （3） . 【解】.因为，所以0.04的平方根是， 的 算术平方根是,所以的平方根是 ,算术平方根是0.2. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 15 知识点2 用计算器求平方根 8.用计算器求下列各式的值.精确到 （1） _______； （2） ________； （3） ________; （4） ________. 4.079 95.205 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 16 知识点3 算术平方根的应用 9.【2025安徽合肥期中】圆的面积变为原来的 倍，则它的半径是原来的( ) C A.倍 B.倍 C.倍 D. 倍 【解析】设圆原来的半径为，现在的半径为.根据题意得 ，所以 ，所以，即,则它的半径是原来的 倍.故选C. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 17 10.小华用一根细线将一铁块拴住，完全浸入盛满水的圆柱形溢水杯中，并用量筒 量得从溢水杯中溢出的水的体积为60立方厘米，小华又将铁块从溢水杯中拿出来， 量得溢水杯的水位下降了0.8厘米，则溢水杯内部的底面半径为 ___厘米. 取3 5 【解析】设溢水杯内部的底面半径为厘米.由题意得 ,所以 .因为,所以 .故答案为5. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 18 刷易错 易错点 对平方根和算术平方根的概念理解不清楚致错 11.王老师给同学们布置了这样一道习题：一个正数的算术平方根为 ，它的 平方根为 ，求这个正数. 小张的解法如下： 解：依题意可知，解得，则，所以这个正数 为9. 王老师看后说小张的解法不完整，请同学们给出这道习题完整的解法. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 19 【解】依题意可知是, 两数中的一个.应分情况讨论： ①当时，解得，则,所以这个正数 为9. ②当时，解得，则,所以这个正数 为1. 综上所述，这个正数 是9或1. 易错警示 学生容易对平方根和算术平方根的概念理解不清，一个正数 有两个平方根，一个 是的算术平方根，另外一个是 ，针对本题，需要考虑两种情况： ； . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 20 提升 1.【2024安徽宣城质检，中】如果是一个整数，那么整数 可取 得的值共有( ) A A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 【解析】因为，是一个整数， 为整数，所 以整数可以取2，8，18，所以整数 可取得的值共有3个.故选A. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 21 2.【2025安徽宿州质检，中】已知与是正数的平方根，则 的值是 ( ) D A.1 B.9 C.1或 D.1或9 【解析】因为与是正数的平方根，所以与 相等或互 为相反数，所以或，解得或 . 当时，，所以；当时， ，所以 ，故答案为1或9. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 22 3.【2025河南鹤壁调研，中】如图是按一定规律排成的三角 形数阵，按图中数阵的排列规律，第28行从左至右第22个数 是____. 20 【解析】由题图可知，第1行有1个数，第2行有2个数，第3行 有3个数， ，所以第行有个数,所以前 行一共有 （个）数，所以前27行共有 （个）数，所以第28行从左至右第22个数是 . 故答案为20. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 23 关键点拨 根据题意得出前行共有 个数是解题的关键. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 24 4.［中］ （1）如果一个数的算术平方根等于这个数本身，那么这个数是______． 0或1 【解析】如果一个数的算术平方根等于这个数本身，那么这个数是0或1，故答案 为0或1． （2）若，则 __________． 或 【解析】 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 25 5.【2025北京海淀区质检，中】求下列各式中 的值. （1） ； 【解】，移项，得,由平方根的定义得， ，即 或，所以或 . （2） . 【解】，移项，得，两边都除以 ，得 ，由平方根的定义得，，即或 ，所 以或 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 26 6.【2024安徽芜湖期中，中】有一个数值转换器，原理如图所示. （1）当输入的值为16时，输出的 值是多少？ 【解】16的算术平方根为，4是有理数；4的算术平方根为 ，2是有 理数；2的算术平方根为，不是有理数，则输出的值是 . （2）是否存在输入有效的值后，始终输不出 值？如果存在，请写出所有满足要 求的 值；如果不存在，请说明理由. 【解】存在.当或1时，始终输不出 值. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 27 （3）小明输入某个数据，在转换器运行程序时，屏幕显示“该操作无法运行”， 请你推算小明输入的 的取值范围. 【解】因为负数没有算术平方根，所以当输入的 值小于0时，该程序无法运行， 即小明输入的的取值范围为 . （4）若输出的值是，试问输入的 值是否唯一？若不唯一，请写出其中的两个. 【解】输入的值不唯一.如或时，输出的值都是 （写出两个符合题 意的 值即可）. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 28 刷素养 走向重高 7.核心素养 数形结合 【2025河北邯郸期中，较难】【问题发现】 图（1） 图（2） 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 29 （1）如图（1），把两张边长都为1的小正方形纸片分别沿对角线剪开，将所得的 4个直角三角形拼在一起，就可以得到一个大正方形，所得到的大正方形的面积为 ___，大正方形的边长为____. 2 【解析】由题意得，大正方形面积为，所以其边长为.故答案为2， . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 30 【知识迁移】 （2）爱钻研的小思受到启发，尝试用两张同样大小的长方形纸片拼出一个大正方 形.如图（2），将两张长和宽分别为3和2的长方形纸片分别沿对角线剪开，将所 得到的4个直角三角形拼出了一个中间有一个镂空小正方形 的大正方形 ，所得到的小正方形的边长为___，大正方形 的边长为_____. 1 【解析】由题意得，小正方形的边长为，所以大正方形 的面 积为，所以大正方形的边长为.故答案为1, . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 31 【拓展延伸】 （3）小明想用一张面积为 的正方形纸片，沿着边的方向裁出一张面积为 的长方形纸片，使它的长与宽之比为 .请通过计算说明是否可行. 【解】不可行.理由如下： 设裁出的长方形纸片的长为，宽为，则，所以 . 因为，所以，所以裁出的长方形纸片的长为 .因为正方形 纸片的面积为，所以正方形纸片的边长为.因为 ，所以不能 用面积为的正方形纸片，沿着边的方向裁出一张面积为 的长方形 纸片，使它的长与宽之比为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 32 $