8.第二单元 第7讲 一元二次方程及其应用-【中考导学案】2026年四川达州中考数学讲义本配套课件

第7讲　一元二次方程及其应用 第二单元　方程与不等式 《中考导学案》 2026达州数学 1 2 2 2 1 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 目 录 2 素养储备·依标扣本 考点综述 01 3 课标 要求 1.理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程. 2.会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根及两个实根是否相等. 3.了解一元二次方程的根与系数的关系. 4.能根据具体问题的实际意义，检验方程解的合理性. 首页 目录 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 知识 导图 首页 目录 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是①_____的整式方程叫一元二次方程  一般形式：ax2＋bx＋c＝0(a≠0) 知识点一 一元二次方程及其解法 一元二次方程及其解法 2 解法 知识点一 首页 目录 知识点二 知识点三 知识点四 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 6 解法 解法 适用情况 方程的根 直接开 平方法 x2＝m(m≥0) x1＝，x2＝－ (x＋n)2＝p(p≥0) x1＝－n， x2＝－－n 配方法 可化为(x＋n)2＝p(p≥0) 公式法 ax2＋bx＋c＝0(a≠0，b2－4ac≥0) x＝②____________   因式分解法 ax2＋bx＋c＝a(x－m)(x－n)＝0(a≠0) x1＝m，x2＝n 知识点一 首页 目录 知识点二 知识点三 知识点四 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式是Δ＝b2－4ac 知识点二 一元二次方程根的判别式 一元二次方程根的判别式 与根的关系 (1)Δ＞0⇔一元二次方程有两个不相等的实数根；　　　 (2)Δ③__________0⇔一元二次方程有两个相等的实数根； (3)Δ④__________0⇔一元二次方程无实数根 →[切记：不能说方程有一个实数根]   ＝ ＜ 知识点一 首页 目录 知识点二 知识点三 知识点四 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 关系：x1，x2为一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根，则x1＋x2＝⑤_________，x1x2＝ ⑥_____ 知识点三 一元二次方程的根与系数的关系 一元二次方程的 根与系数的关系 －   →[注意：Δ≥0是前提条件]  运用 知识点一 首页 目录 知识点二 知识点三 知识点四 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 平方型：＝(x1＋x2)2－2x1x2，(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2 括号型：(x1＋1)(x2＋1)＝x1x2＋(x1＋x2)＋1 分式型： 绝对值型：|x1－x2|＝ 因式分解型：x2＋x1＝x1x2(x1＋x2) 运用 知识点一 首页 目录 知识点二 知识点三 知识点四 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 知识点四 一元二次方程的实际应用 一元二次方程的实际应用 步骤： 实际问题 列一元二次方程 解一元二次方程 一元二次方程的根 实际问题的解 常见类型 平均变化率问题 传播问题 面积问题 利润问题(“每每型”) 握手(单循环赛)与送礼物问题 知识点一 首页 目录 知识点二 知识点三 知识点四 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 设原来的量为a，变化后的量为b. 当连续两次增长，平均每次增长率为x时，则有a(1＋x)2＝b； 当连续两次下降，平均每次下降率为x时，则有⑦_____________ 平均变化率问题 在求解时一般使用直接开平方法. a(1－x)2＝b 传播问题：与平均变化率问题类似，若开始数量为a，每轮传染中每个个体传染的数量为x，经2轮传染后的数量为b，则有a(1＋x)2=b 知识点一 首页 目录 知识点二 知识点三 知识点四 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 (1)如图1，设空白部分的宽为x，则S阴影＝⑧________________ 面积问题 (a－2x)(b－2x) (2)如图2、图3、图4，设空白部分的宽为x， 则S阴影＝⑨_______________ (a－x)(b－x) 知识点一 首页 目录 知识点二 知识点三 知识点四 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 (1)常用公式：利润＝售价－成本，总利润＝每件利润×销售量 (2)“每每型”问题中，单价每涨a元，少卖b件.若涨价y元，则少卖的数量为×b件 利润问题 (“每每型”) 握手(单循环赛) 与送礼物问题 (1)若x人中每两人之间握手一次(x队每两队之间比赛一场)，握手总次数为m(总比赛场数为m)，则⑩ ________＝m (2)若全班有x人，每人向其他人送一份礼物，共送m份礼物，则x(x－1)＝m  知识点一 首页 目录 知识点二 知识点三 知识点四 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 素养积累·考点过关 考点综述 02 15 例1 下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的有(　　) ①x2＋；②|x|＝x＋3；③(x＋2)(x－2)＝x2－2x；④ax2＋bx＋c＝0. A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 考点一 一元二次方程的有关概念 A 首页 目录 考点一 考点二 考点三 考点四 考点五 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 16 例2 (2024·凉山州) 若关于x的一元二次方程(a＋2)x2＋x＋a2－4＝0的一个根是x＝0，则a的值为(　　) A.2 B.－2 C.2或－2 D. A 首页 目录 考点一 考点二 考点三 考点四 考点五 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 1.若方程(a－2)x|4－a|＋7x－1＝0是关于x的一元二次方程，则a的值为__________.  2.(2025·达州) 已知关于x的方程x2＋mx－3＝0的一个根是1，则m的值为__________.  针对训练 6 2 首页 目录 考点一 考点二 考点三 考点四 考点五 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 例3 在初中阶段我们已经学习了一元二次方程的三种解法，它们分别是配方法、公式法和因式分解法，请从下列一元二次方程中任选两个，并解这两个方程. ①x2＋2x－1＝0； 解：利用公式法：这里a＝1，b＝2，c＝－1， Δ＝22－4×1×(－1)＝4＋4＝8＞0， ∴x＝＝－1±. ∴x1＝－1＋，x2＝－1－. 考点二 解一元二次方程 首页 目录 考点一 考点二 考点三 考点四 考点五 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 19 ②x2－3x＝0；③x2－4x＝4； ④x2－4＝0. 解：②利用因式分解法：x(x－3)＝0. ∴x1＝0，x2＝3. ③利用配方法：两边都加上4， 得x2－4x＋4＝8. ∴(x－2)2＝8.∴x－2＝±2. ∴x1＝2＋2，x2＝2－2. ④利用因式分解法：(x＋2)(x－2)＝0. ∴x1＝－2，x2＝2. 首页 目录 考点一 考点二 考点三 考点四 考点五 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 3.(1)解方程：x2－1＝4(x＋1). 解：整理，得(x＋1)(x－1)－4(x＋1)＝0， (x＋1)(x－1－4)＝0，x＋1＝0或x－5＝0. ∴x1＝－1，x2＝5. (2)(2025·徐州) 解方程：x2＋2x－4＝0. 解：配方，得(x＋1)2＝5. ∴x＋1＝或x＋1＝－， 解得x＝－1或x＝－－1. 针对训练 首页 目录 考点一 考点二 考点三 考点四 考点五 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 (3)(2025·广元) 解方程： x2－(＋1)x＋＝0. 解：(x－)(x－1)＝0. ∴x－＝0或x－1＝0， ∴x1＝，x2＝1. 首页 目录 考点一 考点二 考点三 考点四 考点五 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 例4 (2015·达州) 方程(m－2)x2－x＋＝0有两个实数根，则m的取值范围是(　　) A.m＞ B.m≤且m≠2 C.m≥3 D.m≤3且m≠2 考点三 一元二次方程根的判别式 B 首页 目录 考点一 考点二 考点三 考点四 考点五 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 23 4.若方程3x2－6x＋m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围在数 轴上表示正确的是(　　) 针对训练 B A B C D 首页 目录 考点一 考点二 考点三 考点四 考点五 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 5.(2025·广元) 若关于x的一元二次方程(a－1)x2＋(a－1)x－＝0有两个相等的实数根，则a＝__________.  6.已知关于x的一元二次方程ax2＋6x＋1＝0没有实数根，那么a的取值 范围是__________.  －1 a＞9 首页 目录 考点一 考点二 考点三 考点四 考点五 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 例5 (2024·内江) 已知关于x的一元二次方程x2－px＋1＝0(p为常数)有两个不相等的实数根x1和x2. (1)填空：x1＋x2＝__________，x1x2＝__________；  考点四 一元二次方程的根与系数的关系 p 1 首页 目录 考点一 考点二 考点三 考点四 考点五 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 26 (2)求，x1＋； 解：∵x1＋x2＝p，x1x2＝1， ∴＝p. ∵关于x的一元二次方程x2－px＋1＝0(p为常数)有两个不相等的实数根x1和x2， ∴－px1＋1＝0. ∴x1－p＋＝0，即x1＋＝p. 首页 目录 考点一 考点二 考点三 考点四 考点五 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 (3)已知＝2p＋1，求p的值. 解：∵＝2p＋1，x1＋x2＝p，x1x2＝1， ∴(x1＋x2)2－2x1x2＝2p＋1. ∴p2－2＝2p＋1.解得p1＝3，p2＝－1. 当p＝3 时，Δ＝p2－4＝9－4＝5＞0； 当p＝－1 时，Δ＝p2－4＝－3＜0.∴p＝3. 首页 目录 考点一 考点二 考点三 考点四 考点五 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 7.(1)(2024·成都) 若m，n是一元二次方程x2－5x＋2＝0的两个实数根， 则m＋(n－2)2的值为__________.  (2)(2023·达州) 已知x1，x2是方程2x2＋kx－2＝0的两个实数根，且 (x1－2)(x2－2)＝10，则k的值为__________.  (3)(2018·达州) 已知：m2－2m－1＝0，n2＋2n－1＝0且mn≠1，则 的值为__________.  针对训练 7 7 3 首页 目录 考点一 考点二 考点三 考点四 考点五 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 8.如图，四边形ABCD是边长为4的菱形，对角线AC，BD的长分别是一元二次方程x2－mx－x＋2m＝0的两个实数根，DH是AB边上的高，则 DH的长为(　　) A. B. C. D.3 A 首页 目录 考点一 考点二 考点三 考点四 考点五 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 例6 (2025·广元) 如图，在长为12 m，宽为10 m的矩形地面的四周种植花卉， 中间种植草坪.如果要求花卉带的宽度相同，且草坪的面积为总面积的，那 么花卉带的宽度应为多少米?设花卉带的宽度为x m，则可列方程为(　　) A.(12－x)(10－x)＝12×10× B.(12－2x)(10－x)＝12×10× C.(12－x)(10－2x)＝12×10× D.(12－2x)(10－2x)＝12×10× 考点五 一元二次方程的实际应用 D 首页 目录 考点一 考点二 考点三 考点四 考点五 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 31 例7 (2025·达州) 为弘扬达州地方文化，让更多游客了解巴人故里，某文旅公司推出多款文创产品.已知某款巴小虎吉祥物的成本价是30元，当售价为40元时，每天可以售出60件.经调查发现，售价每降价1元，每天可以多售出10件. (1)设该款巴小虎吉祥物降价x元，则每天售出的数量是__________件；  (60＋10x) 首页 目录 考点一 考点二 考点三 考点四 考点五 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 (2)为让利于游客，该款巴小虎吉祥物应该降价多少元，文旅公司每天的利润是630元? 解：由(1)及题意，得 (40－30－x)(60＋10x)＝630. 整理，得x2－4x＋3＝0. 解得x1＝1，x2＝3. 由于要让利于游客，因此x＝1舍去. 答：该款巴小虎吉祥物应该降价3元，文旅公司每天的利润是630元. 首页 目录 考点一 考点二 考点三 考点四 考点五 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 (3)文旅公司每天售卖该款巴小虎吉祥物的利润为W元，当售价为多少元时，每天的利润最大?最大利润是多少? 解：由(1)及题意，得W＝(40－30－x)(60＋10x)＝(10－x)(60＋10x)＝ －10x2＋40x＋600＝－10(x－2)2＋640. ∵－10＜0，∴当x＝2时，W取最大值640，此时40－x＝38. 答：当售价为38元时，每天的利润最大，最大利润是640元. 首页 目录 考点一 考点二 考点三 考点四 考点五 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 9.(2019·达州) 某公司今年4月的营业额为2 500万元，按计划第二季度 的总营业额要达到9 100万元，设该公司5，6两月的营业额的月平均增 长率为x.根据题意列方程，则下列方程正确的是(　　) A.2 500(1＋x)2＝9 100 B.2 500(1＋x%)2＝9 100 C.2 500(1＋x)＋2 500(1＋x)2＝9 100 D.2 500＋2 500(1＋x)＋2 500(1＋x)2＝9 100 针对训练 D 首页 目录 考点一 考点二 考点三 考点四 考点五 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 10.(2025·渠县中学月考) 流感是一种传染性极强的疾病，如果有一人 患病，经过两轮传染后有64人患病，设每轮传染中平均一个人传染了 x个人，下列等式正确的是(　　) A.x2＋x(1＋x)＝64 B.1＋x＋x2＝64 C.(1＋x)2＝64 D.x(1＋x)＝64 C 首页 目录 考点一 考点二 考点三 考点四 考点五 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 11.某个细胞经过两轮分裂后，共分裂出n个细胞，设每轮分裂中一个细胞可以分裂x个新的细胞，则下列方程符合题意的是(　　) A.1＋x＋x2＝n B.(1＋x)2＝n C.x2＝n D.x(x＋1)＝n C 首页 目录 考点一 考点二 考点三 考点四 考点五 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 12. (2023·渠县中学期中) 如图1，有一张长32 cm、 宽16 cm的长方形硬纸片，裁去角上2个小正方形和 2个小长方形(图中阴影部分)之后，恰好折成如图2 所示的有盖纸盒.若纸盒的底面积是130 cm2，则纸 盒的高为(　　) A.2 cm B.2.5 cm C.3 cm D.4 cm C 首页 目录 考点一 考点二 考点三 考点四 考点五 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 13.(2015·达州) 新世纪百货大楼“宝乐”牌童装平均每天可售出20件， 每件盈利40元.为了迎接“六一”儿童节，商场决定采取适当的降价措 施.经调查，如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出2件.要想 平均每天销售这种童装盈利1 200元，则每件童装应降价多少元?设每件 童装应降价x元，可列方程为________________________. (40－x)(20＋2x)＝1 200 首页 目录 考点一 考点二 考点三 考点四 考点五 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 请完成《练测本》P15~16素养练测7 本讲内容结束 $