8.题型8 综合与实践-【中考导学案】2026年四川达州中考数学讲义本配套课件

该初中数学中考复习课件聚焦综合与实践领域核心考点，严格对接中考说明，分析统计与概率、实际应用、跨学科融合等题型的考查权重，通过2025达州、南充等真题归纳五大常考类型，体现备考的系统性和针对性。 课件亮点在于“真题解析+素养培养+策略指导”模式，如2025达州统计题通过图表分析培养数据观念，实际应用问题用方程与函数模型训练数学思维，提供树状图法、几何辅助线等解题技巧，帮助学生高效突破考点，教师可据此优化复习教学，提升冲刺效果。

题型8　综合与实践 《中考导学案》 2026达州数学 1 初中阶段综合与实践领域，可采用项目式学习的方式，以问题解决为导向，整合数学与其他学科的知识和思想方法，让学生从数学的角度观察与分析、思考与表达、解决与阐释社会生活以及科学技术中遇到的现实问题，感受数学与科学、技术、经济、金融、地理、艺术等学科领域的融合，积累数学活动经验，体会数学的科学价值，提高发现与提出问题、分析与解决问题的能力，发展应用意识、创新意识和实践能力. 解题策略 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 例1 (2025·达州) 项目调研 类型一 统计与概率问题 项目主题 阳光学校学生研学需求情况调查 调查人员 数学兴趣小组 调查方法 抽样调查 调研内容 　　阳光学校计划组织学生前往以下5个研学基地中的一个基地进行研学.5个研学基地分别为：A.张爱萍故居；B.王维舟纪念馆；C.万源保卫战纪念馆；D.广子村农业示范园；E.开江白宝塔. 　　数学兴趣小组对本校学生的意向目的地展开抽样调查，并为学校出具了调查报告(每位学生只能选1个研学基地) 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 3 统计数据   首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 4 请阅读上述材料，解决下列问题： (1)请将条形统计图补充完整，意向参加B研学基地人数对应的扇形圆心角度数是__________；  解：被调查参加研学的学生共有20÷10% ＝200(名)，其中参加D研学基地的有200× 15%＝30(名)，参加A研学基地的有200－ 50－40－30－20＝60(名)，补图如图所示.　 90° 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 (2)若该校共有2 000名学生，请你估计全校参加A研学基地的学生人数； 解：2 000×＝600(名). 所以估计全校参加A研学基地的学生有600名. 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 (3)甲同学从B，C，D三个基地中随机选择一个参加研学，乙同学从C，D两个基地中随机选择一个参加研学，请用列表或画树状图的方法，求两位同学选择相同研学基地的概率. 解：画树状图如图所示.由图可知，共有6种等可能的结果，其中两位同学选择相同研学基地的结果有2种，则两位同学选择相同研学基地的概率为. 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 1.(2025·遂宁) DeepSeek横空出世，犹如一声惊雷劈开垄断，跻身世界最强大模型行列，开启我国人工智能崭新的春天.为激发青少年崇尚科学，探索未知的热情，某校开展了“逐梦科技强国”为主题的活动.下面是该校某调查小组对活动中模具设计水平的调查报告，请完成报告中相应问题. 针对训练 调查主题 “逐梦科技强国”活动中模具设计水平 调查目的 通过数据分析，获取信息，能在认识及应用统计图表和百分数的过程中，形成数据观念，发展应用意识. 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 调查对象 某校学生模具设计成绩 调查方式 抽样调查 数据收集 与表示 随机抽取全校部分学生的模具设计成绩(成绩为百分制，用x表示)，并整理，将其分成如下四组：A：60≤x＜70，B：70≤x＜80，C：80≤x＜90，D：90≤x≤100. 下面给出了部分信息：   其中C组的成绩为：80，81，82，82，83，84，84，84，85，85，86，86，86，87，87，88，88，89，89，89. 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 解：B组的人数为50×30%＝15.补全频数分布直方图如图所示. 数据分析 与应用 根据以上信息解决下列问题： (1)本次共抽取了_________名学生的模具设计成绩，成绩的中位数是__________分，在扇形统计图中，C组对应圆心角的度数为__________；  (2)请补全频数分布直方图； 50 83.5 144° 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 解：[1 200×＝720(人).] 数据分析 与应用 (3)估计全校1 200名学生的模具设计成绩不低于80分的有__________人；  720 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 解：画树状图如图所示.由图可知，共有12种等可能的结果，其中所选的两位同学恰为甲和丙的结果有2种，∴所选的两位同学恰为甲和丙的概率为. 数据分析 与应用 (4)学校决定从模具设计优秀的甲、乙、丙、丁四位同学中随机选择两位同学作经验交流，请用画树状图或列表的方法求出所选的两位同学恰为甲和丙的概率. 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 例2 (2025·南充) 学校计划租用客车送师生到某红色基地，参加主题为“缅怀先烈，强国有我”的研学活动，请阅读下列材料，并解决相关问题. 类型二 实际应用类问题 材料一 租车公司有A，B两种型号的客车可供租用，在每辆车满员情况下，每辆A型客车比每辆B型客车多载客15人；用A型客车载客600人与用B型客车载客450人的车辆数相同. 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 13 材料二 A型客车租车费用为3 200元/辆；B型客车租车费用为3 000元/辆. 优惠方案：租用A型客车m辆，租车费用(3 200－50m)元/辆； 租用B型客车，租车费用打八折. 材料三 租车公司最多提供8辆A型客车； 学校参加研学活动的师生共有530人，租用A，B两种型号客车共10辆. 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 (1)A，B两种型号的客车每辆载客量分别是多少? 解：设A型客车每辆载客量是x人，则B型客车每辆载客量是(x－15)人.根据题意，得.解得x＝60.经检验，x＝60是所列方程的解，且符合题意.∴x－15＝60－15＝45(人). 答：A型客车每辆载客量是60人，B型客车每辆载客量是45人. 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 (2)本次研学活动学校的最少租车费用是多少? 解：设租用A型客车m辆，则租用B型客车(10－m)辆.根据题意，得60m＋45(10－m)≥530.解得m≥.又m≤8，∴≤m≤8.设本次研学活动学校的租车总费用为w元，则w＝(3 200－50m)m＋3 000×0.8(10－m)＝－50m2＋800m＋24 000，其图象开口向下，对称轴为直线m＝－＝8.∴当m≤8时，w随着m的增大而增大.∵m取正整数，且≤m≤8，∴当m＝6时，w取得最小值，最小值为－50×62＋800×6＋24 000＝27 000(元). 答：本次研学活动学校的最少租车费用是27 000元. 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 2.(2025·云南) 请你根据下列素材，完成有关任务. 针对训练 背景 某校计划购买篮球和排球，供更多学生参加体育锻炼，增强身体素质. 素材一 购买2个篮球与购买3个排球需要的费用相等； 素材二 购买2个篮球和5个排球共需800元； 素材三 该校计划购买篮球和排球共60个，篮球和排球均需购买，且购买排球的个数不超过购买篮球个数的2倍. 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 解：设每个篮球的价格是x元，每个排球的价格是y元.根据题意，得 解得 答：每个篮球的价格是150元，每个排球的价格是100元. 任务 任务一 每个篮球、每个排球的价格分别是多少元? 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 解：设购买m个篮球，该校购买篮球和排球共花费w元，则购买(60－m)个排球. 根据题意，得w＝150m＋100(60－m)＝50m＋6 000.∵50＞0，∴w随m的增大而增大. 由60－m≤2m，解得m≥20.∴当m＝20时，w取得最小值，此时60－m＝60－20＝40(个). 答：最节省费用的购买方案是购买20个篮球和40个排球. 任务 任务二 给出最节省费用的购买方案. 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 3.(2025·新疆)某数学兴趣小组在校园内开展综合实践活动，撰写实验报告如下： 实验主题 测量校徽的高度 工具准备 测角仪，卷尺等 实验 过程 1.站在与教学楼底部A同一水平地面的B处，由于大树CD的遮挡，视线恰能看到悬挂的校徽顶部E处(此时F，C，E三点在同一直线上)； 2.测量A，D两点和B，D两点间的距离； 3.用测角仪测得从眼睛F处看校徽顶部E处的仰角∠EFG； 4.向后退至点H处时，视线恰能看到校徽底部M处(此时N，C，M三点在同一直线上)，测量B，H两点间的距离； 5.用测角仪测得从眼睛N处看校徽底部M处的仰角∠MNG. 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 实验 图示   测量 数据 1.AD＝4 m； 2.BD＝10 m； 3.BH＝13.5 m； 4.∠EFG＝43°； 5.∠MNG＝21.8°. 备注 1.图上所有点均在同一平面内； 2.AE，CD，FB，NH均与地面垂直. 参考数据：sin 21.8°≈0.37，cos 21.8°≈0.93，tan 21.8°≈0.40； sin 43°≈0.68，cos 43°≈0.73，tan 43°≈0.93. 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 请你根据以上实验过程和测量的数据， 计算校徽的高度EM. 解：由题意，得四边形FGAB，四边 形NHAG都是矩形. ∴FG＝AB＝AD＋BD＝4＋10＝14(m)，NG＝AH＝AD＋DB＋BH＝4＋10＋13.5＝27.5(m). 在Rt△EFG中，tan∠EFG＝，∴tan 43°＝≈0.93.∴EG≈14×0.93＝13.02(m). 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 在Rt△MNG中，tan∠MNG＝， ∴tan 21.8°＝≈0.40，∴MG≈ 27.5×0.40＝11(m). ∴EM＝EG－MG≈13.02－11＝2.02(m). 答：校徽的高度EM约为2.02 m. 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 4.(2025·达高三诊) 为加快乡村振兴，提升人民幸福感.某村安装如图所示的户外太阳能路灯，它是由灯杆AB和灯管支架BC两部分构成，现测得灯管支架BC与灯杆AB的夹角∠ABC＝120°，小娜同学想知道灯管支架BC的长度，借助相关仪器进行测量后结果如下表： 测量项目 测量数据 图示 在D处测得灯杆顶部B处仰角α α＝30°   在E处测得灯管支架C处仰角β β＝60° 点D到灯杆底A的水平距离 AD＝9 m 点E到灯杆底A的水平距离 AE＝6.00 m 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 求灯管支架BC的长度.(参考数据：≈1.732，结果保留到0.01 m) 解：根据题意，得AB⊥AD，α＝∠D＝30°， AD＝9 m，tan D＝tan 30°＝. ∴AB＝AD＝×9＝9(m). 过点C作CF⊥AD于点F，过点B作BG⊥CF于点G，则∠CFA＝∠CFE＝90°，∠BGF＝∠BGC＝90°.∴∠A＝∠AFG＝∠BGF＝90°.∴∠ABG＝90°，FG＝AB＝9 m，AF＝BG. 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 ∴∠CBG＝∠ABC－∠ABG＝120°－90°＝30°. 设AF＝BG＝x m.∴EF＝AE－AF＝(6－x) m.在Rt△CFE中，β＝∠CEF＝60°， ∴∠ECF＝30°.∴CE＝2EF＝2(6－x) m. ∴CF＝EF＝(6－x) m. ∵∠CBG＝30°，∴CG＝x m. ∵CG＋GF＝CF，∴x＋9＝(6－x).∴x＝. 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 ∴BG＝ m. ∵cos∠CBG＝cos 30°＝， ∴BC＝BG＝× ≈≈0.70(m). 答：灯管支架BC的长度约为0.70 m. 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 例3 (2023·达州) 【背景】在一次物理实验中，小冉同学用一固定电压为12 V的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变电流大小，完成控制灯泡L(灯丝的阻值RL＝2 Ω)亮度的实验(如图)，已知串联电路中，电流与电阻R，RL之间关系为 I＝，通过实验得出如下数据： 类型三 跨学科融合问题 R/Ω … 1 a 3 4 6 … I/A … 4 3 2.4 2 b … (1)a＝__________，b＝__________；  2 1.5 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 28 (2)【探究】根据以上实验，构建出函数y＝(x≥0)，结合表格信息，探究函数y＝(x≥0)的图象与性质. ①在平面直角坐标系中画出对应函数y＝(x≥0) 的图象； 解：对应函数的图象如图中曲线所示.　 ②随着自变量x的不断增大，函数值y的变化趋势是__________；  不断减小 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 (3)【拓展】结合(2)中函数图象分析，当x≥0时，≥－x＋6的解集为_________________.  x≥2或x＝0 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 5.实验是培养学生的创新能力的重要途径之一.如图是小红同学安装的化学实验装置，安装要求为试管略向下倾斜，试管夹应固定在距试管口的三分之一处.已知试管倾斜角α为10°，AB＝30 cm，BE＝AB. 针对训练 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 (1)求酒精灯与铁架台的水平距离CD的长度； 解：过点E作EG⊥AC于点G，则CD＝GE. ∵AB＝30 cm，BE＝AB，∴BE＝10 cm， AE＝20 cm. ∵∠AEG＝α＝10°，∴GE＝AE·cos α＝ 20×cos 10°≈19.6(cm).∴CD≈19.6 cm. 答：CD的长度约为19.6 cm. 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 (2)实验时，当导气管紧贴水槽MN，延长BM交CN的延长线于点F(点C，D，N，F在一条直线上)，测得DE＝21.7 cm，MN＝8 cm，∠ABM＝145°.求线段DN的长度.(参考数据：sin 10°≈0.17，cos 10°≈0.98，tan 10°≈0.18) 解：过点B作BH⊥CF于点H，BP⊥DE于 点P，过点M作MQ⊥BH于点Q，则PD＝ BH，QH＝MN＝8 cm，BP＝DH，QM＝HN. ∵BP＝BE·cos α＝10×cos 10°≈9.8(cm)， EP＝BE·sin α＝10×sin 10°≈1.7(cm)， 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 ∴DH≈9.8 cm.∵DE＝21.7 cm，∴PD＝DE －EP≈21.7－1.7＝20(cm).∴BH≈20 cm. ∵QH＝8 cm，∴BQ＝BH－QH≈20－8＝ 12(cm). ∵∠ABM＝145°，∴∠QBM＝∠ABM－α－90°＝145°－10°－90°＝45°. ∴QM＝BQ≈12 cm.∴HN≈12 cm.∴DN＝DH＋HN≈9.8＋12＝21.8(cm). 答：线段DN的长度约为21.8 cm. 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型四 实践操作类问题 例4 (2025·眉山) 综合与实践 【问题情境】下面是某校数学社团在一次折纸活动中的探究过程. 【操作实践】如图1，将矩形纸片ABCD沿过点C 的直线折叠，使点B落在边AD上的点B'处，折痕 交AB于点E，再沿着过点B'的直线折叠，使点D 落在B'C上的点D'处，折痕交CD于点F.将纸片展 平，画出对应点B'，D'及折痕CE，B'F，连接 B'E，B'C，D'F. 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 35 【初步猜想】(1)确定CE和B'F的位置关系及线段BE和CF的数量关系. 创新小组经过探究，发现CE∥B'F，证明过程如下： 由折叠可知∠DB'F＝∠CB'F＝∠DB'C，∠ECB'＝∠ECB＝∠BCB'. 由矩形的性质，可知AD∥BC，∴∠DB'C＝∠BCB'. ∴①__________________.∴CE∥B'F.  智慧小组先测量BE和CF的长度，猜想其关系 为②__________.  ∠ECB'＝∠CB'F BE＝CF 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 经过探究，发现验证BE和CF数量关系的方法不唯一： 方法一：证明△AB'E≌△D'CF，得到B'E＝CF，再由B'E＝BE可得结论. 方法二：过点B'作AB的平行线交CE于点G，构造 平行四边形CFB'G，然后证B'G＝B'E可得结论. 请补充上述过程中横线上的内容. 【推理证明】(2)请你结合智慧小组的探究思路，选择一种方法验证BE和CF的数量关系，写出证明过程. 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 解：(答案不唯一)选择方法二：图1中，过点B作B'G∥AB交CE于点G，则B'G∥AB∥CD. ∵CE∥B'F，∴四边形CFB'G为平行四边形. ∴B'G＝CF. ∵AB∥B'G，∴∠B'GE＝∠BEC.由折叠可知 ∠B'EC＝∠BEC，B'E＝BE. ∴∠B'GE＝∠B'EC.∴B'E＝B'G.∴B'E＝CF.∴BE＝CF. 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 【尝试运用】(3)如图2，在矩形ABCD中，AB ＝6，按上述操作折叠并展开后，过点B'作B'G ∥AB交CE于点G，连接D'G.当△B'D'G为直角 三角形时，求出BE的长. 解：∵B'G∥AB，∴∠GB'D＝∠A＝90°. 由(2)可知B'E＝CF.易得CD'＝AB'，△AB'E≌△D'CF(AAS).∴D'F＝AE. 设BE＝x，则B'G＝B'E＝CF＝x，D'F＝AE＝AB－BE＝6－x. 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 ∴CD'＝AB'＝. 当∠B'GD'＝90°时，△B'D'G为直角三角形. ∴∠GB'D＋∠B'GD'＝180°. ∴GD'∥AD∥BC.∴∠D'GC＝∠ECB. 又∵∠GCD'＝∠ECB，∴∠D'GC＝∠GCD'. ∴D'G＝D'C＝. ∵B'G∥AB∥CD，∴∠GB'D'＝∠FCD'. ∴在Rt△B'GD'和Rt△CD'F中，tan∠GB'D'＝tan∠FCD'. 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 ∴，即. ∴x(6－x)＝12x－36. 解得x＝3－3或x＝－3－3(舍去). ∴BE＝3－3； 当∠GD'B'＝90°时，如答图，∵∠B'D'F＝∠D＝90°， ∴∠GD'B'＋∠B'D'F＝180°.∴G，D'，F三点共线.∴B'C⊥GF. ∵四边形CFB'G是平行四边形，∴四边形CFB'G是菱形. 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 ∴∠GCD'＝∠FCD'.∵∠GCD'＝∠GCB， ∴∠GCD'＝∠GCB＝∠FCD'＝30°. ∴CF＝2D'F. 设CF＝a，则DF＝D'F＝6－a.∴a＝2(6－a). 解得a＝4.∴BE＝CF＝4. 综上所述，BE的长为3－3或4. 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 6.某校数学课外活动小组用一张矩形纸片(如图1，矩形ABCD中，AB＞AD且AB足够长)进行探究活动. 针对训练 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 【动手操作】如图2，第一步，沿点A所在直线折叠，使点D落在AB上的点E处，折痕为AF，连接EF，把纸片展平. 第二步，把四边形AEFD折叠，使点A与点E重合，点D与点F重合，折痕为GH，再把纸片展平. 第三步，连接GF. 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 【探究发现】根据以上操作，甲、乙两同学分别写出了一个结论. 甲同学的结论：四边形AEFD是正方形.　　　　 乙同学的结论：tan∠AFG＝. (1)请分别判断甲、乙两同学的结论是否正确.若正确，写出证明过程；若不正确，请说明理由. 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 解：甲同学和乙同学的结论都正确.证明： ∵四边形ABCD是矩形，∴∠D＝∠BAD＝ 90°.由折叠，得∠D＝∠AEF＝90°＝ ∠DAE.∴四边形AEFD是矩形.又AD＝AE， ∴四边形AEFD是正方形.故甲同学的结论正确.图2中，过点G作GK ⊥AF于点K.设AE＝2x，则AG＝EG＝x.∵四边形AEFD是正方形，∴∠EAF＝45°.∴AF＝2x，AK＝KG＝AG＝x.∴FK＝AF－AK＝x.∴tan∠AFG＝.故乙同学的结论也正确. 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 【继续探究】在上面操作的基础上，丙同学 继续操作.如图3，第四步，沿点G所在直线 折叠，使点F落在AB上的点M处，折痕为GP， 连接PM，把纸片展平. 第五步，连接FM交GP于点N. 根据以上操作，丁同学写出了一个正确结论： FN·AM＝GN·AD. (2)请证明这个结论. 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 证明：图3中，过点G作GQ⊥PM交PM延长线于 点Q.由折叠，得FP＝PM，FG＝GM，GH＝GQ， ∠FPG＝∠MPG，PH＝PQ.∵AB∥CD，∴∠FPG ＝∠PGM.∴∠PGM＝∠MPG.∴PM＝GM.∴PF＝ GM＝PM＝FG.∴四边形FGMP是菱形.∴∠FNG＝ 90°＝∠GQP.又∵∠FGN＝∠GPQ，∴△GFN∽ △PGQ.∴.∴FN·PQ＝GN·GQ.∵AM＝AG＋GM＝HF＋FP＝PH，∴AM＝PQ.∵GQ＝GH＝AD，∴FN·AM＝GN·AD. [另法：图3中，连接DM，证△ADM∽△NFG也可.] 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 例5 (2025·达州) 综合与实践 问题提出：探究图形中线段之间的数量关系，通常将一个图形分割成几个图形，根据面积不变，获得线段之间的数量关系. 探究发现：如图1，在△ABC中，AC＝BC，P是AB边上 一点，过点P作PD⊥AC于点D，PE⊥BC于点E，过点A 作AF⊥BC于点F，连接CP，由图形面积分割法，得 S△ABC＝S△APC＋__________，则AF＝__________＋ __________；  类型五 探究迁移类问题 S△BPC PD PE 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 49 实践应用：如图2，△ABC是等边三角形，AC＝3， G是AB边上一点，连接CG，将线段CG绕点C逆时 针旋转60°得CF，连接GF交BC于点P，过点P作 PD⊥CG于点D，PE⊥CF于点E，当AG＝1时， 求PD＋PE的值； 解：图2中，过点G作GM⊥AC于点M. ∵△ABC为等边三角形，∴∠A＝60°. 在Rt△AMG中，AG＝1，∴AM＝AG·cos 60°＝， 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 GM＝AG·sin 60°＝. ∵AC＝3，∴CM＝AC－AM＝.在Rt△CGM中， CG＝. ∵将线段CG绕点C逆时针旋转60°得CF，∴CG＝CF，∠GCF＝60°. ∴△CGF是等边三角形.∴GF＝CF＝CG＝，∠F＝60°. 图2中，过点G作GN⊥CF于点N.在Rt△GFN中，GN＝GF·sin 60°＝. 由探究发现可知PD＋PE＝GN＝. 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 拓展延伸：如图3，已知AB是半圆O的直径， AC，BE是弦，AC＝BE，P是AB上一点， PD⊥AC，垂足为D，AB＝10，AD＝2， BD＝4，求S△PAC＋S△PBE的值. 解：图3 中，延长AC，BE交于点Q，连接BC， 过点P作PM⊥BE于点M. 设CD＝x，则AC＝2＋x.∵AB为半圆O的直径， ∴∠ACB＝90°. 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 ∵AB＝10，BD＝4，∴在Rt△ACB中，BC2 ＝AB2－AC2＝102－(2＋x)2. 在Rt△BCD中，BC2＝BD2－CD2＝(4)2－x2. ∴102－(2＋x)2＝(4)2－x2.解得x＝4. ∴BE＝AC＝2＋x＝6.∴.∴ ，即.∴∠ABE＝∠BAC.∴△ABQ为等腰三角形，AQ＝BQ. 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 ∵PD⊥AC，BC⊥AC，PM⊥BE，∴由探究发现 可知BC＝PD＋PM. 在Rt△ABC中，BC＝＝ 8，∴PD＋PM＝8.∴S△PAC＋S△PBE＝AC·PD＋ BE·PM＝×6×PD＋×6×PM＝3(PD＋PM) ＝3×8＝24. 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 7.(2025·成都) 如图，在▱ABCD中，点E在BC边上， 点B关于直线AE的对称点F落在▱ABCD内，射线AF 交射线DC于点G，交射线BC于点P，射线EF交CD 边于点Q. 【特例感知】(1)如图1，当CE＝BE时，点P在BC延长线上，求证：△EFP≌△ECQ； 针对训练 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 证明：由轴对称的性质，得∠B＝∠AFE，BE＝FE. ∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD. ∴∠B＝∠PCG.∴∠AFE＝∠PCG.∴∠EFP＝∠ECQ. ∵CE＝BE，BE＝EF，∴EF＝EC. 又∵∠FEP＝∠CEQ，∴△EFP≌△ECQ(ASA). 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 【问题探究】(2)在(1)的条件下，若CG＝3，GQ＝5，求DQ的长； 解：∵△EFP≌△ECQ，∴EQ＝EP，∠CQE＝∠P. ∵EF＝EC，∴FQ＝CP. ∵∠FGQ＝∠CGP，∠CQE＝∠P，∴△FQG≌ △CPG(AAS).∴FG＝CG＝3，GP＝GQ＝5. 由折叠的性质，得AF＝AB. ∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD.∴△CPG∽△BPA. ∴，即.∴AB＝12.∴CD＝12.∴DQ＝CD－CG－QG＝4. 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 【拓展延伸】(3)如图2，当CE＝2BE时，点P在BC边 上，若，求的值.(用含n的代数式表示) 解：图2中，延长AD，EQ交于点M.设CQ＝a，BE＝b. ∵，CE＝2BE，∴DQ＝an，CE＝2b. ∴AB＝CD＝(n＋1)a，AD＝3b. ∵△ABE与△AFE关于AE对称， ∴AF＝AB＝(n＋1)a. 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 ∵AD∥BC，即DM∥EC，∴△DQM∽ △CQE.∴，即＝n.∴DM＝2nb. ∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B＋ ∠ECQ＝180°. 又∵△ABE与△AFE关于AE对称，∴∠AFE＝∠B. ∵∠AFE＋∠EFP＝180°，∴∠ECQ＝∠EFP. 又∵∠FEP＝∠CEQ，∴△FEP∽△CEQ.∴，即. 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 ∴PF＝a. ∵AD∥BC，∴△AMF∽△PEF.∴， ∴.∴PE＝b. ∴PC＝CE－PE＝2b－b＝b. 又∵PC∥AD，∴△GPC∽△GAD.∴. 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 8.(2025·广元) 综合与实践 (1)【初步感知】如图1，在△ABC和△ADE中，∠C＝90°，AE·AB＝AD·AC，∠CAD＝∠EAB，求∠E的度数； 解：∵∠CAD＝∠EAB，∴∠CAD＋∠DAB＝∠EAB ＋∠DAB，即∠BAC＝∠DAE. ∵AE·AB＝AD·AC，∴.∴△ABC∽△ADE. ∴∠C＝∠E. ∵∠C＝90°，∴∠E＝∠C＝90°. 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 (2)【深入探究】如图2，在矩形ABCD中，AB＝3， BC＝4，E是线段BC上一点，连接AE，过点A在AE 上方作FA⊥EA，使S△AEF＝S矩形ABCD，连接DF， 请证明△ABE∽△AFD，并直接写出点F到BC的距 离的最大值； 证明：∵FA⊥EA，S△AEF＝S矩形ABCD， ∴AF·AE＝AB·AD，即AF·AE＝AB·AD.∴. 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 ∵四边形ABCD是矩形，BC＝4，∴∠BAD＝ ∠B＝90°，AD＝BC＝4. ∵FA⊥EA，∴∠FAE＝90°.∴∠FAD＝∠BAE＝ 90°－∠DAE.∴△AFD∽△ABE. ∴∠AFD＝∠B＝90°.∴点F在以AD为直径的圆上 运动. ∵AB＝3，∴点F到BC的最大距离为AD＋AB＝×4＋3＝5. 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 (3)【学以致用】如图3，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝AB＝8，BC＝16，E是线段AB的中点，F是线段BC上一点，连接EF，过点E在EF上方作GE⊥FE，使S△EFG＝S梯形ABCD，当△ADG的面积最小时，求EG的长. 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 解：∵在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝AB＝8，BC＝16， ∴S△EFG＝S梯形ABCD＝×(AD＋BC)×AB＝×(8＋16)×8＝12. ∵GE⊥FE，∴GE·EF＝12，即GE·EF＝24.∵E是线段AB的中点，∴BE＝AB＝4. 如答图，在BC上截取BQ＝6，作矩形 BEPQ，则PE＝QB＝6，∠PEB＝∠B ＝90°，连接PG. 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 ∴BE·PE＝4×6＝24.∴BE·PE＝ GE·EF.∴. 又∵∠GEF＝∠PEB＝90°，∴∠GEP ＝∠FEB＝90°－∠PEF.∴△PEG∽ △FEB.∴∠PGE＝∠FBE＝90°. ∴点G在PE为直径的圆上.∴当△ADG的面积最小时，点G在过点O且垂直于PE的直线上，此时△PGE是等腰直角三角形.∴EG＝PG＝PE＝3. 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 9.(2021·达州) 某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究： 【观察与猜想】 (1)如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别是AB， AD上的点，连接DE，CF，DE⊥CF，则的值为 __________；  图1 1 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 (2)如图2，在矩形ABCD中，AD＝7，CD＝4，点E是AD上的一点，连接CE，BD，且CE⊥BD，则的值为__________；  图2　   首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 【类比探究】 (3)如图3，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，点E为AB上一点，连接DE，过点C作DE的垂线交ED的延长线于点G，交AD的延长线于点F，求证：DE·AB＝CF·AD； 图3 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 证明：图3中，过点C作CH⊥AF交AF的延长 线于点H. ∵CG⊥EG，∴∠G＝∠H＝∠A＝∠B＝90°. ∴四边形ABCH为矩形. ∴AB＝CH，∠FCH＋∠CFH＝∠DFG＋ ∠FDG＝90°. ∵∠DFG＝∠CFH，∴∠FCH＝∠FDG＝∠ADE.∴△DEA∽△CFH. ∴.∴.∴DE·AB＝CF·AD. 图3 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 【拓展延伸】 (4)如图4，在Rt△ABD中，∠BAD＝90°，AD＝9，tan ∠ADB＝，将△ABD沿BD翻折，点A落在点C处得△CBD，点E，F分别在边AB，AD上，连接DE，CF，DE⊥CF. 图4 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 ①求的值； 解：图4中，过点C作CG⊥AD于点G，连接 AC交BD于点H，CG与DE交于点O. ∵CF⊥DE，GC⊥AD，∠BAD＝90°， ∴∠FCG＋∠CFG＝∠CFG＋∠ADE＝90°， ∠DAE＝∠CGF＝90°.∴∠FCG＝∠ADE.∴△DEA∽△CFG.∴. 图4 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 在Rt△ABD中，tan∠ADB＝，AD＝9，∴AB＝3. 在Rt△ADH中，tan∠ADH＝，∴. 设AH＝a，则DH＝3a.∵AH2＋DH2＝AD2， ∴a2＋(3a)2＝92. ∴a＝(负值已舍去).∴AH＝，DH＝. 由翻折，得AD＝CD＝9，BD⊥AC. ∴AC＝2AH＝.∵S△ADC＝AC·DH＝AD·CG， ∴×××9×CG.∴CG＝.∴. 图4 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 ②连接BF，若AE＝1，直接写出BF的长度. 解：BF＝.　[在Rt△ACG中AG＝ . 由①知，△CFG∽△DEA.∴. 又∵，AE＝1，∴GF＝. ∴AF＝AG－GF＝. ∴BF＝.] 图4 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 10.(2020·达州) (1)【阅读与证明】如图1，在正△ABC的外角∠CAH内引射线AM，作点C关于AM的对称点E(点E在∠CAH内)，连接BE，BE，CE分别交AM于点F，G. 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 75 ①完成证明： ∵点E是点C关于AM的对称点，∴∠AGE ＝90°，AE＝AC，∠1＝∠2. ∵正△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝AC， ∴AE＝AB，得∠3＝∠4. 在△ABE中，∠1＋∠2＋60°＋∠3＋∠4 ＝180°，∴∠1＋∠3＝__________°.  在△AEG中，∠FEG＋∠3＋∠1＝90°，∴∠FEG＝__________°.  60 30 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 ②求证：BF＝AF＋2FG. 证明：图1中，连接CF，在FB上取一点T，使 得FT＝CF，连接CT.∵C，E关于AM对称， ∴AM垂直平分线段EC.∴FE＝FC.∴∠FEC＝ ∠FCE＝30°，FC＝2FG.∴∠CFT＝∠FEC＋ ∠FCE＝60°.∵FC＝FT，∴△CFT是等边三 角形.∴∠ACB＝∠FCT＝60°，CF＝CT＝FT.∴∠BCT＝∠ACF.又∵CB＝CA，∴△BCT≌△ACF(SAS).∴BT＝AF.∴BF＝BT＋FT＝AF＋FC＝AF＋2FG. 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 (2)【类比与探究】把(1)中的“正△ABC”改为 “正方形ABDC”，其余条件不变，如图2所示. 类比探究，可得： ①∠FEG＝__________°； 45 解：[图2中，连接BC.∵AB＝AC＝AE，∴点A是△ECB的外接圆的圆心.∴∠BEC＝∠BAC.∵∠BAC＝90°，∴∠FEG＝45°.]　 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 ②线段BF，AF，FG之间存在数量关系为______________________.  解：[图2中，连接CF，在FB上取一点T，使得FT ＝CF，连接CT.∵AM⊥EC，CG＝GE，∴FC＝ EF.∴∠FEC＝∠FCE＝45°，CF＝FG. ∴∠CFT＝∠FEC＋∠FCE＝90°.∵CF＝FT， ∴△CFT是等腰直角三角形.∴CT＝CF. ∵△ABC是等腰直角三角形，∴BC＝AC.∴.∵∠BCA＝∠TCF＝45°，∴∠BCT＝∠ACF.∴△BCT∽△ACF.∴.∴BT＝AF.∴BF＝BT＋FT＝BT＋CF＝AF＋FG.] BF＝AF＋FG 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 (3)【归纳与拓展】如图3，点A在射线BH上， AB＝AC，∠BAC＝α(0°＜α＜180°)，在 ∠CAH内引射线AM，作点C关于AM的对称 点E(点E在∠CAH内)，连接BE，BE，CE分 别交AM于点F，G，则线段BF，AF，GF之 间的数量关系为_________________________.  BF＝2AF·sinα＋ 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 解：[图3中，连接CF，BC，在BF上取一点T，使得FT＝CF.∵AB＝AC，∠BAC＝α，∴＝sin.∴＝2sin.∵AB＝AC＝AE，∴∠BEC＝∠BAC＝.∵sin∠BEC＝，∴EF＝.∵FC＝FE，∴∠FEC＝∠FCE＝.∴∠CFT＝∠FEC＋∠FCE＝α.易证△BCT∽△ACF.∴＝2sin.∴BT＝2AF·sin.∴BF＝BT＋FT＝ 2AF·sin＋EF， 即BF＝2AF·sin.] 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 81 本讲内容结束 $