精品解析：山西晋城市阳城县2025-2026学年第一学期期末学业质量监测九年级数学试卷

2025-2026学年第一学期学业质量监测 九年级数学试题（卷） （考试时间：120分钟 满分120分） 注意事项： 1．本试卷共三大题，23小题． 2．请将各题答案填写在答题卡上． 第Ⅰ卷选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每题3分，共30分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 要使二次根式有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 若，则的值是（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 将一枚图钉向上抛起，下列说法错误的是（ ） A. 钉尖触地属于随机事件 B. P（钉尖触地）（钉尖朝上） C 因只有“钉尖触地”和“钉尖朝上”两种结果，则P（钉尖触地） D. 通过大量重复试验，钉尖触地的频率会越来越接近其概率 5. 方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 只有一个实数根 6. 如图，直线，直线m分别与直线a，b，c交于A，B，C，直线n分别与直线a，b，c交于D，E，F．若，，则的长为（ ） A. 6 B. C. D. 8 7. 已知在中，，，，那么的长等于（ ） A. B. C. D. 8. 为铭记历史，凝聚民族精神，某商场购进一批2025年九三阅兵纪念画册，每本的成本是50元，根据市场预测，该纪念画册销售单价为100元时，每天的销量是50本，且当销售单价每降低1元时，每天就可多售出5本．设销售单价定为x元，商店每天纪念画册的销售利润为4000元，则可列方程为（ ） A B. C. D. 9. 如图，已知四边形中，R、P分别为上的点，E、F分别为的中点．当点P在上从点C向点D移动，同时点R在上从点B向点C移动，点P和点R同时到达终点，那么下列结论成立的是（ ） A. 线段的长先变大再变小 B. 线段的长先变小再变大 C. 线段的长不变 D. 线段的长与点P的位置有关 10. 用一条直线将的面积平分，下列说法错误的是（ ） A. 图1中，点是的中点，则将的面积平分 B. 图2中，点是中点，，则将的面积平分 C. 图3中，，，则将的面积平分 D. 图4中，，上的点是的重心，则将的面积平分 第Ⅱ卷非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每题3分，共15分） 11. 计算：_________． 12. 若m是方程的一个根，则______． 13. 如图所示，随机闭合开关，，中的两个，则能让两盏灯泡同时发光的概率为______． 14. 如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，、相交于点．则的值是______． 15. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，将绕点顺时针旋转得到，使点的对应点落在线段上，则点的纵坐标是______． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算 （1）； （2）． 17. 如图，张大伯家有一块长方形空地，长方形空地的长为，宽为，现要在空地中划出一块长方形地养鸡（即图中阴影部分），其余部分种植蔬菜，长方形养鸡场的长为，宽为． （1）长方形的周长是多少？（结果化为最简二次根式） （2）若市场上某种蔬菜元/千克，张大伯种植该种蔬菜，且每平方米可以产千克的该种蔬菜．如果张大伯将所种的蔬菜全部销售完，那么销售收入为多少元？ 18. 已知在平面直角坐标系中的位置如图所示． （1）在图中画出沿x轴翻折后的． （2）以点为位似中心，作出将放大2倍后位似图形． （3）与的周长比是______． 19. 今年国庆假期，一批批远道而来游客来到晋城博物馆参观，透过丰富的馆藏文物，感受魅力晋城深厚的文化底蕴．甲、乙两个家庭进入博物馆后，各自随机要从《古代建筑》《民间瓷话》《煤铁之乡》三个展厅中，首先选择一个进行参观，他们选择每个展厅的可能性相同． （1）甲家庭首先选择展厅《煤铁之乡》参观的概率为______． （2）用列表法或树状图法，求甲、乙两个家庭首先选择到同一个展厅进行参观的概率． 20. 如图，在中，，． （1）尺规作图：在上求作一点D，使得；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）作图的基础上，连接，求证：． 21. 请阅读下列材料，并完成相应的任务： 花拉子米与《代数学》 中亚细亚数学家阿尔·花拉子米（约780—约850）是对欧洲数学影响最大的数学家之一，他的著作《对消与还原》（拉丁文译本），重点论述解方程，该书传入欧洲后，到14世纪，演变为拉丁语“algebra”，这就成了今天英文“algebra”（代数）一词的来源，因此花拉子米的这一著作也称为《代数学》． 《代数学》一书，第一次给出了一元二次方程的一般代数解法及图解法．书中记载的图解法：形如：的方程，求正数解的几何方法如下：“如图1，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为的矩形，得到大正方形的面积为，则该方程的正数解为” 任务： （1）根据学过的一元二次方程的一般代数解法，求解方程：； （2）若按上述图解法解关于x的方程时，构造出如图2所示的图形，已知阴影部分的面积为72，则图中阴影小矩形的宽为______，该方程的正数解为______． 22. 寿圣寺琉璃塔位于我县芹池镇阳陵村，该塔建成于明代，系八角十级楼阁式琉璃宝塔，塔身各层皆为琉璃构件镶嵌，极具历史与艺术价值．某校课外活动小组要对该塔的高度进行实地测量．项目操作过程如下：如图，测试小组利用测角仪从点处观测塔顶端点的仰角为．在测角仪和塔之间水平光滑的地面放置一个平面镜，小组成员在平面镜上做好标记后，将平面镜在地面上来回移动，当平面镜上的标记位于点处时，观测的同学恰好能从点处看到塔顶端在镜子中的像与平面镜上的标记重合，此时测得米．已知测角仪的高度米，点，，，，在同一竖直平面内，且点，，在同一条水平直线上，借助物理学科中光的反射相关知识，求该塔的高度．（结果精确到米，参考数据：，，） 23. 综合与实践： 问题情境 在一次数学活动课上，老师让同学们对正方形纸片进行以下操作：如图，先将正方形对折，使与重合，折痕为，展开铺平，再将正方形沿折叠，得到． 独立思考 （1）如图1，若点落在折痕上． ①求证：； ②如图2，在图1的基础上，连接，判断和的数量关系，并说明理由． （2）如图3，若，分别与交于点，，的延长线与交于点，，请直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期学业质量监测 九年级数学试题（卷） （考试时间：120分钟 满分120分） 注意事项： 1．本试卷共三大题，23小题． 2．请将各题答案填写在答题卡上． 第Ⅰ卷选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每题3分，共30分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 要使二次根式有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据被开方数是非负数列式求解即可． 【详解】解：由题意得， ， ∴． 故选A． 【点睛】本题考查了二次根式的定义，形如的式子叫二次根式，二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．熟练掌握二次根式成立的条件是解答本题的关键． 2. 若，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题关键．设，则，再代入计算即可得． 【详解】解：由题意，设，则， 所以， 故选：A． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次根式的性质及运算，需根据二次根式的相关法则逐一判断选项． 【详解】解：∵，∴A选项错误. ∵，∴B选项错误. ∵，∴C选项正确. ∵，∴D选项错误. 故选：C． 4. 将一枚图钉向上抛起，下列说法错误的是（ ） A. 钉尖触地属于随机事件 B. P（钉尖触地）（钉尖朝上） C. 因只有“钉尖触地”和“钉尖朝上”两种结果，则P（钉尖触地） D. 通过大量重复试验，钉尖触地的频率会越来越接近其概率 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查随机事件、概率的意义及等可能事件的判断，需依据相关概念逐一分析选项. 【详解】解：∵随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件. ∴钉尖触地的结果不确定，属于随机事件，A选项说法正确; ∵抛起图钉后，所有可能结果为钉尖触地和钉尖朝上，二者是对立事件; ∴P（钉尖触地）（钉尖朝上），B选项说法正确; ∵“钉尖触地”和“钉尖朝上”这两种结果发生的可能性不相等，不属于等可能事件, ∴不能得出P（钉尖触地），C选项说法错误; ∵根据频率估计概率的知识，大量重复试验后，频率会逐渐接近概率. ∴D选项说法正确 故选：C． 5. 方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 只有一个实数根 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式的意义．根据一元二次方程根的判别式判断方程根的情况，即可求解． 【详解】解：∵方程为 ∴，， ∴ ∴原方程没有实数根 故选：C． 6. 如图，直线，直线m分别与直线a，b，c交于A，B，C，直线n分别与直线a，b，c交于D，E，F．若，，则的长为（ ） A. 6 B. C. D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键． 根据平行线分线段成比例定理即可求解． 【详解】解：∵直线， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：A． 7. 已知在中，，，，那么的长等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据余弦函数的定义即可作答． 【详解】∵在中，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了余弦函数的定义，掌握余弦函数的定义是解答本题的关键． 8. 为铭记历史，凝聚民族精神，某商场购进一批2025年九三阅兵纪念画册，每本的成本是50元，根据市场预测，该纪念画册销售单价为100元时，每天的销量是50本，且当销售单价每降低1元时，每天就可多售出5本．设销售单价定为x元，商店每天纪念画册的销售利润为4000元，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设销售单价定为x元，根据题意列出一元二次方程，即可求解． 【详解】解：设销售单价定为x元，根据题意得， ； 故选：D． 9. 如图，已知四边形中，R、P分别为上的点，E、F分别为的中点．当点P在上从点C向点D移动，同时点R在上从点B向点C移动，点P和点R同时到达终点，那么下列结论成立的是（ ） A. 线段的长先变大再变小 B. 线段的长先变小再变大 C. 线段的长不变 D. 线段的长与点P的位置有关 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查的是三角形中位线定理，连接，根据三角形中位线定理得到，得出结论． 【详解】解：连接，如图， ∵E，F分别是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵点R在上从点B向点C移动， ∴先变小再变大， ∴线段的长先变小再变大． 故选：B． 10. 用一条直线将的面积平分，下列说法错误的是（ ） A. 图1中，点是的中点，则将的面积平分 B. 图2中，点是的中点，，则将的面积平分 C. 图3中，，，则将的面积平分 D. 图4中，，上的点是的重心，则将的面积平分 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形中线的性质，平行线的性质，相似三角形的性质，三角形的重心的性质．根据以上知识逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：A. 图1中，点是的中点，则将的面积平分，故该选项正确，不符合题意； B. 图2中，点是的中点， ∵点是的中点， ∴， ∵， ∴ 设交于点， ∴， ∴ ∴将的面积平分, 故该选项正确，不符合题意； C. 图3中，， ∴， ∵， ∴ 即将的面积平分, 故该选项正确，不符合题意； D. 图4中，，上的点是的重心， ∴， 如图，连接交于点， ∴， ∴， 则不能将的面积平分，故该选项不正确，符合题意； 故选：D． 第Ⅱ卷非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每题3分，共15分） 11. 计算：_________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的乘法运算，直接根据二次根式的乘法运算法则计算，再根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解：， 故答案为：4． 12. 若m是方程的一个根，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义，代数式求值．利用方程根的定义，将代入方程得到关系式，再化简所求表达式，即可求解． 【详解】解：因为是方程的一个根， 所以，即． 则． 故答案为：． 13. 如图所示，随机闭合开关，，中的两个，则能让两盏灯泡同时发光的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了列表法与树状图法．画树状图找出随机闭合开关，，中的两个的情况数以及能让两盏灯泡同时发光的情况数，即可求出所求概率． 【详解】解：画树状图，如图所示： 一共有6种等可能的情况，其中能让两盏灯泡同时发光的情况有2种， 则P（能让两盏灯泡同时发光）． 故答案为：． 14. 如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，、相交于点．则的值是______． 【答案】2 【解析】 【分析】取格点，连接交于点，连接，，可得，证明，根据正切的定义，即可求解． 【详解】解：如图所示，取格点，连接交于点，连接，， ∵ ∴四边形平行四边形， ∴ ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了网格与勾股定理，求正切，熟练掌握三角函数的定义将角度转化到直角三角形中是解题的关键． 15. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，将绕点顺时针旋转得到，使点的对应点落在线段上，则点的纵坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形，相似三角形的性质与判定，待定系数法解一次函数，以及一次函数的几何应用，勾股定理；先利用点在函数上求出点的横纵坐标数量关系，然后利用勾股定理直接求出边长；再通过一线三等角构造相似三角形，利用相似比求出点的坐标即可． 【详解】解：如图所示，过作于M，过作于N， ∴， ， ， ， ，， ， 设所在直线解析式， ∵，， ∴， 解得， ， 设， ， 在中，， ， 解得或（舍去）， ， ， ， ， 故答案为： 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算 （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，特殊角的三角函数值的混合运算； （1）利用完全平方公式展开式子，化简二次根式后合并同类二次根式； （2）根据特殊角的三角函数值，代入后进行二次根式的运算. 【小问1详解】 解：原式    ； 【小问2详解】 解：原式    ． 17. 如图，张大伯家有一块长方形空地，长方形空地的长为，宽为，现要在空地中划出一块长方形地养鸡（即图中阴影部分），其余部分种植蔬菜，长方形养鸡场的长为，宽为． （1）长方形的周长是多少？（结果化为最简二次根式） （2）若市场上某种蔬菜元/千克，张大伯种植该种蔬菜，且每平方米可以产千克的该种蔬菜．如果张大伯将所种的蔬菜全部销售完，那么销售收入为多少元？ 【答案】（1） （2）元 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的应用，掌握二次根式的混合运算的法则是解题的关键． （1）利用长方形的周长公式即可求解； （2）先求得蔬菜地的面积，再计算收入即可求解． 【小问1详解】 长方形的周长 ， 答：长方形的周长是； 【小问2详解】 蔬菜地的面积 ， （元）， 答：如果张大伯将所种的蔬菜全部销售完，那么销售收入为元． 18. 已知在平面直角坐标系中的位置如图所示． （1）在图中画出沿x轴翻折后的． （2）以点为位似中心，作出将放大2倍后的位似图形． （3）与的周长比是______． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查作图−轴对称变换，位似变换等知识． （1）利用轴对称的性质分别作出A，B，C的对应点、、即可； （2）利用位似变换的性质分别作出点、、的对应点、、即可； （3）利用轴对称变换，位似变换的性质求出周长比． 【小问1详解】 解：如图，即所求； 【小问2详解】 解：如图，即所求； 【小问3详解】 解：因为与相似，相似比是，所以与的周长比是． 故答案为：． 19. 今年国庆假期，一批批远道而来的游客来到晋城博物馆参观，透过丰富的馆藏文物，感受魅力晋城深厚的文化底蕴．甲、乙两个家庭进入博物馆后，各自随机要从《古代建筑》《民间瓷话》《煤铁之乡》三个展厅中，首先选择一个进行参观，他们选择每个展厅的可能性相同． （1）甲家庭首先选择展厅《煤铁之乡》参观的概率为______． （2）用列表法或树状图法，求甲、乙两个家庭首先选择到同一个展厅进行参观的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件，根据概率所求情况数与总情况数之比即可求解． （1）根据概率公式即可直接求得； （2）画出树状图，根据概率所求情况数与总情况数之比即可求解． 【小问1详解】 解：甲选择展厅《煤铁之乡》进行参观的概率是， 故答案为：． 【小问2详解】 解：记选择《古代建筑》《民间瓷话》《煤铁之乡》三个展厅分别为A、B、C． 画树状图如下： 共有9种等可能的结果，其中甲、乙两人选择同一个展厅进行参观的结果有3种， 甲、乙两人选择一个展厅进行参观的概率为． 20. 如图，在中，，． （1）尺规作图：在上求作一点D，使得；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）作图的基础上，连接，求证：． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）利用尺规作线段的垂直平分线，交于点D， （2）根据垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质，证明∽即可． 【小问1详解】 作法1 作法2 作法3 【小问2详解】 如图， ∵，∴． 又，∴，即． 在与中，，， ∴∽， ∴，即． 又，∴． 【点睛】本题考查了作垂直平分线，相似三角形的性质与判定，掌握垂直平分线的性质以及相似三角形的性质与判定是解题的关键． 21. 请阅读下列材料，并完成相应的任务： 花拉子米与《代数学》 中亚细亚数学家阿尔·花拉子米（约780—约850）是对欧洲数学影响最大的数学家之一，他的著作《对消与还原》（拉丁文译本），重点论述解方程，该书传入欧洲后，到14世纪，演变为拉丁语“algebra”，这就成了今天英文“algebra”（代数）一词的来源，因此花拉子米的这一著作也称为《代数学》． 《代数学》一书，第一次给出了一元二次方程的一般代数解法及图解法．书中记载的图解法：形如：的方程，求正数解的几何方法如下：“如图1，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为的矩形，得到大正方形的面积为，则该方程的正数解为” 任务： （1）根据学过的一元二次方程的一般代数解法，求解方程：； （2）若按上述图解法解关于x的方程时，构造出如图2所示的图形，已知阴影部分的面积为72，则图中阴影小矩形的宽为______，该方程的正数解为______． 【答案】（1） （2）； 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，利用图形求一元二次方程的解． （1）根据配方法解一元二次方程即可； （2）先把方程化为指定的形式，设小正方形的边长为，根据题意，得，解得，继而得到大正方形的面积为，从而得到方程的正数解为计算即可． 【小问1详解】 解：， 移项，得， 配方，得，即， ， 解得：； 【小问2详解】 解：由得， ∵阴影部分的面积为， ∴， 根据题意，设图中阴影小矩形的宽为， ∴， 解得， ∴大正方形的面积为， ∴方程的正数解为． 故答案为：；． 22. 寿圣寺琉璃塔位于我县芹池镇阳陵村，该塔建成于明代，系八角十级楼阁式琉璃宝塔，塔身各层皆为琉璃构件镶嵌，极具历史与艺术价值．某校课外活动小组要对该塔的高度进行实地测量．项目操作过程如下：如图，测试小组利用测角仪从点处观测塔顶端点的仰角为．在测角仪和塔之间水平光滑的地面放置一个平面镜，小组成员在平面镜上做好标记后，将平面镜在地面上来回移动，当平面镜上的标记位于点处时，观测的同学恰好能从点处看到塔顶端在镜子中的像与平面镜上的标记重合，此时测得米．已知测角仪的高度米，点，，，，在同一竖直平面内，且点，，在同一条水平直线上，借助物理学科中光的反射相关知识，求该塔的高度．（结果精确到米，参考数据：，，） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，构造直角三角形是解题的关键．作，根据，可知，再设米，米，表示，，在中，根据，即可求出答案． 【详解】解：如图，过点D作，于点F． 根据题意可知． 在中，， ∴． 设米，米，则米，米， 在中，， 即， 解得米， 答：该塔的高度为米 23. 综合与实践： 问题情境 在一次数学活动课上，老师让同学们对正方形纸片进行以下操作：如图，先将正方形对折，使与重合，折痕为，展开铺平，再将正方形沿折叠，得到． 独立思考 （1）如图1，若点落在折痕上． ①求证：； ②如图2，在图1的基础上，连接，判断和的数量关系，并说明理由． （2）如图3，若，分别与交于点，，的延长线与交于点，，请直接写出的值． 【答案】（1）①见解析；② （2） 【解析】 【分析】本题考查了正方形的折叠问题，相似三角形的性质与判定，勾股定理． （1）①根据一线三等角证明； ②根据折叠的性质得出垂直平分，则，可得，根据可得，进而可得，即可得出； （2）设正方形的边长为，根据，则，，勾股定理求得，进而证明，分别求得， ，证明，进而求得的长，再证明，根据相似三角形的性质，即可求解． 【小问1详解】 ①证明：∵四边形是正方形， ∴，，， ∵将正方形对折，使与重合，折痕为， ∴， ∵将正方形沿折叠，得到，点落在折痕上， ∴，， ∴，， ∴， ∴； ②如图，连接， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：设正方形的边长为， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵是的中点， ∴， ∴， ∴， ， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $