精品解析：湖南衡阳市衡阳县2025-2026学年上学期期末质量监测九年级数学试题

衡阳县2025年下学期期末质量监测试题 九年级数学 考生注意： 1．本试卷共3大题，26小题，满分120分，时量120分钟． 2．试卷分试题卷和答题卡两部分，考生务必在答题卡指定位置填写个人信息，并在答题卡上作答，答案写在试卷上无效． 3．选择题答案务必使用2B铅笔填涂． 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列说法正确的是（ ） A. “抛一枚硬币正面朝上的概率是0.5”表示每抛2次就有1次出现正面朝上 B. “抛一枚普通的正方体骰子，出现朝正面的数奇数的概率是0.5”表示如果这个骰子抛很多很多次，那么平均每2次就有1次出现朝正面的数为奇数 C. “明天降雨的概率是80%”表示明天有80%的时间降雨 D. “彩票中奖的概率是1%”表示买100张彩票一定会中奖 4. 一元二次方程的根的情况为（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 5. 在中，，若，则等于（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在大小为的正方形网格中，是相似三角形的是（ ） A. ①和② B. ②和③ C. ①和③ D. ②和④ 7. 为响应国家传统文化进校园的号召，某校准备购进一批毕加索笔来奖励经典诵读优秀生．某文具超市为让利给学校，经过两次降价，每支毕加索笔单价由121元降为100元，两次降价的百分率相同，设每次降价的百分率为x，根据题意列方程得（　　） A. B. C. D. 8. 若，则在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 9. 如图，P为边AB上一点且AP：：、F分别是的中点，、的面积分别为S和，则S和的关系式（ ） A. B. C. D. 10. 如图，四边形中，是中点，、分别是、的中点，当动点在上从向移动时，下列结论成立的是（ ） A. 线段的长逐渐增大 B. 线段的长逐渐减小 C. 线段的长不变 D. 线段的长与点P的位置有关 二、填空题（本题共8小题，每题3分，共24分） 11. 化简：=__________ 12. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是______． 13. 已知，那么________． 14. 一元二次方程的解是___________． 15. 如图，梯形护坡石坝的斜坡AB的坡度i＝1：2，坝高BC为3米，则斜坡AB的长是_____米．（结果保留根号） 16. 如果两个相似三角形对应高的比是1：2，其中较小三角形面积是12，那么另一个三角形面积是_____． 17. 一个口袋中有红球、白球共20个，这些球除颜色外都相同，将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，共摸了100次球，发现有70次摸到红球，则口袋中红球的个数约为___________． 18. 如图，在中，厘米，厘米，点从点出发，沿着边向点以的速度运动，点从点出发，沿着边向点以的速度运动，其中一个动点到端点时，另一个动点也相应停止运动，那么，当以、、为顶点的三角形与相似时，运动时间为________秒． 三、解答题（本大题共8小题，共66分，要求写出必要的解题步骤和演算过程） 19. 计算：． 20. 解方程：． 21. 已知关于的方程． （1）试说明无论取何值时，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程有一个根为1，求的值． 22. 如图，有张分别印有版西游图案的卡片：唐僧、孙悟空、猪八戒、沙悟净． 现将这张卡片（卡片的形状、大小、质地都相同）放在不透明的盒子中，搅匀后从中任意取出张卡片，记录后放回、搅匀，再从中任意取出张卡片求下列事件发生的概率： （1）第一次取出的卡片图案为“孙悟空”的概率为__________； （2）用画树状图或列表的方法，求两次取出的2张卡片中至少有张图案为“唐僧”的概率． 23. 芯片目前是全球紧缺资源，某市政府通过招商引进“芯屏汽合、集终生智”等优势产业，发展新兴产业，某芯片公司引进了一条内存芯片生产线，开工第一季度生产200万个，第三季度生产288万个．试回答下列问题： （1）已知第二、三季度生产量的平均增长率相等，求第二、三季度生产量的平均增长率； （2）经调查发现，1条生产线最大产能是600万个/季度，若每增加1条生产线，每条生产线的最大产能将减少20万个/季度，现该公司要保证每季度生产内存芯片2600万个，在增加产能同时又要节省投入成本的条件下（生产线越多，投入成本越大），应该再增加几条生产线？ 24. 如图，平行四边形ABCD，DE交BC于F，交AB的延长线于E，且∠EDB＝∠C． （1）求证：△ADE∽△DBE； （2）若DC＝7cm，BE＝9cm，求DE的长． 25. 随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产生活，如代替人们在高空测量距离和高度．圆圆要测量教学楼的高度，借助无人机设计了如下测量方案：如图，圆圆在离教学楼底部米的C处，遥控无人机旋停在点C的正上方的点D处，测得教学楼的顶部B处的俯角为，长为米．已知目高为米． （1）求教学楼的高度． （2）若无人机保持现有高度沿平行于的方向，以米/秒的速度继续向前匀速飞行，求经过多少秒时，无人机刚好离开圆圆的视线． 26. 如图，在中，，，，于点D．点P从点D出发，沿线段向点C运动，点Q从点C出发，沿线段向点A运动．两点同时出发．速度都为每秒1个单位长度，当点P运动到C时，两点都停止．设运动时间为t秒． （1）求线段的长； （2）设的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并确定在运动过程中是否存在某一时刻t，使得？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 衡阳县2025年下学期期末质量监测试题 九年级数学 考生注意： 1．本试卷共3大题，26小题，满分120分，时量120分钟． 2．试卷分试题卷和答题卡两部分，考生务必在答题卡指定位置填写个人信息，并在答题卡上作答，答案写在试卷上无效． 3．选择题答案务必使用2B铅笔填涂． 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查最简二次根式的判定，需根据最简二次根式的定义（被开方数不含分母，且被开方数中不含能开得尽方的因数或因式）逐一分析选项． 【详解】解：对于选项A：，被开方数是分数，不是最简二次根式； 对于选项B：，被开方数是分数，不是最简二次根式； 对于选项C：，被开方数含能开得尽方的因数4，不是最简二次根式； 对于选项D：的被开方数30分解质因数为，不含能开得尽方的因数，且不含分母，符合最简二次根式的定义； 故选：D． 2. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次根式的加减运算对A、B进行判断；根据二次根式的乘除法法则对C、D进行判断． 【详解】解：A、，故选项的计算错误； B、不能合并，故选项的计算错误； C、，故选项的计算正确； D、，故选项的计算错误； 故选C． 【点睛】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 3. 下列说法正确的是（ ） A. “抛一枚硬币正面朝上的概率是0.5”表示每抛2次就有1次出现正面朝上 B. “抛一枚普通的正方体骰子，出现朝正面的数奇数的概率是0.5”表示如果这个骰子抛很多很多次，那么平均每2次就有1次出现朝正面的数为奇数 C. “明天降雨的概率是80%”表示明天有80%的时间降雨 D. “彩票中奖的概率是1%”表示买100张彩票一定会中奖 【答案】B 【解析】 【详解】解：A．这是一个随机事件，抛一枚硬币，出现正面朝上或者反面朝上都有可能，但事先无法预料，错误； B．正确； C．这是一个随机事件，明天降雨的概率是80%表示明天有80%的可能降雨，但事先无法预料，错误； D．这是一个随机事件，买这种彩票，中奖或者不中奖都有可能，但事先无法预料，错误． 故选B． 点睛：正确理解概率的含义是解决本题的关键．关键是理解概率是反映事件的可能性大小的量．概率小的有可能发生，概率大的有可能不发生．概率是大量实验得到的一个相对稳定的值． 4. 一元二次方程的根的情况为（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，利用一元二次方程根的判别式判断根的情况，时方程有两个不相等的实数根，时有两个相等的实数根，时无实数根． 【详解】解：∵一元二次方程为， ∴，，， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 5. 在中，，若，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查锐角三角函数值的计算，可先依据锐角余弦的定义设出直角三角形的边长，再利用勾股定理求出另一条直角边，最后根据正切的定义计算出的值． 【详解】解：∵在中，， ∴， 设，（）， ∴， ∴， 故选：B． 6. 如图，在大小为的正方形网格中，是相似三角形的是（ ） A. ①和② B. ②和③ C. ①和③ D. ②和④ 【答案】C 【解析】 【分析】分别求得四个三角形三边的长，再根据三角形三边分别成比例的两三角形相似来判定． 【详解】解：①中的三角形的三边分别是：2，，， ②中的三角形的三边分别是：3，，， ③中的三角形的三边分别是：，2，， ④中的三角形的三边分别是：3，，， ①与③中的三角形的三边的比为：， ①与③相似． 故选：C． 【点睛】此题主要考查勾股定理，相似三角形的判定方法，利用勾股定理求出三角形三边长是解题的关键． 7. 为响应国家传统文化进校园的号召，某校准备购进一批毕加索笔来奖励经典诵读优秀生．某文具超市为让利给学校，经过两次降价，每支毕加索笔单价由121元降为100元，两次降价的百分率相同，设每次降价的百分率为x，根据题意列方程得（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设每次降价的百分率为x，根据降价后的价格＝降价前的价格（1−降价的百分率），则第一次降价后的价格是，第二次后的价格是，据此即可列方程求解． 【详解】解：设每次降价的百分率为x， 根据题意得：． 故选：D． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，找出降价后的价格与原价之间的关系为：降价后＝原价×（1−降价率）2是解题的关键． 8. 若，则在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的性质，点坐标的特点，先根据二次根式有意义的条件求出x的值，再代入表达式求出y的值，最后依据平面直角坐标系各象限点的坐标特征判断点P所在象限． 【详解】解：∵二次根式的被开方数为非负数， ∴， 解得， 当时，， ∴点的坐标为， ∵第四象限内的点横坐标为正，纵坐标为负， ∴点在第四象限， 故选：D． 9. 如图，P为边AB上一点且AP：：、F分别是的中点，、的面积分别为S和，则S和的关系式（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】试题解析：∵E、F分别是PB，PC的中点， ∴EF∥BC，EF=BC， ∴△PEF∽△PBC， ∴，即S△PBC=4S1， ∵AP：BP=1：2， ∴S△PBC：S△PAC=1：2， ∴S△PBC=2S1， ∴S=4S1+2S1=6S1， 即S1=S． 故选D． 10. 如图，四边形中，是中点，、分别是、的中点，当动点在上从向移动时，下列结论成立的是（ ） A. 线段的长逐渐增大 B. 线段的长逐渐减小 C. 线段的长不变 D. 线段的长与点P的位置有关 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形的中位线定理，连接，根据题意得到是的中位线，即可得出结论，掌握三角形的中位线定理是解题的关键． 【详解】解：连接，如图： ∵四边形中，是中点，分别是的中点， ∴是的中位线， ∴， 由题意可知，线段的长度是定值， ∴线段的长度是定值， ∴线段的长不变， 故选：C． 二、填空题（本题共8小题，每题3分，共24分） 11. 化简：=__________ 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式的性质计算． 【详解】解：原式=． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次根式的化简．注意最简二次根式的条件是：①被开方数的因数是整数，因式是整式；②被开方数中不含能开得尽方的因数因式．上述两个条件同时具备（缺一不可）的二次根式叫最简二次根式． 12. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的判别式，熟练掌握一元二次方程的判别式确定实数根的计算是解题的关键． 根据一元二次方程根的判别式，当判别式大于零时，方程有两个不相等的实数根，进行计算求解即可． 【详解】解：由于方程有两个不相等的实数根， 则， 即， 解得， 故答案为：． 13. 已知，那么________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查比例，设，则，代入计算即可． 【详解】解：， 设，， ， 故答案为：． 14. 一元二次方程的解是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程，利用因式分解法解方程即可得到答案． 【详解】解： ， ∴或， 解得，, ， 故答案为：，． 15. 如图，梯形护坡石坝的斜坡AB的坡度i＝1：2，坝高BC为3米，则斜坡AB的长是_____米．（结果保留根号） 【答案】 【解析】 【分析】直接利用坡度的定义得出AC的长，进而利用勾股定理得出答案. 【详解】∵梯形护坡石坝的斜坡AB的坡度，坝高BC为3米 ∴，即 解得： 故（米） 故答案为：. 【点睛】本题考查了坡度的定义、勾股定理，根据坡度的定义求出AC的长是解题关键. 16. 如果两个相似三角形对应高的比是1：2，其中较小三角形面积是12，那么另一个三角形面积是_____． 【答案】48 【解析】 【分析】设另一个三角形面积为x，根据相似三角形的性质列出比例式，计算得到答案. 【详解】设另一个三角形面积为x ∵两个相似三角形对应高的比是 ∴这两个相似三角形的相似比是 则 解得： 故答案为：48. 【点睛】本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的面积之比等于相似比的平方，这也是常考点，需重点掌握. 17. 一个口袋中有红球、白球共20个，这些球除颜色外都相同，将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，共摸了100次球，发现有70次摸到红球，则口袋中红球的个数约为___________． 【答案】14 【解析】 【分析】本题主要考查利用频率估计概率，根据题意，得到摸到红球的频率为，从而估计概率为，再乘以总球数20，得到红球个数即可． 【详解】共摸了100次球，有70次摸到红球，摸到红球的频率为， 因此估计摸到红球的概率为， 则口袋中红球的个数约为． 故答案为：14． 18. 如图，在中，厘米，厘米，点从点出发，沿着边向点以的速度运动，点从点出发，沿着边向点以的速度运动，其中一个动点到端点时，另一个动点也相应停止运动，那么，当以、、为顶点的三角形与相似时，运动时间为________秒． 【答案】秒或4秒 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定及性质，设运动时间为秒，分和，两种情况，利用相似三角形的性质即可求解，熟练掌握相似三角形的判定及性质，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． 【详解】解：设运动时间为秒， 当时，如图： 则，，， ，即：， 解得：， 当时，如图： 则，，， ，即：， 解得：， 综上所述，运动时间为秒或4秒， 故答案为：秒或4秒． 三、解答题（本大题共8小题，共66分，要求写出必要的解题步骤和演算过程） 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的加减运算，负整数指数幂，零指数幂，解题的关键是正确化简二次根式． 分别计算负整数指数幂、零指数幂、化简二次根式，再进行加减计算． 【详解】原式 20. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，展开左边的乘积并移项，将方程化为一元二次方程的一般形式；利用求根公式求出方程的解． 【详解】去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 则， ， ， ，． 21. 已知关于的方程． （1）试说明无论取何值时，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程有一个根为1，求的值． 【答案】（1）见解析 （2）2025 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的解． （1）根据方程的系数结合根的判别式，可得出，由此可证出：无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）代入可得出，将其代入中即可求出结论． 【小问1详解】 解： ； 因为， 所以， 所以无论取何值时，方程总有两个不相等的实数根． 【小问2详解】 解：当时代入得，， 即， ． 22. 如图，有张分别印有版西游图案的卡片：唐僧、孙悟空、猪八戒、沙悟净． 现将这张卡片（卡片的形状、大小、质地都相同）放在不透明的盒子中，搅匀后从中任意取出张卡片，记录后放回、搅匀，再从中任意取出张卡片求下列事件发生的概率： （1）第一次取出的卡片图案为“孙悟空”的概率为__________； （2）用画树状图或列表的方法，求两次取出的2张卡片中至少有张图案为“唐僧”的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据概率公式即可求解； （2）根据题意，画出树状图， 进而根据概率公式即可求解． 【小问1详解】 解：共有张卡片， 第一次取出的卡片图案为“孙悟空”的概率为 故答案为：． 【小问2详解】 树状图如图所示： 由图可以看出一共有16种等可能结果，其中至少一张卡片图案为“A唐僧”的结果有7种． ∴(至少一张卡片图案为“A唐僧”）． 答：两次取出的2张卡片中至少有一张图案为“A唐僧”的概率为． 【点睛】本题考查了概率公式求概率，画树状图法求概率，熟练掌握求概率的方法是解题的关键． 23. 芯片目前是全球紧缺资源，某市政府通过招商引进“芯屏汽合、集终生智”等优势产业，发展新兴产业，某芯片公司引进了一条内存芯片生产线，开工第一季度生产200万个，第三季度生产288万个．试回答下列问题： （1）已知第二、三季度生产量的平均增长率相等，求第二、三季度生产量的平均增长率； （2）经调查发现，1条生产线最大产能是600万个/季度，若每增加1条生产线，每条生产线的最大产能将减少20万个/季度，现该公司要保证每季度生产内存芯片2600万个，在增加产能同时又要节省投入成本的条件下（生产线越多，投入成本越大），应该再增加几条生产线？ 【答案】（1） （2）4条 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设第二，三季度生产量的平均增长率为，利用第三季度的生产量第一季度的生产量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）设应该再增加条生产线，则每条生产线的最大产能为万个/季度，根据该公司要保证每季度生产内存芯片2600万个，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，再结合在增加产能同时又要节省投入成本，即可得出应该再增加4条生产线． 【小问1详解】 解：设第二，三季度生产量的平均增长率为， 依题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：第二，三季度生产量的平均增长率为． 【小问2详解】 解：设应该再增加条生产线，则每条生产线的最大产能为万个/季度， 依题意得：， 整理得：， 解得：， 又∵在增加产能同时又要节省投入成本， ∴． 答：应该再增加4条生产线． 24. 如图，平行四边形ABCD，DE交BC于F，交AB的延长线于E，且∠EDB＝∠C． （1）求证：△ADE∽△DBE； （2）若DC＝7cm，BE＝9cm，求DE的长． 【答案】 （1）平行四边形ABCD中， 又 ； （2）DE＝12cm． 【解析】 【分析】（1）由平行四边形的对角相等，可得，即可求得，又因公共角，从而可证得； （2）根据相似三角形的对应边成比例求解即可. 【详解】（1）略 （2）平行四边形ABCD中， 由题（1）得 ，即 解得：. 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定定理与性质，熟记各性质与定理是解题关键. 25. 随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产生活，如代替人们在高空测量距离和高度．圆圆要测量教学楼的高度，借助无人机设计了如下测量方案：如图，圆圆在离教学楼底部米的C处，遥控无人机旋停在点C的正上方的点D处，测得教学楼的顶部B处的俯角为，长为米．已知目高为米． （1）求教学楼的高度． （2）若无人机保持现有高度沿平行于的方向，以米/秒的速度继续向前匀速飞行，求经过多少秒时，无人机刚好离开圆圆的视线． 【答案】（1）教学楼的高度为米 （2）无人机刚好离开视线的时间为12秒 【解析】 【分析】（1）过点B作于点G，根据题意可得：，米，，通过证明四边形为矩形，得出米，进而得出米，最后根据线段之间的和差关系可得，即可求解； （2）连接并延长，交于点H，先求出米，进而得出，则，则米，即可求解． 【小问1详解】 解：过点B作于点G， 根据题意可得：，米，， ∵，，， ∴四边形为矩形， ∴米， ∵，， ∴， ∴， ∴米， ∵长为米， ∴（米）， 答：教学楼的高度为米． 【小问2详解】 解：连接并延长，交于点H， ∵米，米， ∴米， ∵米， ， ∴， ∴，米， ∴（米）， ∵无人机以米/秒的速度飞行， ∴离开视线的时间为：（秒）， 答：无人机刚好离开视线的时间为12秒． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，解题的关键是正确画出辅助线，构造直角三角形，熟练掌握解直角三角形的方法和步骤． 26. 如图，在中，，，，于点D．点P从点D出发，沿线段向点C运动，点Q从点C出发，沿线段向点A运动．两点同时出发．速度都为每秒1个单位长度，当点P运动到C时，两点都停止．设运动时间为t秒． （1）求线段的长； （2）设的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并确定在运动过程中是否存在某一时刻t，使得？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2）在运动过程中存在某一时刻，使得，的值为：3或1.8；理由见详解 【解析】 【分析】（1）由勾股定理求得，由三角形面积公式得出，即可得出结果； （2）由勾股定理求得，过点作于，则，则，得出，即，求出，，即可得出结果；，，即，进而求解即可 【小问1详解】 解：，，， ， ， ， 解得：； 【小问2详解】 解：由（1）可得， 过点作于，如图所示： ， ， ， ，即， ， ； ， ，即：， 整理得：， 解得：，， 在运动过程中存在某一时刻，使得，的值为：3或1.8． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理、三角形面积公式、解一元二次方程等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质、三角形面积公式是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $