第十九章 二次根式 提优练习 2025-2026学年人教版数学八年级下册

第十九章 二次根式 单元复习题 一、单选题 1．给出下列各式：①；②6；③；④；⑤；⑥．其中二次根式的个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．化简的结果是（    ） A．25 B． C． D． 3．下列二次根式中，属于最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 4．下列计算结果正确的是（    ） A． B． C． D． 5．已知为实数，，则的算术平方根为（   ） A． B． C． D． 6．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（　　） A． B． C． D． 7．使二次根式有意义的的值为(　　) A． B． C． D． 8．估计的值应在（     ） A．6和7之间 B．7和8之间 C．8和9之间 D．9和10之间 二、填空题 9．计算的结果是 ． 10．若式子有意义，则的值可以为 ． 11．如果一个正方形的面积为12，则这个正方形的边长为 ． 12．比较大小： （填“>”“<”或“=”）． 13．现定义一个新运算“※”，规定对于任意实数，都有，则的值为 ． 14．若等式成立，则x的取值范围为 ． 15．阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件，并回答下面的问题． 化简： 解：隐含条件，解得； 所以； 所以原式． （1）按照上面的解法，化简： ； （2）若，求的取值范围： ． 16．若的整数部分为，小数部分为，则代数式的值是 ． 17．已知，求代数式的值是 ． 18．若，则x的取值范围是 ． 三、解答题 19．计算 (1) (2) 20．计算： (1) (2) (3) (4) 21．在当今时代，国家人才培养和筛选机制正经历重大转变，以往单纯依靠死记硬背和题海战术的学习方式，已难以适应新的人才需求，自学能力逐渐成为孩子成长过程中不可或缺的关键因素．小知在家学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如： ， 根据以上信息，解答下列问题． (1)填空：（__________）． (2)①将化成另一个式子的平方． ②化简：． (3) 当，且，，均为正整数时，直接写出的值． 22．阅读下面的文字，解答问题：大家都知道是无理数，而且，即，无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 又例如：①，即的整数部分为1，小数部分为． ②，即的整数部分为2，小数部分为． 请解答： (1)的整数部分为_______，小数部分为_______； (2)设的整数部分为a，小数部分为b，求的值． 23．先来看一个有趣的现象：．这里根号里的因数2经过适当的演变，竟“跑”到了根号的外面，我们不妨把这种现象称为“穿墙”，具有这一性质的数还有许多，如：，等等． (1)猜想：＝ ，并验证你的猜想； (2)你能只用一个正整数n（n≥2）来表示含有上述规律的等式吗？ (3)证明你找到的规律； (4)请你另外再写出1个具有“穿墙”性质的数． 24．【阅读理解】 ； ； ； … 两个含有二次根式的式子相乘，积不含有二次根式，则称这两个式子互为有理化因式．爱动脑筋的小明同学在进行二次根式计算时，利用有理化因式化去分母中的根号． 例1：． 例． 【问题解决】 (1)的有理化因式是________． (2)化简：． (3)求的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．B 【分析】本题考查了二次根式的定义，熟练掌握二次根式的定义是解题的关键； 根据二次根式的定义，一般地，把形如的式子叫做二次根式逐项判断即可． 【详解】解：， 是二次根式，故①符合题意； 6不是二次根式，故②不符合题意； ， 不是二次根式，故③不符合题意； ， ， 是二次根式，故④符合题意； ， 是二次根式，故⑤符合题意； 是三次根式，故⑥不符合题意； 综上所述，二次根式有个， 故选：B． 2．C 【分析】直接利用二次根式的性质化简求出答案． 【详解】解：． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了二次根式的化简，正确掌握二次根式的性质是解题关键． 3．D 【分析】本题考查了最简二次根式的判定．最简二次根式是指被开方数不能化简的二次根式．据此判定即可． 【详解】解：A、，可化简，原式不是最简二次根式； B、，可化简，原式不是最简二次根式； C、，可化简，原式不是最简二次根式； D、不可化简，原式是最简二次根式，符合题意． 故选：D． 4．D 【分析】根据二次根式的乘法，除法，加减法的计算法则求解判断即可． 【详解】解：A、与不是同类二次根式，不能合并，故不符合题意； B、，计算错误，故不符合题意； C、，计算错误，故不符合题意； D、，计算正确，故符合题意； 故选D． 【点睛】本题主要考查了二次根式的加减法，乘法和除法计算，熟知相关计数法则是解题的关键． 5．A 【分析】本题考查二次根式有意义的条件以及算术平方根的定义，根据二次根式有意义的条件即可求出a与b的值，再计算的值，求算术平方根即可． 【详解】由题意可知： ， 解得：， ∴， ∴， ∴， ∴的算术平方根是2， 故选：A． 6．A 【分析】先将二次根式化简为最简二次根式，再看被开方数是否相同即可． 【详解】解：A、与是同类二次根式，故A符合题意； B、与不是同类二次根式，故B不符合题意； C、与是同类二次根式，故C不符合题意； D、与不是同类二次根式，故D不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题主要考查同类二次根式和化简二次根式，熟练掌握同类二次根式的概念是解题的关键． 7．D 【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件列出不等式，即可得出结论． 【详解】解：由题意得，， 解得，， 故x的值可以为， 故选：D． 8．C 【分析】本题考查了二次根式的乘法，无理数的估算． 先计算，得到，然后通过估计的值确定范围 【详解】解：， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴值在8和9之间． 故选：C． 9． 【分析】直接利用二次根式的加减运算法则计算得出答案． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了二次根式的加减运算，正确掌握运算法则是解题关键． 10．1（答案不唯一） 【分析】根据分式和二次根式有意义的条件，进行纠结即可． 【详解】∵式子有意义 ∴ 解得 且 故答案为：1（答案不唯一） 【点睛】本题考查二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，属于基础题． 11． 【分析】本题考查了二次根式的性质，根据正方形的面积公式正确建立等式是解题关键． 设这个正方形的边长为，再根据正方形的面积公式和二次根式的性质即可得． 【详解】解：设这个正方形的边长为， 由题意得：， 解得或（不符题意，舍去）， 故答案为：． 12．＜ 【分析】本题考查了二次根式的大小比较，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 先求出两个数的平方，再比较即可． 【详解】解：∵，，， ∴． 故答案为：＜． 13．/ 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，二次根式的性质，掌握相关运算法则是解题关键．根据新定义运算计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 14． 【分析】此题主要考查了二次根式的性质，二次根式有意义的条件，解不等式组，直接利用二次根式的性质，二次根式有意义的条件，得出关于的不等式组，进而求出答案． 【详解】解：等式成立， ， 解得：． 故答案为：． 15． 【分析】本题考查了化简二次根式，绝对值，熟练掌握二次根式性质和二次根式有意义的条件，是解题的关键． （1）先根据题意得到，据此化简二次根式即可； （2）先将化简为，然后分类讨论：当时，当时，当时，根据绝对值的意义分别化简，得出结论即可． 【详解】（1）∵二次根式有意义， ∴，即， ， ∴原式 ； （2）， ∴， 当时，； 当时，； 当时，； ∴x的取值范围是． 16．1 【分析】先由得到，进而得出和，代入求解即可． 【详解】解：∵ ， ∴， ∵ 的整数部分为，小数部分为， ∴，． ∴， 故答案为：1． 【点睛】本题主要考查无理数的估算及二次根式的运算，解决本题的关键是要熟练掌握无理数估算方法和无理数整数和小数部分的求解方法． 17．14 【分析】根据，整体代入计算即可． 本题考查了平方差公式的应用，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴ ∴， 故答案为：14． 18． 【分析】本题考查了二次根式的性质，化简绝对值． 根据二次根式的性质得到，再分三种情况作答即可． 【详解】． ①当时，， 所以原式， 当时，，舍去； ②当时，， 所以原式； ③当8时，， 所以原式， 当时，，舍去． 所以当时，的取值范围是， 故答案为． 19．(1) (2) 【分析】此题考查了二次根式的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）直接利用二次根式的除法法则计算即可； （2）先计算乘法，再计算除法即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 20．(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查二次根式的混合运算． （1）先去括号，分别进行二次根式的乘法运算，再进行加减计算即可； （2）根据平方差和完全平方公式进行去括号，再进行二次根式的运算即可； （3）先将括号内的二次根式化简合并，再进行除法计算； （4）先化简各二次根式，再根据二次根式乘除法混合运算法则进行计算． 【详解】（1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 21．(1) (2)①；② (3)或 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，因式分解，熟练掌握题中给出的方法是解题的关键． （1）仿照小知的方法将化为完全平方公式，即可求解； （2）①仿照小知的方法将化为完全平方公式，即可求解； ②仿照小知的方法将化为，即可化简； （3）将等式右边化简可得，则，利用，，均为正整数即可解答． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：①； ②； （3）解：， ， 为正整数， ， 或． 22．(1)3； (2)4 【分析】本题主要考查了无理数的整数部分、小数部分、二次根式的混合运算等知识点，掌握求无理数的取值范围是解题的关键． （1）先求出的取值范围，进而求出其整数部分和小数部分即可； （2）先求出的取值范围，进而确定的取值部分，然后确定的整数部分a和小数部分b，然后代入运用二次根式的混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解：， ， 的整数部分为3，小数部分是． 故答案为：3，； （2）解：， ，即， 的整数部分是， 小数部分是． ． 23．(1)，见解析 (2)＝n (3)见解析 (4)（答案不唯一） 【分析】本题考查二次根式的化简与求值，熟练掌握二次根式的化简是解题的关键， （1）根据已知等式的规律写出结论，再根据二次根式的乘法法则验证即可； （2）根据“穿墙”的定义，用表示即可； （3）根据二次根式的乘法法则验证即可； （4）根据已知等式的规律写出一个符合题意的数即可； 【详解】（1）解：； 故答案为：； 验证：； （2）解： ； （3）证明： ． （4）解：，验证如下： （答案不唯一）． 24．(1) (2)2 (3) 【分析】（1）根据有理化因式的定义进行求解即可； （2）利用有理化因式的定义去分母，再进行加减运算即可； （3）利用有理化因式的定义进行化简求解即可． 【详解】（1）解：根据平方差公式可得：； 故答案为：； （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． 【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算，平方差公式，解答的关键是理解清楚题意，找到存在的规律． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $