2.3 一元二次方程根与系数的关系-【初中必刷题】2025-2026学年八年级下册数学同步课件(浙教版·新教材)浙江专用

该初中数学课件聚焦“一元二次方程根与系数的关系”核心知识点，通过复习方程解法与判别式导入，衔接前后知识脉络，以“刷基础-刷提升-刷易错”分层训练为支架，帮助学生逐步掌握韦达定理的应用。 其亮点在于结合中考真题与模拟题，注重运算能力和推理意识培养，如通过易错点分析强调判别式验证，以家电以旧换新增长率问题渗透应用意识。学生能巩固知识提升解题能力，教师可借助系统资料高效开展分层教学。

数 学 八年级下册 ZJ 1 2 3 第2章 一元二次方程 4 2.3 一元二次方程根与系数的 关系 5 刷基础 刷提升 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 6 基础 知识点 根与系数的关系及其应用 1.以方程 的两个根的和与积为两根且二次项系数为1的一元二次方 程是( ) B A. B. C. D. 【解析】设,是方程的两个根，则， .设以 ,为两根且二次项系数为1的一元二次方程为,则 ， ，所以所求方程是 .故选B. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 7 2.【2025河北廊坊二模】已知，是关于的方程 的两个 根，下列结论一定正确的是( ) A A. B. C. D. 【解析】因为，所以 ，所以方程有 两个不相等的实数根.因为，是关于的方程 的两个根， 所以,故A正确，B错误.由一元二次方程根与系数的关系得 , ，所以,异号或其中一个的值为0，所以 的值不一定大 于0，故C，D错误.故选A. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 8 3.【2024江苏南京玄武区模拟】设，是关于的方程 的两个根， 且，则 ____. 【解析】根据题意知，则.将其代入关于 的方程 ，得，解得.故答案为 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 9 4.【2024浙江温州期中】已知 ， 是一元二次方程 的两根，则 的值等于_____. 【解析】根据根与系数的关系得， ，所以 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 10 5.【2024浙江绍兴调研】已知关于的一元二次方程 . （1）求证：无论 取何值，方程都有两个不相等的实数根； 【证明】，其中，， ，所 以 .因 为，所以，所以无论 取何值，方程都有两个不相等的实数根. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 11 （2）如果方程的两个实数根为，，且，求 的值. 【解】因为方程的两个实数根为， ，所以 ，.因为 ，即 ，所以.整理得 ， 所以，解得，.所以的值为 或1. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 12 6.【2025浙江嘉兴期末】从9月1日到9月底，某市已累计投入约800万元用于首批 家电以旧换新补贴，考虑到年底换家电的数量可能会持续增长，现计划逐月增加 投入资金，到11月底，计划累计投入约3 200万元用于家电以旧换新补贴. （1）求这两月投入资金的月平均增长率（只需列出方程）； 【解】设这两月投入资金的月平均增长率为 .由题意可得 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 13 （2）设（1）中所列方程的两根分别为，，且，求 的值. 【解】将（1）中的方程整理可得.因为方程的两根分别为, ， 所以， ，所以 ，即 ，解得或 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 14 刷易错 易错点 已知根与系数的关系求字母系数的值时，忽视 而出错 7.关于的一元二次方程的两根为， ，且 ，求 的值. 嘉佳的解题过程如下： 解:因为， ， 所以 ， 整理,得 ， 解得， . 嘉佳的解题过程漏考虑了哪个条件？请写出正确的解题过程. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 15 【解】嘉佳的解题过程漏考虑了 这一条件.正确的解题过程如下：根 据题意得，解得.因为 ， ，所以，整理得，解得 ， （舍去），所以的值为 . 易错警示 本题中忽略 这一条件导致错解.针对这一类题，我们一定要看清题目中所 给的条件，考虑一元二次方程有解的条件为“ ”，才能得出正确结果. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 16 提升 1.［中］若,是方程的两实数根，则 的值为( ) A A.5 B.6 C.7 D.8 【解析】因为是方程的根，所以 ,所以 ,所以.因为, 是 方程的两实数根，所以,所以 . 故选A. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 17 刷有所得 常用根与系数的关系解决以下问题：①不解方程，判断两个数是不是一元二次方 程的两个根.②已知方程及方程的一个根，求另一个根及字母的值.③不解方程求 关于根的式子的值，如求 的值等.④判断两根的符号. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 18 2.【2024江苏南京鼓楼区模拟,中】若关于的方程 的两 根之和为，两根之积为，则关于的方程 的两根之 积是( ) A A. B. C. D. 【解析】设关于的方程的两根分别为， .因为关 于的方程的两根之和为，两根之积为 ，所以 ，，所以， ，化 简得， ，② 将①代入②,整理可得， ，故选A. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 19 3.【2025浙江杭州期中，中】已知，，， 为互不相等的实数，且 ，，则 的值为( ) A A. B.0 C. D.2 【解析】因为， ，所以 ，.因为，，， 为互不 相等的实数，所以和可以看作方程 的两个根，所以 ，所以 .故选A. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 20 4.【2025浙江绍兴期末，较难】在解一元二次方程时，小马同学粗心地将 项的 系数与常数项对换了，使得方程也变了.他正确地解出了这个“错误”的方程，得 到一个根是2，另一个根等于原方程的一个根，则原方程两根的平方和是( ) D A. B. C. D. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 21 【解析】设原方程为，两个根为 和 ，则“错误”的方程为 ，两个根为2和 ，所以 ， ，.得 .由题意得 ，所以，所以，所以.当时， .联 立 所以 则， ， 所以.当时， .联立 所以 则 ， 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 22 ，则 .综上，原方程两根 的平方和是 .故选D. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 5.【2025湖北武汉调研，中】如果，是一元二次方程 的两个根， 那么多项式 的值是_______. 2 029 【解析】因为,是一元二次方程的两个根，所以 ， ，，，所以， ， 所以， ，即 ，所以 故答案为2 029. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 24 6.【2025浙江宁波期末，中】若,是关于 的方程 的两个实数根，且满足，则 的取值范 围是_ ____________. 【解析】由题意可知,.因为 ，所以 ，所以，,，所以 ， ，所以，所以 ，所以 ，所以，故答案为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 25 7.【2025上海闵行区质检，中】若三个整数，， 使一元二次方程 的两个根分别为，，则 的值为____. 18 【解析】因为与是一元二次方程的两个根，所以 ， ，所以 ，所以 .因为 为整数，所以 或，所以（舍去）或，所以 ，所以 ，所以，所以 ，故答案为18. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 26 思路分析 先通过根与系数之间的关系得到,变形为,再根据 为整数，得出的值，进而得出与 的值，即可得到答案. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 27 8.［中］已知为一元二次方程的根，方程的另一个根为 . 回答下列问题： （1）_ ____， ____； 【解析】因为为一元二次方程 的根，方程的另外一个根为 ， 所以，所以 ，所以 .故答案为， . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 28 （2） ___. 1 【解析】因为 , 是一元二次方程的根，所以 ， ，所以，.因为， ，所以 ， ，所以 .因为 ， ，所以原式 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 29 9.［较难］已知,是关于的方程 的两实数根，且 ，则 的值为___. 2 【解析】因为,是关于的方程 的两实数根，所以 ，，，所以 .因为 ，所以 ，所以 ，解得或.当时，关于 的方程为 ，，符合题意；当时，关于 的方程为 ， ，方程无实数根，不符合题意,所 以 .故答案为2. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30 刷素养 走向重高 10.核心素养 运算能力 【2025福建厦门质检，较难】定义：若关于 的一元二次 方程的两个实数根为，，分别以， 为横 坐标和纵坐标得到点，则称点 为该一元二次方程的衍生点. （1）一元二次方程的衍生点 的坐标为_______. 【解析】因为，所以，，所以.故答案为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 31 （2）若点是关于的一元二次方程 的衍生点，且 点在直线上，求 的值. 【解】，解得， ，所以 .因为点在直线上，所以，解得 ，所以 的值为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 32 （3）是否存在，，使不论为何值，关于的方程 的衍 生点始终在直线上?若存在，请求出， 的值；若不存在， 请说明理由. 【解】存在.因为 ，所以直线 恒过点，所以方程的衍生点 的坐标为 ，所以方程的两个实数根为, ,所以根据根与系数 的关系得，，所以， . 关键点拨 理解定义的含义是解题的关键. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 33 $