1.3 课时4 完全平方公式的应用-【初中必刷题】2025-2026学年七年级下册数学同步课件(北师大版·新教材)

该初中数学课件聚焦七年级下册“完全平方公式的应用”，通过复习整式乘除基础导入，衔接平方差公式，以简便运算、几何面积等实例搭建从基础到提升的学习支架，帮助学生逐步掌握公式变形与综合应用。 其亮点在于分层设计“刷基础、提升、素养”练习，结合几何图形面积推导（如长方形边长与面积关系）和杨辉三角规律探究，培养运算能力、推理意识与几何直观。例如用完全平方公式解决长方形面积问题，助力学生发展数学思维，教师可借助分层素材提升教学针对性与效率。

数 学 七年级下册 BS 1 2 3 第一章 整式的乘除 4 3 乘法公式 课时4 完全平方公式的应用 5 刷基础 刷提升 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 6 基础 知识点1 利用完全平方公式进行简便运算 1.【2025江苏宿迁期末】运用完全平方公式计算 的最佳选择是( ) C A. B. C. D. 【解析】A选项, ;B选项, ;C选项, ;D选项, .选项A、B、D都不如选项C计算简 便.故选C. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 7 2.【2024内蒙古呼和浩特质检】计算： （1） ； 【解】原式 ． （2） ； 【解】原式 ． （3） ． 【解】原式 ． 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 8 思路分析 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 知识点2 与完全平方公式有关的综合运算 3.【2025江苏南京调研】若，是长方形的长和宽，， ， 则这个长方形的面积是( ) B A.3 B.4 C.5 D.6 【解析】因为，，所以 ， 所以 ，所以这个长方形的面积为4，故选B. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 10 4.【2025重庆两江新区质检】若，则 的值 为___. 7 【解析】因为，所以 ， 所以 ，所以 ，整理得 ，则 ，故答案为7. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 11 5.【2025浙江温州期中】在化简 的过程中，小明有 以下两种解法： 解法一：原式 （第一步） .（第二步） 解法二：原式 （第一步） （第二步） .（第三步） 小明发现两种解法的结果不同，请你帮小明判断上述解法是否正确，如果错误， 请指出小明是从哪一步开始出现错误的.若两种解法都错误，请你再写出正确的解 答过程. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 12 【解】解法一错误，从第一步开始出错；解法二错误，从第一步开始出错. 正确的解答过程:原式 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 13 6.【2025甘肃兰州期中】计算： （1） ； 【解】原式 . （2） ； 【解】原式 . （3） ; 【解】原式 . （4） . 【解】原式 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 14 7.【2025四川凉山州期末】已知，求代数式 的值. 【解】 . 因为 ， 所以 ， 所以 ， 所以原式 . 思路分析 利用完全平方公式和单项式乘多项式的法则将所求代数式化简，再把已知条件变 形后整体代入计算即可. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 15 8.【2025河北石家庄期末】发现:两个已知正整数之和与这两个正整数之差的平方 和一定是偶数，且该偶数的一半也可以表示为两个正整数的平方和. 验证: 为偶数.请把10的一半表示为两个正整数的平方和； 探究:设“发现”中的两个已知正整数为， ，请论证“发现”中的结论正确. 【解】验证：10的一半为5， . 探究： ，故两个已知正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是偶数， 且该偶数的一半也可以表示为两个正整数的平方和. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 16 提升 1. 【2025北京海淀区校级期中，中】若， ， 则， 的大小关系为( ) B A. B. C. D.无法确定 【解析】因为， ，所以 ，所以 ，故选B. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 17 思路分析 将两式作差并计算，然后将结果与0比较大小即可. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 18 2.［中］如图所示，以长方形 的各边为直径向外作半圆得到一 个新的图形，其周长为 ，若此图形中四个半圆面积之和为 ， 则长方形 的面积为( ) C A.10 B.20 C.40 D.80 【解析】设，.由题意得 ， , 所以， ．因为 ,所以,所以 ,所以 ．故选C． 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 19 3.【2025福建福州期中，中】已知 ，则代数式 的值是( ) C A.2 B.1 C. D.3 【解析】 .因为 ，所以 ，所以 ，故选C. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 20 关键点拨 熟练掌握完全平方公式及其特征是解题的关键. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 21 4. 开放性试题 ［中］已知多项式 与一个单项式的和是一个多项式 的平方.请你写出一个满足条件的单项式：__________________.（填上一个你认 为正确的即可） （答案不唯一） 【解析】代数式 与一个单项式的和是一个多项式的平方，这个单项式可以 是．故答案为 （答案不唯一）． 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 22 5.【2024重庆南岸区期中，中】【知识 生成】我们已经知道，通过计算几何图 形的面积可以表示一些代数恒等式．例 如由图（1）可以得到 ，基于此，请 解答下列问题： 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 23 （1）根据图（2），写出一个代数恒等式：_________________________________ __________． 【解析】由题图（2）得正方形的面积为 ，所以 ．故答案为 ． 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 24 （2）利用（1）中得到的结论，若， ，则 ____． 30 【解析】因为， ， ，所以 ，所以 ．故答案为30． 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 25 （3）小明同学用图（3）中张边长为的正方形纸片、张边长为 的正方形纸片 和张宽、长分别为,的长方形纸片拼出一个面积为 的长方形， 则 ____． 16 【解析】由题意得 ，所以 ，所以，， ，所以 ．故答案为16． 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 26 【知识迁移】 （4）事实上，通过计算几何图形的体积也可以表示一些代数恒等式，图（4）表示 的是一个棱长为 的正方体挖去一个小长方体后重新拼成一个新长方体，请你根据 图（4）中图形的变化关系，写出一个代数恒等式：_________________________． 【解析】因为原几何体的体积为 ，新几何体的体积为 ，所以 ．故答案为 ． 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 27 关键点拨 （4）利用直接法和间接法分别求得几何图形的面积或体积，然后根据它们的面积 或体积相等列出等式是解题的关键. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 28 6.【2025江苏徐州期中，较难】材料：杨辉三角，出现在我国宋朝时期数学家杨 辉的著作《详解九章算法》中，是我国数学史上一颗璀璨的明珠，是居于世界前 列的数学成就.如表所示,杨辉三角揭示了为非负整数 展开式的项数及 各项系数的相关规律，蕴含很多有趣的数学性质，运用规律可以解决很多数学问 题.#1 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 29 计算公式 各项的系数 各项系数和 ; ; ; ; ; … ________________________ … 1 2 4 8 16 … 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 30 结合材料，回答以下问题： （1）多项式 展开式共有___项，各项系数和为____； 6 32 【解析】因为多项式展开式共有2项，各项系数和为；多项式 展开式共有3项，各项系数和为；多项式 展开式共有4项，各项系数和为 ；多项式展开式共有5项，各项系数和为,所以多项式 展开式 共有6项，各项系数和为 .故答案为6，32. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 31 （2）利用展开式规律计算： _____； 【解析】依题意，多项式 展开式共有6项，各项系数和为 .令中，，，则，故原式 . 故答案为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 32 （3）我们借助杨辉三角中第三斜行的数：1，3，6，10， ，记 ， ，，， ，则____；_______用含为正整数 的 式子表示； ____. 36 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 33 【解析】，， ， ， ，所以,所以.故答案为36，， . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 34 刷素养 走向重高 7.核心素养 运算能力 【2025广东广州期中，难】 图（1） 图（2） （1）通过计算图（1）中阴影部分的面积，可得到关于, 的等式是____________ _____________； 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 35 （2）尝试解决：已知，求 的值； 【解】设,,则 , .因为 ,所以 ,所以,即 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 36 （3）填数游戏：如图（2），把数字 填入构成三角形形状的9个圆圈中，使得 各边上的四个数字的和都等于21，将各边四个数字的平方和分别记为,, ，已 知 .如果将位于这个三角形顶点处的三个圆圈填入的数字分 别表示为,,，求 的值. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 37 【解】因为各边上的四个数字的和都等于21，三角形各圆圈的数字之和为 ，所以 ， 所以，所以.因为 ，而三角形各圆圈的数 字的平方和为 ，所以 ，所以 ，所 以，所以.因为 ，所以 ，所以，所以 .将 代入，得 ，所以 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 38 微专题2 完全平方公式变形（知2求2） 1.【2025湖南衡阳期中，中】已知，，求与 的值. 【解】因为 ，① ，② 所以得，即，得 ，即 . 刷提升 返回目录 1 2 3 1 2 3 39 2.【2025广东河源校级期中，中】已知，，求 及 的值. 【解】因为， ，所以 , . 刷提升 返回目录 1 2 3 1 2 3 40 3.【2025江西吉安质检，中】已知两个不相等的数，满足 ， . （1）求 的值； 【解】因为， ，所以 ，所以 （2）求 的值. 【解】由（1）得.因为 ，所以 ，所以或 . 刷提升 返回目录 1 2 3 1 2 3 41 微专题3 已知 的值求代数式的值 1.【2025四川成都期末，中】若，则 的值为____. 27 【解析】因为,所以，所以 ， 所以，故 的值为27. 刷提升 返回目录 1 2 1 2 42 关键点拨 与互为倒数，即乘积为1，所以完全平方公式中“ ”这一项就等于2. 刷提升 返回目录 1 2 1 2 43 2.【2025浙江宁波调研，中】已知，则 ___. 2 【解析】因为，所以，即 ，所以 ，即 .故答案为2. 刷提升 返回目录 1 2 1 2 44 $