精品解析：江苏镇江市丹阳市2025-2026学年八年级上学期期末数学试题

八年级·数学 2026.02 一、选择题（本大题共有10小题，每小题3分，共计30分．在每小题所给出的四个选项中恰有一项符合题目要求．） 1. 的平方根是( ) A. B. C. D. 2. 下列各点在第四象限的是( ) A. B. C. D. 3. 如图，，点在上，下列结论中不一定成立是( ) A. B. C. D. 4. 等腰三角形的两边长分别是4、8，则第三边长为（ ） A. 4 B. 8 C. 4或8 D. 4或12 5. 下列各数中：，中，无理数有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 6. 如图，在中，，根据尺规作图的痕迹，判断以下结论错误的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知点都在直线上，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 8. 如图，在中，，边的垂直平分线和边的垂直平分线与边分别相交于点、，连接、，则的周长为( ) A. 12 B. 18 C. 24 D. 不能确定 9. 一次函数与(k，b为常数，且kb≠0)，它们在同一坐标系内的图象可能为( ) A. B. C. D. 10. 已知直线的图象如图所示，无论x取何值，y总取中的最大值，则y的最小值是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共有6小题，每小题3分，共计18分．） 11. 的立方根是______． 12. 是一次函数，则m的取值范围为______． 13. 在平面直角坐标系中，若点与点关于轴对称，则______． 14. 直角三角形斜边上的中线与高线长分别是和，这个三角形的面积是______． 15. 如图，在中，为的平分线，于，若的面积是，，，则的长是______． 16. 刘徽是我国魏晋时期伟大的数学家，他在《九章算术注》中指出：“勾、股幂合为弦幂，明矣．”也就是说，图1中直角三角形的三边a、b、c存在的关系．他在书中构造了一些基本图形来解决问题，如图2，将以a为边长的正方形和b为边长的正方形置于以c为边长的大正方形的左下角和右上角，若，则______． 三、解答题（本大题共有10小题，共计72分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 已知立方根是2，的平方根是，c是的整数部分．求的平方根． 19. 如图，已知，，． （1）求证：； （2）若，，则_____． 20 根据所给函数图象，解答下列问题． （1）______； （2）求、的值； （3）关于、的方程组的解是______． 21. 如图，分别是的中点． （1）证明：； （2）若，求的长． 22. 消防车上的云梯最多只能伸长到米，已知消防车的高米．如图，某栋楼发生火灾，在这栋楼的处有一老人需要救援，救人时消防车上的云梯伸长至最长，此时消防车的位置与楼房的距离为米． （1）求处与地面的距离； （2）完成处的救援后，消防员发现在上方米的处有一小孩没有及时撤离，为了能成功救出小孩，消防车从处向楼房移动的距离至少为多少米？ 23. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点A、B、C的坐标分别为，,． （1）画出关于轴对称的； （2）已知点在轴上，且，则点的坐标是______； （3）有一点在轴上，若要的周长最小，则点的坐标为______． 24. 某工厂的甲、乙两个工人同时加工某种机器零件，乙在工作了一段时间停产更换设备，更换设备后，乙的工作效率是原来的倍，两人各自加工零件的数量（单位：件）与时间（单位：）之间的函数图象如图所示． （1）甲的工作效率是______件；图中的值为______； （2）求乙更换设备后加工零件数量与时间之间的函数解析式； （3）当为何值时，甲、乙两人一共加工零件件？ 25. 阅读与理解 【阅读材料】 一次函数的图象是一条直线．通常也称为直线，其中称为直线的斜率，它表示直线关于坐标轴的倾斜程度．特别地，当时，直线．所以，直线可由直线经过平移得到．那么，已知直线上的两点和，如何求出的值呢？ 将、两点的坐标分别代入，得到．把上面两式相减，消去，得到，当时，求得． 因此，当时，直线斜率等于直线上两点的纵坐标之差与横坐标之差的比值，特别地，当时，直线与轴平行或垂直于轴，此时直线的斜率不存在． 【理解运用】 （1）已知点、，则直线的斜率，其解析式为____； （2）已知点、，其中为常数．若直线与直线平行，求的值； 【拓展迁移】 （3）若直线：上有两点、，直线：上有一点，则，； （4）求证：平面上三点、、不共线． 26. 综合与实践：研究的角平分线的性质． 【问题提出】 如下图，是的角平分线，某数学兴趣小组进行了如下探究： 分别过点作于，于，由角平分线的性质可得，进一步证得．于是小组成员们提出了一个新的问题：与有什么数量关系呢？ 【特例感知】 （1）如图1，是的角平分线，若，则______（填“＞”“＜”或“”）； 【深入探究】 （2）如图2，是的角平分线，当时，该小组成员猜想：能否再次利用面积法，类比证明出与的关系？请你完成该证明； 【结论应用】 （3）如图3，是的角平分线，是上一点，使得，连接，若，，则______； （4）如图4，是的角平分线，是的角平分线，且与相交于，若，，则的值是______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级·数学 2026.02 一、选择题（本大题共有10小题，每小题3分，共计30分．在每小题所给出的四个选项中恰有一项符合题目要求．） 1. 的平方根是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平方根的定义，根据平方根的定义即可求解． 【详解】解：∵ ∴的平方根是 故选：C． 2. 下列各点在第四象限的是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据第四象限的点的坐标特点，横坐标为正，纵坐标为负，即可得到答案． 【详解】解：A、因为，，所以在第一象限，不符合题意； B、因为，，所以在第二象限，不符合题意； C、因为，，所以在第四象限，符合题意； D、因为，，所以在第三象限，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查各个象限内点的横纵坐标的正负特点，熟记各象限的点坐标特点是关键． 3. 如图，，点在上，下列结论中不一定成立的是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，根据全等三角形的性质得出，，，，据此得出选项即可． 【详解】解：， ，，，， ，即， 故A、B、C正确，D不正确， 故选：D． 4. 等腰三角形的两边长分别是4、8，则第三边长为（ ） A. 4 B. 8 C. 4或8 D. 4或12 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形三边关系．本题需结合等腰三角形两腰相等的性质，分情况讨论第三边的长度，再根据三角形三边关系（两边之和大于第三边）排除不符合的情况． 【详解】解：等腰三角形两边长为、 分两种情况讨论 ①若第三边长，则三边为、、 ，不满足三角形两边之和大于第三边的关系 此情况不成立 ②若第三边长为，则三边为、、 ，，满足三角形三边关系 此情况成立 第三边长为 故选：B． 5. 下列各数中：，中，无理数有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查无理数的识别，算术平方根与立方根，根据无理数是无限不循环小数，进行判断即可． 【详解】解：，中，是无理数的有：，，，共3个； 故选：B． 6. 如图，在中，，根据尺规作图的痕迹，判断以下结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的性质与判定，直角三角形两锐角互余，角平分线和垂线的尺规作图，灵活运用所学知识是解题的关键． 先根据作图方法可知平分，，由角平分线的性质可得即可判断C；证明，得到，即可判断D；根据直角三角形两锐角互余即可判断A；根据现有条件无法证明，即可判断B． 【详解】解：由作图方法可知，平分，， 又∵， ∴，故C不符合题意； ∵， ∴， ∴，故D不符合题意； ∵， ∴，故A不符合题意； 根据现有条件无法证明，故B符合题意； 故选B． 7. 已知点都在直线上，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质．利用一次函数的增减性判定与的大小关系 【详解】解：∵直线的 ∴随的增大而减小 ∵ ∴ 故选：C． 8. 如图，在中，，边的垂直平分线和边的垂直平分线与边分别相交于点、，连接、，则的周长为( ) A. 12 B. 18 C. 24 D. 不能确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．根据线段垂直平分线的性质得到，，再根据三角形的周长公式计算，得到答案． 【详解】解：∵边的垂直平分线和边的垂直平分线与边分别相交于点E，F， ∴，， ∵， ∴的周长， 故选：C． 9. 一次函数与(k，b为常数，且kb≠0)，它们在同一坐标系内的图象可能为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一次函数和正比例函数图象的性质逐项分析即可． 【详解】A、一次函数：k＞0，b＜0，则kb＜0，正比例函数应经过二、四象限，故错误； B、一次函数：k＜0，b＞0，则kb＜0，正比例函数应经过二、四象限，故错误； C、一次函数：k＜0，b＞0，则kb＜0，正比例函数应经过二、四象限，故正确； D、一次函数：k＞0，b＞0，则kb＞0，正比例函数应经过一、三象限，故错误； 故选：C． 【点睛】本题考查一次函数与正比例函数的图象与性质，熟记函数图象的基本性质是解题关键． 10. 已知直线的图象如图所示，无论x取何值，y总取中的最大值，则y的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一次函数的图象与性质，读懂题意，根据图象分段找到y的值应该属于哪条直线上的部分，在范围内找到最低点，求值即可． 【详解】解：由题意根据一次函数图象的性质可知，y的最小值是交点坐标的纵坐标值． 联立两直线解析式：， 解得，代入解析式求得． 故选：D． 二、填空题（本大题共有6小题，每小题3分，共计18分．） 11. 的立方根是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求一个数的立方根． 根据立方根的定义，一个数的立方等于，则这个数是的立方根． 【详解】解：∵， ∴ 的立方根是． 故答案为：． 12. 是一次函数，则m的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的定义，根据一次函数定义得一次项的系数不为零，由此可得出答案． 【详解】解：是一次函数， ， ， 故答案为：． 13. 在平面直角坐标系中，若点与点关于轴对称，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了关于轴对称的点的特征，代数式求值． 关于轴对称的点，横坐标互为相反数，纵坐标相等，进而得出的值，代入代数式求值，即可求解． 【详解】解：点与点关于轴对称， ，， 解得，， ， 故答案为：． 14. 直角三角形斜边上的中线与高线长分别是和，这个三角形的面积是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半．利用直角三角形斜边上的中线性质求出斜边长，再根据三角形面积公式计算面积，即可求解． 【详解】解：在直角三角形中，斜边上的中线长等于斜边的一半， 已知中线长为，所以斜边长为． 又已知斜边上的高线长为，因此三角形的面积为． 故答案为：． 15. 如图，在中，为的平分线，于，若的面积是，，，则的长是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，如图，过点作于点，根据角平分线的性质可得，进而根据三角形的面积公式，即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点， ∵为的平分线，于， ∴， ∵的面积是， ∴， 即 ∵，， ∴ ∴ 故答案为：． 16. 刘徽是我国魏晋时期伟大的数学家，他在《九章算术注》中指出：“勾、股幂合为弦幂，明矣．”也就是说，图1中直角三角形的三边a、b、c存在的关系．他在书中构造了一些基本图形来解决问题，如图2，将以a为边长的正方形和b为边长的正方形置于以c为边长的大正方形的左下角和右上角，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了勾股定理，多项式乘以多项式，求算术平方根，根据阴影面积等于边长为c的正方形面积减去边长为b的正方形面积即可表示；先求出，再根据得到，再根据，即可求出答案． 【详解】解：图中阴影部分的面积为， 如图所示： ， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∵，即， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本大题共有10小题，共计72分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算， （1）先乘方、绝对值运算，再加减运算； （1）先根据算术平方根与立方根的定义进行计算，再计算加减即可求解． 【小问1详解】 解：原式 【小问2详解】 解：原式 18. 已知的立方根是2，的平方根是，c是的整数部分．求的平方根． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了平方根，立方根，无理数的估算，解题的关键是掌握平方根和立方根的定义，以及用夹逼法估算无理数的方法和步骤． 先根据立方根和平方根的定义，求出a和b的值，再估算的值，最后将a、b、c的值代入，利用平方根的定义即可求解． 【详解】解：∵的立方根是，的平方根是， ∴，， 解得：，， ∵， ∴， ∴的整数部分是， ∴， ∴， ∴的平方根是． 19. 如图，已知，，． （1）求证：； （2）若，，则_____． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定， （1）根据证明根据全等三角形的性质即可得证； （2）由两三角形全等，可得，再由三角形的外角性质即可解答． 【小问1详解】 证明： 又， ， 在和中， ， ∴； 【小问2详解】 解： ， 又，，， ． 20. 根据所给函数图象，解答下列问题． （1）______； （2）求、的值； （3）关于、的方程组的解是______． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数交点问题，待定系数法求解析式，解二元一次方程组． （1）将代入求得交点的纵坐标，即可求解； （2）将代入，待定系数法求解析式即可求解； （3）将代入得出方程组为，解方程组，即可求解． 【小问1详解】 解：当时，， ∴ 故答案：． 【小问2详解】 解：将代入得， 解得： ∴ 【小问3详解】 解：∵ ∴方程组为 解得： 故答案为：． 21. 如图，分别是的中点． （1）证明：； （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）1 【解析】 【分析】（1）利用直角三角形斜边中线定理得出，得出为等腰三角形，根据三线合一即可得出结论； （2）利用等边对等角得出，利用三角形的外角定理得出，利用三角形的内角和定理及等边对等角得出，然后根据含角的直角三角形的性质求解即可． 【小问1详解】 证明：如图，连接， ∵是的中点， ∴， ∴为等腰三角形， 又∵点是的中点， ∴； 【小问2详解】 解：∵是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，即， ∴． 【点睛】本题主要考查了直角三角形斜边中线定理，等腰三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，三角形的外角定理，含角的直角三角形的性质，等边对等角等知识点，解题的关键是掌握以上性质，并灵活应用． 22. 消防车上云梯最多只能伸长到米，已知消防车的高米．如图，某栋楼发生火灾，在这栋楼的处有一老人需要救援，救人时消防车上的云梯伸长至最长，此时消防车的位置与楼房的距离为米． （1）求处与地面的距离； （2）完成处的救援后，消防员发现在上方米的处有一小孩没有及时撤离，为了能成功救出小孩，消防车从处向楼房移动的距离至少为多少米？ 【答案】（1）处与地面的距离是米 （2）消防车从处向楼房移动的距离至少为米 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理的应用是解题的关键． （1）先根据勾股定理求出的长，进而可得出结论； （2）由勾股定理求出的长，利用即可得出结论． 【小问1详解】 解：在中，∵米，米， ∴（米）， 依题意， ∴（米）， 答：处与地面的距离是米； 【小问2详解】 解：在中， ∵米，（米）， ∴米， ∴（米）， 答：消防车从处向楼房移动的距离至少为米． 23. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点A、B、C的坐标分别为，,． （1）画出关于轴对称的； （2）已知点在轴上，且，则点的坐标是______； （3）有一点在轴上，若要的周长最小，则点的坐标为______． 【答案】（1）见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了作图-轴对称变换，两点间线段最短，勾股定理等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）作出关于y轴对称的点，依次连接即可； （2）设点，由勾股定理及题意得，求解即可得出答案； （3）作关于轴的对称点，连接，交轴于点，得到的最小值为的长，则此时的周长最小，求出的函数关系式为，即可求解． 小问1详解】 解：如图，即为所求， 【小问2详解】 解：设点，由勾股定理得： ，， ∵， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：； 【小问3详解】 解：作关于轴的对称点，连接，交轴于点，如图： ∵关于轴对称， ∴ ∴的最小值为的长， ∴此时的周长最小， 设的函数关系式为，代入， ∴， 解得：， ∴的函数关系式为， 当时，， ∴点， 故答案为：． 24. 某工厂的甲、乙两个工人同时加工某种机器零件，乙在工作了一段时间停产更换设备，更换设备后，乙的工作效率是原来的倍，两人各自加工零件的数量（单位：件）与时间（单位：）之间的函数图象如图所示． （1）甲的工作效率是______件；图中的值为______； （2）求乙更换设备后加工零件的数量与时间之间的函数解析式； （3）当为何值时，甲、乙两人一共加工零件件？ 【答案】（1）， （2） （3）当时，甲、乙两人一共加工零件件 【解析】 【分析】本题主要考查了函数图像以及一次函数的应用等知识， （1）根据题意和函数图像求解即可； （2）设乙更换设备后加工零件的数量与时间之间的函数解析式为，将，求解即可； （3）由（1）易知甲加工零件的数量与时间之间的函数关系式为，结合乙更换设备后加工的零件的个数与时间的函数关系式为，由题意“甲、乙两人一共加工零件件”列式求解即可． 【小问1详解】 解：∵甲加工零件的数量（件）与时间（时）之间的函数图像经过点， ∴（件/时）， ∵乙3小时加工30件， ∴乙的加工速度是：，每小时10件， ∵乙更换设备后，乙的工作效率是原来的2倍． ∴更换设备后，乙的工作速度是：每小时加工（件）， ； 故答案为：，； 【小问2详解】 解：设乙更换设备后加工零件的数量与时间之间的函数解析式为， ∵图像过，， 则有， 解得， ∴； 【小问3详解】 由（2）可知，乙更换设备后加工的零件的个数与时间的函数关系式为， ∵甲的工作效率是件/时， ∴甲加工零件的数量与时间之间的函数关系式为， 由题意得， 解得， 答：当时，甲、乙两人一共生产件． 25. 阅读与理解 【阅读材料】 一次函数的图象是一条直线．通常也称为直线，其中称为直线的斜率，它表示直线关于坐标轴的倾斜程度．特别地，当时，直线．所以，直线可由直线经过平移得到．那么，已知直线上的两点和，如何求出的值呢？ 将、两点的坐标分别代入，得到．把上面两式相减，消去，得到，当时，求得． 因此，当时，直线的斜率等于直线上两点的纵坐标之差与横坐标之差的比值，特别地，当时，直线与轴平行或垂直于轴，此时直线的斜率不存在． 【理解运用】 （1）已知点、，则直线的斜率，其解析式为____； （2）已知点、，其中为常数．若直线与直线平行，求的值； 【拓展迁移】 （3）若直线：上有两点、，直线：上有一点，则，； （4）求证：平面上三点、、不共线． 【答案】（1）；；（2）；（3），（4）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数解析式的相关计算，解题关键是运用斜率公式及一次函数性质求解． （1）已知、，两点坐标，根据材料中给出的斜率公式，将两点坐标代入，算出直线的斜率．再设直线的解析式为，把求出的值和点的坐标代入解析式，通过解方程算出的值，进而得到直线的解析式 ． （2）因为直线与直线平行，根据两直线平行斜率相等，可知直线的斜率等于．然后利用斜率公式，结合点、的坐标列出关于的方程，解方程得出的值． （3）可通过计算直线和直线的斜率，得出关于的方程，进而求得的值，即可得出的值； （4）分别计算直线的斜率，即可得证． 【详解】解：（1）已知、， 根据斜率公式，可得 ． 设直线的解析式为， 把，代入得， 解得． 所以解析式为 ． （2）解：设直线的斜率为， 直线与平行， ． 即， 解得； （3）解：依题意，直线： ， 直线：， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：，． （4）证明：由题意知，， ， 平面上三点、、不共线． 26. 综合与实践：研究的角平分线的性质． 【问题提出】 如下图，是的角平分线，某数学兴趣小组进行了如下探究： 分别过点作于，于，由角平分线的性质可得，进一步证得．于是小组成员们提出了一个新的问题：与有什么数量关系呢？ 【特例感知】 （1）如图1，是的角平分线，若，则______（填“＞”“＜”或“”）； 【深入探究】 （2）如图2，是的角平分线，当时，该小组成员猜想：能否再次利用面积法，类比证明出与的关系？请你完成该证明； 【结论应用】 （3）如图3，是的角平分线，是上一点，使得，连接，若，，则______； （4）如图4，是的角平分线，是的角平分线，且与相交于，若，，则的值是______． 【答案】（1）；（2），证明见解析；（3）；（4） 【解析】 【分析】本题考查了三角形角平分线的性质，三角形的面积，等腰三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质； （1）由等腰三角形的性质即可求解； （2）利用三角形的面积即可求证； （3）利用（2）的结论，求出，进而推导出，即可求证； （4）在上取，由，可得到，进而得到，又可证明，得到，即是的角平分线，利用角平分线的性质得到，又由是的角平分线，得到，即得到，，，代入计算即可求解． 【详解】（1）∵，平分， ∴平分， 即， ∴， 故答案为：； （2） 证明：设边上的高为， 则， 又∵， ∴； （3）∵，， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：． （4）在上取， ∵， ∴， ∵平分， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是的角平分线， ∴， 又∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $