2.1 一元二次方程和它的解-【初中必刷题】2025-2026学年八年级下册数学同步课件(浙教版·新教材)浙江专用

该初中数学课件聚焦一元二次方程，涵盖概念、解、一般形式及应用等核心知识点，通过“刷基础”“刷提升”分层设计，结合例题解析、“刷有所得”总结三要素、“刷易错”警示二次项系数不为零等学习支架，帮助学生衔接前后知识。 其亮点在于融入实际情境（如篮球单循环比赛、竹竿进城问题）培养应用意识，通过含参数方程判断等推理过程发展运算与推理能力，“刷素养”新定义问题（导出多项式）激发创新意识。采用例题解析与方法总结结合的教学方式，学生能提升数学思维，教师可高效开展分层教学。

数 学 八年级下册 ZJ 1 2 3 第2章 一元二次方程 4 2.1 一元二次方程和它的解 5 刷基础 刷提升 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 6 基础 知识点1 一元二次方程的概念 1.【2024浙江宁波镇海区期末】下列方程：； ； ; ,其中是一元二次方程的有( ) C A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 【解析】是一元二次方程; 是一元一次方程; 是分式方程; 是一元二次方程，所以是一元二次方程的有 2个.故选C. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 7 刷有所得 识别一元二次方程的三要素: （1）一元二次方程是整式方程；（2）只含有一个未知数；（3）未知数的最高次 数是2次. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 8 2.【2025广东梅州质检】已知关于的方程 . 【解】，整理得 . （1）当 为何值时，该方程是一元二次方程？ 【解】当，即 时，该方程为一元二次方程. （2）当 为何值时，该方程是一元一次方程？并求出该方程的解. 【解】当且，即 时，该方程为一元一次方程，此时方程 变为，解得 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 9 知识点2 一元二次方程的解 3.【2025河北保定期中】能使方程成立的 的值为( ) C A.0 B.1 C.2 D.3 【解析】A选项，把代入，得 ，故该选项不符合题 意；B选项，把代入，得 ，故该选项不符合题意；C 选项，把代入，得 ，故该选项符合题意；D选项，把 代入，得 ，故该选项不符合题意.故选C. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 10 4.【2024浙江台州期中】若是关于的方程 的解,则 的值为_______. 2 021 【解析】因为是关于的方程的解,所以 ,即 ,所以 故答案为 2 021. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 知识点3 一元二次方程的一般形式 5.【2025江苏扬州调研】将方程 化成一元二次方程的一般形式 （二次项系数为正数）后，它的二次项系数、一次项系数和常数项分别是( ) B A.5，, B.5,,8 C.6,,8 D.6,5, 【解析】方程 化为一元二次方程的一般形式（二次项系数为正数）为 ，则二次项系数、一次项系数和常数项分别是5， ，8.故选B. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 6.【2024浙江杭州期末】关于的一元二次方程 化为一般形式后 不含一次项，则 的值为( ) C A.0 B. C.3 D. 【解析】将化为一般形式，得.因为关于 的一元二次方程化为一般形式后不含一次项，所以 ， 解得 .故选C. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 13 7.【2024浙江杭州期中】方程 化为一般形式是_____________ ______；其中二次项系数是___. 6 【解析】,去括号，得 ,移项，得 ,合并同类项，得 .故一般形式为 ,二次项系数为6.故答案为 ，6. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 14 知识点4 根据题意列一元二次方程 8. 2025浙江省城市篮球联赛（简称浙 ）是2025年浙江省规模最大的 群众篮球赛事，赛事覆盖全省11个设区市及90个县（市、区）.某校为了在校园推 广篮球运动，举办了一次篮球邀请赛，实行单循环比赛（每两支球队之间都比赛 一场），计划安排15场比赛，设有 支球队参加比赛，则下列方程中符合题意的是 ( ) C A. B. C. D. 【解析】根据题意得 .故选C. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 15 9.【2025陕西渭南期末】从前有一人拿着竹竿进城，横拿、竖拿都进不去城门 （城门是长方形），横拿比城门宽，竖拿比城门高 ，一个聪明人告诉他沿 着城门的两对角斜着拿杆，这个人试了试，不多不少刚好进去了.你知道竹竿有多 长吗？设竹竿的长为 ，请列出符合条件的方程为________________（要求化为 一般形式）. 【解析】已知竹竿的长为，由题意得 ，整理得 ，故答案为 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 16 思路分析 用含 的代数式表示出城门的高和宽，根据勾股定理列方程即可. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 17 刷易错 易错点 忽略一元二次方程的二次项系数不为零致错 10.小明认为关于的方程 可能是一元二次方程．你认 为小明的观点是否正确？为什么？ 【解】小明的观点不正确.理由：因为当关于的方程 是一元二次方程时，，解得，所以，所以关于 的 方程 不可能是一元二次方程. 易错警示 对于二次项系数含有字母的方程，解题时注意不要忽略一元二次方程二次项系数 不为零. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 18 提升 1.【2025浙江金华调研，中】若是方程 的一个根，则 的值为( ) A A.2 024 B.2 023 C.2 022 D.2 021 【解析】因为是方程的一个根，所以 ，所以 ，，所以 .故选A. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 19 2.【2025浙江温州期中，中】若关于的一元二次方程 有 一根为，则关于的一元二次方程 必有一根为 ( ) D A. B. C. D. 【解析】把代入一元二次方程 ，得 ，两边同时除以，得 ，即 ，所以当时，方程 成立，所以方 程必有一根为 ，故选D. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 20 3.【2025浙江衢州质检，中】已知一个两位数，十位数字比个位数字大3，且这两 个数字之积等于这个两位数的，若设个位数字为 ，则可列方程为_____________ ______________. 【解析】已知个位数字为，则十位数字为 ，可列出方程为 ，故答案为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 21 4.【2024四川南充模拟，中】已知关于的一元二次方程 的一 个根为，则关于的方程 的两个根为_______________ _____. , 【解析】，即 .因为一元二次方程 的一个根为，且观察方程易得另一个根为 ，所以 或，解得或.故答案为, . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 22 5.［较难］已知下面三个关于的一元二次方程： ， ，恰好有一个相同的实数根，则 的值 为___. 0 【解析】设这个相同的实数根为.把 分别代入三个方程中，得 ，， ，相加得 ，即 .因 为，所以 .故答案为0. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 23 6.【2025广东深圳质检，中】阅读下列材料： 方程两边同时除以，得，即 .因 为，所以 . 根据以上材料解答下列问题： （1）已知方程，则___； ____. 4 18 【解析】因为，所以，所以 ，所以 ，所以，所以 .故答案为4,18. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 24 （2）若是方程的根，求 的值. 【解】因为是方程的根，所以 ，所以 时不满足原方程，所以，所以 ， 所以，所以 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 25 7.［中］如图，点与点 表示的数分别为1和3，宸 宸在数轴上以为直角顶点作， ，再 以为圆心，为半径画圆，交数轴于， 两点， （1）写出与 表示的数； 【解】在中，因为，，所以 ，所以 .设0对应的点为点，则 ，所以 ，，所以点表示的数为 ， 即，点表示的数为，即 . 莲莲说若，分别表示和，则是一元二次方程 的一个根; 琮琮说 一定不是此方程的根. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 26 （2）求出 的值； 【解】把代入方程得 ， 解得，即的值为 . （3）你认为琮琮说得对吗？为什么？ 【解】琮琮说得不对.理由如下：由（2）知一元二次方程为 .把 代入方程得 ，所以 一定 是此方程的根. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 27 刷素养 走向重高 8.核心素养 应用意识 ［难］阅读与理解： 已知是关于的多项式，记为．我们规定： 的导出多项式为 ，记为．例如：若，则 的导出多项式 ． 根据以上信息，回答问题： （1）若，则它的导出多项式 _______. 【解析】因为，所以它的导出多项式.故答案为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 28 （2）设是 的导出多项式． ①若，求关于的方程 的解. 【解】因为 ，所以它的导出多项式 . 因为，所以，所以，所以关于的方程 的解为 . 思路分析 根据题目规定，求出的导出多项式 ，解方程即可； 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 29 ②已知是关于的二次多项式，且关于 的方程 的解为整数，求正整数 的值． 【解】因为 ，所以它的导出多项式 .因为 ，所以 ，所以.因为关于的方程 的解为整数， 所以，所以，所以的值为，，，，所以 的 值为2，1，，，0，3，，，所以正整数的值为2，1，3.又因为 ， 所以，所以正整数 的值为1或3. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 30 思路分析 根据题目规定，求出的导出多项式，再根据关于 的方程 的解为整数进行计算即可. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 31 $