精品解析：江西新余市分宜县2025-2026学年九年级上学期期末数学试卷

2025年秋季九年级期末质量检测数学试卷 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 下列人工智能图标中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的定义，熟练掌握中心对称图形的定义是解答本题的关键． 根据中心对称图形的定义解答即可． 【详解】解：A、该图形不是中心对称图形，故A选项不符合题意； B、该图形是中心对称图形，故B选项符合题意； C、该图形不是中心对称图形，故C选项不符合题意； D、该图形不是中心对称图形，故D选项不符合题意； 故选：B． 2. 反比例函数的图象位于（　　） A. 第一、三象限 B. 第二、四象限 C. 第一、四象限 D. 第二、三象限 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，根据反比例函数的比例系数来判断图象所在的象限，，位于一、三象限；，位于二、四象限． 【详解】解：∵， ∴反比例函数图象位于第二、四象限． 故选：B． 3. 小区新增了一家快递店，第一天揽件200件，第三天揽件242件，设该快递店揽件日平均增长率为，根据题意，下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】平均增长率为x，关系式为：第三天揽件量＝第一天揽件量×（1＋平均增长率）2，把相关数值代入即可． 【详解】解：由题意得：第一天揽件200件，第三天揽件242件， ∴可列方程为：， 故选：A． 【点睛】此题考查一元二次方程的应用，得到三天的揽件量关系式是解决本题的突破点，难度一般． 4. 如图，的直径垂直弦于点E，且，，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了垂径定理和勾股定理，熟知这两个定理的用法是正确解答此题的关键． 根据垂径定理得出的长，根据勾股定理得，即可求解． 【详解】解：的直径垂直弦于点E，且，， ， 在中，， ， 故答案为：B． 5. 若关于x的一元二次方程有实数根，则实数k的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义和一元二次方程根的情况与的关系列出不等式，即可求出实数k的取值范围. 详解】解：由题意可知： 解得： ∴且. 故选：D. 【点睛】此题考查的是求一元二次方程中的参数问题，掌握一元二次方程的定义和一元二次方程根的情况与的关系是解决此题的关键. 6. 如图是二次函数（a，b，c是常数，）的图象的一部分，对称轴是直线．下列说法：①；②；③；④；⑤．其中正确的是（ ） A ①②④ B. ①②⑤ C. ②③④ D. ②③⑤ 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数之间的关系，二次函数图象的性质．根据开口向下可得，可判断①；根据对称轴为直线，可得，据此可判断②；由函数图象可知二次函数与轴两个不同的交点，可判断③；根据当时，，可判断④；根据二次函数与轴交于正半轴，可判断⑤． 【详解】解：二次函数开口向下， ，故①错误； 对称轴为直线， ， ∴，故②正确； 二次函数与轴交于正半轴， ，故⑤正确； 由函数图象可知二次函数与轴两个不同的交点， ，故③正确； 当时，， ，故④错误； 正确的有②③⑤， 故选：D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 反比例函数的图象在每个象限内的函数值随自变量的增大而增大，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，当比例系数小于时，函数值随自变量的增大而增大． 【详解】解：反比例函数的图象在每个象限内的函数值随自变量的增大而增大， ， 解得． 故答案为：． 8. 把抛物线向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了抛物线平移的规律：左加右减，上加下减，熟记平移的规律是解题的关键，根据规律直接得到答案． 【详解】抛物线向左平移1个单位，然后向上平移3个单位， 则平移后抛物线的解析式为, 故答案为． 9. 太极八卦图蕴含着丰富的传统文化与数学奥秘，其外围的卦象排布可近似看作一个正八边形（如图）．则这个正八边形的中心角度数为________． 【答案】##45度 【解析】 【分析】本题主要考查了正多边形中心角的计算，熟练掌握正多边形中心角的计算公式（其中为正多边形的边数）是解题的关键．正多边形的中心角是指以正多边形的中心为顶点，将周角平均分成与边数相同份数的角．因此，求正八边形的中心角度数，只需用周角除以边数8即可． 【详解】解：中心角度数， 故答案为：． 10. 若，是一元二次方程的两个实数根，则的值是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义，一元二次方程根与系数的关系．根据一元二次方程的解的定义可得，利用根与系数的关系得到的值，并将原表达式变形后代入计算，即可求解． 【详解】因为是方程的根， 所以，即 ∴ 由根与系数的关系，， 所以原式， 故答案为：． 11. 如图，是的内切圆，切点分别为D，E，F．若，，则的周长为__________． 【答案】32 【解析】 【分析】本题考查了切线长定理，掌握切线长定理是解题的关键．由切线长定理得，，，即可求解． 【详解】解：是的内切圆，切点分别为，，， ∴，，， ∴ ． 故答案为：32． 12. 如图，在中，，，将绕点A逆时针旋转角得到，连接，．当为等腰三角形时，旋转角的度数为______． 【答案】或或 【解析】 【分析】分三种情况讨论，一是点在上，则是等边三角形，可证明，则是等腰三角形，此时；二是点在上，可证明，则是等腰三角形，此时；三是是等腰三角形，且，作于点，交于点，则，可证明，再推导出，则，所以，可求得，此时． 【详解】解：如图1，点在上， 由旋转得， ，， 是等边三角形， ， ， 四边形平行四边形， ，， ， 等腰三角形， ； 如图2，点在上， ，， ， ， 是等腰三角形， ； 如图3，是等腰三角形，且，作于点，交于点，则， ，，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 综上所述，旋转角的度数为或或， 故答案为：或或． 【点睛】此题重点考查平行四边形的性质、旋转的性质、等腰三角形的判定与性质、直角三角形的两个锐角互余、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 三、解答题（本大题共5小题，每题6分，共30分） 13. 解一元二次方程： （1）； （2）； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，关键是熟练掌握各种解一元二次方程的计算方法． （1）利用因式分解法，即可解答； （2）利用因式分解法，即可解答； 【小问1详解】 解：， ， 解得； 【小问2详解】 解：， ， 解得． 14. 如图，是等边内的一点，且，，，将绕点逆时针旋转，得到． （1）求点与点之间的距离； （2）求的度数． 【答案】（1）4 （2） 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理逆定理等知识，理解旋转的性质，熟知等边三角形的判定与性质，勾股定理逆定理等知识是解题关键． （1）根据旋转的性质得到为等边三角形 ，问题得解； （2）根据旋转性质得到，得到，根据勾股定理逆定理证明 ，即可求出； 【小问1详解】 解：如图，连接， 为等边三角形， ，． 是绕点逆时针旋转得到的， ，，， 是等边三角形， ； 【小问2详解】 ∵绕点逆时针旋转得到， ∴， ∴ ， 在中， ∵，，， 而， 即， 是直角三角形，且， 是等边三角形， ， ． 15. 已知矩形ABCD的顶点A、D在圆上， B、C两点在圆内，请仅用没有刻度的直尺作图． （1）如图1，已知圆心O，请作出直线l⊥AD； （2）如图2，未知圆心O，请作出直线l⊥AD． 【答案】（1）作图见解析；（2）作图见解析 【解析】 【详解】解（答案不唯一）：（1）如图1，直线l为所求； （2）如图2，直线l为所求． 16. 甲骨文是迄今为止中国发现的年代最早的成熟文字系统，是汉字的源头和中华优秀传统文化的根脉．小明在了解了甲骨文后，制作了如图所示的四张卡片（这四张卡片分别用字母，，，表示，正面文字依次是文、明、自、由，这四张卡片除正面内容不同外，其余均相同），现将四张卡片背面朝上，洗匀放好． （1）小明从中随机抽取一张卡片，抽取卡片上的文字是“文”的概率为________； （2）小明从中随机抽取一张卡片不放回，小亮再从中随机抽取一张卡片，请用列表法或画树状图法计算两人抽取的卡片上的文字恰好可以组成“文明”或“自由”的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了概率公式及列表法或画树状图的方法求概率，理解题意是解决本题的关键． （1）直接利用概率公式计算即可； （2）通过画树状图，可得共有12种等可能结果，其中，两人抽取的卡片恰好组成“文明”或“自由”一词一共有4种，再根据概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：一共有文、明、自、由，4张卡片，小明从中随机抽取一张卡片， ∴抽取卡片上的文字是“文”的概率为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：根据题意，画树状图如下： 由树状图可知，共有12种等可能的结果，两人抽取的卡片恰好组成“文明”或“自由”的结果有种， ∴（两人抽取的卡片恰好组成“文明”或“自由”） ． 17. 如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使DC=BD，连结AC交⊙O于点F． （1）AB与AC的大小有什么关系？请说明理由； （2）若AB=8，∠BAC=45°，求：图中阴影部分的面积． 【答案】（1）AB=AC；（2）． 【解析】 【分析】（1）连接AD，根据圆周角定理可以证得AD垂直且平分BC，然后根据垂直平分线的性质证得AB＝AC； （2）连接OD、过D作DH⊥AB，根据扇形的面积公式解答即可． 【详解】（1）AB=AC．理由是：连接AD． ∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，即AD⊥BC， 又∵DC=BD，∴AB=AC； （2）连接OD、过D作DH⊥AB． ∵AB=8，∠BAC=45°， ∴∠BOD=45°，OB=OD=4， ∴DH=2， ∴△OBD的面积= 扇形OBD的面积=， 阴影部分面积=． 【点睛】本题考查了圆周角定理以及等腰三角形的性质定理，理解弧的度数和对应 圆心角的度数的关系是关键． 四、解答题（本大题共3小题，每题8分，共24分） 18. 数学活动课上，老师拿出一个由五个边长为1的正方形组成的教具（图1），将它放入如图2的平面直角坐标系中．顶点A，O，B分别落在坐标轴上，点恰好落在反比例函数图象上． （1）求反比例函数表达式； （2）将此教具沿轴正方向平移个单位，在平移的过程中，若此教具边与反比例函数图象始终有交点，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，待定系数法求函数解析式，点的平移问题，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）先得到，再由待定系数法求解； （2）先得到，则平移后点对应点记为点，当点恰好落在反比例函数图象上时，求出此时的值，即可求解满足边与反比例函数图象始终有交点时，的取值范围． 【小问1详解】 解：由题意得， ∵点恰好落在反比例函数图象上 ∴将代入得：， ∴反比例函数解析式为：； 【小问2详解】 解：由题意得：， ∵将此教具沿轴正方向平移个单位， ∴平移后点对应点记为点， 当点恰好落在反比例函数图象上时， 将代入得：， 解得：， ∴此教具边与反比例函数图象始终有交点，则． 19. 如图，平分，与相切于点，连接，延长交于点． （1）求证：是的切线； （2）若的半径为4，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查切线的判定和性质，切线长定理，勾股定理： （1）过点作于，切线的性质结合角平分线的性质，得到，即可得证； （2）中，求出的长，切线长定理得到，设，在中，利用勾股定理进行求解即可． 【小问1详解】 过点作于， 切于D， 平分，， ， 是的切线； 【小问2详解】 的半径为4，，中，， ，是的切线， ∴，设， 在中，， ∴． 20. 2025年第九届亚洲冬季运动会在哈尔滨成功举办，周边文创品销售火爆．某电商销售一款文创水杯，进价为30元/个，销售时售价不低于进价．当售价为50元/个时，每天可销售40个．经市场调查发现，售价每降价1元，每天的销售量将增加5个．设该款文创水杯的售价为元/个，每天的销售量为个． （1）求与之间的函数关系式； （2）水杯的售价定为多少元时，该电商每天销售该款水杯获得的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）水杯的售价定为44元时，该电商每天销售该款水杯获得的利润最大，最大利润980元． 【解析】 【分析】本题考查一次函数和二次函数的实际应用，审清题意，列出函数解析式是解题的关键． （1）根据“售价每降价1元，每天的销售量将增加5个”，可得，整理即可； （2）设总利润为元，由题意得，整理可得，根据二次函数的性质，可得当时，有最大值，计算即可求解． 【小问1详解】 解：由题意得：， 即； 【小问2详解】 设总利润元， 由题意得：， ， 当时，有最大值980， 水杯的售价定为44元时，该电商每天销售该款水杯获得的利润最大，最大利润980元． 五、解答题（本大题共2小题，每题9分，共18分） 21. 每年的11月9日是“119消防宣传日”．本月3号，嘉祥某校区采用随机抽样的方式对学生掌握消防安全知识的情况进行书面测评，并按成绩高低分成优、良、中、差四个等级进行统计，绘制了两幅尚不完整的统计图，请根据有关信息解答： （1）接受测评的学生共有_____人，扇形统计图中“优”部分所对应扇形的圆心角为____；并补全条形统计图； （2）若校区共有学生3200人，请估计该校区学生对消防安全知识达到“良”及“良”级以上程度的人数； （3）测评成绩前三名的学生恰好是1个女生和2个男生，现从中随机抽取2人代表学校参加区级消防安全知识竞赛，求出抽到的2个学生恰好是一男生与一女生的概率． 【答案】（1）160，；补图见解析 （2）人 （3） 【解析】 【分析】（1）根据等级为中的人数及其所占百分比可得总人数，用乘以“优”等级人数所占比例，根据四个等级人数之和等于总人数求出“良”的人数即可补全图形； （2）用总人数乘以“良”及“良”以上程度的人数所占比例即可． （3）画树状图列出所有等可能结果，从中找出符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可． 【小问1详解】 接受测评的学生共有（人， 扇形统计图中“优”部分所对应扇形的圆心角为， 等级为“良”的人数为（人， 故答案为：160，； 补全图形如下： 【小问2详解】 估计该校学生对安全知识达到“良”及“良”级以上程度的人数有：（人； 【小问3详解】 画树状图如下： 共有6种等可能的结果，其中抽到的2个学生恰好是一个男生与一个女生的有4种情况， 抽到的2个学生恰好是一个男生与一个女生的概率是． 【点睛】本题考查的是用列表法或树状图求概率以及条形统计图和扇形统计图等知识．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能结果，适合两步或两步以上完成的事件．注意概率等于所求情况数与总情况之比． 22. 【特例感知】 如图1，点，分别在正方形的边，上，．连接，猜想，，应满足的等量关系，并说明理由． 【类比探究】 如图2，四边形中，，，点，分别在边，上，且．若，猜想，，应满足的等量关系，并说明理由． 【拓展延伸】 如图3，在中，，，点，均在边上，且．猜想，，应满足的等量关系，并写出推理过程． 【答案】特例感知：，理由见解析；类比探究：，理由见解析；拓展延伸：，见解析 【解析】 【分析】特例感知：在正方形中，利用旋转变换将绕点逆时针旋转至，使与重合，构造出与全等，从而将转化为，再结合线段和差关系得出结论。 类比探究：在四边形中，同样采用旋转变换，将绕点逆时针旋转至，利用的条件证明、、三点共线，再通过证明与全等，推导出线段关系。 拓展延伸：在等腰直角中，将绕点逆时针旋转至，构造出，先利用全等三角形将转化为，再通过勾股定理建立、、之间的平方关系． 【详解】解：特例感知：． 证明如下： 四边形是正方形， ，． 如图，将绕点逆时针旋转至，使与重合． ， ，， ， ，即． ， ， ，即点，，共线， 在和中， ， ， 即． 类比探究：． 证明如下： ，， 如图，将绕点逆时针旋转至，可使与重合， ， ，， ， ，即． ， ， ，即点，，共线， 在和中， ， ， ， 即． 拓展延伸：， 证明如下： 如图，将绕点逆时针旋转至，使与重合，连接， ， ，，，， ，， ， ， 即， ， 又， ， ， 即， 在和中， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了图形的旋转变换、全等三角形的判定与性质、正方形的性质、等腰直角三角形的性质以及勾股定理的应用，熟练掌握通过旋转变换构造全等三角形，将分散线段集中的方法是解题的关键． 六、解答题（本大题共12分） 23. 定义：在平面直角坐标系中，如果一个点的纵坐标等于它的横坐标的三倍，则称该点为“纵三倍点”．例如都是“纵三倍点”． （1）下列函数图象上只有一个“纵三倍点”的是______；（填序号） ①；②；③． （2）已知抛物线（均为常数）与直线只有一个交点，且该交点是“纵三倍点”，求抛物线的解析式； （3）若抛物线（是常数，）的图象上有且只有一个“纵三倍点”，令，是否存在一个常数，使得当时，的最小值恰好等于，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）①③ （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）根据“纵三倍点”的定义逐项判断即可； （2）根据定义可得“纵三倍点”为，代入得出①，联立根据题意得出②，联立①②，即可求解； （3）联立 ，依题意得出得出 ．分三种情况：当，当时， 当时，求解即可 【小问1详解】 解：①联立，解得：， ∴一次函数的图象上的“纵三倍点”为，故①符合题意； ③联立，即， 解得： 故②不合题意； ④联立，解得：， ∴二次函数的图象上只有一个“纵三倍点”，故③正确； 综上分析可知，正确的是①③． 故答案为：①③． 【小问2详解】 解： 解得： 依题意经过，则① 联立 ∴ ∵抛物线（均为常数）与直线只有一个交点， ∴② 联立①②得 解得： ∴抛物线解析式为； 【小问3详解】 解：联立 即 依题意，， ∴ ∴， 当，即时，在处，w有最小值， ∴，解得：（舍去），（舍去）， 当时，即时，w有最小值1， ∴存在常数，使得时，w的最小值恰好等于t，符合题意； 当时，在处，w有最小值t， ∴，解得：（舍去），， 综上所述：或 【点睛】本题主要考查了先定义运算，一次函数、二次函数和反比例函数的综合应用，一元二次方程根的判别式，解题的关键是理解“纵三倍点”的定义，任意的一个“纵三倍点”一定在正比例函数的图象上． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年秋季九年级期末质量检测数学试卷 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 下列人工智能图标中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 反比例函数图象位于（　　） A. 第一、三象限 B. 第二、四象限 C. 第一、四象限 D. 第二、三象限 3. 小区新增了一家快递店，第一天揽件200件，第三天揽件242件，设该快递店揽件日平均增长率为，根据题意，下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，的直径垂直弦于点E，且，，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 若关于x的一元二次方程有实数根，则实数k的取值范围是（ ） A. B. C 且 D. 且 6. 如图是二次函数（a，b，c是常数，）的图象的一部分，对称轴是直线．下列说法：①；②；③；④；⑤．其中正确的是（ ） A. ①②④ B. ①②⑤ C. ②③④ D. ②③⑤ 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 反比例函数的图象在每个象限内的函数值随自变量的增大而增大，则的取值范围是________． 8. 把抛物线向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为______． 9. 太极八卦图蕴含着丰富的传统文化与数学奥秘，其外围的卦象排布可近似看作一个正八边形（如图）．则这个正八边形的中心角度数为________． 10. 若，是一元二次方程的两个实数根，则的值是________． 11. 如图，是的内切圆，切点分别为D，E，F．若，，则的周长为__________． 12. 如图，在中，，，将绕点A逆时针旋转角得到，连接，．当为等腰三角形时，旋转角的度数为______． 三、解答题（本大题共5小题，每题6分，共30分） 13. 解一元二次方程： （1）； （2）； 14. 如图，是等边内的一点，且，，，将绕点逆时针旋转，得到． （1）求点与点之间距离； （2）求的度数． 15. 已知矩形ABCD的顶点A、D在圆上， B、C两点在圆内，请仅用没有刻度的直尺作图． （1）如图1，已知圆心O，请作出直线l⊥AD； （2）如图2，未知圆心O，请作出直线l⊥AD． 16. 甲骨文是迄今为止中国发现的年代最早的成熟文字系统，是汉字的源头和中华优秀传统文化的根脉．小明在了解了甲骨文后，制作了如图所示的四张卡片（这四张卡片分别用字母，，，表示，正面文字依次是文、明、自、由，这四张卡片除正面内容不同外，其余均相同），现将四张卡片背面朝上，洗匀放好． （1）小明从中随机抽取一张卡片，抽取卡片上的文字是“文”的概率为________； （2）小明从中随机抽取一张卡片不放回，小亮再从中随机抽取一张卡片，请用列表法或画树状图法计算两人抽取的卡片上的文字恰好可以组成“文明”或“自由”的概率． 17. 如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使DC=BD，连结AC交⊙O于点F． （1）AB与AC的大小有什么关系？请说明理由； （2）若AB=8，∠BAC=45°，求：图中阴影部分的面积． 四、解答题（本大题共3小题，每题8分，共24分） 18. 数学活动课上，老师拿出一个由五个边长为1的正方形组成的教具（图1），将它放入如图2的平面直角坐标系中．顶点A，O，B分别落在坐标轴上，点恰好落在反比例函数图象上． （1）求反比例函数表达式； （2）将此教具沿轴正方向平移个单位，在平移的过程中，若此教具边与反比例函数图象始终有交点，求的取值范围． 19. 如图，平分，与相切于点，连接，延长交于点． （1）求证：是的切线； （2）若的半径为4，，求的长． 20. 2025年第九届亚洲冬季运动会在哈尔滨成功举办，周边文创品销售火爆．某电商销售一款文创水杯，进价为30元/个，销售时售价不低于进价．当售价为50元/个时，每天可销售40个．经市场调查发现，售价每降价1元，每天的销售量将增加5个．设该款文创水杯的售价为元/个，每天的销售量为个． （1）求与之间的函数关系式； （2）水杯的售价定为多少元时，该电商每天销售该款水杯获得的利润最大？最大利润是多少？ 五、解答题（本大题共2小题，每题9分，共18分） 21. 每年的11月9日是“119消防宣传日”．本月3号，嘉祥某校区采用随机抽样的方式对学生掌握消防安全知识的情况进行书面测评，并按成绩高低分成优、良、中、差四个等级进行统计，绘制了两幅尚不完整的统计图，请根据有关信息解答： （1）接受测评的学生共有_____人，扇形统计图中“优”部分所对应扇形的圆心角为____；并补全条形统计图； （2）若校区共有学生3200人，请估计该校区学生对消防安全知识达到“良”及“良”级以上程度的人数； （3）测评成绩前三名的学生恰好是1个女生和2个男生，现从中随机抽取2人代表学校参加区级消防安全知识竞赛，求出抽到的2个学生恰好是一男生与一女生的概率． 22. 特例感知】 如图1，点，分别在正方形的边，上，．连接，猜想，，应满足的等量关系，并说明理由． 【类比探究】 如图2，四边形中，，，点，分别在边，上，且．若，猜想，，应满足等量关系，并说明理由． 【拓展延伸】 如图3，在中，，，点，均在边上，且．猜想，，应满足的等量关系，并写出推理过程． 六、解答题（本大题共12分） 23. 定义：在平面直角坐标系中，如果一个点的纵坐标等于它的横坐标的三倍，则称该点为“纵三倍点”．例如都是“纵三倍点”． （1）下列函数图象上只有一个“纵三倍点”的是______；（填序号） ①；②；③． （2）已知抛物线（均为常数）与直线只有一个交点，且该交点是“纵三倍点”，求抛物线的解析式； （3）若抛物线（是常数，）的图象上有且只有一个“纵三倍点”，令，是否存在一个常数，使得当时，的最小值恰好等于，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $