第2章 一元二次方程 全章综合训练-【初中必刷题】2025-2026学年八年级下册数学同步课件(浙教版·新教材)浙江专用

该初中数学单元复习课件系统梳理了一元二次方程的核心知识，涵盖方程解法、根的判别式、根与系数的关系及实际应用等考点，通过“刷中考”“刷章测”模块将知识点与中考真题、章测练习结合，构建起“考点—真题—综合训练”的知识网络，清晰呈现各知识点间的逻辑联系。 其亮点在于以核心素养为导向设计复习活动，如通过“围长方形菜地”等应用题培养模型意识，利用根与系数关系题训练推理能力，章测中选择、填空、解答题的分层设计满足不同学生需求。教师可借助超链接跳转功能高效教学，助力学生巩固知识，提升解决实际问题的能力。

数 学 八年级下册 ZJ 1 2 3 第2章 一元二次方程 4 全章综合训练 5 刷中考 刷章测 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 6 中考 考点1 一元二次方程及其解法 1.【2024江苏南京中考】已知是关于 的方程 ,,是有理数， 的一个根，则该方程的另外两 个根分别是___，_________. 2 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 7 【解析】关于的方程,,是有理数， 中， 或，即或 .因为 ，且,,是有理数，所以， 中 的一个为，所以也是关于的方程 ,,是有理数，的一个根，所以该方程的另外两个根分别是2和 . 故答案为2， . 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 8 2.【2025黑龙江齐齐哈尔中考】解方程： . 【解】，，， 或 ，所以， . 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 9 考点2 根的判别式 3.【2025北京中考】若关于的一元二次方程 有两个相等的实数 根，则实数 的值为( ) C A. B. C.1 D.4 【解析】因为关于的一元二次方程 有两个相等的实数根，所以 且,所以 .故选C. 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 10 4.【2025江苏扬州中考】关于一元二次方程 的根的情况，下列结 论正确的是( ) A A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.没有实数根 D.无法判断根的情况 【解析】，,, ，所以 ，所以方程有两个不相等的实数根， 故选A. 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 5.【2025山东东营中考】若关于的方程 无实根， 则 的取值范围是________. 【解析】当且，即时，原方程化为 ，解得 ,有实数根；当且，即时，原方程化为 ， 此等式不成立，这种情况不属于关于的方程无实根的情况；当 ，即 时，原方程 是一元二次方程，因为方程无实 根，所以，解得.综上， 的取值范围是 ，故答案为 . 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 考点3 根与系数的关系 6.【2025河北中考】若一元二次方程 的两根之和与两根之积分别 为,，则点 在平面直角坐标系中位于( ) C A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【解析】方程，整理得 ，所以两根之和 ，两根之积，所以点 在平面直角坐标系中位于第三 象限.故选C. 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 13 7.【2025江苏苏州中考】已知，是关于的一元二次方程 的 两个实数根，其中，则 ____. 【解析】因为,是关于的一元二次方程 的两个实数根，所以 .因为，所以,故答案为 . 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 14 8.【2025四川南充中考】设，是关于的方程 的两根. （1）当时，求及 的值. 【解】把代入方程,得，所以 ，所以 ，即，解得，，故 ， . （2）求证： . 【证明】方程可化为 ，因为 ，所以原方程有两个不相等的实数根.由根与系数的关系 得， ，所以 .因为 ， 所以 . 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 15 考点4 一元二次方程的应用 9.【2025福建中考】为加强劳动教育，增加学生实践机会，某 校拟用总长为5米的篱笆，在两边都足够长的直角围墙的一角， 围出一块6平方米的长方形菜地作为实践基地，如图所示．设长 方形的一边长为 米，根据题意可列方程( ) C A. B. C. D. 【解析】已知长方形的一边长为米，则另一边长为 米，根据长方形的面积 为6平方米可列方程为 ．故选C. 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 16 10.【2025山东威海中考】把一张长方形纸片按照如图（1）所示的方式剪成四个 全等的直角三角形，四个直角三角形可拼成如图（2）或图（3）所示的正方形.若 长方形纸片的长为，宽为，四边形的面积等于四边形 面积的2倍， 则 _ ____. 图（1） 图（2） 图（3） 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 17 【解析】根据题意得，四边形的面积为，四边形 的面积为.因为四边形的面积等于四边形 面积 的2倍，所以，整理得， ，所以 .设，则，解得或 （舍去），所以，故答案为 . 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 18 关键点拨 根据题中面积的等量关系，得到关于的方程，将 看成整体解方程即可. 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 19 章测 一、选择题（共28分） 1.【2025四川泸州一模】把一元二次方程 化成一般形式为 ( ) D A. B. C. D. 【解析】，所以，所以 ，故选D. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 20 2.【2025河南漯河二模】如图，关于 的方程中的三个符号，改变其中的两个 （“”变为“-”或“-”变为“ ”），使方程的实数根的个数不变，则可以改 变的是( ) B A.①② B.①③ C.②③ D.以上选项均不成立 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 21 【解析】对于方程, ，所以 原方程有两个不相等的实数根.改变符号①②时，方程变为 ，此 时 ，所以该方程没有实数根.改变 符号①③时，方程变为 ，此时 ，所以该方程有两个不相等的实数根.改变 符号②③时，方程变为 ，此时 ，所以该方程没有实数根.综上，改变符 号①③时，方程的实数根的个数不变，故选B. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 22 3.如图，在长为32米，宽为20米的长方形地面上修筑同样宽的 小路（图中阴影部分），余下部分种植草坪，要使小路的面积 为100平方米，设小路的宽为 米，则下面所列方程正确的是 ( ) B A. B. C. D. 【解析】由题意得 ，整理得 .故选B. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 23 4.已知实数 ， 满足，，且 ，则 的值为( ) A A. B. C. D. 【解析】因为，所以，方程两边同时除以 ，可得 ，所以.又因为， ,所以 ,是方程的两个实根，所以， ，所以 原式 . 故选A. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 24 另解 求出 后还可以将原式进行如下变形求值： 原式 . 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 25 5.【2025湖北武汉期中】在平面直角坐标系中，为坐标原点， ， ，若是直角三角形，则 的值不可能是( ) C A.0 B.1 C.2 D.4 【解析】分三种情况讨论： 当 时，点在轴上，所以 ；当 时，点在轴上，所以，解得；当 时，，即，解得 ， .综上所述， 的值可以为0，5，1，4.故选C. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 26 6.欧几里得在《几何原本》中，记载了用图解法解方程 的方法，类似地我们可以用折纸的方法求方程 的一个正根．如图，一张边长为1的正方形的纸片 ，先折出,的中点,，再折出线段， ，然后 通过沿线段折叠使落在线段上，得到点的新位置 ， B A.线段 B.线段 C.线段 D.线段 并连结, ，此时，在下列四个选项中，有一条线段的长度恰好是方程 的一个正根，则这条线段是( ) 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 27 【解析】设，则.由题意可知，是 的中点， 所以，, ,所以 .因为 ，所以 ，所以 .因为 方程的解为，所以其正根为 ,所以这条线段是 线段 .故选B. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 28 7.【2024浙江杭州西湖区期中】对于一元二次方程 ,下列 说法:①若,则;②若方程 有两个不相等的实 数根,则方程必有两个不相等的实数根;③若 是方程 的一个根,则一定有成立;④若 是一元二次方程 的根,则 .其中正确的是( ) B A.①② B.①②④ C.①②③④ D.①②③ 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 29 【解析】①若,则是方程 的根,所以该方程有 实数根，所以,故①正确;②因为方程 有两个不相等的实 数根,所以,所以,所以 ,所以方程 必有两个不相等的实数根,故②正确;③因为 是方程 的一个根,所以,所以.若 , 等式仍然成立,但不一定成立,故③不正确;④因为 是一元二次方 程的根,所以或 ,所以 或,所以 ， 故④正确.故选B. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 30 二、填空题（共20分） 8.【2025黑龙江哈尔滨期中】关于的方程有一个根是，则 的 值为____. 【解析】把代入原方程得，解得，故答案为 . 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 31 9.【2024浙江舟山期末】已知，是关于 的一元二次方程 的两个实数根，则 的最小值是___. 7 【解析】因为，是关于的一元二次方程 的两个实数 根，所以， ，所以 .因为,所以,所以 的最小值为7.故答案为7. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 32 思路分析 先由根与系数的关系得出, ，再代入 ，然后利用配方法即可求出最小值. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 33 10.【2025浙江绍兴质检】若关于的方程 所有的根都是 比1小的正数，则实数 的取值范围是______________. 或 【解析】当时，当时，方程为，解得 ， 符合题意；当时，方程为，解得 ，不符合题意.当 时，方程为 ，则 ，所以,.因为关于 的方程 所有的根都是比1小的正数，所以 ， ，解得.综上可得，实数的取值范围是或 .故答案 为或 . 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 34 11.【2025山东临沂期中】如图，在中， ， 厘 米，厘米，点从点出发，沿边以1厘米/秒的速度向 点移动， 点从点出发，沿边以2厘米/秒的速度向点移动，如果点， 分别 从，两点同时出发，则经过__秒后，，两点间的距离为 厘米. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 35 【解析】设经过秒后，，两点间的距离为厘米.由题意得点从点 出发， 沿边运动到点所需时间为（秒），点从点出发，沿边运动到点 所 需时间为 秒.分以下三种情况讨论： ①点到达点之前，即时，厘米，厘米.因为 厘米， 所以厘米.在中， ，即 ，整理得，解得或 （不符合题意，舍去）；②点到达点，点继续向点移动，即 时， 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 36 厘米.由得 ，整理得 ，解得或,均不符合题意，舍去；③点 到达点，点到达点，即时， 厘米，不符合题意.综上，经过 秒后，，两点间的距离为厘米，故答案为 . 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 思路分析 设经过秒后，厘米，根据勾股定理得 ，分情况列方程 求解即可. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 38 三、解答题（共52分） 12.解方程： （1） ； 【解】因为，，，所以 ， 所以，所以， . （2） . 【解】，所以， . 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 39 13.【2024浙江金华金东区期末】已知关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根. （1）求 的取值范围； 【解】因为方程有两个不相等的实数根，所以 ， 所以 . （2）设方程的两个实数根分别为，，若，求 的值. 【解】因为方程的两个实数根分别为，，所以 ， .因为，所以 ，所以 ，所以，解得或 （舍去），所以 的值为0. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 40 14.【2025江苏南通调研】某健身房会员的健身积分由基础积分、运动次数积分和 额外奖励积分三部分组成，具体规则如下： 项目 第一年积分 一年后的计算方法 基础积分 150分 每年的增长率相同 运动次数积分 80分 每年增加14积分 额外奖励积分 15分 固定不变 设基础积分每年增长率为 . （1）用含 的代数式表示第三年的基础积分. 【解】根据题意得，第三年的基础积分为 分. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 41 （2）某会员在该健身房锻炼了3年，经统计这3年的运动次数积分与额外奖励积分 的和刚好是这3年基础积分总额的 ，求基础积分每年的增长率. 【解】根据题意得 ， 整理得.令，方程变为 ， 解得，（不合题意，舍去），所以 ，所以 . 答：基础积分每年的增长率是 . 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 42 15.中， ，，动点从点出发，在线段 上以 每秒1个单位长度的速度向点匀速运动，到达点停止运动.设运动时间为 秒. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 43 （1）如图（1），过点作，交于，若与 的面积和是 的面积的，求 的值； 【解】中， ，，所以 ， 是等腰直角三角形，所以 .因为，, ,所 以，所以与的面积和为 .因为 与的面积和是的面积的，所以 ， 解得，.所以 的值为2或4. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 44 思路分析 先求出的面积，然后根据题意可得， ，然后再根据 与的面积和是的面积的 ，列出方程求解即可； 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 （2）如图（2），点在射线上，且，以线段 为边向上作正方形 .在运动过程中，若正方形与重叠部分的面积为8，求 的值. 【解】因为，，所以 .分为三种情况：①如图（1），当 时，，解得， （不合题意，舍 去）; ②如图（2），当时， ，解 得（不合题意，舍去）， （不合题意，舍去）；③如图（3），当 时，，解得， （不合题意，舍 去）.综上，的值为或 时，重叠部分的面积为8. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 46 思路分析 分三种情况进行解答即可. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 47 $