精品解析：河北唐山市遵化市2025-2026学年上学期期末九年级数学试卷

2025-2026学年度第一学期期末学业水平抽样评估 九年级数学试卷 考生注意： 1.本试卷共4页，总分120分，考试时间100分钟． 2.答题前考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡相应位置上． 3.考生务必将答案写在试卷上． 一、选择题（本大题有12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）． 1. 下列各式中，结果等于的是（ ） A. B. C. D. 2. 函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 3. 面积为30的一个三角形，它的底边y随着这边上的高x的变化而变化．则y与x之间的关系式为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，是的直径，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 若扇形的圆心角为90°，半径为6，则该扇形的弧长为（ ） A. B. C. D. 6. 在平面直角坐标系中，以点（﹣2，3）为圆心，半径为3的圆一定（ ） A. 与x轴相切，与y轴相切 B. 与x轴相切，与y轴相交 C. 与x轴相交，与y轴相切 D. 与x轴相交，与y轴相交 7. 如图，P为⊙外一点，PA、PB分别切⊙于A、B两点，若，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 8. 如果一个正多边形的中心角是45°，那么这个正多边形的边数是（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 9 9. 在下列抛物线中，开口最小的是（　　） A. B. C. D. 10. 如图，小明以抛物线为灵感，在平面直角坐标系中设计了一款高OD为14的奖杯，杯体轴截面ABC是抛物线的一部分，则杯口的口径AC为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 11. 若二次函数的图象与x轴有两个交点，则关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 不能确定 12. 在一次数学实践活动课上，嘉淇同学在图形上，按下列步骤进行画图： 第一步：将三角板的直角顶点放在圆上任意一点（与点不重合）处，使三角板直角边经过点，另一直角边与圆交于点，连结，如图； 第二步：如图，转动该三角板使其直角顶点与重合，另一直角边经过点，画出另一直角边所在的直线； 嘉淇得到下面两个结论：①线段是圆的直径； ②直线与圆相切． 下列说法正确的是（ ） A. ①正确②不正确 B. ①不正确②正确 C. ①②都正确 D. ①②都不正确 二、填空题（本大题有4个小题，每小题3分，共12分．把答案写在题中横线上）． 13. 反比例函数的图象在第_________象限． 14. 二次函数的图象的对称轴为______，顶点坐标为______． 15. 如图，飞镖游戏板由含大小相等的等腰直角三角形格子构成，小东向游戏板随机投掷一枚飞镖，击中黑色区域的概率是______． 16. 如图，若的中点C到弦的距离，，结合尺规作图的痕迹，计算的值为________． 三、解答题（本大题有8个小题，共72分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）． 17. 已知反比例函数的图象经过点． （1）求a的值． （2）当时，求y的取值范围． 18. （1）用适当方法解方程： ①； ②； （2）数学课上，小明在黑板上做一道题如下所示，请仔细观察并解决以下问题： ① ② ③ 填写错误步骤：______；（填最先出错的步骤序号即可）并写出正确解答步骤 19. 在不透明的盒子里装有红，黄，蓝三种颜色的卡片，这些卡片除颜色外其余都相同，其中红色卡片2张，黄色卡片1张，蓝色卡片1张． （1）从中任意抽取一张卡片，求抽到蓝色卡片的概率； （2）第一次随机抽取一张卡片（不放回），第二次再随机抽取一张，请用画树状图或列表的方法，求两次抽到的都是红色卡片的概率． 20. 如图，在四边形中，，，，． （1）求证：； （2）若，求的周长． 21. 为了维护国家主权和海洋权利，海监部门对我国领海实现了常态化巡航管理，如图，正在执行巡航任务的海监船以每小时50海里的速度向正东方航行，在A处测得灯塔P在北偏东60°方向上，继续航行1小时到达B处，此时测得灯塔P在北偏东30°方向上． （1）求∠APB的度数； （2）已知在灯塔P的周围25海里内有暗礁，问海监船继续向正东方向航行是否安全？ 22. 为纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年，某校在八年级与九年级中举办世界反法西斯战争知识竞赛活动． 收集数据：从八、九年级中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（单位：分，满分100分）如下： 八年级20名学生的竞赛成绩： ． 九年级20名学生的竞赛成绩： ． 整理数据： 成绩分 八年级人数 4 5 7 4 九年级人数 3 4 5 8 （说明：成绩在90分及以上为优秀） 分析数据： 年级 平均数/分 中位数/分 众数/分 八年级 79.35 82 九年级 82.2 84.5 根据以上信息，回答下列问题： （1）填空：______，______． （2）结合以上数据的整理和分析，你认为哪个年级对世界反法西斯战争知识更了解一些？请说明理由．（写出一条即可） （3）若该校八、九年级共有3000名学生，请估计该校八、九年级本次竞赛成绩为优秀的学生总人数． 23. 已知二次函数图象的对称轴是直线． （1）求证：． （2）将二次函数的图象向左平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到新的函数图象的顶点在轴上，求的值． （3）在（2）的条件下，当时，二次函数的最大值与最小值的差为8，求的取值范围． 24. 如图，是的直径，是上一点，的平分线交于点，过点作，交的延长线于点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期期末学业水平抽样评估 九年级数学试卷 考生注意： 1.本试卷共4页，总分120分，考试时间100分钟． 2.答题前考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡相应位置上． 3.考生务必将答案写在试卷上． 一、选择题（本大题有12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）． 1. 下列各式中，结果等于的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据负整数指数幂，特殊角的三角函数值，绝对值，有理数的乘方法则进行计算，逐一判断即可解答． 本题考查了负整数指数幂，特殊角的三角函数值，绝对值，有理数的乘方，准确熟练地进行计算是解题的关键． 【详解】解：A、，故A不符合题意； B、，故B不符合题意； C、，故C符合题意； D、，故D不符合题意； 故选： 2. 函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的图象与性质，根据一次函数与反比例函数的图象与性质逐一排除即可，掌握一次函数与反比例函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：、由图象可知，，即，由图象可知，不符合题意； 、由图象可知，，即，由图象可知，不符合题意； 、由图象可知，，即，由图象可知，不符合题意； 、由图象可知，，即，由图象可知，符合题意； 故选：． 3. 面积为30的一个三角形，它的底边y随着这边上的高x的变化而变化．则y与x之间的关系式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了求反比例函数解析式，解题的关键是熟练掌握三角形面积公式． 【详解】解：由题意可得，， ∴y＝， 故选：A． 4. 如图，是的直径，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，三角形外角的性质，先根据圆周角定理求出，再根据三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：如图， ∵，， ∴． ∵， ∴， ∴． 故选C． 5. 若扇形的圆心角为90°，半径为6，则该扇形的弧长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据弧长公式计算即可． 【详解】解：该扇形的弧长＝. 故选C． 【点睛】本题考查了弧长的计算：弧长公式：（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R）． 6. 在平面直角坐标系中，以点（﹣2，3）为圆心，半径为3的圆一定（ ） A. 与x轴相切，与y轴相切 B. 与x轴相切，与y轴相交 C. 与x轴相交，与y轴相切 D. 与x轴相交，与y轴相交 【答案】B 【解析】 【分析】由已知点（-2，3）可求该点到x轴，y轴的距离，再与半径比较，确定圆与坐标轴的位置关系，设d为直线与圆的距离，r为圆的半径，则有若d<r，则直线与圆相交；若d=r，则直线与圆相切；若d>r，则直线与圆相离． 【详解】解：∵点（﹣2，3）到x轴的距离是3，等于半径，到y轴的距离是2，小于半径， ∴圆与y轴相交，与x轴相切． 故选：B． 【点睛】本题考查的是直线与圆的位置关系，解决此类问题可通过比较圆心到直线距离d与圆半径大小关系完成判定． 7. 如图，P为⊙外一点，PA、PB分别切⊙于A、B两点，若，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】根据切线长定理即可得到答案. 【详解】因为PA和PB与⊙相切，根据切线长定理，所以PA＝PB＝3，故选B. 【点睛】本题考查切线长定理，解题的关键是熟练掌握切线长定理. 8. 如果一个正多边形的中心角是45°，那么这个正多边形的边数是（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查正多边形的中心角性质，核心知识点为：正多边形的所有中心角之和为，且每个中心角的度数相等，因此正多边形的边数可通过“边数单个中心角度数”计算得出． 【详解】解：∵正多边形的中心角总和为，且每个中心角度数相等， ∴该正多边形的边数为； 故选：C． 9. 在下列抛物线中，开口最小的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由二次函数中a的绝对值越大，抛物线开口越小求解． 【详解】解：二次函数中a的绝对值越大，抛物线开口越小， ∵ ∴的开口最小， 故选：C． 【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系． 10. 如图，小明以抛物线为灵感，在平面直角坐标系中设计了一款高OD为14的奖杯，杯体轴截面ABC是抛物线的一部分，则杯口的口径AC为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】利用待定系数法求出A、C的坐标，可求答案． 【详解】解：当y=14时，， 解得，， ∴A（，14），C（，14）， ∴AC=． 故选：C． 【点睛】本题是关于二次函数应用题，主要考查了二次函数图象和性质，待定系数法，熟练掌握用待定系数法求点的坐标是解题的关键 11. 若二次函数的图象与x轴有两个交点，则关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查抛物线与x轴的交点，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数与一元二次方程的关系解答．根据题意和二次函数与一元二次方程之间的关系可以解答本题． 【详解】解：∵二次函数的图象与x轴有两个交点， ∴当时，， 此时使得成立的x的值有两个， ∴关于x的一元二次方程的根的情况是有两个不相等的实数根， 故选：A． 12. 在一次数学实践活动课上，嘉淇同学在图形上，按下列步骤进行画图： 第一步：将三角板的直角顶点放在圆上任意一点（与点不重合）处，使三角板直角边经过点，另一直角边与圆交于点，连结，如图； 第二步：如图，转动该三角板使其直角顶点与重合，另一直角边经过点，画出另一直角边所在的直线； 嘉淇得到下面两个结论：①线段是圆的直径； ②直线与圆相切． 下列说法正确的是（ ） A. ①正确②不正确 B. ①不正确②正确 C. ①②都正确 D. ①②都不正确 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理和切线的判定定理，根据画法找到对应的判定依据即可作答． 【详解】解：①根据圆周角定理：直径所对的圆周角是直角，可知线段是圆的直径，该项画法正确； ②根据切线判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线，可知直线与圆相切，该项画法正确． 两个选项都正确 故选：C． 二、填空题（本大题有4个小题，每小题3分，共12分．把答案写在题中横线上）． 13. 反比例函数的图象在第_________象限． 【答案】二、四 【解析】 【详解】：∵k=-1＜0，∴反比例函数y="-1/x" 中，图象在第二、四象限 14. 二次函数的图象的对称轴为______，顶点坐标为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质， 是抛物线的顶点式，其顶点是，对称轴是．熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键． 【详解】解：二次函数的图象的对称轴为，顶点坐标为． 故答案为：，． 15. 如图，飞镖游戏板由含大小相等的等腰直角三角形格子构成，小东向游戏板随机投掷一枚飞镖，击中黑色区域的概率是______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了几何概率，熟练掌握概率的计算公式是解题的关键，注意数量之比就是几何概率，因此求出黑色三角形的数量与三角形的总数量之比即可． 【详解】因为飞镖游戏板由大小相等的等腰直角三角形格子构成． 所以黑色三角形有个，总三角形有个． 则黑色三角形的数量与三角形的总数量之比为：． 即小东向游戏板随机投掷一枚飞镖，击中黑色区域的概率是：． 故答案为：． 16. 如图，若的中点C到弦的距离，，结合尺规作图的痕迹，计算的值为________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查的是垂径定理、解直角三角形．根据垂径定理的推论得到， ，根据勾股定理列出方程，解方程求出的半径，再根据正弦的定义计算得到答案． 【详解】解：设的半径为r， 则， ∵点C是的中点， ∴，， 在中，，即， 解得：， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本大题有8个小题，共72分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）． 17. 已知反比例函数的图象经过点． （1）求a的值． （2）当时，求y的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）代入解析式，计算即可． （2）计算对应的函数值，根据函数的增减性，确定函数值的范围即可． 本题考查了图象过点，反比例函数的增减性，熟练掌握性质是解题的关键． 【小问1详解】 解：反比例函数的图象经过点， 把点代入， 得， 解得． 【小问2详解】 解：当时，； 当时，． ∴在时，随的增大而减小， 当时， ． 18. （1）用适当方法解方程： ①； ②； （2）数学课上，小明在黑板上做一道题如下所示，请仔细观察并解决以下问题： ① ② ③ 填写错误步骤：______；（填最先出错的步骤序号即可）并写出正确解答步骤 【答案】（1）①，；②，； （2）①； 正确解答如下： ． 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，特殊角的三角函数值，二次根式的混合运算，熟练掌握用适当方法解一元二次方程，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键． （1）①先化简，再用配方法或公式法求解即可； ②利用配方法或公式法求解即可； （2）先利用特殊角的三角函数值化简，再利用二次根式的混合运算计算即可． 【详解】解：（1）①， 化简，得：， 配方，得：， 即：， 直接开平方，得：， 则，， 即：，； ②， 配方，得：， 即：， 直接开平方，得：， 则，； （2）∵，， ∴最先出错的步骤是① 19. 在不透明的盒子里装有红，黄，蓝三种颜色的卡片，这些卡片除颜色外其余都相同，其中红色卡片2张，黄色卡片1张，蓝色卡片1张． （1）从中任意抽取一张卡片，求抽到蓝色卡片的概率； （2）第一次随机抽取一张卡片（不放回），第二次再随机抽取一张，请用画树状图或列表的方法，求两次抽到的都是红色卡片的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是概率公式与列表法求概率， （1）直接由概率公式求解即可； （2）根据列表法求概率即可求解． 【小问1详解】 解：共有4个张卡片，从中任意抽取一张卡片，求抽到蓝色卡片的概率； 故答案为：． 【小问2详解】 解：画树状图如图， 红1 红2 黄 蓝 红1 红1，红2 红1，黄 红1，蓝 红2 红2，红1 红2，黄 红2，蓝 黄 黄，红1 黄，红2 黄，蓝 蓝 蓝，红1 蓝，红2 蓝，黄 共有12种等可能结果，其中两次抽到的都是红色卡片，有2种， ∴两次抽到的都是红色卡片． 20. 如图，在四边形中，，，，． （1）求证：； （2）若，求的周长． 【答案】（1） 证明：，，， ．． ． 又， ． （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质， （1）根据“两边对应成比例及夹角相等的两个三角形相似”即可得证； （2）根据三角形相似的性质，对应边成比例即可求解； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ． ， ． ． 21. 为了维护国家主权和海洋权利，海监部门对我国领海实现了常态化巡航管理，如图，正在执行巡航任务的海监船以每小时50海里的速度向正东方航行，在A处测得灯塔P在北偏东60°方向上，继续航行1小时到达B处，此时测得灯塔P在北偏东30°方向上． （1）求∠APB的度数； （2）已知在灯塔P的周围25海里内有暗礁，问海监船继续向正东方向航行是否安全？ 【答案】（1）30°；（2）海监船继续向正东方向航行是安全的． 【解析】 【分析】（1）根据直角的性质和三角形的内角和求解； （2）过点P作PH⊥AB于点H，根据解直角三角形，求出点P到AB的距离，然后比较即可． 【详解】解：（1）在△APB中，∠PAB=30°，∠ABP=120° ∴∠APB=180°-30°-120°=30° （2）过点P作PH⊥AB于点H 在Rt△APH中，∠PAH=30°，AH=PH 在Rt△BPH中，∠PBH=30°，BH=PH ∴AB=AH-BH=PH=50 解得PH=25＞25，因此不会进入暗礁区，继续航行仍然安全． 22. 为纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年，某校在八年级与九年级中举办世界反法西斯战争知识竞赛活动． 收集数据：从八、九年级中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（单位：分，满分100分）如下： 八年级20名学生的竞赛成绩： ． 九年级20名学生的竞赛成绩： ． 整理数据： 成绩分 八年级人数 4 5 7 4 九年级人数 3 4 5 8 （说明：成绩在90分及以上为优秀） 分析数据： 年级 平均数/分 中位数/分 众数/分 八年级 79.35 82 九年级 82.2 84.5 根据以上信息，回答下列问题： （1）填空：______，______． （2）结合以上数据的整理和分析，你认为哪个年级对世界反法西斯战争知识更了解一些？请说明理由．（写出一条即可） （3）若该校八、九年级共有3000名学生，请估计该校八、九年级本次竞赛成绩为优秀的学生总人数． 【答案】（1）81，90 （2）九年级对世界反法西斯战争知识更了解一些， 理由：从平均数来看，九年级学生竞赛成绩的平均数为82.2分，高于八年级． （3）900 【解析】 【分析】本题考查了中位数和众数的定义，用样本估计总体； （1）根据中位数和众数的定义求解即可； （2）从平均数，中位数，众数和优秀人数分析即可； （3）用八、九年级学生人数乘以样本中成绩优秀的学生所占的比例即可． 【小问1详解】 解：一共有20个数据，中位数为第10个和第11个数据的中位数 ∴； 九年级随机抽取20名学生的竞赛成绩最多的是90分 ∴； 【小问2详解】 解：九年级对世界反法西斯战争知识更了解一些． 理由：从平均数来看，九年级学生竞赛成绩的平均数为82.2分，高于八年级， 所以九年级对世界反法西斯战争知识更了解一些； 从中位数来看，九年级学生竞赛成绩的中位数为84.5分，高于八年级， 所以九年级对世界反法西斯战争知识更了解一些； 从众数来看，九年级学生竞赛成绩的众数为90分，高于八年级， 所以九年级学生对世界反法西斯战争知识更了解一些； 从优秀人数来看，九年级学生竞赛成绩为优秀的学生人数为8，高于八年级， 所以九年级对世界反法西斯战争知识更了解一些．（答案不唯一，言之有理即可） 【小问3详解】 解：（名）． 答：估计该校八、九年级本次竞赛成绩为优秀的学生总人数为900． 23. 已知二次函数图象的对称轴是直线． （1）求证：． （2）将二次函数的图象向左平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到新的函数图象的顶点在轴上，求的值． （3）在（2）的条件下，当时，二次函数的最大值与最小值的差为8，求的取值范围． 【答案】（1）证明：二次函数图象的对称轴是直线， ， ， ； （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数图象与性质，熟练掌握二次函数性质是解题关键， （1）根据抛物线对称轴公式计算可得结论； （2）先求出原抛物线顶点坐标，再根据平移写出新抛物线顶点坐标，根据新抛物线顶点在x轴上即可解决； （3）先求出当时，该函数有最小值为，再求出抛物线过点和，根据题意结合图象求出结论即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， 二次函数顶点坐标为， 将二次函数的图象向左平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度， 其顶点也向左平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度， 则平移后新的函数图象的顶点坐标为， 平移后新的函数图象的顶点在轴上， ， ； 【小问3详解】 解：当时，抛物线表达式， 二次函数图象顶点坐标为， ， 当时，该函数有最小值为， 当时，， 抛物线图象过点， 二次函数图象的对称轴是直线， 对称性可知抛物线还过点， 当时，二次函数的最大值与最小值的差为8， 由上图可知，． 24. 如图，是的直径，是上一点，的平分线交于点，过点作，交的延长线于点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明：如图所示，连接OD ∵是的直径 ∴ ∵的平分线交于点 ∴ ∴ ∵ ∴ ∵是的半径 ∴是的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）如图所示，连接，由直径得到，然后由角平分线的，然后根据圆周角定理得到，由平行线得到，进而证明即可； （2）如图所示，过点A作交于点F，连接，，首先得到，得到，证明出是等腰直角三角形，得到，设，则，由得到，，勾股定理求出，，进而得到，然后证明出，得到，然后代数求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图所示，过点A作于点F，连接，， ∵ ∴ ∴ ∴ ∵， ∴是等腰直角三角形 ∴ 设，则 ∴ ∴ ∴， ∴， ∵ ∴ ∴ ∵，即 ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ ∴． 【点睛】此题考查了切线的判定，圆周角定理，等腰直角三角形的性质和判定，解直角三角形，勾股定理，相似三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $