14.第三单元 第12讲 二次函数的图象与性质-【中考导学案】2026年四川达州中考数学讲义本配套课件

第12讲　二次函数的图象与性质 第三单元　函数 《中考导学案》 2026达州数学 1 2 2 2 1 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 目 录 2 素养储备·依标扣本 考点综述 01 3 课标 要求 1.通过对实际问题的分析，体会二次函数的意义. 2.能画二次函数的图象，通过图象了解二次函数的性质，知道二次函数系数与图象形状和对称轴的关系. 3.知道二次函数和一元二次方程之间的关系，会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解. 知识 导图   首页 目录 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 知识点一 二次函数的图象与性质 二次函数的图象与性质 定义 形如y=ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)的函数是二次函数，其中x是自变量 图象 二次函数的图象都是抛物线 表达式 y=ax2 y=ax2＋c y=a(x－h)2 y=a(x－h)2＋k y=ax2＋bx＋c 开口方向 a＞0⇔开口①__________；a＜0⇔开口向下  向上 知识点一 首页 目录 知识点二 知识点三 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 5 二次函数的图象与性质 增减性 a＞0⇔对称轴左侧，y随x的增大而减小；对称轴右侧，y随x的增大而增大 a＜0⇔对称轴左侧，y随x的增大而增大；对称轴右侧，y随x的增大而减小 对称轴 直线x=0 (y轴) 直线x=0 (y轴) 直线x=h 直线x=h 直线x=－ 顶点 坐标 (0，0) (0，c) (h，0) ②_______ (h，k) 知识点一 首页 目录 知识点二 知识点三 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 【易错提醒】 1.利用二次函数的定义解题时，应注意二次项系数a是否为0. 2.讨论二次函数的增减性时，一定要指明是在对称轴的左侧还是右侧. 二次函数的图象与性质 最值 y最值=0 y最值=c y最值=0 y最值=k y最值= 大致图象 (a＞0) (h＞0) (h＜0，k＜0) (b＞0，c＜0) 知识点一 首页 目录 知识点二 知识点三 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 二次函数的图象与a，b，c的关系 字母或代数式 符号 图象的特征 a a＞0 开口向上 |a|越大，开口越④_______ a＜0 开口向③_____ b b=0 对称轴为⑤__________轴  ab＞0(b与a同号) 对称轴在y轴左侧 ab＜0(b与a异号) 对称轴在y轴右侧 下 小 y 简称“左同” 简称“右异” 知识点一 首页 目录 知识点二 知识点三 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 二次函数的图象与a，b，c的关系 字母或代数式 符号 图象的特征 c c=0 经过⑥__________点  c＞0 与y轴正半轴相交 c＜0 与y轴⑦__________半轴相交  特殊 关系 当x=1时，y=a＋b＋c；当x=－1时，y=⑧________ 若a＋b＋c＞0，即当x=1时，y＞0； 若a＋b＋c＜0，即当x=1时，y⑨_______0  原 负 a－b＋c ＜ 知识点一 首页 目录 知识点二 知识点三 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 知识点二 二次函数表达式的求法 二次函数表达式的求法 待定系数法：(1)设；(2)代；(3)解；(4)答 形式 一般式：y=ax2＋bx＋c，适合已知三个点或三对x，y的值 顶点式：y=a(x－h)2＋k，适合已知顶点，对称轴或最值 交点式：y=a(x－x1)(x－x2)，适合已知与x轴的交点坐标 平移求法 知识点一 首页 目录 知识点二 知识点三 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 平移求法 平移方向 一般式 y=ax2＋bx＋c(a≠0) 顶点式 y=a(x－h)2＋k 口诀 向左平移m 个单位长度 y=a(x＋m)2＋b(x＋m)＋c y=a(x－h＋m)2＋k 左加右减自变量(x) 向右平移m 个单位长度 y=a(x⑩_____)2＋b(x ⑪_____)＋c  y=a(x－h－m)2＋k 向上平移m 个单位长度 y=ax2＋bx＋c＋m y=a(x－h)2＋k＋m 上加下减常数项(c) 向下平移m 个单位长度 y=ax2＋bx＋c⑫_______  y=a(x－h)2＋k－m －m －m －m 知识点一 首页 目录 知识点二 知识点三 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 与x轴有⑬______个交点⇔对应方程有两个不相等的实 数根⇔Δ＞0  与x轴有⑭______个交点⇔对应方程有两个相等的实数 根⇔Δ⑮______0  与x轴没有交点⇔对应方程没有实数根⇔Δ⑯_____0  知识点三 二次函数与方程、不等式的关系 二次函数与方程、不等式的关系 与方程 的关系 2 1 = 结合函数图象分析取值范围 ax2＋bx＋c＞0解集⇔抛物线位于y轴上方对应点的横坐标的取值范围 ax2＋bx＋c＜0解集⇔抛物线位于y轴下方对应点的横坐标的取值范围 ＜ 知识点一 首页 目录 知识点二 知识点三 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 素养积累·考点过关 考点综述 02 13 例1 如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过 点A，B，C. (1)图象的开口向__________，对称轴为直线 __________；  (2)二次函数的表达式化为顶点式为____________ ___________，顶点坐标为__________，画出这个函数的图象；  (3)当x＞1时，y随x的增大而__________；  考点一 二次函数的图象与性质及与方程、不等式的关系 下 x＝1 y＝－(x－ 1)2＋4 (1，4) 减小 首页 目录 考点一 考点二 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 14 (4)b2－4ac__________0，abc__________0， 2a＋b__________0，2a－b__________0；  (5)a－b＋c__________0，a＋b＋c__________0， 4a－2b＋c__________0，4a＋2b＋c__________0；  (6)若点M与点N是二次函数图 象上两点，则m__________n；  (7)方程ax2＋bx＋c＝0的解为______________________；  (8)不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为________________；  ＞ ＜ ＝ ＜ ＝ ＞ ＜ ＞ ＜ x1＝－1，x2＝3 －1＜x＜3 首页 目录 考点一 考点二 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 (9)将抛物线向右平移1个单位长度，再向下平 移2个单位长度后，所得二次函数的表达式为 ___________________________________；由所得 到的平移后二次函数的表达式知，当－1≤x≤3时， 平移后二次函数的最大值为__________，最小值 为__________.  y＝－(x－2)2＋2(或y＝－x2＋4x－2) 2 －7 首页 目录 考点一 考点二 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 　　给定自变量取值范围的二次函数值的大小比较，其本质是比较自变量与对称轴的位置关系. 　　(1)当抛物线开口向上时，自变量对应横坐标的点到对称轴的距离越远，函数值越大(如图1). 解题反思 首页 目录 考点一 考点二 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 17 　　 (2)当抛物线开口向下时，自变量对应横坐标的点到对称轴的距离越远，函数值越小(如图2). (3)若所给的自变量的取值范围含有参数，则在求最值时先要讨论抛物线对称轴的横坐标是否在自变量的取值范围内. 首页 目录 考点一 考点二 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 18 1.(2025·达州) 如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与 x轴交于点A(1，0)，点B(3，0)，下列结论：①abc＜0； ②4a＋b＝0；③b2－4ac＞0；④a－b＋c＞0.其中正确 的个数为(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 针对训练 D 首页 目录 考点一 考点二 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 2.(2017·达州) 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如 图所示，则一次函数y＝ax－2b与反比例函数y＝在同 一平面直角坐标系中的图象大致是(　　) A B C D C 首页 目录 考点一 考点二 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 3.(渠县中学月考) 设A(－3，y1)，B(－1，y2)，C(2，y3)是抛物线y＝－x2 －2x＋3上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为(　　) A.y2＞y1＞y3 B.y2＞y3＞y1 C.y3＞y2＞y1 D.y3＞y1＞y2 4.(2024·乐山) 已知二次函数y＝x2－2x(－1≤x≤t－1)，当x＝－1时， 函数取得最大值；当x＝1时，函数取得最小值，则t的取值范围是(　　) A.0＜t≤2 B.0＜t≤4 C.2≤t≤4 D.t≥2 A C 首页 目录 考点一 考点二 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 5.小颖用计算器探索方程ax2＋bx＋c＝0的根，她作出如图所示的二次 函数y＝ax2＋bx＋c的部分图象.根据图象直接求得方程的一个近似根为 x1≈__________，则另一个近似根为x2≈__________.(结果精确到0.1)  －4.2 2.2 首页 目录 考点一 考点二 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 例2 (1)已知抛物线y＝2x2＋c经过点(1，－2)，求抛物线的函数表达式； 解：将点(1，－2)代入y＝2x2＋c，得 －2＝2×12＋c.解得c＝－4. ∴抛物线的函数表达式为y＝2x2－4. 考点二 确定二次函数的表达式 首页 目录 考点一 考点二 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 23 (2)若抛物线y＝x2＋bx＋c经过(1，0)和(3，0)两点，求抛物线的函数表达式； 解：将(1，0)和(3，0)代入y＝x2＋bx＋c，得解得 ∴抛物线的函数表达式为y＝x2－4x＋3. [另解：∵抛物线与x轴交于(1，0)和(3，0)两点，且二次项系数为1， ∴抛物线的函数表达式为y＝(x－1)(x－3)，即y＝x2－4x＋3.] 首页 目录 考点一 考点二 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 (3)已知抛物线y＝ax2－2x＋c(a≠0)的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点为(－1，0)，求抛物线的函数表达式； 解：∵抛物线的对称轴为直线x＝1， ∴－＝1.∴a＝1. 将点(－1，0)代入y＝x2－2x＋c，得 1＋2＋c＝0.解得c＝－3. ∴抛物线的函数表达式为y＝x2－2x－3. 首页 目录 考点一 考点二 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 (4)已知抛物线y＝ax2＋bx(a≠0)顶点的纵坐标为1，且与x轴正半轴的交点为A，且OA＝2，求抛物线的函数表达式； 解：由题意知A(2，0)，抛物线过原点(0，0). ∵顶点的纵坐标为1，∴顶点坐标为(1，1). ∴解得 ∴抛物线的函数表达式为y＝－x2＋2x. 首页 目录 考点一 考点二 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 (5)已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)经过A(－2，0)，B(1，3)两点，且抛物线与y轴交于点C(0，－2)，求抛物线的函数表达式. 解：将A(－2，0)，B(1，3)，C(0，－2)代入y＝ax2＋bx＋c，得 解得 ∴抛物线的函数表达式为y＝2x2＋3x－2. 首页 目录 考点一 考点二 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 6.已知二次函数y＝x2＋bx＋c的图象经过点A(1，－2)和B(0，－5).求该二次函数的表达式及其图象的顶点坐标. 解：把A(1，－2)和B(0，－5)代入y＝x2＋bx＋c，得解得 ∴该二次函数的表达式为y＝x2＋2x－5. ∵y＝x2＋2x－5＝(x＋1)2－6， ∴其图象的顶点坐标为(－1，－6). 针对训练 首页 目录 考点一 考点二 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 请完成《练测本》P27~28素养练测12 本讲内容结束 $