双曲线 基础知识讲义-2026届高三数学一轮复习

双曲线 一知识再现 1.双曲线的定义 双曲线：平面内与两个定点F,F2的距离的差的绝对值等于常数2a(0< 符号语言：|PF-PF=2a(0<2a<F1F=2C 双曲线的焦点：两个定点F,F, 双曲线的焦距：两焦点的距离F1F即2c 实轴：2a 虚轴：2b,焦点到两条渐近线的距离为常数b a,b,c的关系：a2+b2=c2 注： (1)若定义式中去掉绝对值，则曲线仅为双曲线中的一支 (2)当2a=FF,时，，点的轨迹是以F和F为端点的两条射线 当2a=0时，，点的轨迹是线段FF的垂直平分线 当2a>FF时，，点的轨迹不存在 2.焦点三角形 (1)常用公式 、62 SAPFIF:tan 0为∠FPF2 SaPR4,=非PFPFsin∠R1P2 （2)常用关系 I PF]-PF3=2a (0<2a<FF2=2c) ②S△r,P=PFPF5in∠FPF2（点P为短转端点，S取得最大值， ③r,E时2=PF2+|PF-2 PFJPFjcos.∠FPF2 2a<F1F)的点的轨迹 最大值为bc) 3.双曲线的方程及性质 a 图形 标准方程 等-3=>0，b>0 s-￥=1a>0,b>0 共渐近线的双 曲线方程 器-常=≠小 器-器=2≠0) 共焦点的双曲 线方程 益-器=〔-a2<k<b) 器-器=〔-2<k<b吲 焦点坐标 F(-c,0),F2(c,0) F(0,-c),F,(0,c) 对称性 关于x,y轴成轴对称，关于原点成中心对称 顶点坐标 A,(-a,0),A(a,0) A(0,a),A2(0,-a) 范围 x≥a yl≥a 实轴、虚轴 实轴长为2a,虚轴长为2b 半轴长 实半轴长为a,虚半轴长为b 离心率 esc +ae>)（离心率越大，开口越大) 1+ 63 a x2 y2 a京=0→y=±6x, b y2 x2 渐近线方程 a 若茶=0y=号， 切线方程 学-等=1oy切点 a一 通径 通径（过焦点且垂直于F5的孩）是同支中的最短孩，其长为2少 等轴双曲线满足如下充要条件： a=b 离心率e=反 等轴双曲线 两渐近线互相垂直 渐近线方程为y=士x 方程可设为x2-y2=元（亿≠0）. 4.弦长与中点弦 (1)弦长问题 定义：直线与双曲线的交，点间的线段叫作双曲线的弦。 弦长公式 设直线与双曲线的两个交点为A(xy,8(xy,kAB=k ①联立方程，得到Cx2+Dx十m=0 ②使用韦达定理 ③写出公式弦长|AB1= -+.-+号 (2)“中点弦”问题 ①做法 利用端点在曲线上，坐标满足方程，将端点坐标分别代入双曲线方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系。 y小，y小，中点y小，kB=k代入双海线方导-三=（归>0，b>0) 得 等-器-1 等器-1 两式相减可得： (x1十8Xx1-x2 a2 必巴-0，当x≠时，布孕-学=0，后线月点制式永出直线方在 63 ②弦的中，点与直线的斜率的关系 若线段AB是双曲线器-总=(>0，b>0的一条孩，当孩AB所在直线的针车存在时，孩AB的中点M的坐 标为区0y。,则孩AB所在直线的斜率为窃，即KoNk=兰 b'xo 【焦点在x轴】 若线段AB是双曲线-影=1(a>0,b>0)的一条孩，当孩AB所在直线的斜牵存在时，弦AB的中点M的坐 axo 标为X0y,则孩AB所在直线的斜率为，即KOMkAB=影 【焦，点在y轴】 二题型分类 题型一双曲线定义 1.设A(0,-3),B(0,3是平面内两个定点，动点P满足PA-PB=4,则P点的轨迹方程是(). A.-上=1 B.y22=1 45 45 c.￥-上=1 D.y =1 54 54 2,设，5为双曲线c。,a>0.b>0的左、石焦点，直线y=2水为双曲线C的一条近线，点P为CP 一点，如果PF-PF引=4，那么双曲线C的方程为 3.设F(-5,0),F(5,0)为定点，动点P(x,y)满足PFPF=6,则动点P的轨迹方程为() 9-16=1 C. A=1B.-三 D. y2 x2 =1 =1 916 916 4.己知圆A:(x+3)2+y2=4,B(3,0),点P在圆A上运动，设线段PB的垂直平分线和直线PA的交点为Q,则Q点 的轨迹方程为() Ar若管-Mr 》8若1c =1(x≥1) 6 D.x2 =1 6 5.方程Vx-42+y2-Vx+4)2+y=±4的化简结果为() A.g=18.--1 D.y2x2 =1 124 412 c苦后1 124 6,若方程+少=1表示双曲线，则m的取值范围是 m-3m+2 7,已知一个双曲线的方程为广，亡，=1，则m的取值范围是一 m-3m-2 8.已知等轴双曲线C过点M(3,2),则双曲线C的标准方程为一 题型二双曲线的标准方程 9.已知双曲线的焦距是实轴长的2倍，且经过点(5,25，则它的标准方程为」 10.双曲线C:-云=1的离心率为2，且过点（反，V月，则双曲线的方程为一 ‘a2b21 11.焦点在x轴上，焦距为4且离心率为2的双曲线的标准方程为 12.与椭圆父+，=1共焦点且过P2,1)的双曲线方程为 63 13.已知双曲线过点P(2,),它的一条渐近线方程为y=x,则该双曲线的方程为 4,与双曲线一广=1有公共浒近线，且过点-23引的双曲线的实抽长为 15.已知(0,2)是双曲线x2-y2=m的一个焦点，则m=一 题型三椭圆的离心率 16.已知双曲线方程为：3y2-3x2=1,则离心率为一 17.已知双曲线x2-ay2=a2的实轴长为10，则该双曲线的离心率e=（) A.V20 B.5 c.30 D.110 5 2 5 10 8,双曲线Ca>0.h>0的左顶原为4，点P,Q均在C上，且关于y轴对称、若直线AP,4O的斜率 之积为号则C的离心率为《） A.2 8.4 D.2V5 3 C.√2 3 9巴知双曲线C名广Q>0D>0的左，春裙分别为，过/垂直的直安与一条新近线的交点方 P,PF引=EF引，则C的离心率为· 20.双储线C:号茶-口>06>0的左，右焦点分别为R,5,过5的直线交双曲线右支于么B两点（4左8上 方)，满足AF=5BF,,且AB=4AF2,设双曲线的离心率为e,则e2的值为() c 23 4 21.已斑双情线C茶若-1m>0n>0的左、右点分别为，6，点0在C上，且∠Q55=天∠F05- 6 21 则C的离心率e= 22.与椭圆￡+二=1有公共焦点且离心率e=的双曲线的方程为() 2449 A A. 二1 B.x2y2 =1 169 169 C.2x2 431 D.xy =1 43 23.已知双曲线C:r-片=6>0的离心率为2，左、右焦点为，万，P为发曲线C上的-个动点，则 PE·PF的最小值为() A.-2 B.-3 C.-4 D.-5 题型四弦长与中，点弦 4、三频双重线C号若-e>0b>0的E点为F,应w13,在C上，且wF:就 (1)求双曲线C的方程； (2)过点F且倾斜角为”的直线交C于A,B两点，求线段AB的长. 25.已知直线5r+了=0为双曲线r若茶=u>06>0)的一条新近线，且r经过点L0. (1)求双曲线Γ的方程； (2)若经过T右焦点F的直线与双曲线交于A,B两点，且|AB=6,求直线AB的方程. 26.已知中心是坐标原点的双曲线C的两个焦点为(-3,0，(3,0)，且C的离心率为3. (1)求C的方程： (2)设直线y=3x+m与C交于A,B两点，若AB=4W5,求m的值. 7已为双面线C号芳-a>00>0的实长为2.商心半为5. (1)求双曲线C的方程； 2P为双曲线C上一点，且∠FP所-胥求P+PF 中点弦 2识.已如直线1：x-y+3=0与双曲线C号-口>0，b>0)交于小、8两点，京P1,4到是弦B的中点，则双曲 线C的渐近线方程是」 29.已知双曲线C:x-上 =1,若双曲线C的一条弦的中点为-1，-4)，则这条弦所在直线的斜率为一· 9 30.04》已双曲线C号若=a>06>0,4-20,若图M-2八+-2=1上存在点P使得P4的中点 Q在双曲线C的渐近线上，则双曲线C的离心率的取值范围为() A.(1,2 B.[2,+o0) C.(1,3] D.[3,+0) 双曲线 一 知识再现 1.双曲线的定义 双曲线：平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于常数（）的点的轨迹 符号语言：| 双曲线的焦点:两个定点 双曲线的焦距:两焦点的距离, 即 实轴： 虚轴：,焦点到两条渐近线的距离为常数 的关系： 注： （1）若定义式中去掉绝对值，则曲线仅为双曲线中的一支 （2）当时，点的轨迹是以和为端点的两条射线 当时，点的轨迹是线段的垂直平分线 当时，点的轨迹不存在 2.焦点三角形 (1)常用公式 , θ为 （2）常用关系 ①| ② （点P为短轴端点，S取得最大值，最大值为bc ） ③ 3.双曲线的方程及性质 图形 A2 标准方程 共渐近线的双曲线方程 共焦点的双曲线方程 焦点坐标 ， ， 对称性 关于，轴成轴对称，关于原点成中心对称 顶点坐标 ， ， 范围 实轴、虚轴 实轴长为，虚轴长为 半轴长 实半轴长为a,虚半轴长为b 离心率 （离心率越大，开口越大） 渐近线方程 ， ， 切线方程 为切点 为切点 通径 通径（过焦点且垂直于的弦）是同支中的最短弦，其长为 等轴双曲线 等轴双曲线满足如下充要条件： , 离心率 两渐近线互相垂直 渐近线方程为 方程可设为． 4.弦长与中点弦 （1）弦长问题 定义：直线与双曲线的交点间的线段叫作双曲线的弦。 弦长公式 设直线与双曲线的两个交点为，， ①联立方程，得到 ②使用韦达定理 ③写出公式弦长|AB|== （2）“中点弦”问题 ①做法 利用端点在曲线上，坐标满足方程，将端点坐标分别代入双曲线方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系。 设，中点M，,代入双曲线方程 得 ; 两式相减可得： ,当时，有，后使用点斜式求出直线方程。 ②弦的中点与直线的斜率的关系 若线段AB是双曲线的一条弦，当弦AB所在直线的斜率存在时，弦AB的中点M的坐标为，则弦AB所在直线的斜率为，即 【焦点在x轴】 若线段AB是双曲线 的一条弦，当弦AB所在直线的斜率存在时，弦AB的中点M的坐标为，则弦AB所在直线的斜率为，即 【焦点在y轴】 题型一 双曲线定义 1．设，是平面内两个定点，动点P满足，则P点的轨迹方程是（    ）． A． B． C． D． 【详解】由双曲线的定义可知，点P的轨迹是以，为焦点的双曲线， 因为，，所以， 所以其轨迹方程为. 故选：B 2．设为双曲线的左、右焦点，且直线为双曲线的一条渐近线，点为上一点，如果，那么双曲线的方程为 ． 【详解】因为，所以，得， 由直线为双曲线的一条渐近线，可知，得， 所以双曲线的方程为. 故答案为： 3．设为定点，动点满足，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【详解】， 动点的轨迹是以为焦点的双曲线，且， ，双曲线的方程为. 故选：B. 4．已知圆，点在圆A上运动，设线段PB的垂直平分线和直线PA的交点为，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【详解】因为圆心，，所以， 因为线段PB的垂直平分线和直线PA的交点为， 所以， 所以， 所以Q点轨迹为双曲线，且， 所以，则点的轨迹方程为.    故选：B 5．方程的化简结果为（    ） A． B． C． D． 【详解】设，，点， 则，， ∴， 由双曲线的定义可知，动点的轨迹为双曲线，焦点为，， ∴，，，则， ∴动点的轨迹为双曲线方程为：. 故选：B. 6．若方程表示双曲线，则m的取值范围是 ． 【详解】由题意，得，即的取值范围是. 故答案为： 7．已知一个双曲线的方程为，则的取值范围是 . 【详解】表示双曲线， ，或. 故答案为：或. 8．已知等轴双曲线过点，则双曲线的标准方程为 . 【详解】设等轴双曲线的方程为， 将点代入方程中得， 则双曲线的标准方程为. 故答案为： 题型二 双曲线的标准方程 9．已知双曲线的焦距是实轴长的2倍，且经过点，则它的标准方程为 ． 【详解】设双曲线的实半轴长为，虚半轴长为，半焦距为， 因为双曲线的焦距是实轴长的2倍， 所以，即. 因为，所以，即. 当双曲线的焦点在轴上时，则双曲线的标准方程为， 因为双曲线经过点， 所以，即，无解； 当双曲线的焦点在轴上时，则双曲线的标准方程为， 所以，即，解得， 所以双曲线的标准方程为. 综上所述，双曲线的标准方程为. 故答案为：. 10．双曲线的离心率为2，且过点，则双曲线的方程为 ． 【详解】因为双曲线过点， 则有①， 又离心率为2，则②， 由①②可得，，， 所以双曲线的标准方程为． 故答案为： 11．焦点在轴上，焦距为4且离心率为2的双曲线的标准方程为 ． 【详解】依题意，，解得 故该双曲线方程为：. 故答案为：. 12．与椭圆共焦点且过的双曲线方程为 ． 【详解】因为在椭圆中， 所以， 所以椭圆的焦点为 所以所求双曲线的焦点也为 设所求双曲线的方程为， 则有， 解得， 所以所求双曲线方程为. 故答案为： 13．已知双曲线过点，它的一条渐近线方程为，则该双曲线的方程为 . 【详解】由题意，双曲线的渐近线方程为， 可设双曲线的方程为， 因为双曲线过点，所以，即， 则该双曲线的方程为. 故答案为： 14．与双曲线有公共渐近线，且过点的双曲线的实轴长为 . 【答案】 【详解】由题意知该双曲线与双曲线有公共渐近线， 故设该双曲线方程为，代入，得，解得 所以，故该双曲线的实轴长， 故答案为：. 15．已知是双曲线的一个焦点，则 ． 【详解】显然，则双曲线方程为，即， 因为是双曲线的一个焦点， 所以，解得. 故答案为：. 题型三 椭圆的离心率 16．已知双曲线方程为：，则离心率为 ． 【详解】由题意得双曲线的方程为，其中，，，， 则， 故离心率. 故答案为：. 17．已知双曲线的实轴长为10，则该双曲线的离心率（   ） A． B． C． D． 【详解】由可得，故，所以双曲线的焦点在轴上， 故实轴为，所以，因此双曲线为， 所以，又该双曲线的半实轴长为, 故双曲线的离心率. 故选：C. 18．双曲线的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称、若直线AP，AQ的斜率之积为，则C的离心率为（    ） A．2 B． C． D． 【详解】依题意，，设，则，， 由直线AP，AQ的斜率之积为，得， 解得，所以双曲线C的离心率为. 故选：D 19．已知双曲线的左､右焦点分别为，过且垂直轴的直线与一条渐近线的交点为，则的离心率为 ． 【详解】双曲线C的右焦点，其中， 根据对称性，可取渐近线为，则交点P的坐标为， 又，，依题意有，则可得， 所以，也即，可得． 故答案为：． 20．双曲线的左､右焦点分别为，过的直线交双曲线右支于两点（在上方），满足，且.设双曲线的离心率为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【详解】设，则，如下图： 由得，， 由双曲线定义可得，因此， 在中，， 由余弦定理可得， 在中， 两角互补余弦值相反，即，解得， 所以 故选：C 21．已知双曲线的左、右焦点分别为，点在上，且，则的离心率 ． 【详解】设双曲线的半焦距为，则， 在中，由，得， 由双曲线定义得，则， 所以的离心率. 故答案为： 22．与椭圆有公共焦点且离心率的双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【详解】椭圆的焦点坐标为. 可设双曲线方程为：，， 则， 所以所求双曲线方程为. 故选：A 23．已知双曲线的离心率为，左、右焦点为，，为双曲线上的一个动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【详解】双曲线的离心率为. ，解得， 又，. 设点， 则且. . 的最小值为. 故选： 题型四 弦长与中点弦 24．已知双曲线的右焦点为，点在上，且轴． (1)求双曲线的方程； (2)过点且倾斜角为的直线交于两点，求线段的长． 【详解】（1）因为点在上，所以， 又为的右焦点，轴，则，故， 所以，因此的方程为． （2）由题意，直线的方程为， 联立，整理得， 设，此时， 由韦达定理得， 所以． 25．已知直线为双曲线的一条渐近线，且经过点． (1)求双曲线的方程； (2)若经过右焦点的直线与双曲线交于A，B两点，且，求直线AB的方程． 【详解】（1）由题意，且， 解得， 所以的方程为． （2）由（1）知，设， 法一：当直线AB的斜率为零时，，不合题意，舍去． 当直线AB的斜率不为零时，设其方程为， 联立，整理得，， ， ， 所以 又，所以，解得，或， 综上，直线AB的方程为：或或． 法二：当直线AB的斜率不存在时，联立，解得， 此时，直线符合题意． 当直线AB的斜率存在时，设斜率为，则， 联立，整理得，， ， ， 所以 ， 又，所以，解得， 此时，直线AB的方程为：． 综上，直线AB的方程为：或或． 26．已知中心是坐标原点的双曲线的两个焦点为，且的离心率为3. (1)求的方程； (2)设直线与交于两点，若，求的值. 【详解】（1）依题意设双曲线方程为， 所以，解得，则， 所以双曲线方程为； （2）设，， 由，消去整理得， 所以，解得或， 又，， 所以， 即，解得（满足）， 所以. 27．已知双曲线的实轴长为2，离心率为. (1)求双曲线的方程； (2)为双曲线上一点，且，求. 【详解】（1）由题意实轴，解得，则离心率， 所以， 所以双曲线的方程为. （2）由双曲线的定义得，且， 由余弦定理，所以，解得， 所以， 所以. 中点弦 28．已知直线与双曲线交于、两点，点是弦的中点，则双曲线的渐近线方程是 ． 【详解】设，，则，，， 因为两点在双曲线上，所以， 两式相减得，则， ，故双曲线的渐近线方程是，经验证此时直线与双曲线有两个交点. 故答案为：. 29．已知双曲线，若双曲线的一条弦的中点为，则这条弦所在直线的斜率为 ． 【详解】设该弦为， 设， 则有，两式相减，得， 因为双曲线C的一条弦的中点为， 所以， 因此由， 即这条弦所在直线的斜率为，方程为， 代入双曲线方程中，得， 因为， 所以该弦存在， 故答案为：. 30．已知双曲线，若圆上存在点使得的中点在双曲线的渐近线上，则双曲线的离心率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【详解】双曲线的渐近线为，即. 设，则. 因为点在双曲线的渐近线上，所以，即. 所以点在直线上. 因为点在圆上，所以直线与圆有公共点. 所以圆心到直线的距离不大于圆的半径，所以，. 设双曲线的焦距为，则，所以，所以. 所以双曲线的离心率的取值范围为. 故选：B. 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $