第十九章 二次根式 单元测试卷 2025-2026学年人教版数学八年级下册

第十九章 二次根式 单元测试卷 一、单选题（共24分） 1．（本题3分）下列代数式中，不是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 2．（本题3分）下列根式中，属于最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 3．（本题3分）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（本题3分）若二次根式有意义，则x的取值范围是(   ) A． B． C． D． 5．（本题3分）如果最简二次根式与是同类二次根式，那么a的值是（） A．5 B．3 C．−5 D．−3 6．（本题3分）设的小数部分为a，则的值为（    ） A．22 B． C． D． 7．（本题3分）在数轴上表示实数的点如图所示，化简的结果为（   ） A． B．1 C． D． 8．（本题3分）若3，4，n为三角形的三边长，则化简的结果为（  ） A． B． C． D． 二、填空题（共30分） 9．（本题3分）请任意写一个二次根式： ． 10．（本题3分）计算＋的结果是 ． 11．（本题3分）已知，用只含a，b的代数式表示，这个代数式是 ． 12．（本题3分）已知，则 ． 13．（本题3分）已知n为正整数，若计算的结果为，则 ． 14．（本题3分）若两个最简二次根式和能够合并，则的值为 ． 15．（本题3分）一块矩形木板采用如图所示的方式在木板上截出两个面积分别为和的正方形木板后，剩余的木板（阴影部分）的面积为 ． 16．（本题3分）已知是一个完全平方式，则 ． 17．（本题3分）对于实数x，用表示不超过x的最大整数，记．如，，若，，则代数式 ．（要求答案为具体的数值） 18．（本题3分）若则的值为 三、解答题（共76分） 19．（本题8分）把下列根式化成最简二次根式： (1)． (2)． (3)． 20．（本题8分）计算： (1)； (2)． 21．（本题8分）计算 (1)； (2)． 22． （本题8分）若实数a、b满足条件,求的值． 23．（本题8分）先化简，再求值：，其中． 如图是小亮和小芳的解答过程． 小亮 解：原式 小芳 解：原式 (1)_____的解法是错误的，错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质：_______； (2)先化简，再求值：，其中． 24．（本题8分）观察以下等式： 第个等式：． 第个等式：． 第个等式：． …… 解决下列问题： (1)写出第个等式：______． (2)如果为正整数，直接写出用含的式子表示上述运算规律的猜想． (3)请证明你的猜想． 25．（本题8分）观察以下等式： 第1个等式： ， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， … 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式：_________． (2)写出你猜想的第个等式（用含的式子表示），并证明． 26．（本题10分）先阅读理解，再回答问题： ①∵，，∴的整数部分为1． ②∵，，∴的整数部分为2． ③∵，，∴的整数部分为3． ⋯⋯ (1)填空：的整数部分是 ； (2)a，b分别是的整数部分和小数部分； ①分别写出a、b的值； ②求的值． 27．（本题10分）在数学课外学习活动中，小浩和他的同学遇到一个问题：已知，求的值，经过思考和讨论他是这样解答的； ，，， ，． 请你根据小浩的解题过程，解决如下问题： (1)______，______； (2)求的值； (3)若，求的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．B 【分析】本题考查了二次根式的判断，二次根式是指形如的代数式，据此逐项判断即可求解． 【详解】解： A. 是二次根式，不合题意； B. 不是二次根式，符合题意； C. 是二次根式，不合题意； D. 是二次根式，不合题意． 故选：B 2．C 【分析】本题主要考查最简二次根式的定义，即“被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；被开方数的因数是整数，因式是整式”，由此即可求解，掌握最简二次根式的定义，二次根式的性质是解题的关键． 【详解】解：A、被开方数含有开得尽的因数，不是最简二次根式，不符合题意； B、被开方数含有分母，不是最简二次根式，不符合题意； C、是最简二次根式，符合题意； D、不是二次根式，不符合题意； 故选：C． 3．D 【分析】根据二次根式的加减、乘除法则计算，判断即可． 【详解】解：A． 、被开方数不同，不能合并，计算错误，不合题意； B． ，计算结果错误，不合题意； C． ，计算错误，不合题意； D．计算正确，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了二次根式的加减乘除运算．注意二次根式的加减可以类比合并同类项法则，化简后只有被开方数相同才能进行合并． 4．B 【分析】此题考查了二次根式有意义的条件：被开方数大于等于零，据此得到，即可求出答案． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， 解得， 故答案为：． 5．B 【分析】先把化成最简二次根，再根据同类二次根式的定义得出，然后求解即可得出答案． 【详解】解∶由题意可知：， 则， ， 故选∶B． 【点睛】本题考查二次根式的性质，解题的关键是正确理解最简二次根式以及同类二次根式的概念，本题属于基础题型． 6．A 【分析】根据无理数的估算，求的小数部分为，然后代入，根据二次根式的乘法，利用二次根式的性质进行化简，计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴的整数部分为3，则小数部分， ∴ 故选：A． 【点睛】本题考查了无理数的估算，二次根式的乘法，利用二次根式的性质进行化简，代数式求值等知识．解题的关键在于熟练掌握各知识的运用． 7．B 【分析】本题考查了实数与数轴，二次根式的性质化简，化简绝对值，熟练掌握知识点是解题的关键． 由数轴得，根据二次根式的性质将化为，再化简绝对值即可． 【详解】解：由数轴得， ∴， 故选：B． 8．A 【分析】本题考查三角形三条边的数量关系以及根式的化简，掌握三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边是解题的关键． 由三角形三边关系可以确定的取值范围为，再利用绝对值的性质化简表达式． 【详解】∵ 3，4，为三角形的三边长， ∴ ,即， ∴ ，， ∴ 原式， 故选：A． 9．（答案不唯一） 【分析】本题考查了二次根式的定义，形如的式子叫做二次根式，熟记二次根式的定义是解题的关键． 根据二次根式的定义即可求解． 【详解】解：由题意得，一个二次根式可写为， 故答案为：（答案不唯一）． 10． 【分析】根据二次根式的混合运算方法进行计算即可； 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 【点睛】本题考查二次根式的混合运算，掌握二次根式混合运算法则是正确解答的前提． 11．/ 【分析】观察发现a、b的代数式得到的数比a、b都大，且a、b不是同类二次根式，故可想到应用二次根式的乘法解答，根据二次根式的乘法法则，得；接下来用a，b替换即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次根式的乘法运算．掌握乘法法则． 12． 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件． 根据二次根式的被开方数非负，求出x的值，再代入计算y，最后求即可． 【详解】解：∵和都有意义， ∴且， 即且， ∴， 当时， ， ∴． 故答案为：． 13．50 【分析】本题主要考查了二次根式的加减计算，二次根式的性质化简．先化简二次根式，然后根据二次根式的加减运算法则列式计算即可求解． 【详解】解：∵的结果为， ∴， ∴， ∴， 故答案为：50． 14．5 【分析】本题考查同类二次根式的概念，先判断出两个最简二次根式是同类二次根式，然后列出方程求解即可． 【详解】解：∵与可以合并， ∴最简二次根式与是同类二次根式， ∴， 解得． 故答案为：． 15．12 【分析】本题考查了二次根式的化简、加法和乘法运算，熟练掌握矩形和正方形的面积公式是解题的关键．先根据2个正方形的面积求出两个正方形的边长，再分别求出长方形的长和宽，然后根据长方形的面积公式求出结果即可． 【详解】解：由题意得，大正方形的边长为，小正方形的边长为， ∴矩形木板的长为：，宽为， ∴剩余的木板（阴影部分）的面积为：， 故答案为：12． 16．24 【分析】此题考查了完全平方式的应用能力，关键是能准确理解并运用该知识进行讨论、求解． 运用完全平方式的定义进行讨论、列方程组求解． 【详解】解：是一个完全平方式， 设， ， ， 或， ． 故答案为：24． 17． 【分析】本题主要考查了新定义下的实数运算，二次根式的混合计算，先估算出，再根据新定义得到，，据此代值计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：． 18．或 【分析】本题主要考查了二次根式的性质、解绝对值方程等知识点，掌握二次根式的性质是解题的关键． 由二次根式的性质可得，然后解绝对值方程即可． 【详解】解：∵， ∴， 当时，有，解得：； 当时，有，该方程无解； 当时，有，解得：． 综上，该方程的解为或． 故答案为：或． 19．(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了二次根式的化简，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质． （1）把24写成，然后化简； （2）把40写成，然后化简； （3）先把小数写成分数，然后分子分母都乘以2，再化简； 【详解】（1）解：． （2）解：． （3）解：． 20．(1)10 (2) 【分析】本题考查二次根式计算，平方差计算等． （1）先将二次根式化简，再进行加法运算即可； （2）先将化简，再将后边用平方差公式展开，再进行加减法运算即可． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：， ， ， ． 21．(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的运算，解题的关键是∶ （1）先利用二次根式的除法、乘法法则计算，然后合并同类二次根式即可； （2）先利用二次根式的乘法法则计算，然后利用二次根式的性质化简，最后合并同类二次根式即可． 【详解】（1）解：原式． ． （2）解：原式 ． 22． 【分析】根据题意可得，再利用完全平方公式的定义将配成完全平方公式，得到，所以，，即可求出、的值，代入即可得到答案． 【详解】解：∵， ， ， ∴，． ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查完全平方公式与二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的非负性和完全平方公式是解题的关键． 23．(1)小亮； (2)；8 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，熟练掌握二次根式的化简求值是解题的关键． （1）根据二次根式的性质判断即可； （2）根据二次根式的性质将原式化简，再将代入计算即可． 【详解】（1）解：小亮的解法是错误的，错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质：； 故答案为：小亮； （2）解： ， ∵， ∴原式． 24．(1)； (2)； (3)见解析． 【分析】本题主要考查数字规律，二次根式性质与化简的计算，理解计算方法，找出规律是解题的关键． （）根据材料提示找出规律即可求解； （）根据材料提示找出规律即可求解； （）结合（）中的规律，并验证即可． 【详解】（1）解：∵第个等式：； 第个等式：； 第个等式：； ∴第个等式：， 故答案为：； （2）解：由（）可得，第个等式：； （3）证明：∵等式左边 ， ∴等式左边等式右边， ∴猜想成立． 25．(1) (2)见解析 【分析】（1）根据题目中前4个等式，可以发现式子的变化特点，从而可以写出第5个等式； （2）把上面发现的规律用字母n表示出来，并运用分式的混合运算法则计算等号的右边的值，进而得到左右相等便可． 【详解】（1）解：根据题目中前4个等式， 可以发现式子的变化特点， 那么第5个等式为； （2）解：猜想的第（n为正整数）个等式为，证明如下： 等式右边为， 因为等式左边为， 所以等式左边等于等式右边， 即． 【点睛】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现式子的变化特点，写出相应的等式，并证明猜想的正确性． 26．(1)n (2)①，；② 【分析】（1）依据题干中的方法估算的范围，即可得到整数部分； （2）①估算出，得到整数部分和小数部分即可；②将①中结果代入计算即可． 【详解】（1）解：， ， ， 的整数部分为； （2）①∵， ∴， ∴， ∴的整数部分是：， 小数部分是：； ② ． 【点睛】本题主要考查的是估算无理数的大小，二次根式的混合运算，熟练掌握估算无理数大小的方法是解题的关键． 27．(1)， (2)44 (3)0 【分析】本题主要考查了分母有理化，二次根式的化简求值，熟知分母有理化的方法是解题的关键： （1）根据分母有理化的方法求解即可； （2）根据（1）所求把所求式子的每一项分母有理化，再计算加减法即可； （3）先求出a的值，进而求出的值，再把所求式子分解因式得到，据此可得答案． 【详解】（1）解：； ； （2）解：∵， ∴ ； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $