2.4 课时2 用一元二次方程解决有关几何图形问题-【初中必刷题】2025-2026学年八年级下册数学同步课件(浙教版·新教材)浙江专用

该初中数学课件聚焦“一元二次方程的应用”，围绕规则图形面积、道路、围墙等几何问题展开，通过实际情境例题（如正方形与圆形面积之和、长方形剪折无盖盒子）导入，衔接方程解法与实际应用，以例题解析、关键点拨及“刷基础、刷提升、刷素养”分层练习为学习支架。 其亮点在于以真实问题情境培养数学眼光（几何直观）、数学思维（推理能力）和数学语言（模型意识），如通过长方形剪正方形折盒子问题，引导学生列方程并结合判别式分析解的合理性。学生能提升实际应用能力，教师可借助分层资源实现精准教学，提高课堂效率。

数 学 八年级下册 ZJ 1 2 3 第2章 一元二次方程 4 2.4 一元二次方程的应用 课时2 用一元二次方程解决有关几何图形问题 5 刷基础 刷提升 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 6 基础 知识点1 规则图形的面积问题 1.【2025浙江台州期末】现在有正方形田和圆形田各一块（如图所示），面积之 和为252，只知道正方形田的边长与圆形田的直径相等.问正方形田的边长和圆形 田的直径为多少？设正方形田的边长为 ，则可列出方程为( ) 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 A. B. C. D. 【解析】根据题意可列出方程为 .故选C. √ 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 关键点拨 利用面积之和为252列方程即可. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 9 2.如图，把一张长,宽 的长方形硬纸板的四周各剪去一 个同样大小的正方形，再折叠成一个无盖的长方体盒子 （纸板的厚度忽略不计）. （1）要使无盖长方体盒子的底面积为 ，那么剪去的正方 形的边长为______； 【解析】设剪去的正方形边长为.由题意，得 ，即 ，解得（不合题意，舍去）， ,所以剪去的正方形的 边长为.故答案为 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 10 （2）你认为折叠成的无盖长方体盒子的侧面积有可能等于 吗?如果能，请 求出剪去的正方形的边长；如果不能，请说明理由. 【解】折叠成的无盖长方体盒子的侧面积不可能等于 .理由如下：设剪去的 正方形边长为.由题意，得 ，整理得 .因为 ，所以原方程没有实数根，即 折叠成的无盖长方体盒子的侧面积不可能等于 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 11 知识点2 道路问题 3.如图所示，某景区内有一块长方形油菜花田地（单位： ）， 现在其中修建一条观花道（阴影部分）供游人赏花，要求观花道 的面积占长方形油菜花田地面积的 ．设观花道的直角边 （如图所示）为 ，则可列方程为( ) D A. B. C. D. 【解析】由题意,可得 ，即 .故选D. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 12 4.如图所示，某市世纪广场有一块长,宽 的长方形绿地,在绿地中开辟三 条等宽的道路后，剩余绿地的面积为,则图中 的值为___. 1 （第4题图） 【解析】根据题意得,整理得 ,解得 ,（不符合题意，舍去），即题图中 的值为1,故答案为1. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 13 知识点3 围墙问题 5.【2025山西太原调研】如图，一农户要建一个面积为 的长方形羊舍，羊 舍的一边靠墙（墙足够长），另外三边用 长的栅栏围成，为方便进出，在垂 直于墙的一边留一个宽的木门.设与墙平行的边长为 ，则根据题意可列方程 为( ) B （第5题图） A. B. C. D. 【解析】根据题意可列方程为 ，故选B. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 14 6.【2025江苏南京期中】如图，若准备利用一处墙角 和长 度为的篱笆围建一个长方形花圃，花圃的一边 由 墙和篱笆构成，另一边由墙和篱笆 构成，其他 【解】设边的长度为.因为四边形是长方形，所以 ， ，所以 .因为长方形周长为 ，所以.由题意知 ，整理，得 ，解得，.当时， ，无意义，舍去， 所以，故花圃的边的长度为 . 两边，由剩下的篱笆围成.若， ，长方形花圃的面积为 ，求花圃的边 的长度. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 15 提升 1.【2025江苏南通一模，中】甲、乙两个正方形的面积和为10，按图（1）放置时， 阴影部分面积为8，则按图（2）放置时，阴影部分面积为( ) C 图（1） 图（2） A. B. C.8 D.10 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 16 【解析】设甲、乙两个正方形的边长分别为，，且 .依题意得 ，，所以，所以,所以 ， 所以，解得，.当时，，则 ; 当时， ，不合题意，故舍去.综上所述,按题图（2）放置时，阴影部分 面积为8，故选C. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 17 2.【2025浙江绍兴期末，难】空地上有一段长为米的旧墙 ，利用旧墙和木栏 围成一个长方形菜园，有两种围法，如图（1）、图（2）所示，已知木栏总长为 40米（全部用完），所围成的菜园面积为 平方米.下列说法正确的是( ) C 图（1） 图（2） A.若，，则有一种围法 B.若， ，则有两种围法 C.若，，则有两种围法 D.若， ，则有一种围法 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 18 【解析】设长方形菜园的宽为米.当 时，采用题图（1）围法，则长为 米，所以，,当 时， ,解得, ,均不符合题意;采用题图（2） 围法，如图（1），此时,则 ,则 ,即长方形菜园的长为米，所以 ，可得 ,当时，,解得 ,不符合题意.综上, 若， ，则两种围法均不符合题意，故A，B选项不符合题意.当 时，采用题图（1）围法，此时,当 时， ,解得, （不符合题意，舍去）； 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 19 图（1） 图（2） 采用题图（2）围法，如图（2），此时 ,则 ,则,即长方形菜园的长为 米，所以，可得,当时， ,解得 （不符合题意，舍去）,.综上,若， ， 则有两种围法，故C选项符合题意，D选项不符合题意.故选C. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 3.【2024浙江杭州期中，中】如图是一块长方形菜地 ， ，，面积为.现将边增加，边 增加，若有且只有一个 的值，使得到的长方形面积为 ，则 的值是_________. 【解析】根据题意得起始长方形的面积 ，变化后长方形的面积为 ，所以，所以 ，所以 .因为有且只有一个的值使得到的长方形面积为 ， 所以，整理得，解得 ， （不符合题意，舍去），所以的值是.故答案为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 21 关键点拨 根据已知条件和长方形的面积公式，列出关于 的一元二次方程是解题的关键. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 22 4.【2025湖北十堰调研，中】我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创造了 “赵爽弦图”.图（1）是由四个全等直角三角形围成的一个大正方形，中间是一 个小正方形.连结图（1）中相应的顶点得到图（2），记阴影部分面积为 ，空白 部分面积为，若大正方形边长为， ，则小正方形边长为_______. 图（1） 图（2） 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 23 【解析】如图，设， ， ，所以.因为大正方形的边长为 ， ，所以，所以，解得 ，所以 ，解得，（舍去）,所以.在 中， ，所以，解得， （舍去），所以小正方形的边长为.故答案为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 24 刷素养 走向重高 5.思想方法 数形结合 【2025河北石家庄调研，较难】如图，在 中， ，，，点从点 出发， 沿边运动，速度为，与此同时，点从点 出发，沿边 运动，速度为，当点到达点时，点， 同时停止运 动，连结，，设运动时间为，的面积为 . （1）用含的代数式表示__；_________ . 【解析】因为点从点出发，沿边运动，速度为，所以 .因为 ，点从点出发，沿边运动，速度为，所以 . 故答案为， . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 25 （2）当为何值时, ？ 【解】由题意可知，的最大值为，即.因为， ， 所以.由题意可知， ， ，所以，解得 ， （舍去），此时,所以当时， . （3）在点的运动过程中， 的值可能为5吗？通过计算说明理由. 【解】 的值不可能为5.理由如下：由题意可得， .令，即 ， 因为，所以方程无实数根，故 的值不可能为5. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 26 关键点拨 本题主要考查一元二次方程的应用，熟练运用数形结合的思想解决问题是解答本 题的关键. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 27 $