9．1　二次根式及其性质 课件 2025-2026学年青岛版八年级数学下册

第9章 二次根式 9．1　二次根式及其性质 第1课时　二次根式 知识点2 二次根式有意义的条件 二次根式有意义的条件是被开方式是非负数，即在 中， a≥0. 确定被开方式中所含字母的取值范围时，可根据二次根式有意 义的条件列出不等式(组)，然后通过解不等式(组)确定所含字 母的取值范围． 思路导析 根据二次根式的定义逐个判断即可． 思路导析 根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件进行求解即可． a≥7 3 第2课时　二次根式的性质 a |a| 思路导析 根据题意先得出1－k<0，再化简二次根式，计算乘方，最后合并同类项即可． －a－b 解：由三角形三边之间的关系可得a＋b＋c>0，b＋c>a， a＋c>b，a＋b>c， ∴a－b－c<0，b－a－c<0，c－b－a<0， ∴原式＝(a＋b＋c)－(a－b－c)－(b－a－c)－(c－b－a) ＝a＋b＋c－a＋b＋c－b＋a＋c－c＋b＋a ＝2a＋2b＋2c. 知识点1二次根式的定义 一般来说，形如 的式子叫作二次根式，其中“eq \r(　)”叫作二次根号，a叫做被开方式． 【注意】其中a为整式或分式，像－eq \r(3)，4eq \r(2)也是二次根式． eq \r(a)(a≥0) eq \r(a) 知识点3二次根式的双重非负性 eq \r(a)(a≥0)是一个非负数即eq \r(a)≥(a≥0)． 考点1 二次根式的定义 典例1 下列各式中，一定是二次根式的是( ) A．eq \r(－4) B．eq \r(x2＋1) C．eq \r(3,x) D．eq \r(x－1) 变式1 [2024·泰安期中]下列各式中，属于二次根式的是( ) A．eq \f(1,x) B．2x＋1 C．eq \r(5) D．eq \r(3,6) 变式2 给出下列各式： ①eq \r(32)　 ②6　③eq \r(－12)　④eq \r(－m)(m≤0) ⑤eq \r(a2＋1)　 ⑥eq \r(3,5).其中二次根式的个数是( ) A．2 B．3 C．4 D．5 考点2 二次根式有意义的条件 典例2 [2024·滨州期末]式子eq \f(\r(a＋3),a－1)有意义，则实数a的取值范围 是( ) A．a≥－3 B．a≠1 C．a≥－3且a≠1 D．a>－3或a≠1 变式1 [2025·淄博期末]若式子eq \r(x＋1)有意义，则x的取值范围 是( ) A．x≠－1 B．x>－1 C．x≥－1 D．x>0 变式2 [2025·淄博期末]下列各式无意义的是( ) A．－eq \r(2) B．eq \r(－2) C．eq \r(（－2）2) D．eq \r(2－2) 变式3 [2025·德州期中]使式子eq \f(1,\r(x＋3))＋eq \r(7－3x)有意义的所有整数x的和是( ) A．－2 B．－1 C．0 D．1 变式4 [2025·青岛期中]若二次根式eq \r(a－7)＋eq \r(a)有意义，则a的取值范围为 ． 考点3 二次根式的双重非负性 典例3 [2024·黔西南州期末]二次根式eq \r(a)的双重非负性是指被开方数a≥0，其化简的结果eq \r(a)≥0，利用eq \r(a)的双重非负性解决以下问题： (1)已知eq \r(a－1)＋|3＋b|＝0，则a＋b的值为 ； (2)若x，y为实数，且x2＝eq \r(5－y)＋eq \r(y－5)＋4，求x＋y的值． 思路解析：(1)利用eq \r(a－1)≥0，|3＋b|≥0，eq \r(a＋1)＋|3＋b|＝0 得eq \r(a－1)＝0，|3＋b|＝0，分别求解a和b，然后求得a＋b即可； (2)根据5－y≥0和y－5≥0求得y的值，进而求得x的值， 最后求x＋y的值即可． 解：(1)∵eq \r(a－1)＋|3＋b|＝0， ∴a－1＝0，3＋b＝0，解得a＝1，b＝－3， 那么a＋b＝1－3＝－2， 故答案为：－2； (2)由题意，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(5－y≥0，,y－5≥0，)) ∴y＝5， ∴x2＝0＋0＋4＝4，解得x＝2或－2， ∴x＋y＝2＋5＝7或x＋y＝－2＋5＝3， 即x＋y的值是7或3. 变式1 [2025·扬州期中]若m满足关系式eq \r(3x＋5y－2－m)＋eq \r(2x＋3y－m)＝eq \r(1－x－y)·eq \r(x－1＋y)，则m＝ ． 变式2 [2024·黔南期中]若eq \r(a－1)＋(2a＋b－1)2＝0，求eq \r(4a＋b2)的值． 解：∵eq \r(a－1)＋(2a＋b－1)2＝0， ∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a－1＝0,2a＋b－1＝0))， 解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝1,b＝－1))， ∴eq \r(4a＋b2)＝eq \r(4×1＋（－1）2)＝eq \r(5). 知识点 次根式的性质 1．(eq \r(a))2＝ (a≥0)． 2. eq \r(a2)＝ ． 【注意】 (eq \r(a))2中a≥0，结果是唯一的；eq \r(a2)中a可为任意实数，结果分a≥0和a<0讨论． 考点 二次根式的性质 典例 [2024·临沂期末]已知k>1，则eq \r(（1－k）2)－(eq \r(2＋k))2的化简结果是( ) A．－1 B．－3 C．－1－2k D．2k－3 变式1 [2025·临沂期中]如果eq \r(（5a－1）2)＝1－5a，那么( ) A．a<eq \f(1,5) B．a≤eq \f(1,5) C．a≥eq \f(1,5) D．a>eq \f(1,5) 变式2 [2025·烟台期末]实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则eq \r(（a－\r(3)）2)＋eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(b＋\r(3)))＝ ． 变式3 [2024·日照期中]已知a，b，c为△ABC的三边长，化简：eq \r(（a＋b＋c）2)＋eq \r(（a－b－c）2)＋eq \r(（b－a－c）2)＋eq \r(（c－b－a）2). $