21.3.3 正方形 同步练习 2025-2026学年人教版数学八年级下册

21.3.3 正方形 同步练习 一、单选题 1．正方形的对角线长度为2，则其边长为（   ） A．2 B． C．1 D． 2．正方形一定具有而矩形不一定具有的性质是（    ） A．对角相等 B．对角线互相垂直 C．对边平行且相等 D．对角线相等 3．若要使得菱形是正方形，则添加的条件可以是（    ） A． B． C． D． 4．如图，E是正方形的边上的一点，连接，点F为的中点，过点F作的垂线分别交，于点M，N，连接，若，则的面积为（    ） A．8 B．10 C．12 D．20 5．如图，正方形的边长为3，E为边上的动点，过点E作，且，在点E从点B运动到点C的过程中，点F运动的路径长为（   ） A． B． C．6 D． 6．如图，在正方形中，，分别是，上的点，，相交于点．是的中点，若，，则的长为（　　） A． B． C． D． 7．如图，外侧大正方形的边长是厘米，图中阴影部分的面积是平方厘米，那么圆内大正方形面积是小正方形面积的( )倍． 8．如图，正方形的边长为，延长至点，使得，平分交于点，连接，则下列结论：①；②平分；③；④，其中正确的个数是（ ） A． B． C． D． 二、填空题 9．如图，是正方形对角线上一点，且，连接并延长，交于点，则的度数是 ． 10．如图，把一张矩形纸片对折两次，然后沿虚线剪下一个角．当虚线与折痕所成的锐角的度数为 时，剪下的这个角展开可以得到一个正方形． 11．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点，则点D的坐标是 ． 12．如图，在正方形中，，点E在上且，点F是边上的动点，则的最小值为 ． 13．如图，是正方形的对角线，延长至点，连接，若，，则的长为 ． 14．如图，正方形的边长为1，E为与点不重合的动点，以一边作正方形，设，点与点的距离分别为，则的最小值为 ． 15．如图，点E、F分别在正方形的边上，，已知（正方形的四条边都相等，四个内角都是直角），，则 ． 16．如图，三个边长均为3的正方形重叠在一起，、是其中两个正方形的中心，则阴影部分的面积是 ． 17．如图①，将一张正方形纸片对折，得到折痕，再折出矩形的对角线．如图②，将折到上，点A落在上的点处，折痕为．若，则 ． 18．如图，在正方形中，点E，F分别是延长线上的点，与交于点M，与交于点N，与交于点O．已知，正方形的边长为6，若，则四边形的面积 ． 三、解答题 19．如图，在正方形中，点，分别在边，上，．求证：．    20．如图，在平行四边形中，对角线相交于点O，，且为的平分线，求证：平行四边形为正方形．    21．如图，以正方形的边为边，在外作等边，连接交于点F，求的度数． 22．如图，在正方形中，是对角线上的一点（与点不重合），分别为垂足．连接，并延长交于点．    (1)求证：． (2)判断与是否垂直，并说明理由． 23．综合与实践 【问题情境】在正方形中，点是上一动点，连接，分别过点，作，，垂足分别为点，，如图1所示．    【知识猜想】（1）请探索，，这三条线段长度具有怎样的数量关系？若点在的延长线上，如图2所示，那么这三条线段的长度之间又具有怎样的数量关系？若点在的延长线上呢？如图3所示，请分别直接写出结论． 【猜想验证】（2）请证明图2中的结论． 24．如图，正方形是边长为4米的一块板材． 操作一：现需从中裁出一个等腰直角模具，点P在边上，Q在正方形的内部或边上． (1)如图，若，米，是否能裁出符合条件的？若能，确定Q的位置；若不能，请说明理由．    (2)如图，连接，在对角线上取点Q，连接，过点Q作交边于P，连接，得到．请证明符合裁剪要求．    操作二：经探究，操作一的模具大小至多为正方形面积的一半，现修改模具形状为四边形，并按面积要求进行裁剪．即在正方形中重新裁出的一个四边形模具，点P、Q分别在边上． (3)如图，若需裁出的四边形面积为10平方米，请探究模具四边形周长的最小值．    试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．D 【分析】本题考查了勾股定理和正方形的性质，灵活运用所学知识点是解题关键． 根据正方形对角线的长度和正方形的边长相等，利用勾股定理可求出边长，即可求出答案． 【详解】解：设正方形的边长为x， ∵正方形的对角线为2， ∴由勾股定理得：， 解得：（负值舍去）， 故选：D． 2．B 【分析】本题考查矩形和正方形的性质．根据矩形和正方形的性质逐项判断即可． 【详解】解：正方形的对角线互相垂直平分且相等， 矩形的对角线互相平分且相等，但不一定垂直， 故选：B． 3．C 【分析】由菱形的性质和正方形的判定分别对各个选项进行判断即可． 【详解】解：A、∵菱形， ∴，则不能使菱形是正方形，不符合题意； B、∵菱形， ∴，不能使菱形是正方形，不符合题意； C、∵菱形， ∴，添加，能使菱形是正方形，符合题意； D、∵菱形， ∴，不能使菱形是正方形，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了正方形的判定、菱形的性质等知识；熟练掌握正方形的判定方法是解题的关键． 4．B 【分析】本题考查了正方形的性质，线段垂直平分线的性质及勾股定理；连接，则得，设，在中由勾股定理建立方程即可求得a的值，从而求得面积值． 【详解】解：如图，连接， 点F为的中点，且， 为线段的垂直平分线， ； 四边形为正方形，， ； 设，则； 在中，由勾股定理得， 即， 解得：， ． 故选：B． 5．B 【分析】过点作交的延长线于点，连接，证明，则，证明是等腰直角三角形，得到，即点在的角平分线上运动，以为边，在右侧作正方形，连接，则，在点E从点B运动到点C的过程中，点F运动的路径为正方形的对角线,求出的长即可． 【详解】解：如图，过点作交的延长线于点，连接， ∵四边形是正方形， ∴， ∴ ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴平分， 即点在的角平分线上运动， 以为边，在右侧作正方形，连接，则 在点E从点B运动到点C的过程中，点F运动的路径为正方形的对角线, ∵正方形的边长为3， ∴ ∴ 即点F运动的路径长为， 故选：B 【点睛】此题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、等腰三角形的判定和性质等知识，证明点在的角平分线上运动是解题的关键． 6．A 【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 先证明，得到，进而得到，得出为直角三角形，得到，根据勾股定理求出，即可得到答案． 【详解】解：正方形， ，， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 即为直角三角形， ∵点为的中点， ， ，， ， 在中，，， 由勾股定理得：， ， 故选：A. 7． 【分析】本题考查了平移和旋转，正方形的面积，由平移和旋转可知，阴影部分的面积是外侧大正方形面积的四分之一再加上圆内小正方形面积的四分之一，可得圆内小正方形面积为平方厘米，又由图形可得圆内大正方形的对角线长为圆的直径长，即等于外侧大正方形的边长，等于厘米，即可求出圆内大正方形面积，据此即可求解，掌握平移和旋转的应用是解题的关键． 【详解】解：由平移和旋转可知，阴影部分的面积是外侧大正方形面积的四分之一再加上圆内小正方形面积的四分之一， ∴圆内小正方形面积为平方厘米， 圆内大正方形的对角线长为圆的直径长，即等于外侧大正方形的边长，等于厘米， ∴圆内大正方形面积为平方厘米， ∵， ∴圆内大正方形面积是小正方形面积的倍， 故答案为：． 8．C 【分析】根据勾股定理得到，如图所示，过点作于点，根据角平分线的性质定理可判定①；根据直角三角形内角和定理可判定②；根据线段大小关系可判定③；运用勾股定理可判定④；由此即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ， 如图所示，过点作于点， 平分交于点， ，且， ， ， ， ∴垂直平分， ，故①正确； ， ， ， ， 平分，故②正确； ， 与不垂直，故③不正确； 设则， ， ， 解得， ， ，故④正确； 综上，正确个数为3个， 选择：C． 【点睛】本题主要考查正方形的性质，线段垂直平分线的判定和性质，角平分线的性质定理，勾股定理等知识的综合运用，掌握以上知识，合理作出辅助线是关键． 9． 【分析】此题考查了正方形的性质，三角形内角和定理，等边对等角，首先由正方形得到，，，然后结合得到，然后求出，进而求解即可． 【详解】解：∵四边形是正方形 ∴，， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴． 故答案为：． 10． 【分析】本题考查了正方形的性质以及折叠的性质，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．找出剪下的角展开后可以得到一个正方形的条件即剪下的角必须是一个直角，以此进行分析即可． 【详解】解：由于剪下的角展开后可以得到一个正方形，那么剪下的角必须是一个直角。 因此，虚线与折痕所成的锐角的度数为． 故答案为：． 11． 【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定， 作轴，根据正方形的性质证明，可得，即可得出答案． 【详解】解：如图所示，过点D作轴，交x轴于点E， ∴． ∵点， ∴． ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴点D的坐标是． 故答案为：． 12． 【分析】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，轴对称的性质．作点E关于的对称点G，连接，则，，可得的最小值为的长，再根据题意可得点B，C，G三点共线，然后根据勾股定理可得的长，即可求解． 【详解】解：如图，作点E关于的对称点G，连接，则，， ∴， 即的最小值为的长， ∵四边形是正方形，， ∴， ∴， ∴， ∴点B，C，G三点共线， ∴， ∴． 即的最小值为． 故答案为： 13． 【分析】本题考查了正方形的性质，三角形内角和定理，等角对等边，勾股定理． 根据正方形的性质得到，，，根据三角形内角和定理求出，根据等角对等边得到，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：∵是正方形的对角线， ∴，，， ∴， 即， ∵， ∴（负值舍去）． 故答案为：． 14． 【分析】本题主要考查正方形的性质、三角形的全等证明，勾股定理，连接、、，证可得，当、、、四点共线时，即得最小值； 【详解】解：如图，连接、、， ∵ ∴ 在和中， ∵ ∴ ∴ ∴ 当时，最小， ∴的最小值为， 故答案为：． 15．15 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，构造辅助线证明三角形全等是解题的关键；延长到，使，连接；证明，则可得；再证明，则；设，则；在中，利用勾股定理建立方程即可求得x，即可求解． 【详解】解：如图，延长到，使，连接； 四边形是正方形， ， ； ， ， ； ， ， ； ， ， ，； 设，则； 在中，， 由勾股定理得， 解得：， 即， ； 故答案为：15． 16． 【分析】本题考查了正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，解题的关键是准确作出辅助线构造全等三角形． 根据题意作图，连接、，可得≌，那么可得阴影部分的面积与正方形面积的关系，同理得出另两个正方形的阴影部分面积与正方形面积的关系，从而得出答案． 【详解】解：连接、，如图： ∵，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， 在和中， ， ∴≌， ∴， ∴、两个正方形重叠的阴影部分的面积是， 同理另外两个正方形重叠的阴影部分的面积也是， ∴阴影部分的面积为． 故答案为： ． 17．/ 【分析】连接，由折纸第一步，可知，在中，根据勾股定理得出，则．设，则，在和中，根据勾股定理由不变得出，列出关于x的方程，解方程求出． 【详解】如图，连接， ∵，则． 在中，， 则． 设，则， 在和中，， 即， 解得， ∴． 故答案为：． 【点睛】此题考查了正方形的性质，折叠问题和勾股定理，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 18． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、正方形的性质、勾股定理等知识点，根据题意证，可推出；再证可得，即可推出，据此即可求解； 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴ 故答案为： 19．见解析 【分析】根据正方形的性质利用证明即可得出结论． 【详解】解：在正方形中，，， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，灵活运用各性质进行推理论证是解题的关键． 20．详见解析 【分析】先证明，则平行四边形为矩形，再证明，即可得到结论． 【详解】证明：四边形为平行四边行， ，， ， ∵， ∴， ∴， ∴， 平行四边形为矩形， 为的平分线， ， ∴， ， ∴平行四边形为正方形 【点睛】此题考查了平行四边形的性质、矩形的判定、正方形的判定、等角对等边等知识，熟练掌握正方形的判定是解题的关键． 21． 【分析】首先根据正方形的性质和等边三角形的性质得到，然后利用三角形内角和定理和等腰三角形的性质得到，最后利用三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，，． ∵是等边三角形， ∴，． ∴，． ∴． ∴． 【点睛】此题考查了正方形的性质和等边三角形的性质，三角形外角的性质和三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 22．(1)见解析 (2)与垂直，理由见解析 【分析】（1）由正方形的性质，得到，结合垂直于同一条直线的两条直线平行，可得，再根据平行线的性质解答即可； （2）连接交于点，由证明，再根据全等三角形对应角相等得到，继而证明四边形为矩形，最后根据矩形的性质解答即可． 【详解】（1）解：在正方形中， ∴， ∴． （2）与垂直，理由如下． 连接交于点． ∵为正方形的对角线， ∴， 又∵， ∴， ∴． 在正方形中，， 又∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查正方形的性质、平行线的性质、全等三角形的判断与性质、矩形的判定与性质等知识，综合性较强，是重要考点，掌握相关知识是解题关键． 23．（1）如图1，，如图2，，如图3，；（2）见解析 【分析】（1）根据正方形的性质可得，再根据同角的余角相等求出，再证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，，然后结合图形求解即可； （2）根据正方形的性质可得，再根据同角的余角相等求出，再证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，，然后结合图形求出即． 【详解】（1）解：在正方形中，，， ， ，， ，， ， 在和中， ， ，， 如图1， ， ， 如图2， ， ， 如图3，， ； （2）证明：四边形是正方形， ，， ， ，， ． ， ， ，， ， ． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握知识点并灵活运用是解题的关键． 24．(1)不能，理由见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）利用正方形的性质结合全等三角形进行判断即可； （2）过点Q作于点M，延长交于点N，证明，即可推出，由此得到结论； （3）延长至点E，使，证得，得到，根据面积求出，设，则，利用勾股定理求出的值，利用函数的性质得到当时，最小，故也最小，勾股定理求出，即可求出四边形周长的最小值． 【详解】（1）解：不能裁出符合条件的， ∵， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴与不全等， 故， 故不是等腰直角三角形， ∴不能裁出符合条件的；    （2）如图，过点Q作于点M，延长交于点N，    ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形；    （3）如图，延长至点E，使，    ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，解得， 设，则， ∴，， ∴， ∴当时，最小，故也最小， ∴， ∴四边形周长的最小值． 【点睛】此题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，综合掌握以上知识是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $