2.题型2 一次函数与反比例函数的综合-【中考导学案】2026年四川达州中考数学讲义本配套课件

该初中数学中考复习课件聚焦“一次函数与反比例函数综合”核心考点，对接中考说明要求，分析函数表达式求解、大小比较、面积计算、几何综合等常考题型权重，通过例题与针对训练系统梳理考点，体现备考针对性与实用性。 课件亮点在于融合近年中考真题（如2024达州、2025内江等），通过“真题解析+技巧归纳”培养数学思维与几何直观，例如解析2024达州真题中直角三角形存在性问题，示范勾股定理与函数结合的推理方法，帮助学生掌握解题技巧，教师可依此制定冲刺计划，提升复习效率。

题型2　 一次函数与反比例函数的综合 《中考导学案》 2026达州数学 1 类型一 一次函数与反比例函数比较大小及面积问题 例1 (2025·内江) 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y＝的图象与一次函数y＝k2x＋b的图象相交于A(a，6)，B(－6，1)两点. 首页 类型一 类型二 2 (1)求反比例函数和一次函数的表达式； 解：∵反比例函数y＝的图象经过点B(－6，1)， ∴k1＝－6×1＝－6.∴反比例函数的表达式为y＝－. 把A(a，6)代入y＝－，得6＝－. ∴a＝－1.∴A(－1，6). ∵一次函数y＝k2x＋b的图象经过A(－1，6)，B(－6，1)两点， ∴解得 ∴一次函数的表达式为y＝x＋7. 首页 类型一 类型二 3 (2)当x＜0时，请根据函数图象，直接写出关于x的不等式k2x＋b－≥0的解集； 解：根据函数图象，得当x＜0时，关于x的不等式k2x＋b－≥0的解集为－6≤x≤－1. 首页 类型一 类型二 (3)过直线AB上的点C作CD∥x轴，交反比例函数的图 象于点D.若点C的横坐标为－4，求△BOD的面积. 解：由于点C的横坐标为－4，代入y＝x＋7， 得y＝－4＋7＝3.∴C(－4，3). 当y＝3时，3＝－.∴x＝－2.∴D(－2，3). 过点B，D分别作x轴的垂线，垂足分别为F，E.∵B(－6，1)，D(－2，3)，∴DE＝3，BF＝1，EF＝－2－(－6)＝4. ∵S△BOD＋S△BFO＝S梯形BFED＋S△DEO，S△BFO＝S△DEO＝3，∴S△BOD＝ S梯形BFED＝(DE＋BF)·EF＝×(3＋1)×4＝8. 首页 类型一 类型二 1.(2025·通川区二模) 如图，一次函数图象与反比例函数图象交于点A(－1，6)，B，与x轴交于点C，与y轴交于点D. 针对训练 首页 类型一 类型二 (1)求反比例函数与一次函数的表达式； 解：设反比例函数的表达式为y＝. ∵点A(－1，6)在反比例函数图象上， ∴k＝－1×6＝－6. ∴反比例函数的表达式为y＝－. 把B代入y＝－，得 a－3＝－. 首页 类型一 类型二 ∴a＝1.∴B(3，－2). 设一次函数的表达式为y＝mx＋b. 将A(－1，6)，B(3，－2)代入y＝mx＋b，得 解得 ∴一次函数的表达式为 y＝－2x＋4. 首页 类型一 类型二 (2)若x轴上有一点M，使得S△OAM＝S△OAB，求点M的坐标. 解：对于y＝－2x＋4，当y＝0 时，0＝－2x＋4.解得x＝2.∴C(2，0). ∴OC＝2. ∴S△OAB＝S△OAC＋S△OBC＝×2×6＋×2×2＝8. ∵S△OAM＝S△OAB，∴OM×6＝8.∴OM＝. ∴点M的坐标为或. 首页 类型一 类型二 2.(2014·达州) 如图，直线l：y＝－x＋3与两坐标轴分别相交于点A，B. (1)当反比例函数y＝(m＞0，x＞0)的图象在第一象限内与直线l至少有一个交点时，求m的取值范围； 解：由题意，得－x＋3＝， 即x2－3x＋m＝0有实数根. ∴Δ＝(－3)2－4m≥0， 解得m≤. ∴m的取值范围为0＜m≤. 首页 类型一 类型二 (2)若反比例函数y＝(m＞0，x＞0)在第一象限内与直线l相交于点C，D，当CD＝2时，求m的值； 解：设C(x1，y1)，D(x2，y2)， 则方程x2－3x＋m＝0的两根是x1，x2. ∴x1＋x2＝3，x1·x2＝m. ∵CD＝＝2， ∴＝2， 即2(9－4m)＝8，解得m＝. 首页 类型一 类型二 (3)在(2)的条件下，请你直接写出关于x的不等式－x＋3＜的解集. 解：当m＝时，x2－3x＋＝0， 解得x1＝，x2＝. 由图象可知，关于x的不等式－x＋3＜的解集 为0＜x＜或x＞. 首页 类型一 类型二 3.(2025·达州适应) 在平面直角坐标系中，一次函数y＝k1x＋b的图象分别与x轴、y轴交于A，B两点，与反比例函数y＝的图象在第二象限交于C(－2，6)，D两点，DE∥OC交x轴于点E，且. 首页 类型一 类型二 (1)求一次函数和反比例函数的表达式； 解：由条件可得k2＝－2×6＝－12.∴反比例函数的表达式为y＝－. 过点D作DM⊥x轴于点M，过点C作CN⊥x轴于点N. ∵，∴. ∵DE∥OC，∴△ADE∽△ACO. ∴.∴CN＝3DM＝6. 首页 类型一 类型二 ∴DM＝2.∴D(－6，2). 将C(－2，6)，D(－6，2)代入y＝k1x＋b，得 解得 ∴一次函数的表达式为y＝x＋8. 首页 类型一 类型二 (2)求四边形OCDE的面积； 解：设直线OC的函数表达式为y＝mx. 将C(－2，6)代入上式，得－2m＝6.解得m＝－3. ∴直线OC的函数表达式为y＝－3x. 由DE∥OC，设直线DE的函数表达式为y＝－3x＋n. 将D(－6，2)代入上式，得 －3×(－6)＋n＝2.解得n＝－16. ∴直线DE的函数表达式为y＝－3x－16. 首页 类型一 类型二 当y＝0时，－3x－16＝0.解得x＝－. ∴E.∴OE＝. 在y＝x＋8中，当y＝0时，x＝－8. ∴A(－8，0).∴OA＝8.∴AE＝8－. ∴S四边形OCDE＝OA·CN－AE·DM＝×8×6－××2＝. (3)直接写出－k1x－b＞0的x的取值范围：____________________.  x＜－6或－2＜x＜0 首页 类型一 类型二 例2 (2024·达州) 如图，一次函数y＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)的图象与反比例函数y＝(m为常数，m≠0)的图象交于点A(2，3)，B(a，－2). 类型二 与几何的综合问题 首页 类型一 类型二 18 (1)求反比例函数和一次函数的解析式； 解：将点A，B的坐标代入y＝，得 m＝2×3＝－2a.解得a＝－3，m＝6. ∴反比例函数的解析式为y＝，B(－3，－2). 将点A，B的坐标代入y＝kx＋b，得 解得 ∴一次函数的解析式为y＝x＋1. 首页 类型一 类型二 (2)若C是x轴正半轴上的一点，且∠BCA＝90°，求点C的坐标. 解：设C(x，0).由点A，B，C的坐标，得AB2＝50，AC2＝(x－2)2＋9，BC2＝(x＋3)2＋4. ∵∠BCA＝90°，∴AB2＝AC2＋BC2， 即50＝(x－2)2＋9＋(x＋3)2＋4. 解得x＝3或x＝－4(舍去)， 即点C的坐标为(3，0). 首页 类型一 类型二 4.(2021·达州) 如图，将一把矩形直尺ABCD和一 块等腰直角三角板EFG摆放在平面直角坐标系中， AB在x轴上，点G与点A重合，点F在AD上，EF交 BC于点M，反比例函数y＝(x＜0)的图象恰好经 过点F，M，若直尺的宽CD＝1，三角板的斜边 FG＝4，则k＝__________.  针对训练 －12 首页 类型一 类型二 5.(2018·达州) 如图，在矩形AOBC中，OB＝4，OA＝3.分别以OB，OA所在直线为x轴、y轴，建立如图1所示的平面直角坐标系.F是边BC上一个动点(不与点B，C重合)，过点F的反比例函数y＝(k＞0)的图象与边AC交于点E. 图1　 图2　 首页 类型一 类型二 (1)当点F运动到边BC的中点时，求点E的坐标； 解：∵OA＝3，OB＝4， ∴B(4，0)，C(4，3). ∵F是BC的中点，∴F. ∵点F在反比例函数y＝的图象上， ∴k＝4×＝6. ∴反比例函数的解析式为y＝. ∵点E的纵坐标为3，∴点E的坐标为(2，3). 图1　 首页 类型一 类型二 (2)连接EF，求∠EFC的正切值； 解：∵点F的横坐标为4，∴F. ∴CF＝BC－BF＝3－. ∵点E的纵坐标为3，∴E. ∴CE＝AC－AE＝4－. 在Rt△CEF中，tan∠EFC＝. 图1　 首页 类型一 类型二 (3)如图2，将△CEF沿EF折叠，点C恰好落在边OB上的点G处，求此时反比例函数的解析式. 解：由(2)知，CF＝，CE＝. 过点E作EH⊥OB于点H，∴EH＝OA＝3， ∠EHG＝∠GBF＝90°.∴∠EGH＋∠HEG＝90°. 由折叠知，EG＝CE，FG＝CF，∠EGF＝ ∠C＝90°.∴∠EGH＋∠BGF＝90°. 图2 首页 类型一 类型二 ∴∠HEG＝∠BGF.∴△EHG∽△GBF. ∴.∴.∴BG＝. 在Rt△FBG中，FG2－BF2＝BG2， 即.∴k＝. ∴反比例函数的解析式为y＝. 图2 首页 类型一 类型二 6.(2015·达州) 如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCO是菱形，点B在x轴负半轴上，AO＝，tan∠AOB＝，一次函数y＝k1x＋b的图象过A，B两点，反比例函数y＝的图象过OA的中点D. 首页 类型一 类型二 (1)求一次函数和反比例函数的表达式； 解：连接AC交BO于点E，过点D作DF⊥OB于点F. ∵四边形ABCO是菱形， ∴AE⊥BO，且BO＝2EO. ∵tan∠AOB＝，∴. 设AE＝x，则EO＝2x. ∵AE2＋EO2＝AO2，AO＝， ∴x2＋(2x)2＝()2. 首页 类型一 类型二 解得x1＝1，x2＝－1(舍去). ∴AE＝1，EO＝2.∴A(－2，1)，B(－4，0). 将A(－2，1)，B(－4，0)代入y＝k1x＋b，得 解得 ∴一次函数的表达式为y＝x＋2. ∵DF⊥BO，AE⊥BO， 首页 类型一 类型二 ∴DF∥AE.∴△DFO∽△AEO. ∵D为AO的中点， ∴.∴D. 将D代入y＝，得k2＝－. ∴反比例函数的表达式为y＝－. 首页 类型一 类型二 (2)平移一次函数y＝k1x＋b的图象得y＝k1x＋b1，当一次函数y＝k1x＋b1的图象与反比例函数y＝的图象无交点时，求b1的取值范围. 解：令x＋b1＝－，整理，得x2＋2b1x＋1＝0. 当(2b1)2－4×1×1＜0时，直线y＝x＋b1与双 曲线y＝－没有交点，此时－1＜b1＜1. ∴当一次函数y＝k1x＋b1的图象与反比例函数 y＝的图象无交点时，－1＜b1＜1. 首页 类型一 类型二 7.(2025·成都) 如图，在平面直角坐标系中，直线y＝－x＋b与反比例函数y＝的图象的一个交点为A(a，2)，与x轴的交点为B(3，0). 首页 类型一 类型二 (1)求k的值； 解：∵直线y＝－x＋b与x轴的交点为B(3，0)， ∴0＝－3＋b，解得b＝3， ∴一次函数的表达式为y＝－x＋3. 把A(a，2)代入y＝－x＋3，得2＝－a＋3， 解得a＝1，∴A(1，2). 把A(1，2)代入y＝，得k＝1×2＝2. 首页 类型一 类型二 (2)直线AO与反比例函数的图象在第三象限交于点C，点D在反比例函数的图象上，若∠ACD＝90°，求直线AD的函数表达式； 解：由(1)得反比例函数的表达式为y＝. ∵直线AO与反比例函数的图象在第三象限交 于点C，A(1，2)，∴C(－1，－2)， ∴AC2＝(1＋1)2＋(2＋2)2＝20. 设D，∴AD2＝(1－m)2＋， 首页 类型一 类型二 CD2＝(－1－m)2＋. ∵∠ACD＝90°，∴AD2＝CD2＋AC2. ∴(1－m)2＋＝(－1－m)2＋ ＋20，解得m＝－4或－1(舍去).∴D. 设直线AD的函数表达式为y＝k1x＋b1(k1≠0). 首页 类型一 类型二 把点，(1，2)代入上式，得 解得 ∴直线AD的函数表达式为y＝x＋. 首页 类型一 类型二 (3)P为x轴上一点，直线AP交反比例函数的图象于点E(异于点A)，连接BE，若△BEP的面积为2，求点E的坐标. 解：设E.设直线AE的函数表达式为y＝k2x＋b2. 把点，(1，2)代入上式，得 解得 首页 类型一 类型二 ∴直线AE的函数表达式为y＝－x＋. 当y＝0时，0＝－x＋，解得x＝t＋1. ∴P(t＋1，0). ∴BP＝|t＋1－3|＝|t－2|. ∴S△BEP＝×|yE|×BP＝××|t－2|. 首页 类型一 类型二 ∵△BEP的面积为2， ∴××＝2， 解得t＝或t＝－2. ∴点E的坐标为(－2，－1)或. 首页 类型一 类型二 本讲内容结束 $