4.题型4 圆的综合-【中考导学案】2026年四川达州中考数学讲义本配套课件

该初中数学中考复习课件聚焦“圆的综合”核心题型，严格对接中考要求，系统梳理切线证明、锐角三角函数应用、几何面积计算、相似三角形判定等高频考点，通过近5年达州中考真题及模拟题分析，明确各考点权重，归纳证明与计算两大类常考题型，体现备考针对性。 课件亮点在于“真题精讲+技巧提炼”模式，如2021年达州真题中阴影面积计算，示范“图形分割+扇形面积公式”突破法，培养学生几何直观与运算能力。针对切线证明总结“连半径证垂直”步骤，助力学生掌握解题逻辑，教师可依此开展专题训练，提升复习效率。

题型4　圆的综合 《中考导学案》 2026达州数学 1 例1 (2025·达州适应) 如图，AB是☉O的直径，C是☉O上一点，过点C作弦CD⊥AB于点E，F是上一点，AF交CD于点H，过点F作一条直线交CD的延长线于点M，HM＝FM，AC∥MG. 类型一 与锐角三角函数的综合 首页 类型一 类型二 类型三 2 (1)求证：MF是☉O的切线； 证明：连接OF. ∵CD⊥AB，∴∠AEH＝90°， ∠HAE＋∠AHE＝90°. ∵OA＝OF，HM＝FM， ∴∠HAE＝∠OFA，∠MFH＝∠MHF＝∠AHE.∴∠OFA＋∠MFH＝90°， 即∠OFM＝90°.∴OF⊥MG. 又∵OF是☉O的半径， ∴MG是☉O的切线. 首页 类型一 类型二 类型三 3 (2)延长AB，MF相交于点G，若tan M＝，AE＝3，求OG的长. 解：连接OC.∵AC∥MG，∴∠M＝∠ACE. ∵tan M＝，∴tan∠ACE＝. ∵AE＝3，∴CE＝4. 设☉O的半径为r，则OE＝OA－AE＝r－3. 在Rt△COE中，由勾股定理，得 OE2＋CE2＝OC2，即(r－3)2＋42＝r2. 首页 类型一 类型二 类型三 解得r＝.∴OF＝. 由(1)，得∠OFG＝90°. ∵tan M＝， ∴设EG＝3a，则ME＝4a. ∴MG＝5a.∴sin G＝，即. ∴.∴OG＝. 首页 类型一 类型二 类型三 1.(2025·通川区二模) 如图，已知△ABC，以AC为直径的☉O交AB于点D，E为的中点，连接CE交AB于点F，且BF＝BC. 针对训练 首页 类型一 类型二 类型三 (1)求证：BC是☉O的切线； 证明：连接AE. ∵AC是☉O的直径， ∴∠E＝90°. ∴∠EAD＋∠AFE＝90°. ∵BF＝BC，∴∠BCE＝∠BFC＝∠AFE. ∵E为的中点，∴∠EAD＝∠ACE. ∴∠BCE＋∠ACE＝90°.∴AC⊥BC. ∵AC为☉O的直径，∴BC是☉O的切线. 首页 类型一 类型二 类型三 (2)若☉O的半径为2，cos B＝，求CE的长. 解：∵☉O的半为2，∴AC＝4. ∵cos B＝，∴BC＝3，AB＝5. ∴BF＝3，AF＝5－3＝2. ∵∠EAD＝∠ACE，∠E＝∠E， ∴△AEF∽△CEA.∴. ∴CE＝2AE.可设AE＝x，则CE＝2x. 由勾股定理，得x2＋4x2＝16. ∴x＝(负值已舍去).∴CE＝. 首页 类型一 类型二 类型三 2.(2025·达高三诊) 如图，在△ABF中，C为AF上一点，且AB＝AC，以AB为直径的☉O分别交AC，BC于点D，E，若∠BAF＝2∠CBF. 首页 类型一 类型二 类型三 (1)求证：直线BF是☉O的切线； 证明：连接AE. ∵AB是☉O的直径，∴∠AEB＝90°. ∴AE⊥BC. ∴∠BAE＋∠ABE＝90°. ∵AB＝AC，∴∠BAE＝∠CAE＝∠BAC. ∵∠BAF＝2∠CBF，∴∠CBF＝∠BAE. ∴∠ABE＋∠CBF＝90°.∴AB⊥BF. ∵AB是☉O的直径，∴BF是☉O的切线. 首页 类型一 类型二 类型三 (2)若AB＝15，sin∠CBF＝，求BF的长. 解：过点C作CG⊥BF于点G. ∵AB＝15，sin∠BAE＝sin∠CBF＝， ∴BE＝AB＝3. ∴AE＝＝6. ∵AB＝AC，AE⊥BC，∴BC＝2BE＝6. 首页 类型一 类型二 类型三 ∵sin∠CBF＝， ∴CG＝BC＝6，BG＝＝12. ∵AB∥CG，∴△ABF∽△CGF. ∴，即.∴FG＝8. ∴BF＝BG＋FG＝12＋8＝20. 首页 类型一 类型二 类型三 3.(2014·达州) 如图，直线PQ与☉O相交于点A，B，BC是☉O的直径，BD平分∠CBQ交☉O于点D，过点D作DE⊥PQ，垂足为E. 首页 类型一 类型二 类型三 (1)求证：DE与☉O相切； 证明：连接OD. ∵BD平分∠CBQ交☉O于点D， ∴∠CBD＝∠QBD. ∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB. ∴∠ODB＝∠QBD.∴OD∥PQ. ∵DE⊥PQ，∴OD⊥DE. 又∵OD是☉O的半径，∴DE与☉O相切. 首页 类型一 类型二 类型三 (2)连接AD，已知BC＝10，BE＝2，求sin∠BAD的值. 解：连接CD. ∵BC是☉O的直径，∴∠BDC＝90°. ∵DE⊥PQ，∴∠BED＝∠BDC＝90°. 又∠CBD＝∠QBD，∴△BCD∽△BDE. ∴，即.∴BD＝2. 在Rt△BCD中，sin C＝. ∵∠BAD＝∠C，∴sin∠BAD＝. 首页 类型一 类型二 类型三 例2 (2021·达州) 如图，AB是☉O的直径，C为☉O上一点(点C不与点A，B重合)，连接AC，BC，过点C作CD⊥AB，垂足为点D.将△ACD沿AC翻折，点D落在点E处得△ACE，AE交☉O于点F. 类型二 与几何图形面积结合 首页 类型一 类型二 类型三 16 (1)求证：CE是☉O的切线； 证明：连接OC. ∵CD⊥AB， ∴∠ADC＝90°. ∵将△ACD沿AC翻折得到△ACE， ∴∠EAC＝∠BAC，∠E＝∠ADC＝90°. ∵OA＝OC，∴∠ACO＝∠BAC. ∴∠ACO＝∠EAC. ∴OC∥AE.∴∠E＋∠ECO＝180°. ∴∠ECO＝90°，即OC⊥CE. 又∵OC是☉O的半径，∴CE是☉O的切线. 首页 类型一 类型二 类型三 (2)若∠BAC＝15°，OA＝2，求阴影部分面积. 解：连接OF，过点O作OG⊥AF于点G，则AF＝2AG. ∵∠BAC＝15°，∴∠BAF＝2∠BAC＝30°. ∵OA＝2，∴OG＝OA＝1，AG＝. ∴AF＝2AG＝2. ∵∠BOC＝2∠BAC＝30°， CD⊥AB，OC＝OA＝2， 首页 类型一 类型二 类型三 ∴CD＝OC＝1，OD＝. ∴AE＝AD＝AO＋OD＝2＋，CE＝CD＝1. ∴EF＝AE－AF＝2＋－2＝2－. ∵∠EAC＝∠BAC＝15°， ∴∠COF＝2∠EAC＝30°. ∴S阴影＝S梯形OCEF－S扇形COF＝×(2－＋2)×1－×π×22＝2－. 首页 类型一 类型二 类型三 4.(2018·达州) 已知：如图，以等边△ABC的边BC为直径作☉O，分别交AB，AC于点D，E，过点D作DF⊥AC交AC于点F. (1)求证：DF是☉O的切线； 证明：连接CD，OD. ∵BC是☉O的直径， ∴∠CDB＝90°，即CD⊥AB. 又∵△ABC是等边三角形， 针对训练 首页 类型一 类型二 类型三 20 ∴AD＝BD. ∵BO＝CO，∴DO是△ABC的中位线. ∴OD∥AC. ∵DF⊥AC，∴DF⊥OD. ∵OD是☉O的半径，∴DF是☉O的切线. 首页 类型一 类型二 类型三 (2)若等边△ABC的边长为8，求由，DF，EF围成的阴影部分面积. 解：连接OE，过点O作OG⊥AC于点G. ∴∠OGF＝∠DFG＝∠ODF＝90°. ∴四边形ODFG是矩形. ∴FG＝OD＝4. ∵OC＝OE＝OD＝OB，且∠OCE＝∠B＝60°， ∴△OBD和△OCE均为等边三角形. ∴∠BOD＝∠COE＝60°，CE＝OC＝4. 首页 类型一 类型二 类型三 ∴EG＝CE＝2， DF＝OG＝OC·sin 60°＝2，∠DOE＝60°. ∴EF＝FG－EG＝2. ∴S阴影＝×(2＋4)×2 ＝6. 首页 类型一 类型二 类型三 5.(2025·内江) 如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，O是边AB上一点，以点O为圆心，OB长为半径作圆，☉O恰好经过点D，交AB于点E. 首页 类型一 类型二 类型三 (1)求证：直线AC是☉O的切线； 证明：连接OD. ∵∠C＝90°，∴BC⊥AC. ∵BD是∠ABC的平分线，∴∠OBD＝∠CBD. ∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠OBD. ∴∠ODB＝∠CBD.∴OD∥BC. ∴∠ODA＝∠C＝90°.∴OD⊥AC. 又∵OD是☉O的半径， ∴直线AC是☉O的切线. 首页 类型一 类型二 类型三 (2)若E为AO的中点，AD＝3，求阴影部分的面积； 解：设☉O的半径为R. ∴OD＝OE＝OB＝R. ∵E是AO的中点，∴AE＝OE＝R. ∴AO＝2R. 由(1)可知OD⊥AC. ∴在Rt△AOD中，sin A＝， ∴∠A＝30°.∴∠AOD＝60°. 首页 类型一 类型二 类型三 ∵AD＝3，∴OD＝AD·tan A＝3×tan 30° ＝.∴S△AOD＝AD·OD＝×3×， S扇形OED＝. ∴阴影部分的面积为S△AOD－S扇形OED＝. 首页 类型一 类型二 类型三 (3)连接DE，若sin∠DBA＝，求cos A的值. 解：∵BE是☉O的直径，∴∠BDE＝90°. 在Rt△BDE中，sin∠DBA＝. 设DE＝a，BE＝5a.∴OD＝BE＝2.5a. 由勾股定理，得BD＝＝2a. ∵∠OBD＝∠CBD，∠BDE＝∠C＝90°， ∴△BDE∽△BCD. 首页 类型一 类型二 类型三 ∴，即. ∴BC＝4a，CD＝2a. 由(1)可知OD∥BC.∴△AOD∽△ABC. ∴，即.∴AD＝. 在Rt△AOD中，由勾股定理，得 AO＝. ∴cos A＝. 首页 类型一 类型二 类型三 例3 (2024·成都) 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为斜边AB上一点，以BD为直径作☉O，交AC于E，F两点，连接BE，BF，DF. 类型三 与相似三角形的综合 首页 类型一 类型二 类型三 30 (1)求证：BC·DF＝BF·CE； 证明：∵BD是☉O的直径，∴∠BFD＝90°. ∵∠C＝90°， ∴∠BFD＝∠C. ∵，∴∠BEC＝∠BDF. ∴△BCE∽△BFD.∴. ∴BC·DF＝BF·CE. 首页 类型一 类型二 类型三 (2)若∠A＝∠CBF，tan∠BFC＝，AF＝4，求CF的长和☉O的直径. 解：连接DE，过点E作EH⊥BD于点H. ∵∠C＝90°，tan∠BFC＝， ∴.∴BC＝CF. ∵∠A＝∠CBF，∴90°－∠A＝90°－∠CBF，即∠ABC＝∠BFC. ∴tan∠ABC＝tan∠BFC＝.∴. 首页 类型一 类型二 类型三 ∴AC＝BC＝×(CF)＝5CF. ∵AC－CF＝AF＝4， ∴5CF－CF＝4.∴CF＝. ∴BC＝CF＝5，AC＝5CF＝5. ∴AB＝＝5. 由(1)知，△BCE∽△BFD. ∴∠CBE＝∠DBF. 首页 类型一 类型二 类型三 ∴∠CBE－∠FBE＝∠DBF－∠FBE， 即∠CBF＝∠EBA. ∵∠A＝∠CBF，∴∠A＝∠EBA. ∴AE＝BE.∴BH＝AH＝AB＝. ∵∠BEH＝90°－∠EBA＝90°－∠CBF＝∠BFC， ∴tan∠BEH＝tan∠BFC＝. ∴，即.∴EH＝. 首页 类型一 类型二 类型三 ∵BD是☉O的直径，∴∠BED＝90°. ∴∠EDH＝90°－∠DEH＝∠BEH. ∴tan∠EDH＝tan∠BEH＝. ∴，即.∴DH＝. ∴BD＝DH＋BH＝＝3. ∴☉O的直径为3. ∴CF的长为，☉O的直径为3. 首页 类型一 类型二 类型三 6.(2019·达州) 如图，☉O是△ABC的外接圆，∠BAC的平分线交☉O于点D，交BC于点E，过点D作直线DF∥BC. 针对训练 首页 类型一 类型二 类型三 (1)判断直线DF与☉O的位置关系，并说明理由； 解：直线DF与☉O相切. 理由：连接OD. ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠CAD. ∴.∴OD⊥BC. ∵DF∥BC，∴OD⊥DF. ∵OD是☉O的半径，∴直线DF与☉O相切. 首页 类型一 类型二 类型三 (2)若AB＝6，AE＝，CE＝，求BD的长. 解：∵∠BAD＝∠CAD，∠ADB＝∠C， ∴△ABD∽△AEC.∴. ∴.∴BD＝. 首页 类型一 类型二 类型三 7.(2016·达州) 如图，已知AB为半圆O的直径，C为半圆O上一点，连接AC，BC，过点O作OD⊥AC于点D，过点A作半圆O的切线交OD的延长线于点E，连接BD并延长交AE于点F. 首页 类型一 类型二 类型三 39 (1)求证：AE·BC＝AD·AB； 证明：∵AB为半圆O的直径，∴∠C＝90°. ∵OD⊥AC，∴∠CAB＋∠AOE＝90°， ∠ADE＝∠C＝90°. ∵AE是半圆O的切线，∴OA⊥AE. ∴∠E＋∠AOE＝90°.∴∠E＝∠CAB. ∴△EAD∽△ABC. ∴EA∶AB＝AD∶BC. ∴AE·BC＝AD·AB. 首页 类型一 类型二 类型三 (2)若半圆O的直径为10，sin∠BAC＝，求AF的长. 解：过点D作DM⊥AB于点M， 则DM∥AE. ∵半圆O的直径为10，sin∠BAC＝， ∴BC＝AB·sin∠BAC＝6. ∴AC＝＝8. ∵OD⊥AC，∴AD＝AC＝4. 首页 类型一 类型二 类型三 ∵sin∠BAC＝sin∠MAD＝，∴DM＝. ∴在Rt△AMD中， AM＝. ∴BM＝AB－AM＝. ∵DM∥AE，∴，即. ∴AF＝. 首页 类型一 类型二 类型三 8.(2015·达州) 如图，在△ABC的外接圆☉O中，△ABC的外角平分线CD交☉O于点D，F为上一点，且，连接DF，并延长DF交BA的延长线于点E. 首页 类型一 类型二 类型三 (1)判断DB与DA的数量关系，并说明理由； 解：DB＝DA.理由： ∵CD平分∠ACM， ∴∠MCD＝∠ACD. ∵∠MCD＋∠BCD＝180°，∠BCD＋∠DAB＝ 180°，∴∠MCD＝∠DAB. ∵∠DCA＝∠DBA，∴∠DAB＝∠DBA. ∴DB＝DA. 首页 类型一 类型二 类型三 (2)求证：△BCD≌△AFD； 证明：∵，∴BC＝AF. 又∵∠DAB＝∠DBA，∴. ∴.∴CD＝DF. 又∵DB＝DA，∴△BCD≌△AFD(SSS). 首页 类型一 类型二 类型三 (3)若∠ACM＝120°，☉O的半径为5，DC＝6，求DE的长. 解：过D，O作☉O的直径DN，连接AN. ∵∠DCA＝∠ACM＝60°， ∴∠DNA＝∠DCA＝60°. ∵DN为☉O的直径，∴∠DAN＝90°. ∴DA＝DN·sin∠DNA＝2×5×sin 60°＝5. 在四边形ABDF中，∠DBA＋∠AFD＝180°. 又∵∠DAB＋∠DAE＝180°，且∠DBA＝∠DAB，∴∠AFD＝∠DAE. 首页 类型一 类型二 类型三 又∠FDA＝∠ADE，∴△DAF∽△DEA. ∴，即DA2＝DE·DF. 由(2)知，DF＝DC＝6. ∴DE＝. 首页 类型一 类型二 类型三 9.(2025·东安雄才学校三模)如图，☉O是Rt△ABC的外接圆，∠ACB＝90°，AB＝4，D是☉O上一点，连接AD，BD，延长BD至点F，连接AF，使得∠DAF＝∠ABD. 首页 类型一 类型二 类型三 (1)试判断AF与☉O的位置关系，并说明理由； 解：AF与☉O相切. 理由：∵☉O是Rt△ABC的外接圆，∠ACB＝90°，∴AB是☉O的直径. ∴∠ADB＝90°. ∴∠BAD＋∠ABD＝90°. ∵∠DAF＝∠ABD，∴∠BAD＋∠DAF＝90°. ∴∠BAF＝90°，即AF⊥AB. ∴AF与☉O相切. 首页 类型一 类型二 类型三 (2)若AF＝3，∠AFB＝∠CBD，求AC的长. 解：在Rt△ABF中，∠BAF＝90°，AF＝3，AB＝4，∴BF＝＝5. ∵S△ABF＝AD·BF＝AF·AB， ∴AD＝. ∴BD＝. 首页 类型一 类型二 类型三 ∴DF＝BF－BD＝5－. 连接CD，OC，过点D作DH⊥BC于点H，则∠BHD＝∠ADF＝90°. 又∵∠AFB＝∠CBD，∴△AFD∽△DBH. ∴，即.∴BH＝. ∵∠AFB＋∠DAF＝∠DAB＋∠DAF＝90°， ∴∠AFB＝∠DAB. ∵∠DAB＝∠BCD，∴∠AFB＝∠BCD. 首页 类型一 类型二 类型三 ∵∠AFB＝∠CBD，∴∠BCD＝∠CBD. ∴BD＝CD.∴DH垂直平分BC. ∵OC＝OB，∴点O在BC的垂直平分线上. ∴D，H，O三点共线. ∴BC＝2BH＝2×. ∴AC＝， 即AC的长为. 首页 类型一 类型二 类型三 本讲内容结束 $