精品解析：山东省济南市槐荫区2025～2026学年度第一学期期末质量检测 九年级数学

2025~2026学年度第一学期期末质量检测 九年级数学 （2026.01） 本试题分试卷和答题卡两部分．第I卷满分为40分；第II卷满分为110分．本试题共8页，满分为150分．考试时间为120分钟． 答卷前，请考生务必将自己的姓名、准考证号、座号、考试科目涂写在答题卡上，并同时将考点、姓名、准考证号、座号填写在试卷规定的位置．考试结束后，将试卷、答题卡一并交回．本考试不允许使用计算器． 第I卷（选择题共40分） 注意事项： 第I卷为选择题，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．答案写在试卷上无效． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 计算：（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】将代入即可求出结论． 【详解】解： 故选A． 【点睛】此题考查的是含特殊角的锐角三角函数值的运算，掌握30°的正弦值是解决此题的关键． 2. 反比例函数的图象一定经过的点是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，关键是掌握反比例函数(为常数，)的图象上任意一点的横、纵坐标的乘积等于，即． 【详解】解：反比例函数的图象上的点满足， 选项A：，满足，故点在该函数图象上； 选项B：，不满足； 选项C：，不满足； 选项D：，不满足； 故选：A． 3. 如图，点在 上，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，关键是掌握“同弧所对的圆心角是圆周角的2倍”这一核心结论．观察图形可知，是弧 所对的圆周角，是弧 所对的圆心角，根据圆周角定理即可计算出的度数． 【详解】解：是弧 所对的圆周角，是弧 所对的圆心角， ； 故选：B． 4. 如图，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质以及三角形内角和定理，关键是利用相似三角形对应角相等的性质，结合三角形内角和求出对应角的度数． 【详解】解：在中，∵，， ∴． ∵， ∴． 故选：C． 5. 为加强劳动教育，增加学生实践机会，某校拟用总长为5米的篱笆，在两边都足够长的直角围墙的一角，围出一块6平方米的矩形菜地作为实践基地，如图所示．设矩形的一边长为x米，根据题意可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，先用x表示出矩形的另一条边长，利用矩形的面积公式，列出方程即可． 【详解】解：设矩形的一边长为x米，则另一边长为米，由题意，得： ； 故选：C． 6. 已知都在双曲线上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的性质及函数值的大小比较，关键是掌握反比例函数的单调性．利用反比例函数的性质，结合点所在象限判断函数值的正负及同一象限内的大小关系． 【详解】解：对于双曲线，， ∴双曲线的图象在第一、三象限，且在每个象限内， 随的增大而减小． 点、在第三象限，此时值为负， 值为负， ∵，在第三象限内 随增大而减小， ∴； 点在第一象限，此时 值为正，即； ∴． 故选：B． 7. 已知二次函数的图象与轴有交点，则的取值范围是（ ） A. B. 且 C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的定义，二次函数与x轴的交点，先根据二次函数的定义得出 ，再根据二次函数的图象与轴有交点，得出方程有实数根，结合一元二次方程根的判别式，即可解答． 【详解】解：∵是二次函数， ∴ ， ∵二次函数的图象与轴有交点， ∴方程有实数根， ∴， 解得：， 综上：k的取值范围是且 ， 故选：D． 8. 如图，在矩形中，点 的坐标是，则 的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，直角坐标系，勾股定理，解题的关键是掌握相关知识．过点 作轴于点 ，得到，，根据勾股定理求出，根据矩形的性质可得． 【详解】解：如图，过点 作轴于点 ， 点 的坐标是， ，， ， 四边形是矩形， ， 故选：C． 9. 二次函数 的图象如图所示，以下结论正确的个数为（ ） ①；②；③；④（为任意实数） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，由抛物线开口方向得到，利用抛物线的对称轴方程得到，由抛物线与y轴的交点在x轴的下方得到，则可对①进行判断；利用 时，，得到于是可对②进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点坐标为，则可对③进行判断；由于 时，y有最小值，则可对④进行判断． 【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∵抛物线与y轴的交点在x轴的下方， ∴， ∴，所以①正确； ∵当 时，， ∴， ∴， ∴，所以②正确； ∵抛物线的对称轴为直线 ，抛物线与x轴的一个交点坐标为， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为， ∴当时，， ∴，所以③正确； ∵抛物线的对称轴为直线 ， ∴ 时，y有最小值， ∴（m为任意实数）， ∴，所以④错误； 综上，①②③正确， 故选：C． 10. 如图，正方形 中，E为 的中点，于G，延长 交 于点F，延长交 于点H，交 于N下列结论： ①； ②； ③； ④； ⑤； 其中正确结论的个数有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了正方形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质，勾股定理，熟练掌握正方形的性质，勾股定理，三角形相似的判定和性质是解题的关键． 根据正方形的性质证明可判定①正确；根据正方形的性质证明，得到，从而可判定②正确；过H点作，根据得到，从而得到， 根据，，可判定③正确；过点B作于点P，交 的延长线上于点Q，证明四边形是正方形即可判断④正确；如图所示，连接，设，则，利用勾股定理，三角形面积计算即可判断⑤正确． 【详解】解：①∵在正方形 中，， ，， ， ， ， ， ， 故①正确； ②∵在正方形 中，， ， ， ，E为 的中点，四边形 是正方形， ， ， 故②正确； ③如下图所示，过H点作， ， ， ， ， ， ， 故③正确； ④过点B作于点P，交 的延长线上于点Q， ， 四边形是矩形， ， ， ， 由①得， ， 为 的中点， ， ， ， ， ， 四边形是正方形， ． 故④正确； ⑤如图所示，连接， 设，则，， ，， ， ， 由面积得， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故⑤正确； 故选：D． 第II卷（非选择题共110分） 注意事项： 所有答案必须用0.5毫米的黑色签字笔（不得使用铅笔和圆珠笔）写在答题卡各题目指定区域内（超出方框无效），不能写在试卷上，不能使用涂改液、修正带等．不按以上要求作答，答案无效． 二、填空题（本大题共6个小题．每小题4分，共24分．把答案填在答题卡的横线上．） 11. 二次函数的顶点坐标为______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，二次函数的顶点坐标为．根据二次函数的顶点式的特点求解即可． 【详解】解：二次函数的顶点坐标为， 故答案为：． 12. 若，则的值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】此题考查比例的性质，掌握运算法则是解题关键． 根据比例设，，然后代入比例式进行计算即可得解． 【详解】∵， ∴设，， ∴． 故答案为：． 13. 如图所示， 是 的边 上的点，且，则 的长为___________． 【答案】12 【解析】 【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质，证明，则，求出即可． 【详解】解：∵, ∴ ∴ ∵, ∴ ∴． 故答案为：12． 14. 如图，在半径为10cm的⊙O中，AB＝16cm，弦OC⊥AB于点C，则OC等于______cm． 【答案】6 【解析】 【分析】连接OA，如图，先利用垂径定理得到AC=BC=AB=8，然后根据勾股定理计算OC的长． 【详解】解：连接OA，如图， ∵OC⊥AB， ∴AC=BC=AB=8， 在Rt△OAC中，OC==6（cm）． 故答案为：6． 【点睛】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理． 15. 如图所示，在平面直角坐标系中，直线经过点C与x轴平行，且直线分别与反比例函数和的图象交于点P，Q，若的面积为8，则 ________． 【答案】 【解析】 【分析】由轴及函数图象可知，即，于是可得，由图象可知，于是得解． 【详解】解：轴， ， 即：， ， 而， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了反比例函数与几何综合，反比例函数的性质，三角形的面积公式，绝对值方程，化简绝对值，等式的性质，等式的性质等知识点，熟练掌握反比例函数的图象与性质以及反比例函数与几何综合是解题的关键． 16. 如图，在正方形 中， ，以 的中点O为圆心，1为半径作半圆交边 于E、F，动点P在半圆上，若且，则当最小时，的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，求圆外一点到圆上一点距离的最值，解题的关键是确定点 的运动轨迹．连接 ，过点 作，交 于点，证明，求出的长，得到，连接，证明，得到点 在以为圆心，为半径的圆上，进而得到当三点共线时，的值最小，进一步求出的面积即可． 【详解】解：连接 ，过点 作，交 于点，则， ∵正方形 ，点 为 的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵动点P在半圆上， ∴， ∴， ∴点 在以为圆心，为半径的圆上， ∴， ∴当三点共线时，的值最小， ∵点在 上，， ∴， ∴的最小值为， 此时的面积为：； 故答案为：． 三、解答题（本大题共10个小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数值及实数的混合运算，熟练掌握 、、角的三角函数值以及实数的运算顺序是解题的关键． 先回忆并代入特殊角（ 、、）的三角函数值，再按照先乘方、再乘除、最后加减的顺序进行计算． 【详解】解：原式 ． 18. 解方程 【答案】 【解析】 【分析】方程常数项移到右边，两边加上1，左边化为完全平方式，右边合并，开方转化为两个一元一次方程来求解． 【详解】解：移项得：， 配方得：，即， 开方得：， ． 【点睛】本题考查了一元二次方程求解，解题的关键是掌握配方法解一元二次方程． 19. 如图，在菱形 中，点E，F分别在边 和 上，且．求证：． 【答案】证明：∵四边形 是菱形， ∴． 在 和中， ， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查菱形的性质及全等三角形的性质与判定，熟练掌握菱形的性质及全等三角形的性质与判定是解题的关键；由题意易得，然后可得，进而问题可求证． 【详解】略 20. 图1是高铁座椅靠背及小桌板打开时的实物图，其侧面可抽象成图2，支架 连接靠背 和小桌板 ，点 是杯托处，此时靠背 垂直于地面，小桌板 平行于地面，测得． （1）如图2，___________度； （2）如图2，求点 到靠背 的距离；（精确到） （3）如图3，靠背 绕点 旋转至 与小桌板支架 重合，已知杯托凹陷深度为，求乘客水杯（恰好放进杯托，空隙忽略不计）的最大高度． 【答案】（1）； （2）点 到靠背 的距离约为； （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质、解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义以及将实际问题转化为直角三角形模型的方法是解题的关键． （1）根据垂直于地面， 平行于地面，可知平行于 ，再利用平行线的性质求出的度数． （2）过点 作于点 ，在中，利用正弦函数的定义求出的长度，即为点 到靠背的距离． （3）过点 作于点 ，先求出的度数，再利用正切函数的定义求出的长度，最后结合杯托凹陷深度计算水杯的最大高度． 【小问1详解】 解：如图， 由题意可得，，， ∴，， ∴， 故答案为：． 【小问2详解】 解：延长 交 于点 ， ∵，， ∴， ，， ， 答：点 到靠背 的距离约为； 【小问3详解】 解：过点 作，则， ， ， ， ， 水杯的高为：， 乘客水杯的最大高度为． 21. 如图，正方形 中， 为 上一点， 是 的中点，，垂足为 ，交 的延长线于点 ，交于点 ． （1）求证：； （2）若，，求 的长． 【答案】（1）见解析 （2）10 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握正方形的性质，并能进行推理计算是解题的关键． （1）由正方形的性质得出 ， ，得出，再由，即可得出结论； （2）由勾股定理求出 ，可求出 ，由得出比例式，即可求出 的长． 【小问1详解】 证明： 四边形 是正方形， ∴ ， ， ， 又， ， ， ； 【小问2详解】 解： 四边形 是正方形， ， ， ， 是 的中点， ， ， ， 即， ． 22. 如图，已知 是 的直径， 平分，且 ，，连接 ． （1）求证： 是 的切线； （2）若，，求线段 的长． 【答案】（1） 证明：如图，连接 ． ， ． 平分， ， ， ． ， ， 是 的切线． （2） 【解析】 【分析】此题考查了切线的判定、相似三角形的判定和性质等知识，熟练掌握切线的判定和相似三角形的判定是解题的关键． （1）证明即可得到结论； （2）连接 ．求出 ，证明，得到．即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接 ． ， ． 是 的直径， ，． ， ． ，， ． ， ． ， ， ． 23. 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出 件，每件利润元，为了扩大销售尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫降价1元，商场平均每天可多售出2件．若设每件衬衫降价元，解答下列问题： （1）当每件衬衫降价5元，则每件利润___________元，平均每天可售出___________件； （2）若商场想平均每天盈利元，每件衬衫应降价多少元？ （3）当每件衬衫降价多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1）， ； （2）每件衬衫应降价 元； （3）每件衬衫降价 元时，每天的销售利润最大，最大利润是元 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用和二次函数的最值问题，核心是根据“总利润 每件利润销售量”建立数学关系式． （1）直接利用“每件利润 原利润 降价金额”“销售量 原销售量每降价1元多售件数降价金额”计算即可； （2）根据总利润公式列一元二次方程求解，结合“扩大销售、尽快减少库存”的条件选择最优解； （3）将总利润表示为关于的二次函数，通过配方法转化为顶点式，利用二次函数性质求最值． 【小问1详解】 解：每件利润为元；平均每天可售出件； 故答案为：， ； 【小问2详解】 解：设每件衬衫降价元， 根据题意，得， 解得，， ∵要扩大销售尽快减少库存，降价越多销售量越大， ∴； 答：每件衬衫应降价 元． 【小问3详解】 解：设每天的销售利润为元， 根据题意得， ∵，二次函数图象开口向下， ∴当时，取得最大值，最大值为； 答：当每件衬衫降价 元时，每天的销售利润最大，最大利润是元． 24. 已知反比例函数与一次函数相交于点和点，如图所示，且一次函数与轴， 轴分别交于点 和点 ． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）设 是轴上一点，当和 面积相等时，求点 的坐标； （3）点 在反比例函数图象上（不与点A、B重合），连接，直线与 轴交于点 ，当 与相似时，求点 的坐标． 【答案】（1）， （2）点 坐标为 （3）点 坐标为 【解析】 【分析】本题为反比例函数综合题，涉及到三角形相似、面积的计算，分类求解是解题的关键． （1）由待定系数法即可求解； （2）如图，过点B作，则和 面积相等，则直线的表达式为：，令，则，即点，当点在点A的右侧时，由图象的对称性，即可求解； （3）在中，为，当 与相似时，必须 有个角，即，进而求解． 【小问1详解】 解：∵反比例函数与一次函数相交于点和点， ∴把代入得，， ∴反比例函数表达式为：； 把代入得，， ∴， ∴； 把，代入，得：， 解得， ∴一次函数的表达式为：； 【小问2详解】 解：如图，过点B作，则和 面积相等， 设直线 的表达式为， 把代入，得， 得， ∴直线 的表达式为， 设直线的表达式为， 把代入得，， ∴， ∴的解析式为， 当时，， ∴； 当点P在点A的右侧时，由图象的对称性，则点也符合题意， 故点或； 【小问3详解】 解：∵直线 的表达式为：， 令，则；令，则， ∴，， ∵，， ∴，， 在中，为，当 与相似时， 必须有个角，即， 故存在或， 则或，即或， 解得：（舍去）或，即点， 设直线 的解析式为， 把，代入，得， 解得 ∴直线 的解析式为， 联立上式和反比例函数表达式得：， 解得： （舍去）或， 即点． 25. 【阅读材料】 材料1：一元二次方程的两个根有如下的关系： 材料2：有些数学问题看似与一元二次方程无关，但是我们能够通过构造一元二次方程，并利用一元二次方程的有关知识将其解决． 下面介绍两种基本构造方法： 方法1：利用根的定义构造．例如，如果实数满足，且，则可将看作是方程的两个不相等的实数根． 方法2：利用根与系数的关系逆向构造．例如，如果实数满足，则可以将看作是方程的两实数根． 根据上述材料解决下面问题： （1）已知一元二次方程的两根，则___________，___________； （2）已知实数满足，且，求的值； （3）已知实数满足，且，求的最大值． 【答案】（1）2， （2） （3）1 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系：若是一元二次方程的两根时，，也考查了判别式的意义，熟练掌握相应知识是解题的关键． （1）根据一元二次方程的根与系数的关系即可得结论； （2）可以看作是方程的两根，利用根与系数的关系即可求解； （3）将看作是方程的两实数根，利用判别式的意义即可求解． 【小问1详解】 解：由一元二次方程的根与系数的关系可得，，． 故答案为：2，． 【小问2详解】 解：∵，实数满足，， ∴可看作方程的两根， ∴， ∴原式 ∴原式的值为． 【小问3详解】 解：∵， ∴将看作是方程的两实数根； ∴，且， ∴， ∴， 解得， ∴的最大值为1． 26. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与轴交于两点，与 轴交于点 ． （1）求抛物线的表达式； （2）点 是射线 下方抛物线上的一动点，连接 与射线 交于点 ，当取得最大值时，求点 的坐标； （3）在（2）中取得最大值的条件下，将抛物线 沿射线 方向平移个单位长度得到抛物线，点 为点 的对应点，点 为抛物线上的一动点．若，求点 的坐标． 【答案】（1）； （2）当 时，取得最大值，此时点 的坐标为； （3）点 的坐标为或 【解析】 【分析】（1）已知抛物线与轴的两个交点坐标，将其代入抛物线的解析式，得到关于 、 的二元一次方程组，解方程组求出 、 的值，即可得到抛物线的表达式； （2）先求抛物线与 轴交点 的坐标，再用待定系数法求直线 的解析式，过点 作轴交 于点 ，构造相似三角形，将转化为，用含的代数式表示出的长度，将整理为二次函数的顶点式，利用二次函数的最值性质求出点 的坐标； （3）由得出为等腰直角三角形，确定射线 的平移方向与平移向量，根据二次函数平移规律求出平移后的抛物线的解析式，通过作垂线进行角的转化，将转化为，利用正切函数的等量关系构建含绝对值的方程，分点 在轴上方、下方两种情况解方程，结合题意取舍根，得到点 的坐标． 【小问1详解】 解：将，代入，得， 解得， 故抛物线的表达式为； 【小问2详解】 解：令抛物线解析式中，得， ∴点 的坐标为， 设直线 的表达式为， 将，代入得，解得， ∴直线 的表达式为， 设点 的坐标为，过点 作轴交 于点 ，则点 的坐标为， ∴， ∵轴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴当 时，取得最大值， 此时，故点 的坐标为； 【小问3详解】 解：∵，， ∴， ∴为等腰直角三角形，， 将抛物线沿射线 方向平移个单位长度，即向左平移2个单位长度，向下平移2个单位长度得到抛物线， ∴， 过点 作轴于点 ，过点 作轴于点 ，连接 ， ∵， ∴，由平移性质知， ∴， ∴， ∵， ∴， 设点 的坐标为，则， 在中，，， ∴， 在中，，， ∴，由得， ①当点 在轴下方时，，则， 解得或(，舍去)； ②当点 在轴上方时，，则， 解得或(，舍去)． 综上，点 的坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数与一次函数的图象性质、解析式求法、相似三角形的判定与性质、二次函数的最值求解、二次函数的平移规律以及锐角三角函数的应用，关键是利用待定系数法求函数解析式，通过作平行线构造相似三角形将线段比转化为线段长度比求解最值，结合平移方向与距离确定新抛物线解析式，利用角的转化和正切函数的等量关系构建方程求解点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年度第一学期期末质量检测 九年级数学 （2026.01） 本试题分试卷和答题卡两部分．第I卷满分为40分；第II卷满分为110分．本试题共8页，满分为150分．考试时间为120分钟． 答卷前，请考生务必将自己的姓名、准考证号、座号、考试科目涂写在答题卡上，并同时将考点、姓名、准考证号、座号填写在试卷规定的位置．考试结束后，将试卷、答题卡一并交回．本考试不允许使用计算器． 第I卷（选择题共40分） 注意事项： 第I卷为选择题，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．答案写在试卷上无效． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 计算：（ ） A. 1 B. C. 2 D. 2. 反比例函数的图象一定经过的点是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，点在上，若，则（ ） A. B. C. D. 4. 如图，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 为加强劳动教育，增加学生实践机会，某校拟用总长为5米的篱笆，在两边都足够长的直角围墙的一角，围出一块6平方米的矩形菜地作为实践基地，如图所示．设矩形的一边长为x米，根据题意可列方程（ ） A. B. C. D. 6. 已知都在双曲线上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 7. 已知二次函数的图象与 轴有交点，则 的取值范围是（ ） A. B. 且 C. 且 D. 且 8. 如图，在矩形中，点 的坐标是，则 的长为（ ） A. B. C. D. 9. 二次函数 的图象如图所示，以下结论正确的个数为（ ） ①；②；③；④（ 为任意实数） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 10. 如图，正方形 中，E为 的中点，于G，延长交 于点F，延长交 于点H，交 于N下列结论： ①； ②； ③； ④； ⑤； 其中正确结论的个数有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 第II卷（非选择题共110分） 注意事项： 所有答案必须用0.5毫米的黑色签字笔（不得使用铅笔和圆珠笔）写在答题卡各题目指定区域内（超出方框无效），不能写在试卷上，不能使用涂改液、修正带等．不按以上要求作答，答案无效． 二、填空题（本大题共6个小题．每小题4分，共24分．把答案填在答题卡的横线上．） 11. 二次函数的顶点坐标为______________． 12. 若，则的值为______． 13. 如图所示， 是 的边 上的点，且，则 的长为___________． 14. 如图，在半径为10cm的⊙O中，AB＝16cm，弦OC⊥AB于点C，则OC等于______cm． 15. 如图所示，在平面直角坐标系中，直线经过点C与x轴平行，且直线分别与反比例函数和的图象交于点P，Q，若的面积为8，则________． 16. 如图，在正方形 中， ，以 的中点O为圆心，1为半径作半圆交边 于E、F，动点P在半圆上，若且，则当最小时，的面积为______． 三、解答题（本大题共10个小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17. 计算： 18. 解方程 19. 如图，在菱形 中，点E，F分别在边 和 上，且．求证：． 20. 图1是高铁座椅靠背及小桌板打开时的实物图，其侧面可抽象成图2，支架 连接靠背 和小桌板 ，点 是杯托处，此时靠背 垂直于地面，小桌板 平行于地面，测得． （1）如图2，___________度； （2）如图2，求点 到靠背 的距离；（精确到） （3）如图3，靠背 绕点 旋转至 与小桌板支架 重合，已知杯托凹陷深度为，求乘客水杯（恰好放进杯托，空隙忽略不计）的最大高度． 21. 如图，正方形 中， 为 上一点， 是 的中点，，垂足为 ，交 的延长线于点 ，交 于点 ． （1）求证：； （2）若 ，，求 的长． 22. 如图，已知 是的直径，平分，且 ，，连接 ． （1）求证： 是的切线； （2）若，，求线段 的长． 23. 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出 件，每件利润元，为了扩大销售尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫降价1元，商场平均每天可多售出2件．若设每件衬衫降价 元，解答下列问题： （1）当每件衬衫降价5元，则每件利润___________元，平均每天可售出___________件； （2）若商场想平均每天盈利元，每件衬衫应降价多少元？ （3）当每件衬衫降价多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ 24. 已知反比例函数与一次函数相交于点和点，如图所示，且一次函数与 轴， 轴分别交于点 和点 ． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）设 是 轴上一点，当和 面积相等时，求点 的坐标； （3）点 在反比例函数图象上（不与点A、B重合），连接，直线与 轴交于点 ，当与相似时，求点 的坐标． 25. 【阅读材料】 材料1：一元二次方程的两个根有如下的关系： 材料2：有些数学问题看似与一元二次方程无关，但是我们能够通过构造一元二次方程，并利用一元二次方程的有关知识将其解决． 下面介绍两种基本构造方法： 方法1：利用根的定义构造．例如，如果实数满足，且，则可将看作是方程的两个不相等的实数根． 方法2：利用根与系数的关系逆向构造．例如，如果实数满足，则可以将看作是方程的两实数根． 根据上述材料解决下面问题： （1）已知一元二次方程的两根，则___________，___________； （2）已知实数满足，且，求的值； （3）已知实数满足，且，求 的最大值． 26. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与 轴交于两点，与 轴交于点 ． （1）求抛物线的表达式； （2）点 是射线 下方抛物线上的一动点，连接 与射线 交于点 ，当取得最大值时，求点 的坐标； （3）在（2）中取得最大值的条件下，将抛物线沿射线 方向平移个单位长度得到抛物线，点 为点 的对应点，点 为抛物线上的一动点．若，求点 的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $