1.3 第4课时 完全平方公式的应用-【初中学霸创新题】2025-2026学年七年级下册数学同步教案(北师大版·新教材)

该初中数学教案聚焦“完全平方公式的应用”，通过102²、197²的简便计算问题导入，衔接已学公式推导，引导学生发现数的变形与公式结构的关联，搭建从公式理解到应用的学习支架。 特色在于情境驱动与直观探究结合，用点阵图（几何直观）验证公式本质，变式训练（如47²-94×27+27²）强化运算能力与推理意识，随堂训练融合图形与代数变形提升模型意识。助力学生深化公式理解，教师可借分层训练落实重难点，提升教学实效。

3 乘法公式 第4课时 完全平方公式的应用 课题 第4课时 完全平方公式的应用 授课类型 新授课 授课人 教学内容 课本P23-24 教学目标 1.理解并掌握完全平方公式的推导和应用。 2.理解完全平方公式的结构特征，并能运用公式进行简单的运算. 教学重难点 重点：完全平方公式的推导过程、结构特点、语言表述。 难点：会用完全平方公式进行运算。 教学准备 多媒体课件 教与学互动设计（教学过程） 设计意图 1.创设情景，导入新课 怎样计算1022，1972更简单呢？ (1)1022=(100+2)2=1002+2×100×2+22=10 000+400+4 =10 404； (2)1972=(200-3)2=2002-2×200×3+32=40 000-1 200+9 =38 809。 你是怎样做的？与同伴进行交流。 师生活动：教师板书课题： 第4课时 完全平方公式的应用，让学生计算1022，1972，教师巡视，可能有学生会直接计算，然后提出后面的问题，请学生回答，利用多媒体展示过程，引导学生发现两种方法的异同。 利用完全平方公式进行数的简便运算，进一步巩固对完全平方公式的理解与认识，同时体会字母运算和推理得到的结论具有一般性。。 2.实践探究，学习新知 【探究1】 学生发现：将原数转化成符合完全平方公式特点的形式，可以简化运算。 【归纳总结】 完全平方公式用于简便运算时，关键是找到与原数接近的类似整十、整百的数，再将原数变形成(a+b)2或者(a−b)2的形式，使之符合公式的特点，再用完全平方公式进行求解． 【教材例题】 例6 计算： （1）(x+3)2-x2； （2）(a+b+3)(a+b-3)； （3）(x+5)2-(x-2)(x-3)； （4）[(a+b)(a-b)]2。 师生活动：让学生先观察、计算，然后组内交流，教师引导学生口述，教师给出板书演示。 【探究2】 【观察·思考】 观察下图，你认为(m+n)×(m+n)点阵中的点数与m×m点阵、n×n点阵中的点数之和一样多吗?请用所学的公式解释自己的结论。 师生活动：教师先让学生自己思考，然后在小组内交流自己的想法和解题过程，交流结束后请几位同学回答自己的解题过程。 通过类比平方差公式进行简便计算，提出问题，体会符号运算对解决问题的作用。 使学生进一步熟悉乘法公式。 通过点阵图，进一步加深学生对（m+n)2=m2+2mn+n2的理解，直观理解（m+n)2与m2+n2的关系。 3.学以致用，应用新知 考点 利用完全平方公式进行简便计算 例 利用整式乘法公式计算： （1）962； （2）(a-b-3)(a-b+3)。 解：（1）原式=（100-4）2=1002-2×100×4+42=10 000-800+16=9 216。 （2）原式=[(a-b)-3][(a-b)+3]=(a-b)2-32=a2-2ab+b2-9。 变式训练 计算： (1)472-94×27+272； (2)(a+b+c)2。 解：（1）原式=472-2×47×27+272=（47-27）2=202=400。 （2）原式=［(a+b)+c］2(a+b)2+2(a+b)·c+c2=a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2。 通过例题讲解，进一步理解完全平方公式，体会完全平方公式在简便运算中的作用。 通过变式训练巩固所学知识，掌握公式的结构特点，灵活运用公式解决问题。 4.随堂训练，巩固新知 1.如图，验证了一个等式，则这个等式是（ ） A. B. C. D. 答案：C 2.将(-a+b-1)(a+b+1)化为(m+n)(m-n)的形式为（ ） A．[b+(a+1)][b-(a-1)] B．[b+(a+1)][b-(a+1)] C．[b+(a+1)][b-(-a+1)] D．[b+(a+1)][b-(-a-1)] 答案：B 3. 用乘法公式计算：（1）(x+2y-3)(x-2y+3)； （2）（3x+2y-5z+1）（-3x+2y-5z-1）。 解：（1）原式=[x+(2y-3)][x-(2y-3)]=x2-(2y-3)2=x2-(4y2-12y+9)=x2-4y2+12y-9。 （2）原式=［(2y-5z)+(3x+1）］［（2y-5z）-（3x+1）］=（2y-5z）2-（3x+1）2=4y2-9x2+25z2-20yz-6x-1。 4.（1）请用两种不同的方法表示图中阴影部分的面积和。 方法1：________； 方法2：________。 （2）请你直接写出三个代数式：(a+b)2，a2+b2，ab之间的等量关系。 （3）根据（2）中的等量关系，解决如下问题： ①已知m+n=3，m2+n2=25，求mn和（m-n）2的值； ②已知（x-2 024）2+（x-2 026）2=124，求（x-2 025）2的值。 解：（1）a2+b2 (a+b)2-2ab （2）a2+b2=(a+b)2-2ab （3）①因为m+n=3，所以（m+n）2=9=m2+2mn+n2。 因为m2+n2=25，所以2mn=-16，即mn=-8， （m-n）2=m2-2mn+n2=25-（-16）=41。 ②设a=x-2 024，b=x-2 026，则a-b=2， a2+b2=（x-2 024）2-（x-2 026）2=124， 所以ab===60， 即（x-2 024）-（x-2 026）=60， 所以[（x-2 025）+1][（x-2 025）-1]=（x-2 025）2-1=60，即（x-2 025）2=61。 为学生提供自我检测的机会，教师针对学生的学习情况，及时调整授课，查缺补漏。 5.课堂小结，自我完善 1.课堂小结 完全平方公式的应用： （1）计算数的平方：找到与原数接近的类似整十、整百的数，再将原数变形成(a+b)2或者(a−b)2的形式； （2）计算多项式之积：可将相同的项或互为相反数的项添括号视为一个整体，再运用公式计算； （3）完全平方公式的变形。 2.布置作业 课本P24习题1.3中的T3、T4、T5、T7、T8、T9、T11、T12。 通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心内容。 课后练习巩固，让所学知识得以运用，提高计算能力和做题效率。 板书设计 第4课时 完全平方公式的应用 完全平方公式的应用 投影区 学生活动区 提纲掣领，重点突出。 教后反思 反思，更进一步提升。 学科网（北京）股份有限公司 $