精品解析：四川成都市高新区2025-2026学年上学期期末学业质量检测九年级数学试卷

2025-2026学年上学期期末学业质量检测 九年级数学 注意事项： 1．全卷分A卷和B卷，A卷满分100分，B卷满分50分；考试时间120分钟． 2．在作答前，考生务必将自己的姓名、准考证号涂写在试卷和答题卡规定的地方．考试结束，监考人员将试卷和答题卡一并收回． 3．选择题部分必须使用2B铅笔填涂；非选择题部分必须使用0.5毫米黑色签字笔书写，字体工整、笔迹清楚． 4．请按照题号在答题卡上各题目对应的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效． 5．保持答题卡清洁，不得折叠、污染、破损等． A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求） 1. 如图所示的几何体是由4个大小相同的小立方块搭成，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 2. 如果，那么下列式子成立的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，直线，直线和被，，所截，若，，，则的长为（ ） A. 2 B. 8 C. 10 D. 4. 若关于x一元二次方程有两个相等的实数根，则实数m的值为（ ） A. 9 B. C. D. 36 5. 若两个相似矩形的周长比是，则这两个相似矩形的面积比是（ ） A. B. C. D. 6. 为进一步提高老年人的生活质量，某养老中心在2025年配备了一款智能养老服务机器人．已知该中心智能养老服务机器人的数量由10月份的16台增加到12月份的25台．若设该中心11，12两个月智能养老服务机器人数量的月均增长率为x，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 7. 如果点、在反比例函数的图象上，若，则与的大小关系是(     ) A. B. C. D. 无法确定 8. 如图，的对角线，交于点O，以下条件不能证明是菱形的是（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9. 若关于x的一元二次方程有一个根为，则m的值为______． 10. 一只不透明的袋中装有10个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后每次随机从袋中摸出一个球，记下颜色后放回袋中．通过大量重复摸球试验后发现，摸到白球的频率是0.2，则袋中约有红球______个． 11. 如图，在中，，D，E分别是边和上的点，且，，，则的长为______． 12. 如图，在正方形中，O为对角线的中点．正方形在绕点O旋转的过程中，边与交于点E（不与点A，B重合），边与交于点F．若，则四边形的面积为______． 13. 某同学用自制柱形密度计测量液体的密度，此密度计漂浮在不同的液体中时，浸在液体中的深度h（单位：cm）是液体的密度ρ（单位：）的反比例函数．此密度计漂浮在密度为的甲液体中时，浸在液体中的深度为，此密度计漂浮在乙液体中时，浸在液体中的深度为，则乙液体的密度为______． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分） 14. 解方程： （1）； （2）． 15. 在数学活动课上，某5人学习小组使用一张六人圆形学习桌进行合作学习．小明、小华、小英已按图示位置坐好，剩余三个空座位依次编号为①、②、③（位置关系如图所示，其中①、②号座位与小明相邻）．甲、乙两名同学随机选择三个空座位中的两个坐下． （1）直接写出甲坐在与小明相邻座位上的概率； （2）请利用画树状图或列表的方法，求甲、乙两人都坐在与小明相邻的座位上的概率． 16. 太阳能路灯的使用既方便了人们夜间出行，又有利于节能减排．某同学想测量一盏太阳能路灯灯泡离地面的高度．他带着竹竿和皮尺，利用路灯本身的灯光，通过测量影长来推算路灯高度．如图，B处在路灯灯泡A的正下方，该同学在路灯前的水平空地进行测量，他先将竹竿直立在C处，此时竹竿的影子长为；再将竹竿直立在E处，此时竹竿的影子长为．已知，，点B，C，G，E，H在同一直线上，竹竿长为（即），，求该太阳能路灯灯泡A到地面的高度． 17. 如图，在中，对角线，交于点O，，E，F分别为，中点，连接交于点G，连接交于点H． （1）求证：四边形为矩形； （2）若，，求，的长． 18. 如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于点A，与反比例函数的图象交于点B，过点A作y轴的垂线，垂足为C．过点C作的平行线，交反比例函数的图象于点D． （1）若点A的横坐标，． ①求a，k的值； ②求点D的坐标； （2）连接，若的面积为，求k的值． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19. 某游乐园举行纪念品派发活动，每张门票会随机附赠“熊猫玩偶”、“川剧主题钥匙扣”或“盖碗茶造型冰箱贴”三种特色纪念品中的一种．若同伴两人各自独立购票入园，则这两人都获得“熊猫玩偶”纪念品的概率为______． 20. 若m，n是一元二次方程的两个实数根，则的值为______． 21. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，与反比例函数的图象交于点C，点D在反比例函数图象上，连接，．若轴，，则k的值为______． 22. 如图，中，，，点D为边中点．点E在边上（不与点A，C重合），连接，将四边形沿直线翻折，点A，B的对应点分别为点F，G，连接，则的长为______，若，则的长为______． 23. 如图，在菱形中，，点E在边上，连接与对角线交于点G，射线与延长线交于点F．若，则的值为______． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分） 24. 为贯彻落实劳动教育要求，丰富学生实践形式，某校拟利用围墙边的空地围成矩形菜地．已知矩形菜地的一边靠墙（墙的长度不限），其余部分用总长为的篱笆围成．如图，围成矩形菜地时，用篱笆（篱笆的宽度忽略不计）将菜地分隔为两个小矩形区域，用来种植不同的蔬菜，并在菜地的两侧各留出宽的进出口（此处不用篱笆）． （1）矩形菜地中，若与墙平行的边的长是与墙垂直的边的长的3倍，求矩形菜地的面积； （2）若矩形菜地的面积是，求矩形菜地与墙垂直的边的长． 25. 如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴，y轴交于点B，A，点C在x轴正半轴上，连接，，点M为射线上一动点． （1）求直线的函数表达式； （2）直线与y轴交于点D，若，求点M的坐标； （3）若点M在线段上，点N在直线上，，是否存在点M，使以点O，M，N为顶点的三角形与相似？若存在，求的长；若不存在，请说明理由． 26. 在中，，点E在边上，连接，在的延长线取点F，使． （1）如图1，的延长线交的延长线于点G． ①求证：； ②若，，，求的长； （2）如图2，连接交于点H，若，，，求和的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年上学期期末学业质量检测 九年级数学 注意事项： 1．全卷分A卷和B卷，A卷满分100分，B卷满分50分；考试时间120分钟． 2．在作答前，考生务必将自己的姓名、准考证号涂写在试卷和答题卡规定的地方．考试结束，监考人员将试卷和答题卡一并收回． 3．选择题部分必须使用2B铅笔填涂；非选择题部分必须使用0.5毫米黑色签字笔书写，字体工整、笔迹清楚． 4．请按照题号在答题卡上各题目对应的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效． 5．保持答题卡清洁，不得折叠、污染、破损等． A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求） 1. 如图所示的几何体是由4个大小相同的小立方块搭成，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案． 【详解】解：从正面看第一层左边一个小正方形，第二层是三个小正方形， 故选：C． 2. 如果，那么下列式子成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查比例的基本性质，通过交叉相乘将原式变形，再对比各选项即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴根据比例的基本性质（交叉相乘，内项积等于外项积），得， A选项：与不符，故A错误； B选项：对交叉相乘，得，即，与原式变形结果一致，故B正确； C选项：由可知x、y的取值不唯一，的值也不唯一，故C错误； D选项：对交叉相乘，得，与不符，故D错误， 故选：B． 3. 如图，直线，直线和被，，所截，若，，，则的长为（ ） A. 2 B. 8 C. 10 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例．根据“两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例”，即可求得答案． 【详解】解：由题意，得 ， 变形，得 ， 故选：B． 4. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数m的值为（ ） A. 9 B. C. D. 36 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式的应用，当一元二次方程有两个相等实数根时，根的判别式，代入方程系数求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 即，解得， 故选：A． 5. 若两个相似矩形的周长比是，则这两个相似矩形的面积比是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查相似多边形的性质，利用相似多边形周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方即可求解． 【详解】解：∵两个相似矩形的周长比是， ∴它们相似比为， 又∵相似多边形的面积比等于相似比的平方， ∴这两个相似矩形的面积比是， 故选：D． 6. 为进一步提高老年人的生活质量，某养老中心在2025年配备了一款智能养老服务机器人．已知该中心智能养老服务机器人的数量由10月份的16台增加到12月份的25台．若设该中心11，12两个月智能养老服务机器人数量的月均增长率为x，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查的是一元二次方程的应用题．根据题意可知：11月份数量为：，12月份的数量为：，即可得出结果． 【详解】解：由题意列方程为． 故选：A． 7. 如果点、在反比例函数的图象上，若，则与的大小关系是(     ) A. B. C. D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的性质，利用时反比例函数在第一象限内的增减性判断函数值大小． 【详解】解：∵反比例函数， ∴在每个象限内，y随x的增大而减小， 又∵，即点A、B都在第一象限， ∴， 故选：B． 8. 如图，的对角线，交于点O，以下条件不能证明是菱形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定定理，根据每个选项所给条件，结合平行四边形的性质以及菱形的判定方法来判断是否证明平行四边形是菱形． 【详解】解：A项：在中，与是一组邻边，当时，满足菱形的定义， ∴可以证明是菱形，故不符合题意； B项：∵在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是菱形，故不符合题意； C项：∵四边形ABCD是平行四边形，且，满足菱形的判定条件， ∴可以证明是菱形，故不符合题意； D项：在中，对角线互相平分， ∴是平行四边形本身就具有的性质， 但仅由不能证明是菱形，故符合题意， 故选：D． 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9. 若关于x的一元二次方程有一个根为，则m的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义，把代入方程即可求解，掌握方程的解就是使等式成立的未知数的值是解题的关键． 【详解】解：把代入方程得， ， 解得：， 故答案为：. 10. 一只不透明的袋中装有10个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后每次随机从袋中摸出一个球，记下颜色后放回袋中．通过大量重复摸球试验后发现，摸到白球的频率是0.2，则袋中约有红球______个． 【答案】40 【解析】 【分析】本题考查频率与概率，利用频率估计概率，可估计摸到白球的概率是0.2，即可估算出球的总数，然后即可计算出红球个数． 【详解】解：由题意可得，可估计摸到白球的概率是0.2， 所以袋中约有红球（个）． 故答案为：40． 11. 如图，在中，，D，E分别是边和上的点，且，，，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质．由相似三角形的判定和性质即可求解． 【详解】解：，， ， ， 即， ． 故答案为：． 12. 如图，在正方形中，O为对角线的中点．正方形在绕点O旋转的过程中，边与交于点E（不与点A，B重合），边与交于点F．若，则四边形的面积为______． 【答案】##625## 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质及等腰三角形三线合一的性质．连接，利用正方形的性质及已知条件得出，，再由得出，从而证明，进而得出，求出面积． 【详解】解：如图，连接， 在正方形中，，， ∴， 又∵O为对角线中点， ∴，， ∴， ∴， 又∵四边形为正方形， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 某同学用自制柱形密度计测量液体的密度，此密度计漂浮在不同的液体中时，浸在液体中的深度h（单位：cm）是液体的密度ρ（单位：）的反比例函数．此密度计漂浮在密度为的甲液体中时，浸在液体中的深度为，此密度计漂浮在乙液体中时，浸在液体中的深度为，则乙液体的密度为______． 【答案】1.2 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，设h关于ρ的函数解析式为，将，代入求出解析式，把代入解析式即可得到结论． 【详解】解：设h关于ρ的函数解析式为， 将，代入解析式，得， ∴h关于ρ的函数解析式为， 将代入，得， 解得：， 即乙液体的密度为， 故答案为：1.2． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分） 14. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的求解． （1）通过因式分解法将方程转化为两个一次因式的乘积等于零的形式，进而求解； （2）先将方程进行移项，然后提取公因式，再利用因式分解法求解． 【小问1详解】 解：， ， 或， 解得，． 【小问2详解】 解：， ， ， ， 或， 解得，． 15. 在数学活动课上，某5人学习小组使用一张六人圆形学习桌进行合作学习．小明、小华、小英已按图示位置坐好，剩余三个空座位依次编号为①、②、③（位置关系如图所示，其中①、②号座位与小明相邻）．甲、乙两名同学随机选择三个空座位中的两个坐下． （1）直接写出甲坐在与小明相邻的座位上的概率； （2）请利用画树状图或列表的方法，求甲、乙两人都坐在与小明相邻的座位上的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法和树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率． （1）根据概率公式即可得到结论； （2）画树状图，共有6种等可能的结果，甲、乙两人都坐在与小明相邻的座位上的结果有2种，再由概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：∵①、②号座位与小明相邻， 甲坐在与小明相邻的座位上的概率为； 【小问2详解】 解：画树状图如图所示， 共有6种等可能的结果，其中甲、乙两人都坐在与小明相邻的座位上的结果有2种， ∴甲、乙两人都坐在与小明相邻的座位上的概率． 16. 太阳能路灯的使用既方便了人们夜间出行，又有利于节能减排．某同学想测量一盏太阳能路灯灯泡离地面的高度．他带着竹竿和皮尺，利用路灯本身的灯光，通过测量影长来推算路灯高度．如图，B处在路灯灯泡A的正下方，该同学在路灯前的水平空地进行测量，他先将竹竿直立在C处，此时竹竿的影子长为；再将竹竿直立在E处，此时竹竿的影子长为．已知，，点B，C，G，E，H在同一直线上，竹竿长为（即），，求该太阳能路灯灯泡A到地面的高度． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，通过构建两组相似三角形，利用已知的竹竿长度，影子长度以及线段之间的关系列出比例式，进而求解出路灯高度． 【详解】解：由题意可知，，，， ∴， ∴，， 设，，则，， ∴，， 即，， 可得：，解得， 经检验是原方程的解， ∴， 解得， ∴， 即该太阳能路灯灯泡A到地面的高度为． 17. 如图，在中，对角线，交于点O，，E，F分别为，的中点，连接交于点G，连接交于点H． （1）求证：四边形为矩形； （2）若，，求，的长． 【答案】（1）证明见详解 （2）， 【解析】 【分析】（1）先根据平行四边形的性质得到，，再利用，得到四边形为平行四边形，紧接着根据等腰三角形的性质得到，则，从而可判断四边形为矩形； （2）先利用矩形为中心对称图形得到，再根据平行线分线段成比例定理得到，从而求得的长度，接着证明，利用相似比得到，设，则，，，然后在中利用勾股定理得到，解方程求出x得到的值，最后在中利用勾股定理计算出． 【小问1详解】 证明：∵四边形为平行四边形， ∴，， ∵E，F分别为，的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形为矩形． 【小问2详解】 解：∵的对角线相交于点O， ∴， ∵矩形是中心对称图形，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， 在中，， 解得，（舍去）， ∴，， 在中，． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定，相似三角形的判定与性质，勾股定理及中心对称图形的性质． 18. 如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于点A，与反比例函数的图象交于点B，过点A作y轴的垂线，垂足为C．过点C作的平行线，交反比例函数的图象于点D． （1）若点A的横坐标，． ①求a，k的值； ②求点D的坐标； （2）连接，若面积为，求k的值． 【答案】（1）①② （2）． 【解析】 【分析】（1）①根据A点在反比例函数上，求出a的值，过B点作轴交于E，则，，求出B点坐标，再求k的值即可； ②求出的解析式为，直线与反比例函数的交点为D； （2）由，可知的面积的面积，分别求出，，再求得点，最后根据面积求k的值即可． 【小问1详解】 解：①如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数图象交于点A，与反比例函数的图象交于点B，过点A作y轴的垂线，垂足为C．过点C作的平行线，交反比例函数的图象于点D． ∵点A的横坐标， ∴， ∴， 解得， 过B点作轴交于E， ∵， ∴，， ∴， ∴； ②∵， ∴， ∵， ∴的解析式为， 当时，解得或（舍）， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴的面积的面积， 当时，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 当时，解得或（舍）， ∴， ∴， 解得． 【点睛】本题考查反比例函数的图象及性质，熟练掌握反比例函数的图象及性质，平行线的性质是解题的关键． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19. 某游乐园举行纪念品派发活动，每张门票会随机附赠“熊猫玩偶”、“川剧主题钥匙扣”或“盖碗茶造型冰箱贴”三种特色纪念品中的一种．若同伴两人各自独立购票入园，则这两人都获得“熊猫玩偶”纪念品的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式．列表可得出所有等可能的结果数以及两人都获得“熊猫玩偶”纪念品的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：把“熊猫玩偶”、“川剧主题钥匙扣”、“盖碗茶造型冰箱贴”记为A、B、C， 列表如下： A B C A B C 共有9种等可能的结果，其中两人都获得“熊猫玩偶”纪念品的结果有1种， ∴两人都获得“熊猫玩偶”纪念品的概率为． 故答案为：． 20. 若m，n是一元二次方程的两个实数根，则的值为______． 【答案】 3 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，方程的根的性质，根据根与系数的关系可得，并将所求表达式化简为 ． 【详解】解：∵m是方程的根， ∴， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：3． 21. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，与反比例函数的图象交于点C，点D在反比例函数图象上，连接，．若轴，，则k的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】作于E，利用等腰三角形的性质可知，利用一次函数的解析式求得A、B的坐标，进一步求得，则，代入解析式即可求得k的值． 【详解】解：作于E， ∵， ∴， ∵直线与x轴，y轴分别交于A，B两点， ∴时，，时，，， ∴，， ∵轴， ∴， ∴点的横坐标为， 代入得，， ∴， ∵C在反比例函数的图象上， ∴，整理得， 解得或（舍去）， 故答案为：． 【点睛】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，等腰三角形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数的解析式，能够正确表示C的坐标是解题的关键． 22. 如图，中，，，点D为边的中点．点E在边上（不与点A，C重合），连接，将四边形沿直线翻折，点A，B的对应点分别为点F，G，连接，则的长为______，若，则的长为______． 【答案】 ①. 6 ②. ## 【解析】 【分析】连接，根据等腰三角形性质及勾股定理求出，由翻折性质得，，由此依据判定和全等得；设与相交于点P，过点E作于点M，于点N，证明得，证明得，由此的，再证明是的平分线得得，另一方面，由此得，据此可得的长． 【详解】解：连接，如图1所示： 在中，，，点D为边的中点， ∵，，， ∴， ∴和都是直角三角形， 在中，由勾股定理得：， 由翻折性质得：，， ∴， ∴； 设与相交于点P，过点E作于点M，于点N，如图2所示： ∵， ∴， 由折叠性质得：， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是的平分线， 又∵于点M，于点N， ∴， 由三角形面积公式得：，， ∴， 又∵的边上的高与的边上的高相同， ∴， ∴， 设，， ∴， ∴， ∴， 即的长为． 故答案为：6；． 【点睛】此题主要考查了图形的翻折及其性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，理解图形的翻折及其性质，熟练掌握等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理是解决问题的关键． 23. 如图，在菱形中，，点E在边上，连接与对角线交于点G，射线与的延长线交于点F．若，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质及相似三角形的判定与性质．利用菱形的性质可得出是等边三角形，再由可推断出，，证明，得出，设，，则，，证明出，利用相似三角形对应边成比例列出关于a的方程并求解，最后表示出并通过计算得出结果． 【详解】解：如图： ∵四边形是菱形，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴，，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， 设，，则，， ∵， ∴， ∴， 即，解得，（舍去）， ∴， 故答案为：． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分） 24. 为贯彻落实劳动教育要求，丰富学生实践形式，某校拟利用围墙边的空地围成矩形菜地．已知矩形菜地的一边靠墙（墙的长度不限），其余部分用总长为的篱笆围成．如图，围成矩形菜地时，用篱笆（篱笆的宽度忽略不计）将菜地分隔为两个小矩形区域，用来种植不同的蔬菜，并在菜地的两侧各留出宽的进出口（此处不用篱笆）． （1）矩形菜地中，若与墙平行的边的长是与墙垂直的边的长的3倍，求矩形菜地的面积； （2）若矩形菜地的面积是，求矩形菜地与墙垂直的边的长． 【答案】（1） （2）矩形菜地与墙垂直的边的长为或 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，一元二次方程的实际应用及矩形的性质与面积公式． （1）设与墙垂直的边的长为，则与墙平行的边的长为，分析篱笆长度的组成，列出方程并求解x的值，最后计算面积即可； （2）设与墙垂直的边的长为，则与墙平行的边的长为，根据面积列出方程并求解y的值，再将解进行验证判断其合理性即可． 【小问1详解】 解：设与墙垂直的边的长为，则与墙平行的边的长为， 由题意得：， 解得：， ∴， ∴矩形菜地的面积为． 【小问2详解】 解：设与墙垂直边的长为，则与墙平行的边的长为， 由题意得：， 解得：，， 当时，，符合题意； 当时，，符合题意， 即矩形菜地与墙垂直的边的长为或． 25. 如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴，y轴交于点B，A，点C在x轴正半轴上，连接，，点M为射线上一动点． （1）求直线的函数表达式； （2）直线与y轴交于点D，若，求点M的坐标； （3）若点M在线段上，点N在直线上，，是否存在点M，使以点O，M，N为顶点的三角形与相似？若存在，求的长；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2）点M的坐标为或； （3）的长为2或． 【解析】 【分析】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，相似三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据，求出的长，确定C点坐标，再求解析式即可； （2）设，根据题意可得，求出m的值即可求M点坐标； （3）分两种情况讨论：当时，过点O作交于H，推导出；当时，过点O作交于H，推导出，再分别求解即可． 【小问1详解】 解：当时，， ∴， 当时，， ∴， ∵， ∴，即， 解得， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴； 【小问2详解】 解：设， ∵， ∴， ∴， 解得或， ∴点M的坐标为或； 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， 即， ∴． ①当时，， 过点O作交于H， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴由勾股定理得， ∴， 解得， ∴； ②当时，过点O作交于H， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 由①得， ∴， 由①得，，，， 根据等面积得，， ∴， ∴由勾股定理得，， ∴； 综上所述：的长为2或． 26. 在中，，点E在边上，连接，在的延长线取点F，使． （1）如图1，的延长线交的延长线于点G． ①求证：； ②若，，，求的长； （2）如图2，连接交于点H，若，，，求和的长． 【答案】（1）①见解析；②； （2）；． 【解析】 【分析】（1）①由中，得，结合公共角，易证，即可得证； ②由，易证，则可设，，再利用建立方程求解即可； （2）延长交于点M，易得，可设，则，证，得，证，得，则，求出b值即可得解． 【小问1详解】 ①证明：在中，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②解：∵， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 设，， 由①得， 则， 解得， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴； 【小问2详解】 解：如图，延长交于点M， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴； ∵， ∴，， ∴，即， 解得， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质、二次根式的混合运算等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $