精品解析：广东惠州市惠东县2025-2026学年第一学期九年级期末考试数学试卷

2025-2026学年第一学期九年级学业质量监测 数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 地铁标志作为城市地铁的形象和符号，是城市与文化的缩影，下列图案分别为常州，北京，深圳，上海四个城市的地铁标志，其中是中心对称图形的是（ ） A.     B.     C.     D.     【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合． 绕着一点旋转180度后能够与原图形重合的图形即为中心对称图形，由此判断即可． 【详解】解：选项C能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以是中心对称图形； 选项A、B、D均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形， 故选：C． 2. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义（只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程），逐一判断各选项即可． 【详解】解：∵一元二次方程需满足三个条件：①只含一个未知数；②未知数最高次数为2；③是整式方程， 对于选项A：，满足上述三个条件，∴是一元二次方程，符合题意； 对于选项B：，未知数最高次数为1，不满足条件②，∴不是一元二次方程，不符合题意； 对于选项C：，含有分式，不是整式方程，不满足条件③，∴不是一元二次方程，不符合题意； 对于选项D：，含有两个未知数x和y，不满足条件①，∴不是一元二次方程，不符合题意， 故选：A． 3. 第十五届全运会于2025年 11 月 9 日至 21 日在粤港澳大湾区举办，某体育比赛馆开设了三个安检通道．甲从通道进入体育比赛馆的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查概率公式的应用，随机事件A的概率事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数，直接利用该公式计算即可 【详解】解：∵体育比赛馆开设了三个安检通道且甲选择每个通道的可能性相同，总共有3种等可能的进入情况， ∴甲从通道进入体育比赛馆的概率为， 故选：B. 4. 如图，点、、在上，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，根据圆周角定理，求出的度数，等边对等角求出的度数即可． 【详解】解：∵点、、在上，， ∴，， ∴； 故选B． 5. 方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等实数根 B. 有两个不相等实数根 C. 有一个实数根 D. 无实数根 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式的应用，熟练掌握判别式与根的关系是解题关键；通过计算判别式的值判断方程根的情况即可． 【详解】解：∵一元二次方程中，，，， ∴， ∵， ∴该方程无实数根． 故选：D． 6. 下列说法中正确的是（ ） A. 直径是弦 B. 长度相等的两条弧是等弧 C. 相等的圆心角所对的弧相等 D. 平分弦的直径垂直于弦 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查圆的基本概念，包括弦、弧、圆心角的关系和垂径定理推论，利用垂径定理、圆的有关定义、圆心角、弦、弧之间的关系、等弧的定义等知识分别判断后即可解答． 【详解】解：A、直径是经过圆心的弦，故A正确； B、在同圆或等圆中，长度相等的两条弧才是等弧，原说法缺少前提条件，故B错误； C、相等的圆心角所对的弧相等需在同圆或等圆中，故C错误； D、平分弦的直径垂直于弦，但弦不能是直径（否则可能不垂直），故D错误． 故选：A． 7. 如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置，喷头M向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，按如图所示的直角坐标系，水流喷出的高度与水平距离之间的关系式是，则水流喷出的最大高度是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，把函数解析式化为顶点式，由函数性质求最大值．解题的关键是从实际问题中抽象出二次函数模型，难度中等． 【详解】解：， ， 当时，取最大值，最大值为，即2.75米， 故选：B． 8. 如图，在中，，将 绕点 C 旋转得到，连接，且，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，平行线的性质，三角形的内角和，等腰三角形的性质，掌握知识点是解题的关键． 先求出，由旋转，得，，推导出，继而求出，则，即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， 由旋转，得 ，， ∴， ∴， ∴． 故选C． 9. 下面数量关系中，成反比例关系的是（ ） A. 速度一定，路程和时间 B. 总价一定，单价和数量 C. 全班人数一定，出勤人数和缺勤人数 D. 正方体的表面积与它一个面的面积 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正比例和反比例的关系识别，根据两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。如果这两种量中相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系，通过两种量之间的比例关系逐一判断即可，理解两种量之间的比例关系是解题的关键 【详解】解：、因为路程速度时间，由于速度一定，所以路程和时间成正比例关系，不符合题意； 、因为总价单价数量，由于总价一定，所以单价和数量成反比例关系，符合题意； 、出勤的人数缺勤的人数全班的人数（一定），是和一定，既不符合正比例的意义也不符合反比例的意义，所以出勤人数和缺勤人数不成比例，不符合题意； 、因为正方体的表面积正方体的一个面的面积，所以正方体的表面积一个面的面积（一定），符合正比例的意义，所以正方体的一个面的面积与它的表面积成正比例，不符合题意； 故选：． 10. 如图，抛物线与轴交于两点，是以点为圆心，为半径的圆上的动点，是线段的中点，连接．则线段的最小值是（ ） A. 1.5 B. 2 C. 3 D. 3.5 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了抛物线与坐标轴的交点、三角形中位线定理、两点间距离公式以及圆上点到定点距离的最值问题，熟练掌握三角形中位线定理和圆的性质是解题的关键．先求出抛物线与轴交点的坐标，利用三角形中位线定理将转化为的一半，再求出点到圆心的距离，结合圆的半径得到的最小值，进而求出的最小值． 【详解】解：如图，连接、、， 令，则， 解得， ∴，， ∴是的中点， ∵是的中点， ∴是的中位线 ∴ ∵， ∴， ∵圆半径为，即， ∴， ∴的最小值为， ∴的最小值为， 故选：A． 二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 3分，共15 分．） 11. 若关于x的一元二次方程一个根为2，则m的值为______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，牢记“把方程的解代入原方程，等式左右两边相等”是解题的关键．将代入原方程，即可求出的值． 【详解】解：将代入原方程得：， 解得：， 的值为． 故答案为：1． 12. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的坐标为，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查点的坐标关于原点对称，熟练掌握点的坐标关于原点对称：横纵坐标都互为相反数；进而此题可根据此方法进行求解m的值． 【详解】解：由点关于原点对称的坐标为，可知：， ∴； 故答案． 13. 已知反比例函数y＝的图象在第二、四象限，则m的取值范围是________． 【答案】m<－2 【解析】 【详解】∵反比例函数y＝图象在第二、四象限， ∴m+2<0， 解得m<−2， 故答案为：m<−2. 14. 某数学兴趣小组探究用圆柱形玻璃瓶的内径去测量球的半径．测量方法如下：如图所示，将球置于圆柱形玻璃瓶上，已知玻璃瓶高，底面内径，球的最高点到瓶底的距离为，则球的半径为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了垂径定理、勾股定理、矩形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 连接，设，利用勾股定理建立方程即可求解． 【详解】解：如图，连接，设， 由题意，， ， ， 中，， ． 故答案为：． 15. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴正半轴上，顶点在轴负半轴上．若抛物线经过点，，则点的坐标为________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，菱形的性质，掌握这两个知识点是解题的关键；由抛物线解析式可得抛物线的对称轴，抛物线与y轴的交点，则由抛物线的对称性质可求得点C的坐标，从而求得A点坐标，即可求得点D的坐标． 【详解】解：抛物线的对称轴为直线， 在中，令，得， 即； ∵四边形是菱形， ∴，， ∴关于直线对称， ∴， ∴； ∵，， ∴由勾股定理得：， 即， ∴点D横坐标为， ∴． 故答案为：． 三、解答题（一） （本大题共3小题，每小题7分，共21分．） 16. 阅读下列关于解方程：的解题过程，解决下列问题． 解：① ② ③ 或④ ∴⑤ （1）上述解题过程有误，错在步骤____________（填序号）； （2）请你写出正确的解答过程． 【答案】（1）② （2），过程见解析 【解析】 【分析】本题主要考查配方法解一元二次方程． （1）步骤②中，等式两边没有同时加1； （2）按照配方法解一元二次方程的步骤求解即可． 【小问1详解】 解：第二步出现错误，原因是右边没有加1， 故答案为：②； 【小问2详解】 解： 或 ∴． 17. 甲骨文出土于河南安阳西北五里的小屯村，是迄今为止中国发现的年代最早的成熟文字系统，是汉字的源头和中华优秀传统文化的根脉．小明在参观了安阳博物馆后，感叹河南博大精深的文化底蕴，用甲骨文汉字制作了如图所示的四张卡片(这四张卡片分别用字母,,,表示,正面文字依次是河、南、文、化,这四张卡片除正面内容不同外,其余均相同)，现将四张卡片背面朝上，洗匀放好． （1）小明从中随机抽取一张卡片，抽取卡片上的文字是“文”的概率为___________； （2）小明从中随机抽取一张卡片不放回，小亮再从中随机抽取一张卡片，请用列表法或画树状图法计算两人抽取的卡片恰好组成“文化”一词的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查概率，熟练掌握概率公式及列表法求解概率是解题的关键； （1）根据概率公式可直接进行求解； （2）根据列表法可求解概率． 【小问1详解】 解：由题意得：抽取卡片上的文字是“文”的概率为； 故答案为； 【小问2详解】 解：由题意可列表如下： 河 南 文 化 河 ／ （南，河） （文，河） （化，河） 南 （河，南） ／ （文，南） （化，南） 文 （河，文） （南，文） ／ （化，文） 化 （河，化） （南，化） （文，化） ／ 由表可知一共有种情况，其中能够组成“文化”的情况有种，所以两人抽取的卡片恰好组成“文化”一词的概率为． 18. 如图，是直径，点C在上，在的延长线上取一点D，连接，使． （1）求证：是的切线； （2）若，，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，由直径得到，再结合等边对等角的性质，得到，进而得出，即可证明结论； （2）先得出，再由圆周角定理，得到，进而得出，最后由阴影部分的面积，即可求出图中阴影部分的面积． 【小问1详解】 证明：如图，连接， ∵是直径， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴直线是的切线； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积． 【点睛】本题考查了圆的切线的判定定理，等腰三角形的判定和性质，圆周角定理，求不规则图形面积等知识，掌握圆的相关性质和扇形面积公式是解题关键． 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分．） 19. 如图1是某新款茶吧机，开始加热时，水温每分钟上升，加热到时，停止加热，水温开始下降，此时水温是通电时间的反比例函数．若在水温为时开始加热，水温与通电时间之间的函数关系如图2所示． （1）将水从加热到需要 ； （2）在水温下降的过程中，求水温关于通电时间的函数表达式； （3）加热一次，水温不低于的时间有多长？ 【答案】（1）3.2 （2） （3）一个加热周期内水温不低于的时间为 【解析】 【分析】本题考查的知识点是一次函数的图像与性质、求反比例函数的解析式、利用函数解决实际问题，解题关键是掌握反比例函数解析式的求法及利用函数解决实际问题． （1）依题得开始加热时每分钟上升，则水温从加热到所需时间用温度差每分钟加热的温度即，即可求解； （2）结合（1）中可得点在反比例函数的图像上，代入即可求得k值，从而得到反比例函数解析式； （3）分类讨论，降温过程中水温等于的时间加热过程中水温等于的时间即为加热一次水温不低于的时长，其中降温过程中水温等于的时间利用（2）中的函数解析式即可求得． 【小问1详解】 解： 开机加热时每分钟上升， 水温从加热到，所需时间为， 故答案为：3.2； 【小问2详解】 解：设水温下降过程中，与的函数关系式为， 由题意得，点在反比例函数的图像上， ， 解得：， 水温下降过程中，与的函数关系式是； 【小问3详解】 解：在加热过程中，水温为时，， 解得：， 在降温过程中，水温为时，， 解得：， ， 一个加热周期内水温不低于的时间为． 20. 福建历史悠久，文化底蕴深厚，专属特色文化更是数不胜数，为弘扬地方文化，让更多游客了解德化瓷器文化，某文旅公司推出多款瓷器产品，已知某小型德化瓷器的成本价是60元，当售价为80元时，每天可以售出120件，经调查发现，售价每降价1元，每天可以多售出20件． （1）设该小型德化瓷器降价元，则每天可以售出_____________件． （2）为让利于游客且文旅公司每天获得利润3200元，该小型德化瓷器应该降价多少元？ （3）文旅公司某职员根据日常销售情况进行分析：“按照我们这样的销售模式进行售卖，每天最大利润无法达到3500元，”你认为他分析得是否正确？并说明理由． 【答案】（1） （2）为让利于游客且文旅公司每天获得利润3200元，该小型德化瓷器应降价10元 （3）正确，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用、二次函数的应用、列代数式，理解题意是解答的关键． （1）直接根据题意列代数式即可； （2）设该小型德化瓷器降价元，则根据题意列方程即可； （3）设该小型德化瓷器降价元，获得的总利润为元，根据题意可得，利用二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设该小型德化瓷器降价元， 则每天可以售出的数量是件， 故答案为：； 【小问2详解】 解：设该小型德化瓷器降价元， 则 解得：， ∵让利于游客， ∴， 答：为让利于游客且文旅公司每天获得利润3200元，该小型德化瓷器应降价10元； 【小问3详解】 解：正确，理由如下： 设该小型德化瓷器降价元，获得的总利润为元， 则 ∵， ∴当时，取得最大值为3380元， ∵， ∴他分析得正确． 21. 在中，，将绕点顺时针旋转，得到，连接，射线交于点． （1）如图1，当时： ①的度数是__________________； ②求证：点为的中点； 小明经过思考给出下面证明过程： 证明： 如图 1-1，过点作交的延长线于点，则， 由旋转的性质可得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， …… 请将小明剩余的证明过程补充完整。 （2）当时，（1）中②的结论还成立吗？若成立，请仅就图2的情形进行证明；若不成立，请说明理由． 【答案】（1）①45°；②见解析 （2）成立，证明见解析 【解析】 【分析】此题是几何变换综合题，考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． （1）①由旋转的性质得出，由等腰直角三角形的性质得出； ②过点作交的延长线于，则，证明，由全等三角形的性质得出； （2）过点作交 的延长线于，则，证明，证明，由全等三角形的性质得出； 【小问1详解】 解：①解：∵将绕点顺时针旋转，得到，， ∴，, ∴, 故答案为：； ②解：∴， ∵， ∴ ∴， 即点为的中点； 【小问2详解】 解：成立， 证明：过点作交的延长线于，则， 由旋转的性质可得，， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴ ∴， ∴， 又∵， ∴ ∴， 即为的中点． 五、解答题（三）（本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共 27分．） 22. 问题背景： 综合与实践课上，老师让同学们设计一个家电装置图案，某小组设计的效果图如图所示． 外形参数： 如图1，装置整体图案为轴对称图形，外形由上方的抛物线，中间的矩形和下方的抛物线组成．抛物线的高度为，矩形的边，，抛物线的高度为．在装置内部安装矩形电子显示屏，点，在抛物线上，点，在抛物线上． 问题解决： 如图2，该小组以矩形的顶点为原点，以边所在的直线为轴，以边所在的直线为轴．建立平面直角坐标系．请结合外形参数，完成以下任务： （1）直接写出，，三点的坐标； （2）直接写出抛物线和的顶点坐标，并分别求出抛物线和的函数表达式； （3）为满足矩形电子显示屏的空间要求，需要边的长为，求此时边的长． 【答案】（1），， （2）抛物线和的顶点坐标分别为，， 的表达式为；的表达式为； （3） 【解析】 【分析】（1）由矩形性质可得，，，，即可得出坐标； （2）由装置整体图案为轴对称图形，作出对称轴，分别交抛物线于，交抛物线于，交矩形于，，结合矩形和抛物线对称性，可得直线是抛物线和的对称轴，，，由矩形中，抛物线的高度为，抛物线的高度为，直线是抛物线和的对称轴，即可得出抛物线和的顶点坐标分别为，，分别设抛物线和的表达式为，，分别将将和代入求解即可； （3）由装置整体图案为轴对称图形，得出，，证明轴，设，则，，则，求得，由抛物线对称性可得． 【小问1详解】 解：∵矩形的边，， ∴，，，， ∴，，； 【小问2详解】 解：∵装置整体图案为轴对称图形， 如图，作出对称轴，分别交抛物线于，交抛物线于，交矩形于，， 结合矩形和抛物线的对称性，可得直线是抛物线和的对称轴，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵抛物线的高度为，抛物线的高度为，直线是抛物线和的对称轴， ∴，， ∴抛物线和的顶点坐标分别为，， 分别设抛物线和的表达式为，， 将代入， 解得， 则抛物线的表达式为； 将代入， 解得； 则抛物线的表达式为； 【小问3详解】 解：∵装置整体图案为轴对称图形， ∴，， ∵轴， ∴轴， ∵是矩形， ∴， ∴轴， ∴， 设， ∴，， ∴， 解得：或（在对称轴右侧，舍）， ∴， 由抛物线对称性可得． 【点睛】本题考查二次函数的图象与几何综合，矩形的性质，平面直角坐标系，待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象与性质，熟练掌握相关性质是解题的关键． 23. 【问题提出】我们知道：同弧或等弧所对的圆周角都相等，且等于这条弧所对的圆心角的一半，那么在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角都相等……，在一个圆内同一条弦所对的圆周角与圆心角之间又有什么关系呢？ 【初步思考】 （1）如图 1，是的弦，，点分别是优弧和劣弧上的点，则______________，____________； （2）如图2，是的弦，圆心角，点是上不与重合的一点，则弦所对的圆周角的度数为__________；（用的代数式表示） 【问题解决】 （3）如图3，已知线段，用尺规在所在直线上方作出点，使（保留作图痕迹）； 【实际应用】 （4）如图4，在边长为6的等边中，点分别是边上的动点，始终保持，连接，交于点，当点从点运动到点时，求点运动路径的长． 【答案】（1） ①. ②. （2）或 （3）见解析 （4） 【解析】 【分析】（1）根据圆周角定理，即可求解； （2）根据题意，分两种情况，当点在优弧上时；当点在劣弧上时，再根据圆周角定理，即可求解； （3）先作垂直平分线，交于点，再以点为圆心，为半径作圆弧，交垂直平分线于点，最后以点为圆心，为半径作圆弧，在弧上任选一点，即为点； （4）利用“”，可得，从而可得，则点的运动轨迹为以线段为弦，所含的圆周角为的劣弧，设这个劣弧的圆心为，连接，，过点作于点，易得，，，进而，根据勾股定理，可求，最后由弧长公式，计算即可求解． 【小问1详解】 解：∵点是优弧上的点， ∴， ∵点是劣弧上的点， ∴， 故答案为：；； 【小问2详解】 解：若点是优弧上的点，则， 若点是劣弧上的点，则， 综上，弦所对的圆周角的度数为或， 故答案为：或； 【小问3详解】 解：如图所示，点即为所作； 【小问4详解】 解：∵为等边三角形， ∴，， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点的运动轨迹为以线段为弦，所含的圆周角为的劣弧， 如图， 设这个劣弧的圆心为，连接，，过点作于点， ∵， ∴由（2）的结论可得：， ∵，， ∴，，， ∴， ∴， 在中，根据勾股定理得：， 即：， ∴， ∴劣弧的长， ∴点运动的路径长是． 【点睛】本题考查圆的综合应用，掌握圆周角定理，全等三角形的判定和性质，垂径定理，勾股定理，直角三角形中所对的直角边是斜边的一半，弧长公式，基本作图等知识点是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期九年级学业质量监测 数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 地铁标志作为城市地铁的形象和符号，是城市与文化的缩影，下列图案分别为常州，北京，深圳，上海四个城市的地铁标志，其中是中心对称图形的是（ ） A.     B.     C.     D.     2. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 3. 第十五届全运会于2025年 11 月 9 日至 21 日在粤港澳大湾区举办，某体育比赛馆开设了三个安检通道．甲从通道进入体育比赛馆的概率是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，点、、在上，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等实数根 B. 有两个不相等实数根 C. 有一个实数根 D. 无实数根 6. 下列说法中正确的是（ ） A. 直径是弦 B. 长度相等的两条弧是等弧 C. 相等的圆心角所对的弧相等 D. 平分弦的直径垂直于弦 7. 如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置，喷头M向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，按如图所示的直角坐标系，水流喷出的高度与水平距离之间的关系式是，则水流喷出的最大高度是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，将 绕点 C 旋转得到，连接，且，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 下面数量关系中，成反比例关系的是（ ） A. 速度一定，路程和时间 B. 总价一定，单价和数量 C. 全班人数一定，出勤人数和缺勤人数 D. 正方体的表面积与它一个面的面积 10. 如图，抛物线与轴交于两点，是以点为圆心，为半径圆上的动点，是线段的中点，连接．则线段的最小值是（ ） A. 1.5 B. 2 C. 3 D. 3.5 二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 3分，共15 分．） 11. 若关于x的一元二次方程一个根为2，则m的值为______． 12. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的坐标为，则__________． 13. 已知反比例函数y＝的图象在第二、四象限，则m的取值范围是________． 14. 某数学兴趣小组探究用圆柱形玻璃瓶的内径去测量球的半径．测量方法如下：如图所示，将球置于圆柱形玻璃瓶上，已知玻璃瓶高，底面内径，球的最高点到瓶底的距离为，则球的半径为___________． 15. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴正半轴上，顶点在轴负半轴上．若抛物线经过点，，则点的坐标为________． 三、解答题（一） （本大题共3小题，每小题7分，共21分．） 16. 阅读下列关于解方程：解题过程，解决下列问题． 解：① ② ③ 或④ ∴⑤ （1）上述解题过程有误，错在步骤____________（填序号）； （2）请你写出正确的解答过程． 17. 甲骨文出土于河南安阳西北五里的小屯村，是迄今为止中国发现的年代最早的成熟文字系统，是汉字的源头和中华优秀传统文化的根脉．小明在参观了安阳博物馆后，感叹河南博大精深的文化底蕴，用甲骨文汉字制作了如图所示的四张卡片(这四张卡片分别用字母,,,表示,正面文字依次是河、南、文、化,这四张卡片除正面内容不同外,其余均相同)，现将四张卡片背面朝上，洗匀放好． （1）小明从中随机抽取一张卡片，抽取卡片上的文字是“文”的概率为___________； （2）小明从中随机抽取一张卡片不放回，小亮再从中随机抽取一张卡片，请用列表法或画树状图法计算两人抽取的卡片恰好组成“文化”一词的概率． 18. 如图，是直径，点C在上，在延长线上取一点D，连接，使． （1）求证：是的切线； （2）若，，求图中阴影部分的面积． 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分．） 19. 如图1是某新款茶吧机，开始加热时，水温每分钟上升，加热到时，停止加热，水温开始下降，此时水温是通电时间的反比例函数．若在水温为时开始加热，水温与通电时间之间的函数关系如图2所示． （1）将水从加热到需要 ； （2）在水温下降的过程中，求水温关于通电时间的函数表达式； （3）加热一次，水温不低于的时间有多长？ 20. 福建历史悠久，文化底蕴深厚，专属特色文化更是数不胜数，为弘扬地方文化，让更多游客了解德化瓷器文化，某文旅公司推出多款瓷器产品，已知某小型德化瓷器的成本价是60元，当售价为80元时，每天可以售出120件，经调查发现，售价每降价1元，每天可以多售出20件． （1）设该小型德化瓷器降价元，则每天可以售出_____________件． （2）为让利于游客且文旅公司每天获得利润3200元，该小型德化瓷器应该降价多少元？ （3）文旅公司某职员根据日常销售情况进行分析：“按照我们这样的销售模式进行售卖，每天最大利润无法达到3500元，”你认为他分析得是否正确？并说明理由． 21. 在中，，将绕点顺时针旋转，得到，连接，射线交于点． （1）如图1，当时： ①的度数是__________________； ②求证：点为的中点； 小明经过思考给出下面证明过程： 证明： 如图 1-1，过点作交的延长线于点，则， 由旋转性质可得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， …… 请将小明剩余的证明过程补充完整。 （2）当时，（1）中②的结论还成立吗？若成立，请仅就图2的情形进行证明；若不成立，请说明理由． 五、解答题（三）（本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共 27分．） 22. 问题背景： 综合与实践课上，老师让同学们设计一个家电装置图案，某小组设计效果图如图所示． 外形参数： 如图1，装置整体图案为轴对称图形，外形由上方的抛物线，中间的矩形和下方的抛物线组成．抛物线的高度为，矩形的边，，抛物线的高度为．在装置内部安装矩形电子显示屏，点，在抛物线上，点，在抛物线上． 问题解决： 如图2，该小组以矩形的顶点为原点，以边所在的直线为轴，以边所在的直线为轴．建立平面直角坐标系．请结合外形参数，完成以下任务： （1）直接写出，，三点的坐标； （2）直接写出抛物线和的顶点坐标，并分别求出抛物线和的函数表达式； （3）为满足矩形电子显示屏的空间要求，需要边的长为，求此时边的长． 23. 【问题提出】我们知道：同弧或等弧所对的圆周角都相等，且等于这条弧所对的圆心角的一半，那么在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角都相等……，在一个圆内同一条弦所对的圆周角与圆心角之间又有什么关系呢？ 【初步思考】 （1）如图 1，是的弦，，点分别是优弧和劣弧上的点，则______________，____________； （2）如图2，是的弦，圆心角，点是上不与重合的一点，则弦所对的圆周角的度数为__________；（用的代数式表示） 【问题解决】 （3）如图3，已知线段，用尺规在所在直线上方作出点，使（保留作图痕迹）； 【实际应用】 （4）如图4，在边长为6的等边中，点分别是边上的动点，始终保持，连接，交于点，当点从点运动到点时，求点运动路径的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $