1.7 课时1 正方形的性质-【初中必刷题】2025-2026学年八年级下册数学同步课件(湘教版·新教材)

该初中数学课件聚焦八年级下册“正方形的性质”核心知识点，通过回顾菱形、矩形性质导入，对比引出正方形特殊性，搭建从一般四边形到特殊四边形的学习支架，衔接前后知识脉络。 其亮点在于结合中考真题与分层练习，通过构造对称点求最小值（如第3题）培养几何直观，分类讨论等边三角形位置（如第8题）发展推理意识，解析注重数学语言规范表达。助力学生巩固基础提升解题能力，为教师提供分层教学与易错点指导资源。

数 学 八年级下册 XJ 1 2 3 第1章 四边形 4 1.7 正方形 课时1 正方形的性质 5 刷基础 刷提升 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 6 基础 知识点1 正方形的定义及性质 1.【2024山东青岛市北区期中】正方形具有而菱形不一定有的性质是( ) B A.四边相等 B.对角线相等 C.对角线平分一组对角 D.对角线互相垂直 【解析】正方形具有而菱形不一定具有的性质是对角线相等. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 7 （第2题图） 2.【2025甘肃陇南期末】如图所示，在中，为 边上一 点，以为边在右侧作正方形，若 ， ，则 的度数是( ) A A. B. C. D. 【解析】 四边形是正方形， 四边形 是平行四边形，， , , , .故选A. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 8 （第3题图） 3.【2025湖南郴州调研】如图，正方形的边长为8， 的 平分线交于点，若点，分别是和 上的动点，则 的最小值是( ) C A.2 B.4 C. D. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 【解析】如图，过点作交于点，交 于点 ，， ， ，,，是关于 的对称点.过点作于点，交于点，连接 ， ,，则为 的最小值. 四边形是正方形， ， , ， 在中，， , , 即的最小值为 .故选C. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 10 4.如图，在正方形中，点，分别是边， 上的点.若 ，， . （1）请求出 的长； 【解】 在正方形中， ， ， ． ，．在中， ， 即 的长为5． 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 11 （2）求证： . 【证明】 在正方形中，，， . 在 中，，，．在 中，，， . 由（1）得，， , 是以 为斜边的直角三角形, ． 方法总结 证明一个角等于 ，可证这个角所在的三角形为直角三角形，利用两个锐角互 余或勾股定理的逆定理求证. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 12 知识点2 正方形的面积 （第5题图） 5.【2025湖南衡阳模拟】如图，在正方形 中，若 ，，则正方形和正方形 的 面积之和等于( ) C A.96 B.48 C.20 D. 【解析】设矩形中的, 四边形 和四边 形都为正方形，,， 正方形 和正 方形的面积之和为，， ， ， .故选C. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 13 （第6题图） 6.用4张全等的直角三角形纸片拼接成如图所示的图案，得到两个 大小不同的正方形和正方形 ，每张直角三角形纸片的两 条直角边长之比为，若正方形的面积为5，则正方形 的面积为( ) D A. B.12 C. D.9 思路分析 由4个直角三角形全等及两直角边长之比为，设参数为 ，再根据勾股定理求出 ，利用正方形的面积求出的值，从而求出正方形 的面积. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 14 【解析】根据题意可知题图中4个直角三角形全等. 每张直角三角形纸片的两条 直角边长之比为， 设，，则 ．由 全等可知， ， ， , ．故选D. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 15 7.【2025广东广州期中】如图，点，，在同一条直线上，正方形 ，正方 形的边长分别为3，4，为线段 的中点，求图中阴影部分的面积. 【解】6 思路分析 根据正方形的性质得出是直角三角形，由勾股定理求出, 的长，即可 求出的面积，再根据为线段 的中点即可求解. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 16 【解析】如图所示，连接 . 点，，在同一条直线上，正方形，正方形 的边长分别为3，4， ，,， ， ,， , 是直角三角形，为线段 的中 点， 阴影部分的面积是 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 17 刷易错 易错点 未给图时不注意分类讨论致错 8.已知四边形是正方形，以为边作等边三角形，连接， ，若 ，则 的面积为_______________. 或 易错警示 对于未给题图的题目一定注意分类讨论，如本题中的等边三角形 分在正方形 外部和内部两种情况. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 18 【解析】分两种情况:①如图（1），等边三角形在正方形 外 部，过点作于 四边形是正方形， ， 三角形 是等边三角形， , ， ，的面积为 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 19 ②如图（2），等边三角形在正方形的内部，过 点作 于 四边形是正方形，， . 三角形是等边三角形， ， 或 . ，，的面积为．综上，的面积为或 .故答案为 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 20 提升 1.［中］如图，已知点在正方形的边上，以为边向正方形 外部 作正方形，连接，，分别是，的中点，连接.若 ， ，则 ( ) B A.25 B. C. D.12 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 21 【解析】连接，如图. 四边形是正方形， ， 四边形是正方形， ， ．在 中， ，分别是，的中点， 是 的中位线, ．故选B． （第1题图） 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 22 2. 【2025湖南永州二模，中】如图（1），将一张正方形纸片沿虚线对折两 次，得到图（2），按照图（2）所示剪去一个腰长为2的等腰直角三角形，展开后 得到一个如图（3）所示的正八边形 ，将剪下的四个等腰直角三角形拼 成一个正方形，放在正八边形内部，与重合，为 的中点，连接 .将正方形绕点顺时针旋转 ,与重合，此时 的长为 ( ) B 图（1） 图（2） 图（3） A.3 B. C. D. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 23 （第2题图） 【解析】如图所示，连接 .根据题意得， ， ， ， ，.又， 四边 形是平行四边形.， 平行四边形是菱形， .设 正方形对角线的交点为，则， 正方形 的边长为 ，. ， ，为 的中点， ， ， 故选B. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 24 （第3题图） 3.［中］如图，正方形中，对角线，是 上任意 一点，过点作，，垂足分别为点， ，则 的值为___. 5 【解析】 四边形是正方形，， ， ， ， 四边形 为矩形，是等腰直角三角形，， ， .又 正方形中，对角线， ． 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 25 （第4题图） 4.【2025广东湛江二模,中】如图所示，七巧板被誉为“东 方魔板”，它由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平 行四边形共七块板组成.已知图（1）是边长为8的大正方形， 图（2）是小红同学用七巧板摆成的“奔跑者”图案，则图 （2）中阴影部分的面积为____. 24 关键点拨 根据题意分别求出七巧板中阴影等腰直角三角形和平行四边形的面积是解题的关键. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 26 【解析】如图，由题意可知，四边形和四边形 都是正方形， 且正方形的边长为8， ， 和 都是等腰直角三 角形，,, 都是等腰直角三角形， 四边形是正方形，四边形是平行四边形， 易得 ，， 平行四边形 、正 方形、面积相等，与面积的和等于 的面积， 题图（2）中的阴影部分由图中的 和平行四 边形组成， ，故答案为24. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 27 5.［中］如图，点是正方形的边 上的动点， ，且，，连接 . （1）求证： ； 【证明】 四边形是正方形，， . ， ， . 在和中，，， ， ，，， ，即 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 28 （2）若，，求 的长. 【解】延长,交于点 ，如图. 由（1）知， ， ， 四边形 是矩形， ,，， . 在中，，的长是 ． 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 29 刷素养 6.核心素养 几何直观 【2025北京朝阳区一模，较难】如图，在正方形 中， 为边上一点（不与点，重合），将线段沿直线翻折，得到线段 ， 连接并延长，与线段的延长线相交于点，连接 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 30 （1）依题意补全图形； 【解】补全图形如图（1）所示. 图（1） 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 31 （2）求 的度数； 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 32 图（1） 【解】设 . 如图（1）， 四边形 是正方形， ， ， . 将线段沿直线翻折，得到线段 ， ， ， ， , ， . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 思路分析 设 ，根据正方形的性质可得， ，再由翻折的 性质可得 ，最后根据等腰三角形的性质及角的和差求解即可. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 34 （3）用等式表示线段与 的数量关系，并证明. 图（2） 【解】 .证明如下： 如图（2），作，交的延长线于点，连接 . ， . 四边形 是正方形， ， ， ，即 . 将线段沿直线翻折，得到线段 ， , . , , 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 35 ， . 由（1）知， . ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 $