8.2 课时4 菱形的判定-【初中必刷题】2025-2026学年八年级下册数学同步课件(苏科版·新教材)

该初中数学课件聚焦苏科版八年级下册“菱形的判定”，通过折叠矩形、作垂直平分线等现实情境导入，衔接平行四边形判定知识，以例题解析、归纳总结为支架，帮助学生构建菱形判定的知识脉络。 其亮点在于分层设计“刷基础、提升、易错”模块，结合吊灯框架等生活实例培养数学眼光，通过全等证明、勾股定理应用发展推理能力，微专题“等积法”强化数学思维。学生能巩固知识提升能力，教师可直接用于课堂教学提高效率。

数 学 八年级下册 苏科版 1 2 3 第8章 四边形 4 8.2 特殊的平行四边形 课时4 菱形的判定 5 刷基础 刷提升 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 6 基础 知识点1 由边的关系判定菱形 （第1题图） 1.【2025云南曲靖一模】如图，将矩形 进行两次对折： 第一次沿对折，使边与重合，展开；第二次沿 对 折，使边与重合，再次展开，连接，，， 得到四 边形．若，，则四边形 的面积为 ( ) B A.2 B.4 C.5 D.6 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 【解析】 四边形是矩形， ， ， ，，.由折叠可知， ， ， ， ， 四边形是菱形．由题意，得 ， ， 四边形的面积为 ．故选B. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 8 （第2题图） 2.【2025江苏南通启东模拟】如图，小红在作线段 的垂直平分线 时，分别以点，为圆心，大于线段 长度一半的长为半径画弧， 相交于点，，则直线即为所求．连接，，， ，根 据她的作图方法可知，四边形 一定是______． 菱形 【解析】 分别以和为圆心，大于线段 长度一半的长为半径 画弧，相交于点，，， 四边形 一 定是菱形，故答案为菱形． 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 9 3.【2025宁夏中卫期末】周末，小颖和妈妈买回来一盏简单而精致的吊灯，其截 面如图所示，四边形是一个菱形内框架，四边形 是其外部框架，且点 ,,,在同一直线上， ． 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 10 （1）求证：四边形 是菱形； 【证明】 四边形是菱形， ， ，.在 和中,， ，同理可证 .在和中, ， ，， 四边形 是菱形. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 11 （2）若外部框架的周长为，，，求 的长． 【解】如图，连接，交于点 四边形 是菱形，周 长为，， ， ， ， ， ， ， ，的长为 ． 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 12 知识点2 由对角线的关系判定菱形 4.如图，的对角线与相交于点，添加下列条件不能证明 是 菱形的是( ) D A. B. C. D. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 13 【解析】 A ，， 是菱形,故A不符合题意 B 四边形是平行四边形，， 是菱形，故B不符合题 意 C 四边形是平行四边形，， 是菱形，故C不符合题 意 D 四边形是平行四边形，， 是矩形，故D符合题意 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 14 5.【2024湖北武汉江汉区期中】如图，已知，， 是对 角线上的两点，，连接，，， . （1）求证： ； 【证明】 四边形 是平行四边形， ， ， . 又 ， ， . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 15 （2）连接交于，直接写出当和满足什么关系时，四边形 是菱形. 【解】时，四边形是菱形.理由如下： 四边形 是平行四边形， ， . ，，即 ， 四边形 是平行四边形. 又 ， 平行四边形 是菱形. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 16 刷易错 易错点 忽略前提条件导致错误判定菱形 6.小惠自编一题：“如图，在四边形中，对角线，交于点 ， ，.求证：四边形 是菱形”，并将自己的证明过程与同学小 洁交流. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 17 小惠 证明：， ， 垂直平分 ， ， ， 四边形 是菱形 小洁 这个题目还缺少条件， 需要补充一个条件才能 证明 若赞同小惠的证法，请在第一个方框内打“√”；若赞成小洁的说 法，请你补充一个条件，并证明. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 18 【解】赞成小洁的说法，补充条件： . 证明：， ， 四边形 是平行四边形. 又， 平行四边形 是菱形.（补充的条件不唯一） 易错警示 要判定一个图形是菱形，先看它的前提条件.若是四边形，则证明其四条边都相等， 或者先证明它是平行四边形，再找一组邻边相等或对角线互相垂直；若是平行四 边形，则需要找一组邻边相等或对角线互相垂直.做题时不能忽略菱形的判定的前 提条件. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 19 提升 （第1题图） 1.【2024山东威海模拟，中】如图，在中， ， 为锐角，将沿平移，得到，连接和 . 若使四边形 是菱形，需添加一个条件，现有三种添加方案, 方案甲：；方案乙： ；方案丙： .其中正确的方案是( ) B A.甲、乙、丙 B.只有乙、丙 C.只有甲、乙 D.只有甲 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 20 【解析】 四边形是平行四边形，， .由平移知 ，，，， 四边形 是平行四边形. 方案甲：添加不能判断四边形是菱形.方案乙：添加 ， 能判断平行四边形是菱形.， .方案丙：添加 ，则，， 平行四边形 是菱 形.故正确的方案是乙和丙. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 21 （第2题图） 2.［中］如图，在中， ， 是 的中点，是的中点，过点作交 的 延长线于点，连接.若， ，则四边 形 的面积是____. 10 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 22 【解析】，是的中点，是 的中点，，.在和 中， ， ， .又， 四边形是平行四边形. ， 是 的中点，， 四边形是菱形.连接 ，如图. ，， 四边形 是平行四边形， ， . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 归纳总结 菱形的面积菱形的边长×高对角线长度的乘积 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 24 3.【2025陕西西安调研，中】如图所示的三角形纸片中， ，将其沿 折叠后点落在处，使，是上一动点，连接，．当 取最小值时，的度数为____ ． 37 （第3题图） 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 25 【解析】如图，连接.由折叠可得, , ， ， ，，， 四边形是菱形，平分.作点关于 的对称 点，连接，，易得点在上，， 当，，三点共线，且时， 的值最小，此时 ， .又 ， ，故答案为37． 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 26 （第4题图） 4.［较难］如图，在中，对角线 所在直线上有两点 ，，满足，连接，，， .若 ，则当____ 时，四边形 是菱形. 30 【解析】当 时，四边形是菱形.理由如下：连接，交 于点 四边形是平行四边形，，.又 ， ，即， 四边形 是平行四边形.又 ，， ， ， 是等边三角形，， 平行四边形是菱形， ， ， 平行四边形 是菱形.故答案为30. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 27 关键点拨 作铺助线证明四边形 是平行四边形是解题的关键. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 28 5.【2024江苏连云港期末，中】已知四边形中，.连接，过点 作的垂线交于点，连接 . 图（1） 图（2） 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 29 （1）如图（1），若，求证：四边形 是菱形； 【证明】设与交于点，， ， ，，， 四 边形是平行四边形.， 平行四边形 是菱形. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 30 （2）如图（2），连接，设，相交于点，垂直平分线段 ，求 的大小. 【解】垂直平分线段，且， .又 且，垂直平分，， ， .又 ， . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 31 6.【2025云南昆明期末，较难】如图，已知平行四边形 ，作点关于的对称点，点恰好落在 的延长线 上，连接,,交于点 ． （1）求证：四边形 是菱形. 【证明】由对称性得，，, 四边形 是 平行四边形，, ， ，， 四边形 是平行四边形.又 ， 四边形 是菱形． 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 32 （2）若， ． ①求 的面积； 【解】 四边形是菱形，,， , ，， 四边形 是平行四边形，，.设菱形边 上的高为， 菱形的面积为，即 ，解得 ， . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 33 ②若直线上有一点，当为等腰三角形时，直接写出线段 的长． 【解】线段的长为2或18或或5.由①知 四边形 为平行四边 形， . 如图（1）所示，以点为圆心，长为半径画弧，与直线相交于点， 此时,即 为等腰三角形， ； 此时,即 为等腰三角形， . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 34 如图（2）所示，以点为圆心，长为半径画弧，与直线相交于点，过点 作于 此时，即为等腰三角形，.由①可知菱形 边上的高，即 ， ， . 四边形是菱形， ， . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 如图（3）所示，当点与点重合时，为等腰三角形，则 . 图（1） 图（2） 图（3） 综上所述，当为等腰三角形时，线段的长为2或18或 或5． 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 36 易错警示 （2）②注意分情况讨论，并画出相应的图形，避免丢解. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 37 刷素养 7.思想方法 分类讨论 【2024江苏南京期末，较难】如图，在 四边形中，， ， ， ，，动点从点出发，以 的速 （1）用含的式子表示 ； 【解】从点以的速度向点运动，时， . ， . 度向终点运动，同时动点从点出发以的速度沿折线向终点 运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 38 （2）当为何值时，直线把四边形 分成两个部分，且其中的一部分是平 行四边形？ 【解】，则在上运动时间为 . ， 运动时间最长为 ， 时，在边上，此时，直线把四边形 分成两个部分，且 其中的一部分是平行四边形，分两种情况： ①当四边形是平行四边形时，如图（1），则 . 由（1）知 . 以的速度沿折线向终点运动， 运动时间为 时， ，，解得 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 39 ②当四边形是平行四边形时，如图（2），则 . 由（1）知.， ，解得 . 综上所述，当或12时，直线把四边形 分成两个部分，且其中的一部 分是平行四边形. 图（1） 图（2） 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 40 （3）只改变点的运动速度，使运动过程中某一时刻的四边形 为菱形，则 点 的运动速度应为多少？ 【解】设的速度为.由（2）可知在边上时，四边形 可为菱形， . ，， ， ， ， 解得， ， 当点的运动速度为时，四边形 为菱形. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 41 微专题1 特殊平行四边形中等积法的应用 方法指导 如图，在矩形中，，，是 的中点， 连接，，点在线段上（点不与点，重合），过点 作 于，于，求 的值. 解：连接 四边形是矩形，， ， . 是的中点，， . 的面积的面积 ______________， ， ， ___. 的面积 返回目录 1 2 1 2 42 针对训练 1.【2025广西玉林期末，中】如图，在矩形中， ， ，于，则线段 的长是( ) C A.3 B.2.5 C.2.4 D.2 【解析】 四边形是矩形，， ，， .故选C. 返回目录 1 2 1 2 43 思路分析 根据矩形的性质和勾股定理求出，再用等积法求出 的长即可． 返回目录 1 2 1 2 44 2.【2024陕西咸阳秦都区调研，较难】如图所示，四边形中， 于点 ，，，点为线段上的一个动点.过点 分别作 于点，于点.连接，在点运动过程中， 的 最小值等于_____. 7.8 返回目录 1 2 1 2 45 【解析】，， ，四边形 是平行四边形.于点， 平行四边形 是 菱形，， .连 接，如图所示. ， ，即， ，， 当最短时， 有 最小值.由垂线段最短可知，当时，最短， 当点与点 重合时， 有最小值，最小值为 ，故答案为7.8. 返回目录 1 2 1 2 46 思路分析 证得四边形是菱形，得，连接 ，由三角形面积关系求出 ，则当最短时，有最小值，即当时， 最短，即可得出答案. 返回目录 1 2 1 2 47 $