精品解析：广东省惠州市惠东县2024-2025学年上学期九年级数学期末考试数学试卷

2024—2025学年第一学期期末教学质量监测 九年级数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 下列方程是关于的一元二次方程的是（ ）． A. B. C. D. 2. 数学美是简洁性、对称性、统一性和奇异性的有机结合．下列曲线中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，电路图上有4个开关A、B、C、D和1个小灯泡，同时闭合开关A、B或同时闭合开关C、D都可以使小灯泡发光．下列操作中，“小灯泡发光”这个事件是随机事件的是（　　） A. 只闭合1个开关 B. 只闭合2个开关 C. 只闭合3个开关 D. 闭合4个开关 4. 下列一元二次方程中，没有实数根的是（ ） A x-2x-3=0 B. （x-2）（x+3）=0 C. x=5 D. x-2x+3=0 5. 如图，点、、在上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，中，，，将此三角形绕点B沿逆时针方向旋转后得到△，若点恰好落在线段上，、交于点D，则等于（　　） A. 50° B. 60° C. 70° D. 80° 7. 在2023年中考体育考试前，小康对自己某次实心球训练录像进行了分析，发现实心球飞行路线是一条抛物线，若不考虑空气阻力，实心球的飞行高度y（单位：米）与飞行的水平距离x（单位：米）之间具有函数关系，则小康这次实心球训练的成绩为（　　） A. 14米 B. 12米 C. 11米 D. 10米 8. 如图，正方形的边长为4，以点为圆心，为半径画圆弧得到扇形（阴影部分，点在对角线上）．若扇形正好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面圆的半径是（ ） A. B. 1 C. D. 9. 已知反比例函数 ，下列结论中不正确的是（　　） A. 图象必经过点 B. 图象位于第二、四象限 C. 图象关于原点对称 D. 在每一个象限内，y随x的增大而减小 10. 矩形中，．动点E从点C开始沿边向点B以的速度运动，同时动点F从点C出发沿边向点D以的速度运动至点D停止．如图可得到矩形，设运动时间为x（单位：），此时矩形去掉矩形后剩余部分的面积为y（单位：），则y与x之间的函数关系用图象表示大致是下图中的（　　） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分．） 11. 已知是关于x的一元二次方程的一个根，则常数a的值是______． 12. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是 _____． 13. 抛物线向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到抛物线解析式为_____． 14. 如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ACB=90°，∠A=25°，过点C作⊙O的切线，交AB的延长线于点D，则∠D的度数是__________度． 15. 如图，中，，，，以A为圆心长为半径作圆A，延长交圆A于点D，则长为 _____． 三、解答题（本大题共3小题，每小题7分，共21分．） 16. 用适当的方法解方程： 17. 正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点O（0，0），A（4，1），B（4，4）均在格点上． （1）画出绕原点O顺时针旋转90°后得到的OA1B1，并写出点A1的坐标． （2）求点A到点A1经过的路径长． 18. 为了弘扬中华优秀传统文化，丰富校园文化生活，某校积极筹备校园艺术节，九年级一班、二班准备在“民歌串烧”“民族舞蹈”“民乐演奏”中分别选择一个节目进行表演．学校把这三个节目名分别写在三张完全相同的不透明的卡片的正面上，然后将这三张卡片背面朝上洗匀后放在桌面上． （1）九年级一班随机抽取一张卡片，则抽中“民族舞蹈”的概率是__________； （2）—班同学先从中随机抽取一张卡片，记录下卡片上的节目后放回，二班同学再随机抽取一张卡片，记录下卡片上的节目．请用列表法或画树状图法求出一班、二班同学表演不同节目的概率． 四、解答题（本大题共3小题，每小题9分，共27分．） 19. 近年来国家倡导“电动车，上牌照，保安全，戴头盔”，要求骑行、乘坐摩托车、电动车需要佩戴头盔，戴头盔对保护乘坐电动车的未成年人的安全尤为重要，某头盔专卖店购进一批单价为36元的头盔，在销售中，通过分析销售情况发现这种头盔的月销售量y（个）与售价（元/个）满足函数关系． （1）设专卖店月销售利润为元，求与之间的函数解析式； （2）求该专卖店月销售利润的最大值． 20. 如图，已知直线与反比例函数的图象交于点，与y轴交于点B，过点B作x轴的平行线交反比例函数的图象于点C． （1）求直线和反比例函数图象的表达式； （2）求的面积． 21. 【问题情景】1643年，法国数学家费马曾提出一个著名的几何问题：给定不在同一条直线上的三个点A，B，C，求平面上到这三个点的距离之和最小的点的位置，意大利数学家和物理学家托里拆利给出了分析和证明，该点也被称为“费马点”或“托里拆利点”，该问题也被称为“将军巡营”问题． 【理解运用】 （1）下面是该问题的一种常见的解决方法，请补充以下推理过程： 当的三个内角均小于时，如图1，将绕点顺时针旋转得到，连接，由，可知为_______（选“直角”或“等边”）三角形，故，又，故，由_______（选“两点之间线段最短”或“三角形两边之和大于第三边”）可知，当在同一条直线上时，取最小值，如图2，最小值为，此时的点为该三角形的“费马点”，且有_______（填写角度数）；已知当有一个内角大于或等于时，“费马点”为该三角形的某个顶点．如图3，若，则该三角形的“费马点”为_______（选“A”或“B”或“C”）点； 【深入探究】 （2）如图4，在中，三个内角均小于，且，已知点为的“费马点”，求的值． 五、解答题（本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分．） 22. 如图，抛物线过点． （1）求抛物线的解析式； （2）设点是直线上方抛物线上一点，求出的最大面积及此时点的坐标； （3）若点是抛物线对称轴上一动点，点为坐标平面内一点，是否存在以为边，点为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 23. 【课本再现】（1）课本中有这样一段内容：战国时的《墨经》有“圆，一中同长也”的记载，它的意思是圆上各点到圆心的距离等于半径.复习课上，小明和同学们对如图1所示的课本例题进行了深入学习： 例1矩形的对角线，相交于点，求证：，，，四个点在以点为圆心的同一个圆上. 证明：四边形为矩形， ，，， ， ，，，四个点在以点为圆心，为半径的同一个圆上. 通过这个例题学习对“到定点距离等于定长的点都在同一个圆上”有了更深的理解.以下是一道课本原题：“中，，求证：，，三点在同一个圆上.”请你利用图2写出证明过程. 【初步运用】（2）对于一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识可以更容易解决问题.例如：如图3，在中，，，是外一点，且，求的度数.若以点为圆心，为半径作辅助，由可知点，必在上，是的圆心角，而是圆周角，从而可容易得到__________°. 【深入理解】（3）如图4，在四边形中，.求证：. 【拓展延伸】（4）如图5，在边长为2的菱形中，，是边的中点，是边上的一动点，将沿所在直线翻折得到，连接，求长度的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024—2025学年第一学期期末教学质量监测 九年级数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 下列方程是关于的一元二次方程的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义：等式两边都是整式，只含一个未知数，未知数的最高次数是次的方程，叫做一元二次方程；一元二次方程的一般形式：，依次判断，即可． 【详解】A、是一元一次方程，不符合题意； B、是二元一次方程，不符合题意； C、是一元二次方程，符合题意； D、中，含有分式，不是整式方程，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查一元二次方程的定义和一般形式，解题的关键是理解一元二次方程的定义，一元二次方程的一般形式：． 2. 数学美是简洁性、对称性、统一性和奇异性的有机结合．下列曲线中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形与中心对称图形的概念，根据轴对称图形的概念（平面内沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形）和中心对称图形的概念（在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形）逐项判断，即可解题． 【详解】解：A、爱心曲线是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意． B、蝴蝶曲线是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意． C、费马螺线曲线不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意． D、四叶花曲线是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意． 故选：D． 3. 如图，电路图上有4个开关A、B、C、D和1个小灯泡，同时闭合开关A、B或同时闭合开关C、D都可以使小灯泡发光．下列操作中，“小灯泡发光”这个事件是随机事件的是（　　） A. 只闭合1个开关 B. 只闭合2个开关 C. 只闭合3个开关 D. 闭合4个开关 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查事件分类的判断，根据题意及事件的分类进行判定即可． 【详解】解：A、只闭合1个开关，小灯泡不会发光，属于不可能事件，不符合题意； B、只闭合2个开关，小灯泡可能发光也可能不发光，是随机事件，符合题意； C、只闭合3个开关，小灯泡一定会发光，是必然事件，不符合题意； D、闭合4个开关，小灯泡一定会发光，是必然事件，不符合题意； 故选：B． 4. 下列一元二次方程中，没有实数根的是（ ） A. x-2x-3=0 B. （x-2）（x+3）=0 C. x=5 D. x-2x+3=0 【答案】D 【解析】 【分析】根据根的判别式逐一判断即可. 【详解】解：A.，故方程有两个不相等的实数根； B. 原方程化为，，故方程有两个不相等的实数根； C. 原方程化为，，故方程有两个不相等的实数根； D.，故方程没有实数根； 故选D. 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式：，方程有两个不相等的实数根；方程有两个相等的实数根；，方程没有实数根. 5. 如图，点、、在上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，解题的关键是掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，即可求得． 【详解】解：， ， 故选：B． 6. 如图，在中，，，将此三角形绕点B沿逆时针方向旋转后得到△，若点恰好落在线段上，、交于点D，则等于（　　） A. 50° B. 60° C. 70° D. 80° 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形内角和得出，根据旋转的性质得出，，，再求出，进而，根据三角形内角和定理即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， 根据旋转可得：，，， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查旋转的性质，三角形内角和定理，等边对等角，正确得出旋转角是解题的关键． 7. 在2023年中考体育考试前，小康对自己某次实心球的训练录像进行了分析，发现实心球飞行路线是一条抛物线，若不考虑空气阻力，实心球的飞行高度y（单位：米）与飞行的水平距离x（单位：米）之间具有函数关系，则小康这次实心球训练的成绩为（　　） A. 14米 B. 12米 C. 11米 D. 10米 【答案】B 【解析】 【分析】根据铅球落地时，高度，把实际问题可理解为当时，求x的值即可． 【详解】解：当时，则， 解得（舍去）或． 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数应用中函数式中变量与函数表达的实际意义，需要结合题意，取函数或自变量的特殊值列方程求解是解题关键． 8. 如图，正方形的边长为4，以点为圆心，为半径画圆弧得到扇形（阴影部分，点在对角线上）．若扇形正好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面圆的半径是（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，扇形ADE中弧DE的长即为圆锥底面圆的周长，即通过计算弧DE的长，再结合圆的周长公式进行计算即可得解． 【详解】∵正方形的边长为4 ∴ ∵是正方形的对角线 ∴ ∴ ∴圆锥底面周长为，解得 ∴该圆锥的底面圆的半径是， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了扇形的弧长公式，圆的周长公式，正方形的性质以及圆锥的相关知识点，熟练掌握弧长公式及圆的周长公式是解决本题的关键． 9. 已知反比例函数 ，下列结论中不正确的是（　　） A. 图象必经过点 B. 图象位于第二、四象限 C. 图象关于原点对称 D. 在每一个象限内，y随x的增大而减小 【答案】D 【解析】 【分析】根据反比例函数的图象和性质逐项判断即可得出答案． 【详解】解：对于反比例函数 ， 当时，，因此图象必经过点，故A选项结论正确，不合题意； ，因此图象位于第二、四象限，故B选项结论正确，不合题意； 反比例函数的图象关于原点对称，故C选项结论正确，不合题意； 在每一个象限内，y随x的增大而增大，故D选项结论不正确，符合题意； 故选D． 【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、所在象限、对称性、增减性等，解题的关键是熟练掌握反比例函数的图象和性质． 10. 矩形中，．动点E从点C开始沿边向点B以的速度运动，同时动点F从点C出发沿边向点D以的速度运动至点D停止．如图可得到矩形，设运动时间为x（单位：），此时矩形去掉矩形后剩余部分的面积为y（单位：），则y与x之间的函数关系用图象表示大致是下图中的（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数及其图象，一次函数及其图象的知识，根据题意写出其解析式是解题的关键．根据题意写出函数解析式，分情况讨论即可． 【详解】解：此题在读懂题意的基础上，分两种情况讨论： 当时，， 此时函数的图象为抛物线的一部分， 它的最高点为抛物线的顶点，最低点为； 当时，点E停留在B点处， 故，此时函数的图象为直线的一部分， 它的最上点可以为，它的最下点为． 结合四个选项的图象知选A项． 故选：A． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分．） 11. 已知是关于x的一元二次方程的一个根，则常数a的值是______． 【答案】1 【解析】 【分析】将代入方程可得关于a的方程，解这个方程即可． 【详解】解：将代入方程得：， 解得：． 故答案为：1． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的解的定义和解方程的能力，掌握能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解是解题的关键． 12. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是 _____． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了关于原点对称的点的坐标特征,根据关于原点对称的点“横纵坐标都变为原来的相反数”，即可得出答案，正确把握对应点横纵坐标的关系是解题的关键． 【详解】解：点关于原点对称的点的坐标是， 故答案为：． 13. 抛物线向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到抛物线的解析式为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与几何变换，结合左加右减，上加下减可得答案． 【详解】解：抛物线向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到抛物线的解析式为，即． 故答案为：． 14. 如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ACB=90°，∠A=25°，过点C作⊙O的切线，交AB的延长线于点D，则∠D的度数是__________度． 【答案】40 【解析】 【分析】连接OC，由圆周角定理可求得∠COD，由切线的性质可知∠OCD=90°，则可求得∠D． 【详解】解：连接OC， ∵∠A=25°， 则∠COD=2∠A=50°， ∵CD为⊙O的切线， ∴OC⊥CD， ∴∠OCD=90°， ∴∠D=180-90-50=40°， 故答案为40. 【点睛】本题主要考切线的性质和圆周角定理，利用圆周角定理求得∠COD是解题的关键，注意有关切线问题中辅助线的运用． 15. 如图，中，，，，以A为圆心长为半径作圆A，延长交圆A于点D，则长为 _____． 【答案】## 【解析】 【分析】利用垂径定理得出，两个直角三角形中 由勾股定理分别表示出,进而得出含有的方程，再求解求出，进而求出、、即可． 【详解】解：如图，过点A作，垂足为E，则， 设，则， 在中，由勾股定理得， ， 即， 在中，由勾股定理得， ， 即， 所以， 解得， 即， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理，掌握垂径定理以及勾股定理是正确解答的前提． 三、解答题（本大题共3小题，每小题7分，共21分．） 16. 用适当的方法解方程： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，利用因式分解法解方程即可． 【详解】解：， ， 或， 解得； 17. 正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点O（0，0），A（4，1），B（4，4）均在格点上． （1）画出绕原点O顺时针旋转90°后得到的OA1B1，并写出点A1的坐标． （2）求点A到点A1经过的路径长． 【答案】（1）作图见解析，点的坐标为；（2） 【解析】 【分析】（1）将点、分别绕原点顺时针旋转后得到其对应点，再与点首尾顺次连接即可； （2）先求出线段的长，再根据扇形的弧长公式结合求解即可． 【详解】解：（1）如图所示，即为所求． 其中点的坐标为； （2），， 点A到点A1经过的路径长为． 【点睛】本题主要考查作图—旋转变换，解题的关键是掌握旋转变换的定义与性质及扇形弧长公式． 18. 为了弘扬中华优秀传统文化，丰富校园文化生活，某校积极筹备校园艺术节，九年级一班、二班准备在“民歌串烧”“民族舞蹈”“民乐演奏”中分别选择一个节目进行表演．学校把这三个节目名分别写在三张完全相同的不透明的卡片的正面上，然后将这三张卡片背面朝上洗匀后放在桌面上． （1）九年级一班随机抽取一张卡片，则抽中“民族舞蹈”的概率是__________； （2）—班同学先从中随机抽取一张卡片，记录下卡片上的节目后放回，二班同学再随机抽取一张卡片，记录下卡片上的节目．请用列表法或画树状图法求出一班、二班同学表演不同节目的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接根据概率公式求解即可； （2）设“民歌串烧”“民族舞蹈”“民乐演奏"分别用字母、、表示，然后画出树状图即可求解． 【小问1详解】 解：九年级一班随机抽取一张卡片，则抽中“民族舞蹈”的概率是， 故答案为：． 【小问2详解】 解：用A、B、C依次表示这三个节目， 根据题意画图如下： 由树状图可知，共有9种等可能的结果数，其中一班、二班同学表演不同节目的有6种，则一班、二班同学表演不同节目的概率是． 【点睛】本题主要考查概率，熟练掌握利用树状图求解概率是解题的关键． 四、解答题（本大题共3小题，每小题9分，共27分．） 19. 近年来国家倡导“电动车，上牌照，保安全，戴头盔”，要求骑行、乘坐摩托车、电动车需要佩戴头盔，戴头盔对保护乘坐电动车的未成年人的安全尤为重要，某头盔专卖店购进一批单价为36元的头盔，在销售中，通过分析销售情况发现这种头盔的月销售量y（个）与售价（元/个）满足函数关系． （1）设专卖店月销售利润为元，求与之间的函数解析式； （2）求该专卖店月销售利润的最大值． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的应用，根据“总利润单个利润销售数量”得出关于的解析式是解题关键． （1）根据“月销售利润(售价成本)月销售量”即可求解； （2）将（1）中所得解析式利用配方法配方， 再结合二次函数的性质即可求解． 【小问1详解】 解：设专卖店月销售利润为元，则 ． 【小问2详解】 解：由知 ， ∴当时，取得最大值，最大值为， ∴该专卖店月销售利润的最大值． 20. 如图，已知直线与反比例函数的图象交于点，与y轴交于点B，过点B作x轴的平行线交反比例函数的图象于点C． （1）求直线和反比例函数图象的表达式； （2）求的面积． 【答案】（1）直线的表达式为，反比例函数的表达式为 （2）6 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可； （2）由一次函数解析式求得点B的坐标，再根据轴，可得点C的纵坐标为1，再利用反比例函数表达式求得点C坐标，即可求得结果． 【小问1详解】 解：∵直线与反比例函数的图象交于点， ∴，，即， ∴直线的表达式为，反比例函数的表达式为． 小问2详解】 解：∵直线的图象与y轴交于点B， ∴当时，， ∴， ∵轴，直线与反比例函数的图象交于点C， ∴点C的纵坐标为1， ∴，即， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查用待定系数法求一次函数和反比例函数解析式、一次函数与反比例函数的交点、一次函数与y轴的交点，熟练掌握用待定系数法求函数解析式是解题的关键． 21. 【问题情景】1643年，法国数学家费马曾提出一个著名的几何问题：给定不在同一条直线上的三个点A，B，C，求平面上到这三个点的距离之和最小的点的位置，意大利数学家和物理学家托里拆利给出了分析和证明，该点也被称为“费马点”或“托里拆利点”，该问题也被称为“将军巡营”问题． 【理解运用】 （1）下面是该问题的一种常见的解决方法，请补充以下推理过程： 当的三个内角均小于时，如图1，将绕点顺时针旋转得到，连接，由，可知为_______（选“直角”或“等边”）三角形，故，又，故，由_______（选“两点之间线段最短”或“三角形两边之和大于第三边”）可知，当在同一条直线上时，取最小值，如图2，最小值为，此时的点为该三角形的“费马点”，且有_______（填写角度数）；已知当有一个内角大于或等于时，“费马点”为该三角形的某个顶点．如图3，若，则该三角形的“费马点”为_______（选“A”或“B”或“C”）点； 【深入探究】 （2）如图4，在中，三个内角均小于，且，已知点为的“费马点”，求的值． 【答案】（1）等边；两点之间，线段最短；；A；（2）5 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，旋转的性质，勾股定理，将三角形进行旋转是解题的关键： （1）根据等边三角形的判定和性质，以及两点之间线段最短，以及旋转的性质和全等三角形的性质，进行作答即可； （2）将绕，点C顺时针旋转得到，连接，进而得到当在同一条直线上时，取最小值，最小值为的长，进行求解即可． 【详解】（1）解：①等边；②两点之间，线段最短；③；④A． 分析如下：， 为等边三角形； ， 又，故， 由两点之间线段最短可知，当在同一条直线上时，取最小值， 最小值为，此时的P点为该三角形的“费马点”， ， ， 由旋转可知， ， ， ； ， ， ， 三个顶点中，顶点A到另外两个顶点的距离和最小． 又已知当有一个内角大于或等于120°时，“费马点”为该三角形某个顶点． 该三角形的“费马点”为点A， 故答案为：①等边；②两点之间，线段最短；③；④A． （2）将绕点C顺时针旋转得到，连接， 由（1）可知当在同一条直线上时，取最小值，最小值为， ， ， 又， ， 由旋转性质可知：， ， 最小值为5． 五、解答题（本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分．） 22. 如图，抛物线过点． （1）求抛物线的解析式； （2）设点是直线上方抛物线上一点，求出的最大面积及此时点的坐标； （3）若点是抛物线对称轴上一动点，点为坐标平面内一点，是否存在以为边，点为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）的最大面积为， （3）存在，或或，，见解析 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法代入求解即可； （2）利用待定系数法先确定直线的解析式为，设点，过点P作轴于点D，交于点E，得出，然后得出三角形面积的函数即可得出结果； （3）分两种情况进行分析：若为菱形的边长，利用菱形的性质求解即可． 【小问1详解】 解：将点代入解析式得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 设直线的解析式为，将点B、C代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵， ∴， 设点，过点P作轴于点D，交于点E，如图所示： ∴， ∴， ∴， ∴当时，的最大面积为， ， ∴ 【小问3详解】 存在，或或，，证明如下： ∵， ∵抛物线的解析式为， ∴对称轴为：， 设点， 若为菱形的边长，菱形， 则，即， 解得：，， ∵， ∴， ∴，； 若为菱形的边长，菱形， 则，即， 解得：，， ∵， ∴， ∴，； 综上可得： 或或，． 【点睛】题目主要考查二次函数的综合应用，包括待定系数法确定函数解析式，三角形面积问题及特殊四边形问题，全等三角形的判定和性质等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． 23. 【课本再现】（1）课本中有这样一段内容：战国时的《墨经》有“圆，一中同长也”的记载，它的意思是圆上各点到圆心的距离等于半径.复习课上，小明和同学们对如图1所示的课本例题进行了深入学习： 例1矩形的对角线，相交于点，求证：，，，四个点在以点为圆心的同一个圆上. 证明：四边形为矩形， ，，， ， ，，，四个点在以点为圆心，为半径的同一个圆上. 通过这个例题学习对“到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上”有了更深的理解.以下是一道课本原题：“中，，求证：，，三点在同一个圆上.”请你利用图2写出证明过程. 【初步运用】（2）对于一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识可以更容易解决问题.例如：如图3，在中，，，是外一点，且，求的度数.若以点为圆心，为半径作辅助，由可知点，必在上，是的圆心角，而是圆周角，从而可容易得到__________°. 【深入理解】（3）如图4，在四边形中，.求证：. 【拓展延伸】（4）如图5，在边长为2菱形中，，是边的中点，是边上的一动点，将沿所在直线翻折得到，连接，求长度的最小值. 【答案】（1）见解析、（2）、（3）见解析、（4） 【解析】 【分析】本题考查了圆得相关知识点以及构造辅助圆在解决几何问题中的作用，涉及了圆周角定理、斜中半定理、菱形的性质等知识点，掌握相关结论并加以运用是解题关键． （1）取的中点，连接，根据斜中半定理即可求解； （2）根据圆周角定理可得； （3）由题意可得点，，在以为圆心，为半径的圆上，结合圆周角定理即可求证； （4）根据条件可得点在以为圆心，为直径的圆上，当点为与的交点时，长度取最小值，据此即可求解． 【详解】解：（1）证明：取的中点，连接， ， 在中，， ，，三点在以点为圆心，为半径的同一个圆上； （2）根据圆周角定理可得： 故答案为：； （3）证明：， 点，，在以为圆心，为半径的圆上， 可以构造出过，，三点的，然后用图2或图3所示的方法解决. 方法1：如图， ， . 又在中，， 在中， ， . 方法2：延长交于点，连接 则为的直径， 在中，， 又在中，， . （4）解：由折叠性质知， 又是中点， ， 点在以为圆心，为直径的圆上， 当点为与的交点时，长度取最小值， 过点作的延长线于点， 菱形中，， ， ， 在中，， 在中，， . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$