精品解析：江苏省南京市鼓楼区2025-2026学年第一学期期末考试九年级数学练习试卷

2025-2026学年第一学期期末考试九年级数学练习试卷 注意事项： 1．本试卷共6页．全卷满分120分．考试时间为120分钟．考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无效． 2．请将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡及本试卷上． 3．答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡上的指定位置，在其他位置答题一律无效． 4．作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚． 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 方程的解可以为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查用因式分解法解一元二次方程，通过提取公因式将方程转化为两个一次方程求解，再匹配选项即可. 【详解】解：∵ ∴ ∴或 解得，. 故选：A. 2. 若，且相似比为，则与的面积比为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的性质，利用“相似三角形的面积比等于相似比的平方”这一性质即可求解． 【详解】解：∵，且相似比为， ∴与的面积比为， 故选：B． 3. 某校开展“颂时代强音，启元旦韶华”朗诵比赛，有14位同学参加了初赛，按初赛成绩由高到低取前7位进入决赛．若小明要判断自己能否进入决赛，除自己的成绩外，他还需要知道这14位同学成绩的（ ） A. 平均数 B. 众数 C. 中位数 D. 方差 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查统计量的选择，需结合各统计量的意义，分析判断小明进入决赛需要参考的统计量． 【详解】解：∵共有14位同学的成绩，取前7名进入决赛 ∴将14个成绩按从高到低排序后，中位数是第7名和第8名成绩的平均数 ∴若小明的成绩高于中位数，则他的成绩至少排在第8名之前，能进入决赛；若等于中位数，也可能并列第7名进入决赛；若低于中位数，则排在第8名及之后，无法进入决赛 ∴小明需要知道这14位同学成绩的中位数， 故选：C． 4. 在上，点A，B，C，D，E的位置如图所示，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接，利用圆的内接四边形的性质解答即可． 本题主要考查的是圆周角定理和圆内接四边形的性质，作出辅助线构建内接四边形是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， 则四边形是的内接四边形， 故， 又， ， 的度数为， 故选：B． 5. 如图，，，若长为，则长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定与性质． 根据平行线分线段成比例定理可知，由可证，根据相似三角形对应边成比例可得，根据即可求出的长度． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 长为， ， ， . 故选：C． 6. 若二次函数的图象在坐标系中的位置如图所示，则函数的图象可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 由的图象可得，，，，从而可判断的大致图象． 【详解】解：∵的图象开口向下， ∴， ∴的图象与轴交于负半轴； ∵的对称轴在轴左边， ∴， ∴， ∵的图象与轴交于负半轴， ∴， ∴， ∴的图象开口向下，对称轴在轴左边， ∵的图象与轴没有交点， ∴， ∴的图象与轴没有交点， 综上所述，可得D选项符合题意． 故选：D． 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上） 7. sin30°的值为_____． 【答案】 【解析】 【详解】根据特殊角的三角函数值计算即可：sin30°=． 故答案为： 8. 如图是中国硬币史上唯一采用九边设计的流通币，若把该九边形看作是正九边形，则每条边所对外接圆的圆心角度数是____________°． 【答案】 【解析】 【分析】根据正n边形的中心角等于计算即可． 本题考查了正多边形的中心角计算，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得每条边所对外接圆的圆心角度数是， 故答案为：40． 9. 某校图书馆的藏书在两年内从5万册增加到万册，设图书馆的藏书平均每年增长的百分率是，可列方程____________． 【答案】 【解析】 【分析】设平均每年增长百分率为 ，根据题意，得． 本题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握列方程是解题的关键． 【详解】解：设平均每年增长百分率为 ，依题意，得 ． 故答案为 ：． 10. 设是一元二次方程的两个根，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据根与系数的关系先求出的值，然后代入计算即可． 【详解】解：∵是一元二次方程的两个根， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了根与系数的关系，若是一元二次方程的两根时，． 11. 已知圆锥的底面半径是2，母线长6，则它的侧面展开图的面积为___________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出底面圆的周长，再利用扇形面积公式求解． 【详解】解：由半径为2可得圆锥的底面周长为， ∴侧面展开图的面积为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆锥的侧面展开图的面积问题，解题关键是理解圆锥的侧面展开图是一个扇形，并牢记扇形面积公式为扇形弧长扇形半径． 12. 已知二次函数，当时，的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，先根据判断出抛物线的开口向下，故有最大值，对称轴，然后根据当时，在对称轴的两侧，代入求得最小值求得答案即可． 【详解】解：二次函数中， 抛物线开口向下，有最大值为，抛物线的对称轴为轴， 当时，在对称轴的两侧， 当时，， 当时， 当，的取值范围是， 故答案为． 13. 若二次函数（是常数，且）的图象经过点，则方程的根为____________． 【答案】1或 【解析】 【分析】将点A(1,0)代入二次函数解析式，得到c与a的关系，再代入方程求解． 本题考查了抛物线与一元二次方程的根，根与系数的关系定理，熟练掌握定理是解题的关键． 【详解】解： ∵二次函数（是常数，且）的图象经过点， ∴即0=3a+c ∴， ∴， 设方程的另一个根为 根据题意，得， 解得， 故方程的根为1或 故答案为：1或． 14. 将边长均为2的正方形和正六边形如图拼接，若经过点A，B，C，D，则点到的距离为____________． 【答案】## 【解析】 【分析】连接，证明三点共线，过点F作于点G，过点F作，垂足分别为M，H，得到四边形是矩形，解答即可． 本题考查了正方形的性质，正六边形的性质，垂径定理，矩形的判定和性质，三角函数的应用，熟练掌握定理和性质是解题的关键． 【详解】解：如图所示，设正六边形的两个顶点为E，F，连接， ∵边长均为2的正方形和正六边形， ∴， ∴， ∴， ∴三点共线， 过点F作于点G， ∴， ∴， ∴， 过点O作，垂足分别为M，H， ∴，四边形是矩形， ∴， 故答案为：． 15. 将二次函数的图象向左平移3个单位长度，得到函数____________的图象． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象平移问题， 根据“上加下减，左加右减”的规律求解即可． 【详解】解：∵， ∴将二次函数的图象向左平移3个单位长度，得到的函数解析式为． 故答案为： 16. 如图，将正方形纸片剪成如图的四部分，这四部分恰能围成一个矩形．要使所围成的矩形无缝隙、无重叠，则的值应为____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据正方形的面积等于长方形的面积列式解答即可． 本题考查了拼图计算，熟练掌握拼图的意义是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得， 解得，（舍去） 故答案为：． 三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解方程 （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，正确选择合适的方法解一元二次方程是解题的关键． （1）利用因式分解法解方程； （2）利用公式法解方程． 【小问1详解】 解： 或 ∴，； 【小问2详解】 解： ， ， ∴ ∴，． 18. 已知一个二次函数的图象的顶点坐标是，且图象经过点． （1）求该二次函数的表达式； （2）写出与该函数图象关于轴对称的图象对应的表达式． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据抛物线的顶点坐标是，设抛物线的解析式为，把代入解析式，确定a值即可． （2）根据抛物线的顶点坐标是，设抛物线的解析式为，把代入解析式，确定a值即可． 本题考查了待定系数法，熟练掌握方法是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵抛物线的顶点坐标是， ∴抛物线的解析式可设为， 把点代入得， 解得， 所以该抛物线的解析式为， 即． 【小问2详解】 解：∵新函数图象与原函数图象关于轴对称， ∴新图象的顶点为，且经过点， 根据题意，得：抛物线的顶点坐标是， ∴抛物线的解析式可设为，把点代入得， 解得， ∴该抛物线的解析式为， 即． 19. 如图，在和中，点B，D，E在同一条直线上，． （1）求证； （2）连接，若，则____________． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先证明，再利用判定定理证明即可； （2）根据，得到对应边成比例，利用两边成比例且夹角相等证明，即可． 本题主要考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定定理（三边成比例、两边成比例且夹角相等）是解题的关键． 【小问1详解】 证明：设的交点为F， ， ， ， ， ， ， ， ． 【小问2详解】 解：连接， ， ， ∵， ∴， ， ， ∴， 解得， 故答案为：． 20. 甲、乙两台包装机同时包装质量为200g的糖果，从中各随机抽取10袋，测得其实际质量（单位：g）分别如下： 甲 202 203 202 196 199 201 200 197 201 199 乙 201 199 200 204 200 202 196 195 202 201 （1）通过计算判断哪台包装机包装糖果的质量比较稳定； （2）若向甲包装机对应的数据中再添加一个大小为200g的数据，重新统计后，这11个数据的平均数、方差会如何变化？直接写出变化情况，无需解释． 【答案】（1） 甲包装机包装糖果的质量比较稳定 （2） 平均数不变，方差变小 【解析】 【分析】本题考查了平均数、方差的计算及意义，解题的关键是掌握平均数和方差的计算公式，利用方差判断数据的稳定性； （1）的关键步骤是分别计算甲、乙两组数据的平均数和方差，比较方差大小； （2）的关键步骤是根据添加数据后的总和与平方和，重新计算平均数和方差，判断其变化情况． 【小问1详解】 解： ∵， ∴甲包装机包装糖果的质量比较稳定． 【小问2详解】 解：原10个数据的平均数， 新数据总和：， 新平均数， ∴平均数不变． 原方差， 原数据与平均数差的平方和：， 新数据与平均数差的平方和：， 新方差， ∵， ∴方差变小． 21. 在一个不透明袋中有4个小球，标号分别为1，2，3，4，它们除标号外无其他差别．甲随机摸取一个小球记下标号，然后放回，再随机摸取一个小球，记下标号；乙随机摸取一个小球记下标号，不放回，再随机摸取一个小球，记下标号． （1）求甲两次摸球的标号之和等于5的概率； （2）乙两次摸球的标号之和等于5的概率为____________． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用画树状图法解答即可． （2）利用画树状图法解答即可． 本题考查了画树状图计算概率，熟练掌握计算概率是解题的关键． 【小问1详解】 解：根据题意，画树状图如下： 两个数的和2，3，4，5，3，4，5，6，4，5，6，7，5，6，7,8共有16种等可能性，两个数字的和是5的等可能性有4种， 故两次取出的数字之和为5的概率为：． 【小问2详解】 解：根据题意，画树状图如下： 两个数的和3，4，5，3，5，6，4，5，7，5，6，7共有12种等可能性，两个数字的和是5的等可能性有4种， 故两次取出的数字之和为5的概率为：． 故答案为：． 22. 用反证法证明“圆的切线垂直于经过切点的半径”． 已知：如图，直线与相切，切点为，连接． 求证：． 证明：假设与不垂直， 过圆心作，垂足为异于的点． ∵直线与相切， ∴圆心到直线的距离等于的半径 即． … ∴假设不成立，即． （1）小明这样填写“…”部分，请你补全他的说理过程： ∴①____________也在上． 这样，直线与有两个不同的公共点． 这与“②____________”矛盾； （2）用不同的思路完成“…”部分． 【答案】（1）①点，②直线与相切 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）①根据圆的定义，判断点也在上，继而得到直线与有两个不同的公共点．这与直线与相切，有唯一公共点矛盾，即可得解． （2）利用斜边大于直角边，判断直线与圆相交，与直线与圆相切矛盾，得证． 本题考查了反证法的应用，熟练掌握反证法是解题的关键． 【小问1详解】 证明：假设与不垂直， 过圆心作，垂足为异于的点． ∵直线与相切， ∴圆心到直线的距离等于的半径 即． ∴点也在上． 这样，直线与有两个不同的公共点． 这与“直线与相切”矛盾 ∴假设不成立，即． 故答案为：①点，②直线与相切． 【小问2详解】 证明：假设与不垂直， 过圆心作，垂足为异于的点． ∵与不垂直， ∴在直角三角形中，根据斜边大于直角边， 得． ∵直线与相切，切点为D， ∴点在上． ∵， ∴在圆内， 故直线与相交， 这与“直线与相切”矛盾 ∴假设不成立，即． 23. 如图，某渔轮在航行中遇险发出呼救信号，我海军舰艇在处获悉后，测出该渔轮在海军舰艇的北偏东、距离为海里的处，并测得该渔轮正沿南偏东的方向行进．海军舰艇立即沿北偏东的方向前去营救，与渔轮在处相遇．求渔轮的航程和海军舰艇的航程． （参考数据：．） 【答案】渔轮的航程为20海里，海军舰艇的航程为52海里 【解析】 【分析】过A，B，C三点构造矩形，过点C作于点F，过点B作于点O，利用方向角解直角三角形即可． 本题考查了解直角三角形的实际应用，勾股定理，方位角的概念，掌握三角函数的定义是是解题关键． 【详解】解：如图，过A，B，C三点构造矩形，过点C作于点F，过点B作于点O， 根据题意，得，，，海里， （海里）， （海里）， 又四边形是矩形，四边形是矩形， 设海里， （海里），（海里）， 又四边形是矩形，四边形是矩形， （海里）， （海里）， （海里）， （海里）， ， ， （海里）， 故 ， 故， 解得， （海里）， （海里）， 故（海里）， 答：渔轮的航程为20海里，海军舰艇的航程为52海里． 24. 设二次函数的图象为． （1）求与轴的交点坐标； （2）当时，画出与函数的大致图象，并写出的解集； （3）已知，若与线段始终有公共点，直接写出的取值范围． 【答案】（1）和 （2），图象见解析 （3）或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，抛物线与x轴的交点问题，抛物线与不等式的关系等知识点． （1）令，解方程即可； （2）先求出抛物线M的表达式，即可作出抛物线与直线的大致图象，然后求出抛物线与直线的交点坐标，即可由图象求解的解集； （3）线段上所有点的横坐标为5，纵坐标满足． 将代入，得，则由题意得，再解不等式即可． 【小问1详解】 解：对于，当时，则， ∵， 解得， ∴与轴的交点坐标为和； 【小问2详解】 解：当时，抛物线为， 则可画与的大致图象如图： 联立抛物线与直线得，， ∴， 解得， ∴直线与抛物线的交点坐标为和， ∴由图象可得，的解集为； 【小问3详解】 解：点，．  线段上所有点的横坐标为5，纵坐标满足． 将代入，得．  M与线段始终有公共点．  ． 解不等式，得． 解不等式，得． 又．  的取值范围为或． 25. 如图，在中，是边上的动点，以为直径作，分别交，，于点E，F，G，连接，设． （1）直接写出的长； （2）当时，求证； （3）设，求与之间的关系． 【答案】（1）4 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）连接，根据勾股定理，得，代换计算即可； （2）连接，根据圆周角定理，证明，，继而证明，利用等边对等角，等角对等边证明即可； （3）根据，，建立等式，代入计算即可． 本题考查了圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，三角形相似的判定和性质，勾股定理，三角函数的应用，熟练掌握判定和性质，函数的应用是解题的关键． 【小问1详解】 解：连接， 以为直径作，分别交，，于点E，F，G， ， ， ， ∴， , 解得． 【小问2详解】 证明：连接， ∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：连接，， ∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 26. 尺规作图：已知和，求作，使且内接于．要求：①用两种不同方法完成；②保留作图痕迹，并写出必要的文字说明． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，弦与圆心角的关系等知识点，难度较大． 方法一： 由作图可得，，圆与小圆是等圆，那么，，则，可得，而，则，则，同理，，那么，则，即； 方法二：同理可证明，同理可得，故． 【详解】解：方法一：如图，即为所求； 方法一：先作出的外接圆，连接，以点为圆心，为半径作小圆，在小圆上取一点，以点为圆心，长为半径画弧与小圆交于点，再以点为圆心，长为半径画弧与小圆交于点，连接，连接并延长交大圆O于点，再顺次连接，则即为所求； 方法二：如图，即为所求； 方法二：先作出的外接圆，连接，以点为圆心，圆O的半径为半径画大圆I，延长交大圆于点，在圆O上取一点，以点为圆心，长为半径画弧交圆O于点，再以点为圆心，长为半径画弧交圆O于点，再顺次连接，则即为所求． 27. 确定重心位置 我们知道，三角形的重心位于三条中线的交点处，其他平面图形的重心在什么位置呢？根据数学方法、物理知识，我们可以这样确定平面图形及其组合图形的重心位置： ①对称图形的重心在其对称中心或对称轴上； ②若图形由两部分组成，其重心位于连接这两部分重心的直线上； ③若图形由面积相等的两部分组成，其重心是这两部分重心连线的中点； ④若图形由面积不相等的两部分组成，其重心位置满足杠杆原理，关系如上． （1）在方格纸中，仅用无刻度直尺画出图1～图3中阴影所示图形的重心G的位置； （2）如图4，一般四边形的重心位置如何确定？请写出确定其重心位置的主要思路，并画出示意图． （3）在一张匀质平整卡纸上打了5个孔，打孔后的卡纸仍是轴对称的，具体尺寸如图5所示，求打孔后卡纸的重心比之前偏移了多少？（结果精确到，取3．） 【答案】（1）作图见详解 （2）思路和作图见详解 （3）打孔后卡纸的重心比之前偏移了 【解析】 【分析】（1）结合题意针对不同方格纸内的图形作出对应的重心即可； （2）根据题意中情况④进行分析画图即可； （3）原图形为矩形，其重心在对角线，的交点处，取，的中点M，N，连接，打孔后，矩形分为矩形和矩形，分别作出对应的重心，结合情况④得出对应的关系式并将涉及的线段分别表示出，列出二元一次方程组并求解出的值，最后即可求得打孔后卡纸的重心比之前偏移的距离． 【小问1详解】 解：如图1，重心G即为所求： ∵该三角形是等腰三角形，属轴对称图形， ∴其重心在对称轴上； 如图2，重心G即为所求： 设六边形图形面积为，等腰三角形图形面积为， ∵， ∴； 如图3，重心G即为所求： 将多边形分成正方形和矩形，设正方形面积为，矩形面积为，取正方形重心为，矩形重心为，连接，连接方格纸对角线，与阴影图形的边长交点为N，与的交点为G，取正方形右上角的点M，连接， ∴， ∴ ， ∴， 由图形可知，， ∴， 即． 【小问2详解】 解：①连接，将四边形分成和， ②分别作出和的重心，； ③由题意中的情况④可知，四边形的重心在上，且满足， ④设的面积为，的面积为，则，，故， ⑤在上重心G，使即可， 如图，四边形的重心位置示意图为所求： 【小问3详解】 解：如图，原图形为矩形，其重心在对角线，的交点处，取，的中点M，N，连接， 打孔后，矩形分为矩形和矩形， 分别作矩形的重心，矩形的重心， 连接，在线段上取一点， ∵，， ∴ ， ∵， ∴联立，解得， ∴， 即打孔后卡纸的重心比之前偏移了． 【点睛】本题考查了重心的应用，相似三角形的判定与性质及矩形的性质等知识点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期期末考试九年级数学练习试卷 注意事项： 1．本试卷共6页．全卷满分120分．考试时间为120分钟．考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无效． 2．请将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡及本试卷上． 3．答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡上的指定位置，在其他位置答题一律无效． 4．作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚． 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 方程的解可以为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 2. 若，且相似比为，则与的面积比为（ ） A. B. C. D. 3. 某校开展“颂时代强音，启元旦韶华”朗诵比赛，有14位同学参加了初赛，按初赛成绩由高到低取前7位进入决赛．若小明要判断自己能否进入决赛，除自己的成绩外，他还需要知道这14位同学成绩的（ ） A. 平均数 B. 众数 C. 中位数 D. 方差 4. 在上，点A，B，C，D，E的位置如图所示，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，，，若长为，则长为（ ） A. B. C. D. 6. 若二次函数的图象在坐标系中的位置如图所示，则函数的图象可能为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上） 7. sin30°的值为_____． 8. 如图是中国硬币史上唯一采用九边设计的流通币，若把该九边形看作是正九边形，则每条边所对外接圆的圆心角度数是____________°． 9. 某校图书馆的藏书在两年内从5万册增加到万册，设图书馆的藏书平均每年增长的百分率是，可列方程____________． 10. 设是一元二次方程的两个根，则______． 11. 已知圆锥的底面半径是2，母线长6，则它的侧面展开图的面积为___________． 12. 已知二次函数，当时，的取值范围是_______． 13. 若二次函数（是常数，且）的图象经过点，则方程的根为____________． 14. 将边长均为2的正方形和正六边形如图拼接，若经过点A，B，C，D，则点到的距离为____________． 15. 将二次函数的图象向左平移3个单位长度，得到函数____________的图象． 16. 如图，将正方形纸片剪成如图的四部分，这四部分恰能围成一个矩形．要使所围成的矩形无缝隙、无重叠，则的值应为____________． 三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解方程 （1）； （2）． 18. 已知一个二次函数的图象的顶点坐标是，且图象经过点． （1）求该二次函数的表达式； （2）写出与该函数图象关于轴对称的图象对应的表达式． 19. 如图，在和中，点B，D，E在同一条直线上，． （1）求证； （2）连接，若，则____________． 20. 甲、乙两台包装机同时包装质量为200g的糖果，从中各随机抽取10袋，测得其实际质量（单位：g）分别如下： 甲 202 203 202 196 199 201 200 197 201 199 乙 201 199 200 204 200 202 196 195 202 201 （1）通过计算判断哪台包装机包装糖果的质量比较稳定； （2）若向甲包装机对应的数据中再添加一个大小为200g的数据，重新统计后，这11个数据的平均数、方差会如何变化？直接写出变化情况，无需解释． 21. 在一个不透明袋中有4个小球，标号分别为1，2，3，4，它们除标号外无其他差别．甲随机摸取一个小球记下标号，然后放回，再随机摸取一个小球，记下标号；乙随机摸取一个小球记下标号，不放回，再随机摸取一个小球，记下标号． （1）求甲两次摸球的标号之和等于5的概率； （2）乙两次摸球的标号之和等于5的概率为____________． 22. 用反证法证明“圆的切线垂直于经过切点的半径”． 已知：如图，直线与相切，切点为，连接． 求证：． 证明：假设与不垂直， 过圆心作，垂足为异于的点． ∵直线与相切， ∴圆心到直线的距离等于的半径 即． … ∴假设不成立，即． （1）小明这样填写“…”部分，请你补全他的说理过程： ∴①____________也在上． 这样，直线与有两个不同的公共点． 这与“②____________”矛盾； （2）用不同的思路完成“…”部分． 23. 如图，某渔轮在航行中遇险发出呼救信号，我海军舰艇在处获悉后，测出该渔轮在海军舰艇的北偏东、距离为海里的处，并测得该渔轮正沿南偏东的方向行进．海军舰艇立即沿北偏东的方向前去营救，与渔轮在处相遇．求渔轮的航程和海军舰艇的航程． （参考数据：．） 24. 设二次函数的图象为． （1）求与轴的交点坐标； （2）当时，画出与函数的大致图象，并写出的解集； （3）已知，若与线段始终有公共点，直接写出的取值范围． 25. 如图，在中，是边上的动点，以为直径作，分别交，，于点E，F，G，连接，设． （1）直接写出的长； （2）当时，求证； （3）设，求与之间的关系． 26. 尺规作图：已知和，求作，使且内接于．要求：①用两种不同方法完成；②保留作图痕迹，并写出必要的文字说明． 27. 确定重心位置 我们知道，三角形的重心位于三条中线的交点处，其他平面图形的重心在什么位置呢？根据数学方法、物理知识，我们可以这样确定平面图形及其组合图形的重心位置： ①对称图形的重心在其对称中心或对称轴上； ②若图形由两部分组成，其重心位于连接这两部分重心的直线上； ③若图形由面积相等的两部分组成，其重心是这两部分重心连线的中点； ④若图形由面积不相等的两部分组成，其重心位置满足杠杆原理，关系如上． （1）在方格纸中，仅用无刻度直尺画出图1～图3中阴影所示图形的重心G的位置； （2）如图4，一般四边形的重心位置如何确定？请写出确定其重心位置的主要思路，并画出示意图． （3）在一张匀质平整卡纸上打了5个孔，打孔后的卡纸仍是轴对称的，具体尺寸如图5所示，求打孔后卡纸的重心比之前偏移了多少？（结果精确到，取3．） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $