精品解析：山东聊城市高唐县2025-2026学年上学期期末八年级数学试题

2025-2026学年度第一学期期末学情诊断 八年级数学试题 注意事项： 1．本试卷满分120分，考试用时120分钟． 2．答卷前，请将试卷密封线内和答题卡上的项目填涂清楚． 3．请在答题卡相应位置作答，不要超出答题区域，不要答错位置． 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求） 1. 8的立方根是（ ） A. 2 B. -2 C. D. － 2. 在平面直角坐标系中，点所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 下列命题的逆命题是真命题的是（ ） A. 全等三角形的面积相等 B. 如果，那么 C. 两直线平行，内错角相等 D. 两个全等三角形的三对对应角相等 4. 如图，点是线段的中点，于点，于点，连接，．若利用“”证明，则需要添加的条件是（ ） A. B. C. D. 5. 若，则下列式子中正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，方格纸上每个小正方形的边长都是1，点A、B、C、D都在网格线的交点上，其中长度为无理数的线段是（ ） A. B. C. D. 7. 已知，，以下结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 一个外轮廓为长方形的机器零件剖面示意图如图所示，根据图中标出的尺寸（单位：），可得出两圆孔中心A，B之间的距离为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，三边的长分别为，与的平分线交于点，若点到的距离为，则有下列结论：①垂直平分；②；③点到点的距离为；④．其中一定正确的是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②④ D. ③④ 10. 某地政府计划用一块面积为的土地建造公租房小区，小区内每幢楼5层．要求只建的两室两厅和的一室两厅两种户型，共300套，且建楼的土地面积不超过．要想求出的户型最多可以建多少套，则设的户型可以建套，可列不等式为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分．只写最后结果） 11. 写出不等式的一个负整数解___________． 12. 将分式中的和都扩大10倍，那么分式的值变为原来的________． 13. 问题：如图1，已知为钝角三角形，，用尺规作的高． 作法：如图2，①分别以点，为圆心，长为半径作弧，两弧相交于点；②连接；③延长交于点．线段即为的高． 判定为高的依据是________． 14. 以下是小莹和小亮关于家、学校、图书馆位置的对话： 小莹：学校在我家的北偏东方向，与我家的距离为米；图书馆在我家的正北方向． 小亮：学校在图书馆的正东方向；我家在你家和学校连线的中点处． 请根据以上信息，用方向和距离表示图书馆相对于小亮家的位置为___________． 15. 观察下列一组算式的特征及运算结果：①，②，③，…，请根据规律计算的值为______． 三、解答题（共8小题，共75分．请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 解分式方程： （1）； （2）． 17. 解下列不等式或不等式组，并把它们的解集分别表示在数轴上： （1）； （2） 18. 如图，方格纸上每个小正方形的边长都为1，点A，B，C，D都在网格线的交点上，点的坐标为，点的坐标为． （1）根据上述条件，在网格中建立平面直角坐标系； （2）写出点A，D的坐标； （3）写出点关于轴的对称点的坐标，连接，，求出的面积． 19. 如图1，是一段楼梯的示意图，截面是一个直角三角形．已知直角边长，斜边的长是．现打算在楼梯上铺地毯，每平方米的地毯售价是150元，楼梯宽为．那么购买这种地毯至少需要多少元？ 20. 如图，在等边三角形中，于，于，，相交于点．求证：． 21. 【材料阅读】作差法比较大小 作差法比大小是通过计算两个数（或代数式）的差值，将差与0比较，从而判断两者大小的方法，核心逻辑是“差值定大小”． 设比较对象为、，其操作步骤可以分为以下几步． （1）作差：计算与的差； （2）变形：对差进行化简、因式分解等（若差为常数，此步可省略）； （3）判断：判断差与0的大小关系，得出结论． 若，则；若，则；若，则． 例如：比较3与的大小，作差得，所以；比较与的大小，作差得，因为，所以，所以． 【问题解决】 （1）比较代数式与的大小； （2）已知，比较与的大小． 22. 为了响应国家的“乡村振兴”战略，某高校大学生创业团队与当地果农合作，帮助销售优质农产品．他们从果园采购了一批樱桃，这批樱桃中果的进价比大果每千克少2元，他们花了5000元购买中果，3000元购买大果，且购进的中果数量是大果数量的2倍． （1）这批樱桃中果和大果的进价分别是每千克多少元？ （2）大学生创业团队将购进的樱桃进行销售．其中果的售价比进价高，大果在进价的基础上每千克加价元进行销售，一周后，中果还剩，大果还剩没有售出．为了增加销量，减少库存和损耗，他们准备在现销售价格的基础上降价促销：中果每千克降价5元，大果每千克降价元进行销售．预计除了40千克中果和20千克大果损坏不能售出外，其余全部售出． ①小亮根据以上信息绘制了下边的表格，请你帮助小亮将表格补充完整（不写计算过程，直接填表，大果的销售价格用表示）； ②大学生创业团队希望总利润不少于2880元，求的最小值． 23. 【初步探究】 已知，在等边三角形中，点在上，点在的延长线上，且． 如图1，当点为的中点时，判断线段与的大小关系，并说明理由． 以下是探究此问题时，小亮和小莹的思路： 小亮说：相等，可以利用“三线合一”的性质，将转化为，……； 小莹说：相等，可以过点作的平行线，构造全等三角形，⋯⋯． （1）请结合以上信息，写出此题目的完整解答过程． 【深入探究】 （2）如图2，当点为边上任意一点时，判断线段与的大小关系，并说明理由． 【拓展提升】 （3）在等边三角形中，点在边的延长上，点在线段上，且，若的边长为6，，请你在图3中补全图形，并直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期期末学情诊断 八年级数学试题 注意事项： 1．本试卷满分120分，考试用时120分钟． 2．答卷前，请将试卷密封线内和答题卡上的项目填涂清楚． 3．请在答题卡相应位置作答，不要超出答题区域，不要答错位置． 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求） 1. 8的立方根是（ ） A. 2 B. -2 C. D. － 【答案】A 【解析】 【分析】利用立方根的定义计算即可得到结果． 【详解】解：∵23=8， ∴8的立方根为2， 故选：A． 【点睛】此题考查了立方根，熟练掌握立方根的定义是解本题的关键． 2. 在平面直角坐标系中，点所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中各象限内点的坐标符号特征．根据点A的横纵坐标符号即可判断其所在象限，即可作答． 【详解】解：∵点的横坐标为负数，纵坐标为正数 ∴点A在第二象限 故选：B． 3. 下列命题的逆命题是真命题的是（ ） A. 全等三角形的面积相等 B. 如果，那么 C. 两直线平行，内错角相等 D. 两个全等三角形的三对对应角相等 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了命题的逆命题，判断逆命题的真假，全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．通过分析四个选项的逆命题，判断其是否为真命题，从而得到答案． 【详解】解：A、全等三角形的面积相等逆命题为：面积相等的两个三角形是全等三角形，是假命题； B、如果，那么逆命题为：若，则，是假命题； C、两直线平行，内错角相等逆命题为：内错角相等，两直线平行，是真命题； D、两个全等三角形的三对对应角相等逆命题为：三个角相等的两个三角形是全等三角形，是假命题； 故选：C ． 4. 如图，点是线段的中点，于点，于点，连接，．若利用“”证明，则需要添加的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题关键． 直接利用全等三角形的判定方法分析得出答案． 【详解】解：，， ， 点是线段的中点， ， 又， ， 则需要添加的条件为，选项C符合题目要求． 故选：C． 5. 若，则下列式子中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查不等式的基本性质，理解并掌握不等式的性质是关键． 不等式的基本性质1：不等式两边同时加上（或减去）同一个数（或式子），不等号方向不变； 不等式的基本性质2：不等式两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号方向不变； 不等式的基本性质3：不等式两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号方向改变；由此分析各选项即可． 【详解】解：∵， A、，原选项错误，不符合题意； B、，原选项错误，不符合题意； C、，原选项正确，符合题意； D、，原选项错误，不符合题意； 故选：C． 6. 如图，方格纸上每个小正方形的边长都是1，点A、B、C、D都在网格线的交点上，其中长度为无理数的线段是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理．根据勾股定理求出每条线段的长即可判断． 【详解】解：由勾股定理可得：，， 故长度为无理数的线段是， 故选：D． 7. 已知，，以下结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了分式的加减乘除运算，先对B进行通分化简，再将化简后的B与A进行运算，验证各选项结论，即可作答． 【详解】解：∵， ∴ 又∵， ∴， 故选项C正确， ∵， ∴， 故选项A不正确， ∵， ∴， 故选项B不正确， ∵， ∴， 故选项D不正确， 故选：C 8. 一个外轮廓为长方形的机器零件剖面示意图如图所示，根据图中标出的尺寸（单位：），可得出两圆孔中心A，B之间的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，根据图中信息，先运算得出，再运用勾股定理列式计算，即可作答． 【详解】解：观察图中的数据，得出 在中，, 故选：B 9. 如图，三边的长分别为，与的平分线交于点，若点到的距离为，则有下列结论：①垂直平分；②；③点到点的距离为；④．其中一定正确的是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②④ D. ③④ 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质和定义，线段的垂直平分线的判定，等腰三角形的性质，三角形内角和，三角形面积计算，熟练掌握相应知识是解题的关键．利用角平分线的性质以及已知条件对①②③④进行判断即可求解． 【详解】解：由平分，与不一定相等，因此不一定垂直平分，故不正确； ∵、分别平分、， ∴，， ∴， ∴，故正确； ∵平分， ∴点到的距离等于点到的距离， 如图，过点作于，则，连接， ∴点到的距离大于，故不正确； 如图，连接，过点作于，过点作于，过点作于， ∵、分别平分、， ∴， ∴，故正确； 综上所述，正确． 故选：C． 10. 某地政府计划用一块面积为的土地建造公租房小区，小区内每幢楼5层．要求只建的两室两厅和的一室两厅两种户型，共300套，且建楼的土地面积不超过．要想求出的户型最多可以建多少套，则设的户型可以建套，可列不等式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查一元一次不等式的运用，根据建楼土地面积的限制条件，结合两种户型的套数与每幢楼的层数，推导建楼占地面积的不等式，关键是明确每套户型对应的建楼占地面积计算方式． 【详解】解：∵设的户型建套， ∴的户型建套， ∵每幢楼5层， ∴套户型对应的建楼占地面积为，套户型对应的建楼占地面积为， 又∵建楼的土地面积不超过总土地面积的，总土地面积为， ∴， 故选：D． 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分．只写最后结果） 11. 写出不等式的一个负整数解___________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查解一元一次不等式，解不等式得到x的取值范围，再找出满足条件的负整数解． 【详解】解：， 移项、合并同类项得，， 系数化为1得，， ∴负整数解为、、，任取一个即可， 故答案为：（答案不唯一）． 12. 将分式中的和都扩大10倍，那么分式的值变为原来的________． 【答案】10倍 【解析】 【分析】本题属于考查了分式的基本性质，将和都扩大10倍后代入分式，化简即可． 【详解】解：设原分式为， 当和都扩大10倍时，新分式为： ， 因此分式的值变为原来的10倍． 故答案为：10倍． 13. 问题：如图1，已知为钝角三角形，，用尺规作的高． 作法：如图2，①分别以点，为圆心，长为半径作弧，两弧相交于点；②连接；③延长交于点．线段即为的高． 判定为高的依据是________． 【答案】三线合一 【解析】 【分析】本题主要考查了尺规作图、等边三角形的判定与性质，由尺规作图可知是等边三角形，由等边三角形的性质可知，可证平分，根据等腰三角形的三线合一定理可证为的高． 【详解】解：分别以点，为圆心，长为半径作弧，两弧相交于点， ， 是等边三角形， ， ， ， ， 平分， (三线合一)， 是的高． 故答案为：三线合一． 14. 以下是小莹和小亮关于家、学校、图书馆位置的对话： 小莹：学校在我家的北偏东方向，与我家的距离为米；图书馆在我家的正北方向． 小亮：学校在图书馆的正东方向；我家在你家和学校连线的中点处． 请根据以上信息，用方向和距离表示图书馆相对于小亮家的位置为___________． 【答案】北偏西方向，距小亮家500米 【解析】 【分析】本题主要考查方位角表示地理位置，根据对话建立坐标系，以小莹家为原点，北为y轴正方向，东为x轴正方向，通过坐标计算和小亮家位置，确定图书馆相对于小亮家的方向和距离． 【详解】解：如图所示，一个单位长度表示米， ∴设小莹家为点，学校为点A，图书馆为点B，小亮家为点C，， ∵学校在图书馆的正东方向， ∴轴，即， ∵小亮家在小莹家和学校连线的中点处，即点为的中点， ∴， ∴（米），， ∵小亮家所在方向的正北方与平面直角坐标系的y轴平行， ∴点B在点C的北偏西方向，距小亮家500米处， ∴图书馆相对于小亮家的位置为北偏西方向，距小亮家500米处， 故答案为：北偏西方向，距小亮家500米． 15. 观察下列一组算式的特征及运算结果：①，②，③，…，请根据规律计算的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查与算术平方根有关的规律探索题．根据已知等式总结规律，然后化简并计算即可． 【详解】解：， ， ， … ， ． 原式 ． 故答案为：． 三、解答题（共8小题，共75分．请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 解分式方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先把分式方程化为整式方程，再解得，最后验根，即可作答． （2）先把分式方程化为整式方程，再解得，最后验根，即可作答． 【小问1详解】 解：∵； 方程两边都乘，得， 整理，得， 解方程，得， 检验：当时，， ∴原方程的解是， 【小问2详解】 解： 方程两边都乘，得 整理，得， 解方程，得， 检验：当时，， ∴原方程的解是． 17. 解下列不等式或不等式组，并把它们的解集分别表示在数轴上： （1）； （2） 【答案】（1）， 解集在数轴上的表示如图： （2）， 数轴上表示不等式组的解集： 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，解不等式组，在数轴上表示不等式的解集，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先去分母，再去括号，移项，合并同类项，系数化为1，得出，再在数轴上表示出来，即可作答． （2）分别解出每个不等式的解集，再得出不等式组的解集，最后在数轴上表示出来，即可作答． 【小问1详解】 解：∵， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得； 【小问2详解】 解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴该不等式组的解集是． 18. 如图，方格纸上每个小正方形的边长都为1，点A，B，C，D都在网格线的交点上，点的坐标为，点的坐标为． （1）根据上述条件，在网格中建立平面直角坐标系； （2）写出点A，D的坐标； （3）写出点关于轴的对称点的坐标，连接，，求出的面积． 【答案】（1） 依题意，平面直角坐标系如图所示： （2）， （3） 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系，点的坐标，轴对称的性质，利用网格求三角形的面积，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，结合点的坐标为，点的坐标为，建立正确的平面直角坐标系，即可作答． （2）直接读取点A，D的坐标，进行作答； （3）先描出的坐标，再运用割补法进行列式计算，即可作答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：依题意，，； 【小问3详解】 解：∵点关于轴的对称点的坐标，点的坐标为， ∴的坐标为， ∴的面积． 19. 如图1，是一段楼梯的示意图，截面是一个直角三角形．已知直角边长，斜边的长是．现打算在楼梯上铺地毯，每平方米的地毯售价是150元，楼梯宽为．那么购买这种地毯至少需要多少元？ 【答案】5100元 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．理解题意，运用勾股定理得，则得出在楼梯上铺地毯需要的长度，然后结合楼梯宽为，以及每平方米的地毯售价是150元，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：在中，，， 由勾股定理得，， 在楼梯上铺地毯需要的长度为， ∵楼梯宽为， ∴需要铺地毯的面积为， ∵每平方米的地毯售价是150元， ∴购买这种地毯至少需要的费用为（元）． 20. 如图，在等边三角形中，于，于，，相交于点．求证：． 【答案】 证明：∵为等边三角形， ∴，， ∵，， ∴，点为中点，为中点， ∴，，平分 ∴，， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，30度的直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质， 正确掌握相关性质内容是解题的关键．先结合为等边三角形，得，，又因为，，得出，，再证明，则，即可作答． 【详解】略 21. 【材料阅读】作差法比较大小 作差法比大小是通过计算两个数（或代数式）的差值，将差与0比较，从而判断两者大小的方法，核心逻辑是“差值定大小”． 设比较对象为、，其操作步骤可以分为以下几步． （1）作差：计算与的差； （2）变形：对差进行化简、因式分解等（若差为常数，此步可省略）； （3）判断：判断差与0的大小关系，得出结论． 若，则；若，则；若，则． 例如：比较3与的大小，作差得，所以；比较与的大小，作差得，因为，所以，所以． 【问题解决】 （1）比较代数式与的大小； （2）已知，比较与的大小． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算、分式的加减，代数式的比较大小、不等式的性质，熟练掌握知识点是解决问题的关键； （1）计算与的差，先去括号再配方得完全平方式，最后判断差与0的大小关系，得出结论即可； （2）计算与的差，通分计算，根据，判断差与0的大小关系，得出结论即可． 【小问1详解】 解： ， ， ， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解： ， ， ∵， ∴，， ∴， ∴． 22. 为了响应国家的“乡村振兴”战略，某高校大学生创业团队与当地果农合作，帮助销售优质农产品．他们从果园采购了一批樱桃，这批樱桃中果的进价比大果每千克少2元，他们花了5000元购买中果，3000元购买大果，且购进的中果数量是大果数量的2倍． （1）这批樱桃中果和大果的进价分别是每千克多少元？ （2）大学生创业团队将购进的樱桃进行销售．其中果的售价比进价高，大果在进价的基础上每千克加价元进行销售，一周后，中果还剩，大果还剩没有售出．为了增加销量，减少库存和损耗，他们准备在现销售价格的基础上降价促销：中果每千克降价5元，大果每千克降价元进行销售．预计除了40千克中果和20千克大果损坏不能售出外，其余全部售出． ①小亮根据以上信息绘制了下边的表格，请你帮助小亮将表格补充完整（不写计算过程，直接填表，大果的销售价格用表示）； ②大学生创业团队希望总利润不少于2880元，求的最小值． 【答案】（1）中果的进价为10元/千克，大果的进价为12元/千克 （2）① 销售情况 时间 中果 大果 销售价格（元／千克） 销售量（千克） 销售价格（元／千克） 销售量（千克） 第一周 15 400 150 一周后 10 60 80 ②的最小值是4 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键； （1）设中果的进价为元/千克，则大果的进价是元/千克，根据花了5000元购买中果，3000元购买大果，且购进的中果数量是大果数量的2倍，列出分式方程，求解即可； （2）①根据题意列表即可；②以总利润不少于2880元为不等关系，列出不等式，即可求解． 【小问1详解】 解：设中果的进价为元/千克，则大果的进价是元/千克， 根据题意，得， 解方程，得， 经检验，是原方程的解， ∴， 答：中果的进价为10元/千克，大果的进价为12元/千克； 【小问2详解】 ②根据题意，得， 解不等式，得， ∴的最小值是4． 23. 【初步探究】 已知，在等边三角形中，点在上，点在的延长线上，且． 如图1，当点为的中点时，判断线段与的大小关系，并说明理由． 以下是探究此问题时，小亮和小莹的思路： 小亮说：相等，可以利用“三线合一”的性质，将转化为，……； 小莹说：相等，可以过点作的平行线，构造全等三角形，⋯⋯． （1）请结合以上信息，写出此题目的完整解答过程． 【深入探究】 （2）如图2，当点为边上任意一点时，判断线段与的大小关系，并说明理由． 【拓展提升】 （3）在等边三角形中，点在边的延长上，点在线段上，且，若的边长为6，，请你在图3中补全图形，并直接写出的长． 【答案】 （1）小亮的说法： ∵三角形是等边三角形， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 小莹的说法： 如图所示，过点作， ∵三角形是等边三角形，即， ∴，， ∴是等边三角形，， ∴， ∵点为的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2），理由如下， 如图所示，过点作，同理，， ∴，， ∴是等边三角形，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中， ， ∴， ， ∴； （3）根据题意，补全图形如下， ． 【解析】 【分析】本题主要考查等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，合理作出辅助线是关键． （1）小亮的说法：根据“三线合一”得到，再根据等边对等角，三角形外角的性质得到，，等量代换即可求解； 小莹的说法：如图所示，过点作，可得是等边三角形，，证明，得到，再证明，等量代换即可求解； （2）如图所示，过点作，同理，，则是等边三角形，，证明，得，即可求解； （3）根据题意作图，过点作，交延长线于点，可得是等边三角形，，，，即，再证明，，由此即可求解． 【详解】解：（1）略 （2） 略 （3）过点作，交延长线于点， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴，即， 又∵， ∴， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $