9.1二次根式及性质第2课时二次根式的性质 课件 2025-2026学年青岛版数学八年级下册

第9章 二次根式 整式 实数 ………… 青岛版 八年级下册 二次根式 数与式 内容提要 ◆ 二次根式的概念 ◆ 二次根式的性质 ◆ 二次根式的运算 a叫作被开方式. 1.二次根式的定义： 注意：a可以是数，也可以是式. 温故而知新 一般地，我们把形如(a≥0)的式子叫作二次根式。 2.二次根式有意义的条件： 有意义 a≥0. 无意义 a＜0 那么二次根式 还有哪些性质呢? 我们知道二次根式 中a≥0， 创设情境 导入新课 青岛版数学 八年级下册 第9章 二次根式 9.1 二次根式及其性质 第2课时 二次根式的性质 (1)二次根式的被开方数a的取值范围是什么？它本身的取值范围又是什么？ 思考与交流 ∵二次根式的实质是表示一个非负数（或式）的算术平方根. ∴a≥0 当a＞0时 表示正数a的算术平方根，因此＞0； 当a=0时， 表示0的算术平方根，因此 =0. ∴ ≥0. 探究一 二次根式的性质1 对于任意一个二次根式 ，我们知道： （1）a为被开方数，为保证其有意义，可知a≥0； 二次根式的 被开方数非负 二次根式的 值非负 二次根式的 双重非负性 探究一 二次根式的性质1 （2） 表示一个数或式的算术平方根，可知 ≥0. 6 1.二次根式的被开方数非负； 2.二次根式的值非负。 探究一 二次根式的性质1 二次根式的性质1： 二次根式的双重非负性：： 概括与表达 例1、 已知 ＋ ＝0，求xy的值. 解：∵ ≥0， ≥0，且 ＋ ＝0， ∴ ＝0， ＝0， 即x－y＋1＝0，x－3＝0. ∴x＝3，y＝4. ∴xy＝81. 解：∵ ≥0， ≥0， 且 ＝0， ∴ ＝0， ＝0， 即x－y＋1＝0，x－3＝0. ∴x＝3，y＝4. ∴xy＝81. B层　提升练 练习1.（1）已知实数m，n满足|m+3|+ =0 则m=_____，n=_____. （2）已知(x−2)2+ =0，则 yx 的值 为_____. −3 1 9 3 0.5 0 是3的算术平方根，根据算术平方根的意义， 是一个平方等于3的非负数,因此，()2=3 探究二 二次根式的性质 观察与发现 （2）根据算术平方根的意义,完成下列填空: 同理，，，分别是，，0的算术平方根，即得上面的等式. 3 0.5 0 探究二 二次根式的性质 观察与发现 （2）观察计算结果，你能发现什么规律？ 把上述计算结论推广到一般，并用字母表示： 探究二 二次根式的性质2 二次根式的性质2： 一个非负数的算术平方根的平方等于它本身. 概括与表达 一般地， . 解：(1) （）2 =0.6 ； 3 表示3× ，用到了乘积的乘方： (ab)2＝a2b2. (1) （）2 ； (2) （32 ； 例2、计算： (2) （32 =32×（2 =9×2=18； (3)(6 )2； (4)2； ＝62×()2 ＝36×3 ＝108. ＝(－1)2×2 ＝1× ＝ . A层　基础练 2.6 2 3 0 练习2.计算： 3 0.1 1 0 ＝a (a≥0) . 探究三 二次根式的性质3 观察与发现 （3）观察计算结果，你能发现什么规律？ 把得到的结论推广到一般， 一个非负数的平方的算术平方根等于它本身。 3 0.1 1 ＝-a (a＜0) . 探究二 二次根式的性质2 观察与发现 （3）观察计算结果，你能发现什么规律？ ； 一个负数的平方的算术平方根等于它的相反数。 即：任意一个数的平方的算术平方根等于它本身的绝对值. a (a≥0) -a (a＜0) 探究三 二次根式的性质3 二次根式的性质3： 概括与表达 例3、计算： (1) ；(2)；（3）； （4）-；（5）（-）2 解：(1) (2) =7； = =2； = （3） = = =； （4）- =- （5）（-）2 =（-）2 = =（-）2 若没有特别说明时,被开方式中的字母均为正数。 练习3.计算： 不同点 相同点 运算顺序 取值范围 运算结果 先开方,后平方 先平方，后开方 a≥0 a取任何实数 a |a| 意义 表示一个非负数a的算术平方根的平方 表示一个实数a的平方的算术平方根 思考与交流 如何区别 ()2 与 ？ ()2与的结果都是非负数， 且当a≥0时，()2 =. (1)如果=1-2a，那么a的取值范 ； （2）实数a、b在数轴上的对应点如图所示，请你化简:-+ 例4、 a b （2）由数轴可知a＜0，b＞0，a-b＜0， ∴原式=|a|-|b|+|a-b| =-a-b-（a-b） =-2a. 解：(1)∵==1-2a ∴1-2a≥0, ∴a≤, a b 利用数轴和二次根式的性质进行化简，关键是要 根据a,b的大小讨论绝对值内式子的符号. 练习4. 实数a、b在数轴上的对应点如图所示，化简： . 解：根据数轴可知b＜a＜0， ∴a+2b＜0，a-b＞0， =|a+2b|+|a-b| =-a-2b+a-b=-3b． (1)5＝ 　()2　； (2)0＝ 　()2　； (3) ＝ 　2　； (4)2.5＝ 　()2　. ()2　 ()2　 2　 ()2　 当a≥0时,将等式()2=a两边互换,可以 得到a＝()2(a≥0)，把下列非负数分别 写成一个非负数的平方的形式： 探究与挑战 探究四 性质 ()2=a 的逆用 A层　基础练 例5、在实数范围内分解因式： （1）a2－2 (2)x2-2x+3。 解：（1）a2－2 =a2－（2 =（a+（a－） (2)x2-2x+3 =x2-2x+ =(x-)2 练习5、在实数范围内分解因式： （1）x2－5 (2)y2-2y+7。 挑战自我 阅读下列解题过程： 例：若代数式+=2，求a的取值。 解：原式=|a-2|+|a-4|, 当a<2时，原式=(2-a)+(4-a)=6-2a=2, 解得a=2(舍去); 当2≤a<4时，原式=(a-2)+(4-a)=2,等式恒成立： 当a≥4时，原式=(a-2)+(a-4)=2a-6=2，解得a=4. 所以a的取值范围是2≤a≤4. 上述解题过程主要运用了分类讨论的方法，请你根据上述理解，解答下列问题： (1)当3≤a≤7时，化简：+; (2)若+=6，求a的取值； (3)请直接写出满足+=5的a的取值范围。 二次根式 性质 ＝a (a ≥0). 拓展性质 课堂小结 =|a| （a为全体实数） a＝()2(a≥0) 1.计算： (1)()2＝ ； (2)2＝ 　 　； (3)(－ )2＝ (4)2＝ 　 　. 7　 　 13.2　 　 积的乘方运算法则 当堂检测 A层　基础练 (5)－ ； (6)－ . (5)原式＝－ ＝－ . (4)原式＝－｜－0.7｜ ＝－0.7. (6)原式＝－｜－0.7｜ ＝－0.7. A层　基础练 2. 填空： （1）化简： ＝ ⁠. （2）在实数范围内分解因式a2－6＝ ⁠. （3）若 ＝，则x满足的条件是 ； (4)已知 是整数，则自然数n 的值 为 。 π－3　 (a＋ )(a－) x≥5　 18，17，14，9，2　 B层　提升练 3.已知实数 a，b 在数轴上的位置如图所示，化简： - . 解：由图可知1＜a＜2. ∴a－1＞0，a－2＜0. ∴原式＝｜a－1｜＋｜a－2｜ ＝a－1＋2－a ＝1. 解：由图可知-2＜a＜-1,1＜b＜2 ∴b－1＞0，a－b＜0. ∴原式＝｜b－1｜-｜a－b｜ ＝b－1-b+a ＝a-1. B层　提升练 $