精品解析：山东省青岛市李沧区2025-2026学年九年级上学期1月期末数学试题

九年级数学试题 （考试时间：120分钟；满分120分） 说明： 1．本试题分第I卷和第II卷两部分，共24题．第I卷为选择题，共8小题，24分；第II卷为填空题、作图题、解答题，共16小题，96分． 2．所有题目均在答题卡上作答，在试题上作答无效． 第I卷 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）在每个题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 如图，在同一盏路灯下，小明、小亮和他们影子的位置关系最合理的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，在矩形中，对角线与相交于点，，，则的长为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 5 3. 下列几何体中，主视图与俯视图都是矩形的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 在平面直角坐标系中，四边形与四边形是位似图形，位似中心是原点．已知点与点是对应顶点，且，的坐标分别是，，那么四边形与四边形的相似比为（ ） A. B. C. 2 D. 4 6. 若是方程的两个根，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 9 7. 为了保障高速公路行车安全，交通部门常用“区间测速”来判断车辆是否超速．所谓区间测速，是在同一路段上设置两个监控点，根据车辆通过前后两个监控点的时间来计算其在该路段上的平均行驶速度．在某高速公路限速区间段，汽车的平均行驶速度与行驶时间之间满足反比例函数关系（如图）．根据我国《道路交通安全法实施条例》规定，高速公路小型载客汽车最高车速不得超过，最低车速不得低于（避免因车速过慢引发追尾等事故）．已知小明的爸爸驾驶小汽车以符合限速规定的速度通过该区间段，则他所用的时间可能为（ ） A. B. C. D. 8. 在同一平面直角坐标系中二次函数与一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 第II卷 二、填空题（本大题共7小题，每小题3分，共21分） 9. 已知线段的长度是线段长度的3倍，则的值是______． 10. 计算：______． 11. 如图，与相交于点，且．已知，，则的长为_____． 12. 如图是某几何体的三视图，其俯视图由两个正方形组成，则该几何体的体积为_____． 13. 请写出一个满足条件①②的二次函数表达式_____． ①图象经过点和点；②图象的开口向下． 14. 如图，斜坡部分的坡角为，在斜坡上有一棵垂直于水平面的大树，当太阳光与水平面的夹角为时，大树在斜坡上的影子长为米，则大树的高为_____米（结果保留根号）． 15. 如图，矩形中，点在对角线上，过点作，交边，于点，过点作交于点，连接．下列结论： ①；②当时，；③四边形的面积不变；④的最小值是20．正确的是_____（只填写序号）． 三、作图题（本题满分4分） 请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 16. 已知：矩形ABCD， 求作：菱形AECF，使点E，F分别在边BC，AD上． 四、解答题（本大题共8小题，共71分） 17. （1）解方程：； （2）求二次函数的图象与轴的交点的坐标． 18. 青岛以“红瓦绿树，碧海蓝天”著称，拥有丰富的非物质文化遗产．为增强游客文化体验，某景区在非遗文化周宣传活动中设置了免费互动环节：工作人员准备了正面分别印有“胶州黑陶”“胶州秧歌”“即墨柳腔”的三张卡片（分别记为A卡、B卡、C卡），它们除正面图案和文字不同外完全相同．游客可从洗匀的卡片中随机抽取一张，记录后放回并重新洗匀，再抽取一张．若两次抽取的卡片正面相同，则可获得非遗主题纪念品一份．请用画树状图或列表的方法，求游客小明恰好获得纪念品的概率． 19. 单摆是一种能够产生往复摆动的装置，其摆球在重力的作用下沿着圆弧进行周期性往复运动．某校数学兴趣小组尝试利用摆球与摆线进行与单摆相关的实验探究．他们的实验报告如下： 实验主题 探究摆球运动过程中高度的变化 实验用具 摆球、摆线、支架、摄像机等 实验说明 如图1，在支架的横杆点处用摆线悬挂一个摆球，将摆球拉高后松手，摆球开始往复运动．（摆线的长度变化忽略不计） 如图2，摆球静止时的位置为点，拉紧摆线将摆球拉至点处，，，；当摆球运动至点时，，．（点在同一平面内） 实验图示 请你根据以上信息，求的长．（结果保留整数）（参考数据：） 20. 根据相似多边形的定义，我们可以这样定义相似四边形：四角分别相等、四边成比例的两个四边形叫做相似四边形．例如，已知四边形与四边形满足：，，则四边形与四边形相似，记作四边形四边形． （1）若四边形四边形，且，它们的相似比为_____； （2）若四边形为平行四边形，，且平行四边形与平行四边形是相似四边形，相似比为，则平行四边形的周长为_____，平行四边形的面积为_____； （3）若菱形菱形，，则菱形的面积为_____． 21. 如图，小明在草稿纸上画出某个反比例函数在第一象限内的图象，并把矩形直尺放在上面．请根据图中信息，求： （1）反比例函数的表达式； （2）点的坐标． 22. 如图，在中，，的平分线交于点，交的延长线于点． （1）求证：； （2）已知_____（从以下两个条件中选择一个作为已知，填写序号），请判断四边形的形状，并证明你的结论． 条件①：； 条件②：． （注：如果选择条件①和条件②分别进行解答，按第一个解答计分） 23. 某水上乐园有一种娱乐项目–飞跃滑梯（如图1所示），游玩者通过抛物线型的滑道，在加速度作用下使之产生强烈的失重感，瞬间冲向滑道尾部向上抛出后在空中形成一条抛物线．某数学兴趣小组对该项目中的数学问题进行了深入研究，下面是该小组绘制的水滑道截面图，如图2，人从点处沿水滑道下滑至点处腾空飞出后落入水池．以水面所在的水平线为轴，过腾空点与轴垂直的直线为轴，为坐标原点，建立平面直角坐标系．他们把水滑道和人腾空飞出后经过的路径都近似看作是抛物线的一部分．根据测量和调查得到的数据和信息，请你解决以下问题： （1）点与水面的距离为，水滑道最低点与水面的距离为，点到点的水平距离为，求水滑道所在抛物线的关系式； （2）如图2，腾空点与对面水池边缘的水平距离，人腾空飞出后的落地点与水池边缘的安全距离不得少于，若某人腾空飞出后经过的路径形成的抛物线恰好与抛物线的部分图形关于点成中心对称． ①请求出此人腾空飞出后距水面的最大高度； ②此人腾空飞出后的落地点是否在安全范围内？请说明理由． 24. 如图，在正方形中，，动点从点出发，沿方向匀速运动，速度为．过点作的垂线，垂足为是的中点，连接．设运动的时间为． （1）当点运动时，求的长； （2）设四边形的面积为，求与之间的关系式； （3）是否存在某一时刻，使？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学试题 （考试时间：120分钟；满分120分） 说明： 1．本试题分第I卷和第II卷两部分，共24题．第I卷为选择题，共8小题，24分；第II卷为填空题、作图题、解答题，共16小题，96分． 2．所有题目均在答题卡上作答，在试题上作答无效． 第I卷 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）在每个题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 如图，在同一盏路灯下，小明、小亮和他们影子的位置关系最合理的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要是考查了中心投影，能够掌握中心投影是点光源与物体，影子的对应点在同一直线上是解题的关键． 根据灯光与物体，影子的对应点连接在同一直线上逐一进行判断可得结果． 【详解】解：根据灯光与物体，影子的对应点连接在同一直线上判断： A、选项中的影子不符合题意； B、选项中的影子不符合题意； C、选项中的影子不符合题意； D、选项中的影子符合题意． 故选：D． 2. 如图，在矩形中，对角线与相交于点，，，则的长为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质和勾股定理，解题的关键是利用矩形对角线相等且互相平分的性质，结合勾股定理求出对角线长度，进而得到线段的长． 先在中，由勾股定理求出对角线的长度；再根据矩形对角线互相平分的性质，得到，从而计算出的长． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，． 在中，， ∴． 故选：B． 3. 下列几何体中，主视图与俯视图都是矩形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了常见几何体的三视图，解题的关键是掌握主视图和俯视图的定义，即主视图是从正面看几何体得到的图形，俯视图是从上面看几何体得到的图形． 【详解】解：A、圆锥的主视图是等腰三角形，俯视图是带圆心的圆，此选项不符合题意； B、圆柱的主视图是矩形，俯视图是圆，此选项不符合题意； C、三棱锥的主视图是三角形，俯视图是三角形，此选项不符合题意； D、长方体的主视图是矩形，俯视图是矩形，此选项符合题意． 故选：D． 4. 如图，在中，，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了勾股定理和求角的余弦值．先用勾股定理求出，再根据余弦的定义求解即可． 【详解】解：在中，，，， ∴， ∴， 故选：B 5. 在平面直角坐标系中，四边形与四边形是位似图形，位似中心是原点．已知点与点是对应顶点，且，的坐标分别是，，那么四边形与四边形的相似比为（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】利用位似图形的性质，结合对应顶点的坐标求出相似比即可． 【详解】∵四边形与四边形是位似图形，位似中心是原点，点与点是对应顶点． 又∵，． ∴对应点的横坐标之比为，纵坐标之比为． ∴四边形与四边形的相似比为． 故选：A． 6. 若是方程的两个根，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，代数式求值． 先将所求代数式变形为含两根之和与两根之积的形式，再代入对应值计算即可． 【详解】解：∵是方程的两个根， ∴， ∴； 故选：C． 7. 为了保障高速公路行车安全，交通部门常用“区间测速”来判断车辆是否超速．所谓区间测速，是在同一路段上设置两个监控点，根据车辆通过前后两个监控点的时间来计算其在该路段上的平均行驶速度．在某高速公路限速区间段，汽车的平均行驶速度与行驶时间之间满足反比例函数关系（如图）．根据我国《道路交通安全法实施条例》规定，高速公路小型载客汽车最高车速不得超过，最低车速不得低于（避免因车速过慢引发追尾等事故）．已知小明的爸爸驾驶小汽车以符合限速规定的速度通过该区间段，则他所用的时间可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的实际应用，解题的关键在于熟练掌握反比例函数的关系式和图像性质以及路程公式． 根据反比例函数的图像性质和路程与速度时间之间的关系，分别求出最高车速的时间以及最低车速的时间，即可求出答案． 【详解】解：由题图得，限速区间段的总路程为， ∵最高车速为， ∴在最高车速下的行驶时间， 同理可得，在最低车速下的行驶时间为， ∴通过这段限速区间的行驶时间应该在之间． ， ∴选项C符合题意． 故选：C． 8. 在同一平面直角坐标系中二次函数与一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质及一次函数的图象和性质，由已知二次函数的图象可知a、b的正负，由一次函数的图象可知c的正负，进而可得出答案． 【详解】解：∵二次函数的图象开口向上， ∴， 又二次函数的图象对称轴在轴右侧， ∴, ∴； 由一次函数的图象可知， ∴， ∴二次函数的图象开口向下，对称轴在y轴右侧， ∵二次函数与一次函数的图象交点的横坐标为n和m， ∴方程的解为，， ∴二次函数的图象与x轴交点的横坐标为n和m， 故选：B． 第II卷 二、填空题（本大题共7小题，每小题3分，共21分） 9. 已知线段的长度是线段长度的3倍，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了比例的定义，理解题意、弄清量之间的关系是解题的关键． 设线段的长度为x，则线段的长度为，然后根据比例的定义求解即可． 【详解】解：设线段的长度为x，则线段的长度为， ， 即的值是3． 故答案为：． 10. 计算：______． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】本题主要考查特殊三角函数值，熟记特殊三角函数值是解题的关键；因此此题可根据特殊三角函数值进行求解． 【详解】解：； 故答案为：． 11. 如图，与相交于点，且．已知，，则的长为_____． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了由相似三角形求相关线段的长，熟练掌握相似三角形的判定和性质，是解决本题的关键． 根据可得，进而，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：3． 12. 如图是某几何体的三视图，其俯视图由两个正方形组成，则该几何体的体积为_____． 【答案】162 【解析】 【分析】本题主要考查三视图还原几何体，根据几何体的三视图，得出该几何体是一个正方体里面挖了一个长方体，再根据图中数据求出它的体积即可． 【详解】由三视图可知，该几何体是一个正方体里面挖了一个长方体，如图： 则该几何体的体积为：． 故答案为：． 13. 请写出一个满足条件①②的二次函数表达式_____． ①图象经过点和点；②图象的开口向下． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质与待定系数法求解析式，解题的关键是根据开口方向确定二次项系数的符号，再代入已知点坐标求解函数表达式． 设二次函数的一般式；根据图象经过点，可得；根据图象经过点，可得；根据开口向下，可得；取一个满足的值，代入求出，从而得到函数表达式． 【详解】解：设二次函数表达式为， ∵图象经过点， ∴． ∵图象经过点， ∴， 即． ∵图象开口向下， ∴． 取，则， 解得． ∴二次函数表达式为． 故答案为：（答案不唯一）． 14. 如图，斜坡部分的坡角为，在斜坡上有一棵垂直于水平面的大树，当太阳光与水平面的夹角为时，大树在斜坡上的影子长为米，则大树的高为_____米（结果保留根号）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，正确作出辅助线，构造直角三角形是解题的关键． 过点作，交延长线于，可得，，利用的三角函数得出米，设米，则，利用的三角函数列分式方程，求出的值即可得答案． 【详解】解：如图，过点作，交延长线于，则， ∵太阳光与水平面的夹角为，斜坡部分的坡角为， ∴，， ∵米， ∴（米）， 设米，则， 在中，， ∴， 解得：， 经检验，是分式方程的解，且符合题意， ∴大树的高为． 故答案为： 15. 如图，矩形中，点在对角线上，过点作，交边，于点，过点作交于点，连接．下列结论： ①；②当时，；③四边形的面积不变；④的最小值是20．正确的是_____（只填写序号）． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质、三角形与四边形面积计算、线段和的最小值等知识点，解题的关键是利用相似三角形转化边角关系，通过构造图形解决最值问题． ①：由垂直关系得两组角相等，直接判定相似．②计算：先由：求，再通过两次相似求、，最后计算面积并判断．③四边形的面积：证明求出为定值，再用面积公式判断面积不变．④的最小值：构造平行四边形转化线段，利用共线时线段和最小求解． 【详解】解：在矩形 中，，，则 ① ，， ， ∵， ∴， ，故①正确． ②当 时，， ， ， ， ， ， ， ，故②错误． ③如下图，过点F作，垂足为H，则， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， 四边形的面积， ∴四边形的面积不变，③正确． ④如下图，在矩形右侧构造平行四边形，连接， 则，， 当、、G共线时，取得最小值， 由得， ∴， ∴的最小值， 故④正确． 故答案为：①③④． 三、作图题（本题满分4分） 请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 16. 已知：矩形ABCD， 求作：菱形AECF，使点E，F分别在边BC，AD上． 【答案】详见解析. 【解析】 【分析】连结AC，作AC的垂直平分线交BC于E、交AD于F，利用矩形的性质可得AC垂直平分EF，则四边形AECF为菱形． 【详解】解：如图，菱形AECF为所作． 【点睛】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 四、解答题（本大题共8小题，共71分） 17. （1）解方程：； （2）求二次函数的图象与轴的交点的坐标． 【答案】（1）．（2）和 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法和二次函数与x轴交点的求解，解题的关键是掌握配方法、因式分解法等解方程的方法，以及将函数与x轴交点问题转化为求对应方程的根． （1）将方程配方，转化为完全平方式，再开方求解； （2）令，解对应的一元二次方程，所得的根即为交点的横坐标． 【详解】（1）解： ， ， ， ， ． （2）解：令，则 ， ， ， 解得． ∴与轴的交点坐标为和． 18. 青岛以“红瓦绿树，碧海蓝天”著称，拥有丰富的非物质文化遗产．为增强游客文化体验，某景区在非遗文化周宣传活动中设置了免费互动环节：工作人员准备了正面分别印有“胶州黑陶”“胶州秧歌”“即墨柳腔”的三张卡片（分别记为A卡、B卡、C卡），它们除正面图案和文字不同外完全相同．游客可从洗匀的卡片中随机抽取一张，记录后放回并重新洗匀，再抽取一张．若两次抽取的卡片正面相同，则可获得非遗主题纪念品一份．请用画树状图或列表的方法，求游客小明恰好获得纪念品的概率． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是用列表法或树状图法求概率． 根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数即可，找出符合条件的情况数，再根据概率公式即可得出答案． 【详解】解：画树状图如下： 共有9种等可能的结果，其中两次抽取的卡片正面相同的有3种结果， ∴P（游客小明获得纪念品）， 答：游客小明恰好获得纪念品的概率为． 19. 单摆是一种能够产生往复摆动的装置，其摆球在重力的作用下沿着圆弧进行周期性往复运动．某校数学兴趣小组尝试利用摆球与摆线进行与单摆相关的实验探究．他们的实验报告如下： 实验主题 探究摆球运动过程中高度的变化 实验用具 摆球、摆线、支架、摄像机等 实验说明 如图1，在支架的横杆点处用摆线悬挂一个摆球，将摆球拉高后松手，摆球开始往复运动．（摆线的长度变化忽略不计） 如图2，摆球静止时的位置为点，拉紧摆线将摆球拉至点处，，，；当摆球运动至点时，，．（点在同一平面内） 实验图示 请你根据以上信息，求的长．（结果保留整数）（参考数据：） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查解直角三角形，解直角三角形求出的值，再解得的长，最后由可得解． 【详解】解：由题意，在中，， ， ， ， ， 在中，， ， ． ， 答：的长为． 20. 根据相似多边形的定义，我们可以这样定义相似四边形：四角分别相等、四边成比例的两个四边形叫做相似四边形．例如，已知四边形与四边形满足：，，则四边形与四边形相似，记作四边形四边形． （1）若四边形四边形，且，它们的相似比为_____； （2）若四边形为平行四边形，，且平行四边形与平行四边形是相似四边形，相似比为，则平行四边形的周长为_____，平行四边形的面积为_____； （3）若菱形菱形，，则菱形的面积为_____． 【答案】（1） （2）42， （3） 【解析】 【分析】本题考查了相似多边形的性质，解题的关键是理解并运用相似多边形对应边成比例、对应角相等的性质，以及相似比与周长、面积、对角线的关系． ⑴ 利用对应边求相似比； ⑵ 先求原平行四边形的周长和面积，再根据相似比计算相似平行四边形的周长和面积； ⑶ 先根据菱形对角线与角度的关系求出边长，再利用相似比和面积公式求面积． 【小问1详解】 解：， 故相似比为． 故答案为：． 【小问2详解】 解：∵ 四边形是平行四边形，，， ∴ 平行四边形的周长为， 面积为． ∵ 平行四边形 平行四边形，相似比为， ∴ 平行四边形的周长为， 面积为． 故答案为：；． 【小问3详解】 解：∵ 菱形 菱形，， ∴ ，对角线， ∴ 菱形的边长为， 如图，设菱形的对角线相交于点， ∵,, 另一条对角线， 面积为． 故答案为：． 21. 如图，小明在草稿纸上画出某个反比例函数在第一象限内的图象，并把矩形直尺放在上面．请根据图中信息，求： （1）反比例函数的表达式； （2）点的坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了反比例函数和几何综合题，待定系数法求出函数解析式的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）求出，令，进一步解方程即可求出答案． 【小问1详解】 解：设反比例函数表达式为， 把点代入可得， 解得， 反比例函数表达式为． 【小问2详解】 解：设直尺边所在直线的关系式为，边所在直线为， 把点代入可得， 解得， ， 把点代入可得， ， 令， 解得（舍）， 把代入得，， 点的坐标为 22. 如图，在中，，的平分线交于点，交的延长线于点． （1）求证：； （2）已知_____（从以下两个条件中选择一个作为已知，填写序号），请判断四边形的形状，并证明你的结论． 条件①：； 条件②：． （注：如果选择条件①和条件②分别进行解答，按第一个解答计分） 【答案】（1）见解析 （2）选择条件①，四边形是矩形；选择条件②，四边形是矩形．证明见解析 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，矩形的判定，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）根据平行四边形的性质，结合角平分线的定义，推出，进而得到，再根据线段的和差关系和数量关系即可得出结论； （2）选择①先证明四边形是平行四边形，再证明，即可得证； 选择②先证明四边形是平行四边形，再证明，即可得证． 【小问1详解】 证明：∵四边形为平行四边形， ， ， 是的平分线， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：若选择条件①，四边形是矩形． 由（1）可知，，， ， 又， 四边形是平行四边形， ， 四边形为平行四边形， ， ， ， ， ， ， 平行四边形是矩形． 若选择条件②，四边形是矩形． 由（1）可知，，， ， 又， 四边形是平行四边形 ， ， ， 四边形为平行四边形， ， ， ， ， ， ， 平行四边形是矩形． 23. 某水上乐园有一种娱乐项目–飞跃滑梯（如图1所示），游玩者通过抛物线型的滑道，在加速度作用下使之产生强烈的失重感，瞬间冲向滑道尾部向上抛出后在空中形成一条抛物线．某数学兴趣小组对该项目中的数学问题进行了深入研究，下面是该小组绘制的水滑道截面图，如图2，人从点处沿水滑道下滑至点处腾空飞出后落入水池．以水面所在的水平线为轴，过腾空点与轴垂直的直线为轴，为坐标原点，建立平面直角坐标系．他们把水滑道和人腾空飞出后经过的路径都近似看作是抛物线的一部分．根据测量和调查得到的数据和信息，请你解决以下问题： （1）点与水面的距离为，水滑道最低点与水面的距离为，点到点的水平距离为，求水滑道所在抛物线的关系式； （2）如图2，腾空点与对面水池边缘的水平距离，人腾空飞出后的落地点与水池边缘的安全距离不得少于，若某人腾空飞出后经过的路径形成的抛物线恰好与抛物线的部分图形关于点成中心对称． ①请求出此人腾空飞出后距水面的最大高度； ②此人腾空飞出后的落地点是否在安全范围内？请说明理由． 【答案】（1） （2）①；②在安全范围内，理由见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． （1）依据题意，水滑道所在抛物线的顶点，从而可设抛物线为，再把代入求解即可； （2）①根据对称性可得抛物线的顶点为，据此即可求解； ②由①可设抛物线为，把代入即可得到抛物线的关系式为，再令进行求解判断即可． 【小问1详解】 解：由题意得，水滑道所在的抛物线的顶点坐标为 设抛物线的关系式为 把代入可得解得，， 答：水滑道所在的抛物线的关系式为． 【小问2详解】 解：①由题意得，抛物线的顶点与抛物线的顶点关于点成中心对称， ， 抛物线的顶点坐标为 答：此人腾空飞出后距水面的最大高度为； ②设抛物线的关系式为， 把代入可得，解得， 抛物线所在的抛物线的关系式为， 把代入可得， 解得（舍）， ， 答：此人腾空飞出后的落地点在安全范围内． 24. 如图，在正方形中，，动点从点出发，沿方向匀速运动，速度为．过点作的垂线，垂足为是的中点，连接．设运动的时间为． （1）当点运动时，求的长； （2）设四边形的面积为，求与之间的关系式； （3）是否存在某一时刻，使？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在， 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，列函数关系式，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定． （1）根据勾股定理求得，再根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，即可求解； （2）过点作于点，根据题意得出，进而求得，根据，列出函数关系式，即可求解； （3）连接，根据，结合正方形的性质以及已知证明，得出，进而证明，根据相似三角形的性质，即可求解． 【小问1详解】 解：∵四边形为正方形，， ， 当点运动时，， ， ， ， 又是的中点， ． 【小问2详解】 解：过点作于点， 四边形为正方形，， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：连接， ∵四边形是正方形，是对角线， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ，，是的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴， 即， 又， ， ， ， 又， ， ， 即， 解得（舍）， 当时，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $