精品解析：四川资阳市2025-2026学年上学期九年级数学期末试卷

九年级·数学 全卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分．满分150分，考试时间共120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、座位号、报名号（考号）写在答题卡上，并将条形码贴在答题卡上对应的虚线框内．同时在答题卡背面第4页顶端用2B铅笔涂好自己的座位号． 2．第I卷每小题选出的答案不能答在试卷上，必须用2B铅笔在答题卡上把对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦净后，再选涂其它答案．第II卷必须用0.5mm黑色墨水签字笔书写在答题卡上的指定位置．不在指定区域作答的将无效． 3．考试结束，监考人员只将答题卡收回． 第I卷（选择题共40分） 一、选择题（本大题10个小题，每小题4分，共40分，在每小题的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．） 1. 若二次根式有意义，则的取值范围是（ ） A B. C. D. 2. 一元二次方程的解为（ ） A. B. C. D. 3. 下列成语描述的事件是不可能事件的是（ ） A. 水中捞月 B. 守株待兔 C. 一箭双雕 D. 旭日东升 4. 如图，直线与这三条平行线交于点和点，若，且，则（ ） A. B. C. 6 D. 8 5. 如图，四边形与四边形是以点O为位似中心的位似图形，若，四边形的周长为12，则四边形的周长为（ ） A. 2 B. 6 C. 4 D. 5 6. 化简的值为（ ） A. B. 1 C. 2025 D. 2026 7. 为丰富学生的课余生活，提高学生的身体素质与团队协作能力，增强班级凝聚力与集体荣誉感，促进学生间的交流与互动，弘扬体育精神．某校决定举行排球比赛，计划安排7天，每天安排4场，赛制是参赛的每个队之间都要比赛一场．设有x个球队参加比赛，则x满足的方程是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的顶点为格点，的顶点均在格点上，则的值为（ ） A. B. C. D. 2 9. 对于实数a、b，定义运算“★”：，关于x的方程恰好有两个不相等的实数根，则t的取值范围是（） A. B. C. D. 10. 如图，在矩形中，，，点是对角线上一动点，过点作垂直于的射线，点在射线上，且，连接，交于点．则下列结论：①；②；③当点为中点时，则；④当四边形为轴对称图形时，则．其中正确的结论个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 第II卷（非选择题共110分） 注意事项： 1．请用0.5毫米的黑色签字笔在答题卡相应区域作答，超出答案区域的答案无效． 2．试卷中横线及方框处是需要你在答题卡上作答的内容或问题．请注意准确理解题意、明确题目要求，规范地表达、工整地书写解题过程或结果． 二、填空题（本大题6个小题，每小题4分，共24分．） 11. 若最简二次根式与是同类二次根式，则_____． 12. 在如图所示的电路图中，任意合上一个开关，则小灯泡发亮的概率为___________． 13. 在中，若，则是_______三角形． 14. 已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程的两根，则该等腰三角形的周长为______． 15. 如图，在中，，，点P从A出发，以的速度向B运动，同时点Q从C出发，以的速度向A运动，当其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，当以，，为顶点的三角形与相似时，则运动时间为______． 16. 如图，是分别以为直角顶点，斜边在轴上的等腰直角三角形，其中顶点均在反比例函数的图象上，则点的坐标为_____． 三、解答题（本大题共8个小题，共86分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 计算： （1） （2） 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 为调查我县群众对滴水湖生态公园的参与体验，某调研机构在网上针对以下公园活动类型开展了抽样调查：类型A：自然教育研学；类型B：生态廊道徒步；类型C：露天野营休闲；类型D：生态产品品鉴．并将所有调查结果绘制成如图所示的不完整统计图（所有被调查者均选择且只选择一种体验类型）． （1）求本次抽样调查总人数； （2）在条形统计图中补全类型B的相关数据，并计算类型C对应的扇形圆心角的度数； （3）现要对滴水湖公园进行宣传，计划从甲、乙、丙、丁四位宣传员中选取两人作为“生态体验宣传大使”，请用树状图或列表法求恰好选中甲和乙概率． 20. 资阳某电商平台销售一种高档柠檬茶，原价每盒元，连续两次降价后每盒元，若每次降价的百分率相同． （1）求每次降价的百分率； （2）若每盒盈利元，每天可售出盒，经市场研究发现，在进货价不变的情况下，电商平台决定采取适当的涨价措施，若每盒涨价元，日销售量将减少盒，现在平台要保证每日盈利元，且要让顾客得到实惠，那么每盒柠檬茶应涨价多少元？ 21. 如图，在和中，若． （1）在下列条件中：①，②；③，任选一个条件，使，并说明理由； （2）在你选的（1）条件下，若，求的长度． 22. 亚洲第一、中国唯一的航空货运枢纽——鄂州花湖机场，于2022年3月19日完成首次全货运试飞，很多市民共同见证了这一历史时刻．如图，小明在处看见飞机的仰角为，同时，小刚在斜坡上的处看见飞机的仰角为．若斜坡的坡度，且小明与小刚之间的水平距离米（点，，，，，，在同一平面内，且点，，在同一水平直线上）． （1）求点到水平地面距离； （2）求此时飞机的高度．（结果精确到1米，参考数据：） 23. 阅读下列材料： 已知实数，满足，试求的值． 解：设，则原方程变为，整理得，，，即． 上面这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化． 根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程． （1）已知实数，满足，则_____； （2）若，求的值； （3）若四个连续正整数的积为120，求这四个连续正整数． 24. 某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直线段做了如下探究： 【初步感知】 （）如图，在正方形中，点，分别是，上的两点，连结、且，则的值为_____； （）如图，在矩形中，，，点是边上的一点，连结，当时，求的值； 【类比探究】 （）如图，在四边形中，，点为边上一点，连结，过点作的垂线交的延长线于点，交的延长线于点，若，，，求的长度； 【拓展延伸】 （）如图，在四边形中，，，在中，，点、分别在边、上，连结、且，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级·数学 全卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分．满分150分，考试时间共120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、座位号、报名号（考号）写在答题卡上，并将条形码贴在答题卡上对应的虚线框内．同时在答题卡背面第4页顶端用2B铅笔涂好自己的座位号． 2．第I卷每小题选出的答案不能答在试卷上，必须用2B铅笔在答题卡上把对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦净后，再选涂其它答案．第II卷必须用0.5mm黑色墨水签字笔书写在答题卡上的指定位置．不在指定区域作答的将无效． 3．考试结束，监考人员只将答题卡收回． 第I卷（选择题共40分） 一、选择题（本大题10个小题，每小题4分，共40分，在每小题的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．） 1. 若二次根式有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的意义和性质，概念：式子叫二次根式，性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义，熟练掌握二次根式的意义和性质是解答本题的关键．根据二次根式的意义和性质解答即可． 详解】解：根据题意，得：， 解得：， 故选：B． 2. 一元二次方程的解为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，先把化为一般式，再运用因式分解进行解方程，即可作答． 【详解】∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ 或， 故选：A． 3. 下列成语描述的事件是不可能事件的是（ ） A. 水中捞月 B. 守株待兔 C. 一箭双雕 D. 旭日东升 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了事件的分类，根据不可能事件的定义（一定不会发生的事件），分析各成语的含义，即可作答． 【详解】解：A、水中捞月：月亮在水中仅为倒影，无法实际捞取，一定不会发生，为不可能事件； B、守株待兔：兔子可能偶然撞树桩，不是不可能事件； C、一箭双雕：可能发生，不是不可能事件； D、旭日东升：太阳从东方升起是必然事件，不是不可能事件； 故选：A． 4. 如图，直线与这三条平行线交于点和点，若，且，则（ ） A. B. C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行线分线段成比例，正确掌握平行线分线段成比例是解题的关键． 根据平行线分线段成比例得到，进而，求解即可． 【详解】解：，， ， ， ， ，解得， 经检验是方程的解，符合题意； 故选：C． 5. 如图，四边形与四边形是以点O为位似中心的位似图形，若，四边形的周长为12，则四边形的周长为（ ） A. 2 B. 6 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查位似图形，根据位似图形的周长比等于位似比，进行求解即可． 【详解】解：∵四边形与四边形是以点O为位似中心的位似图形，且， ∴四边形与四边形的周长比为， ∵四边形的周长为12， ∴四边形的周长为6； 故选B 6. 化简的值为（ ） A. B. 1 C. 2025 D. 2026 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质，先根据被开方数为非负数得，再化简原式，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 则 ， 故选：B． 7. 为丰富学生的课余生活，提高学生的身体素质与团队协作能力，增强班级凝聚力与集体荣誉感，促进学生间的交流与互动，弘扬体育精神．某校决定举行排球比赛，计划安排7天，每天安排4场，赛制是参赛的每个队之间都要比赛一场．设有x个球队参加比赛，则x满足的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了列一元二次方程解决实际问题，解题的关键是找准等量关系，列出方程． 根据单循环赛制，总比赛场次为组合数，即，再根据总安排28场比赛，列出方程． 【详解】解：∵每个队之间都要比赛一场， ∴总比赛场次为， 又∵计划安排7天，每天4场， ∴总比赛场次为. ∴， 即， 故选：A． 8. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点为格点，的顶点均在格点上，则的值为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理及逆定理，锐角三角函数．由勾股定理及逆定理可得是直角三角形，且，进而根据正切的定义即可求解． 【详解】解：由网格可得，，，， ∵， ∴是直角三角形，且， ∴， 故选：D． 9. 对于实数a、b，定义运算“★”：，关于x的方程恰好有两个不相等的实数根，则t的取值范围是（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，新定义运算，由于恒成立，因此运算使用第二种情况，将方程化为二次方程，根据判别式大于零求解即可． 【详解】解：∵， ，且， ∴， ∴， ∴方程化为，即， ∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得， 故选：D． 10. 如图，在矩形中，，，点是对角线上一动点，过点作垂直于的射线，点在射线上，且，连接，交于点．则下列结论：①；②；③当点为中点时，则；④当四边形为轴对称图形时，则．其中正确的结论个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据同角的余角相等，得到，证明，判断①，根据相似三角形的性质，推出，进而得到，根据正弦的定义判断②；斜边上的中线可得，可证明，垂直平分，可得，从而可判断③，根据，得到当四边形为轴对称图形时，，得到此时点为的中点，求出，判断④即可． 【详解】解：∵四边形矩形， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴；故①正确； ∴， ∴， ∴， ∴；故②错误； 当为中点时，则，则， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴；故③正确； ∵， ∴当四边形为轴对称图形，则为对称轴， 即，此时为的中点， 由③可知，；故④正确； 故选：C． 第II卷（非选择题共110分） 注意事项： 1．请用0.5毫米的黑色签字笔在答题卡相应区域作答，超出答案区域的答案无效． 2．试卷中横线及方框处是需要你在答题卡上作答的内容或问题．请注意准确理解题意、明确题目要求，规范地表达、工整地书写解题过程或结果． 二、填空题（本大题6个小题，每小题4分，共24分．） 11. 若最简二次根式与是同类二次根式，则_____． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了同类二次根式的定义，在最简二次根式的条件下，被开方数相同即为同类二次根式． 根据同类二次根式的定义，被开方数必须相同得到，据此即可求解． 【详解】解：∵最简二次根式与 是同类二次根式， ∴，解得， 故答案为：6． 12. 在如图所示的电路图中，任意合上一个开关，则小灯泡发亮的概率为___________． 【答案】##0.25 【解析】 【分析】本题考查概率公式，利用概率公式求解即可． 【详解】解：由题意得，四个开关，其中只有一个开关能使得小灯泡发亮， ∴小灯泡发亮的概率为， 故答案为：． 13. 在中，若，则是_______三角形． 【答案】等边 【解析】 【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数值，等边三角形的判定， 根据绝对值和完全平方数非负性可得，再根据特殊角的三角函数值可得，即可得出答案． 【详解】∵， ∴， ∴， 解得， ∴是等边三角形． 故答案为：等边． 14. 已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程的两根，则该等腰三角形的周长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程以及等腰三角形的性质，解题的关键是利用三角形三边的关系来判断能否构成三角形．先利用因式分解法解方程得到，，利用等腰三角形的性质讨论：等腰三角形的腰为，底为；等腰三角形的腰为，底为，然后分别计算即可． 【详解】解：解方程 ， 因式分解得， 所以 ，， 情况一：当腰长为，底为时，，不满足三角形三边关系，故不成立； 情况二：当腰长为，底为时，，，满足三角形三边关系，故周长为． 故答案为：． 15. 如图，在中，，，点P从A出发，以的速度向B运动，同时点Q从C出发，以的速度向A运动，当其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，当以，，为顶点的三角形与相似时，则运动时间为______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的性质，掌握相似三角形对应边成比例是关键． 根据题意，设运动时间为，则，，结合图形，分类讨论：当时；当时；由此列式求解即可． 【详解】解：，点P从A出发，以的速度向B运动，同时点Q从C出发，以的速度向A运动， ∴点的时间为，点的时间为， 设运动时间为， ∴，则， 当时，， ∴， 解得，； 当时，， ∴， 解得，； 综上所述，当以，，为顶点的三角形与相似时，则运动时间为或， 故答案为：或． 16. 如图，是分别以为直角顶点，斜边在轴上的等腰直角三角形，其中顶点均在反比例函数的图象上，则点的坐标为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了点坐标规律探索，反比例函数图象上点的特征，等腰直角三角形的性质等知识，利用等腰直角三角形的性质和反比例函数图象上点的坐标特征，通过设未知数建立方程求解，进而总结规律得出点的坐标． 【详解】解：如图，过分别作x轴的垂线，垂足分别为 则， 是等腰直角三角形， ， ，，， 设，则， 顶点在反比例函数的图象上， ， 解得，负值舍去， ， 设，则， 顶点在反比例函数的图象上， ， 整理得， 解得， ， ，， ， 同理，可得，， 归纳可得，，，，， …… 以此类推，， ， 点的坐标为， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8个小题，共86分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，掌握二次根式的运算法则是解题的关键． （1）先利用二次根式的性质化简，再合并同类二次根式； （2）先计算二次根式的乘除，再进行加减运算． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，二次根式有意义的条件，掌握相关运算法则是解题关键．先对括号内通分作差，再将除法化为乘法约分化简，然后利用二次根式有意义的条件求出、的值，代入计算求值即可． 【详解】解： ， ， ∴， ， ∴ 原式． 19. 为调查我县群众对滴水湖生态公园的参与体验，某调研机构在网上针对以下公园活动类型开展了抽样调查：类型A：自然教育研学；类型B：生态廊道徒步；类型C：露天野营休闲；类型D：生态产品品鉴．并将所有调查结果绘制成如图所示的不完整统计图（所有被调查者均选择且只选择一种体验类型）． （1）求本次抽样调查的总人数； （2）在条形统计图中补全类型B的相关数据，并计算类型C对应的扇形圆心角的度数； （3）现要对滴水湖公园进行宣传，计划从甲、乙、丙、丁四位宣传员中选取两人作为“生态体验宣传大使”，请用树状图或列表法求恰好选中甲和乙的概率． 【答案】（1）4000 （2）见解析； （3） 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图，扇形统计图，样本估计总体，用树状图或列表法求概率，掌握以上知识点是解题的关键； （1）用即可求解； （2）先求类型B的人数，再补全条形统计图，利用即可求解； （3）画出树状图，根据树状图解答即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴本次抽样调查的总人数为； 【小问2详解】 解：∵类型B的人数为：， ∴补全条形统计图，如图所示， 类型C对应的扇形圆心角的度数：； 【小问3详解】 解：树状图如下： 由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中恰好选中甲和乙的共有2种， ∴恰好选中甲和乙的概率为． 20. 资阳某电商平台销售一种高档柠檬茶，原价每盒元，连续两次降价后每盒元，若每次降价的百分率相同． （1）求每次降价的百分率； （2）若每盒盈利元，每天可售出盒，经市场研究发现，在进货价不变的情况下，电商平台决定采取适当的涨价措施，若每盒涨价元，日销售量将减少盒，现在平台要保证每日盈利元，且要让顾客得到实惠，那么每盒柠檬茶应涨价多少元？ 【答案】（1）； （2）每盒柠檬茶应涨价元合适． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程应用，根据题意找到等量关系，列出方程是解决问题的关键． （）设每次降价的百分率为，列出方程，然后解方程并检验即可； （）设每盒柠檬茶应涨价元，则每盒盈利元，日销售量为盒，列出方程，然后解方程并检验即可． 【小问1详解】 解：设每次降价的百分率为， 可列方程：， 解得，（不符合题意，舍去）， 答：求每次降价的百分率为； 【小问2详解】 解：设每盒柠檬茶应涨价元，则每盒盈利元，日销售量为盒， 可列方程：， 解得，， ∵要让顾客得到实惠， ∴符合题意， 答：每盒柠檬茶应涨价元合适． 21. 如图，和中，若． （1）在下列条件中：①，②；③，任选一个条件，使，并说明理由； （2）在你选的（1）条件下，若，求的长度． 【答案】（1）答案不唯一，见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，（1）选②：利用等式性质得，再根据相似三角形的判定证明即可；选③：利用等式性质得，再根据相似三角形的判定证明即可； （2）由（1）得，，从而可得，证得，进而求解即可． 【小问1详解】 解：可选②或③，可使得， 选②，，理由如下： ∵， ∴，即， 又∵， ∴， 选③，，理由如下： ∵， ∴，即， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）得，， ， ， ∵， ， ， ，，， ， ； 22. 亚洲第一、中国唯一的航空货运枢纽——鄂州花湖机场，于2022年3月19日完成首次全货运试飞，很多市民共同见证了这一历史时刻．如图，小明在处看见飞机的仰角为，同时，小刚在斜坡上的处看见飞机的仰角为．若斜坡的坡度，且小明与小刚之间的水平距离米（点，，，，，，在同一平面内，且点，，在同一水平直线上）． （1）求点到水平地面距离； （2）求此时飞机的高度．（结果精确到1米，参考数据：） 【答案】（1）米 （2）米 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，正确理解题意作出辅助线是解题的关键． （1）根据斜坡的坡度，直接解答即可； （2）过点作于点，证明米，，设米，则米，米．在中，根据三角函数的定义列方程，并求解即得答案． 【小问1详解】 解：在中， ． 米， （米） 答：点到水平地面的距离米． 【小问2详解】 解：过点作于点，则四边形为矩形， 米，， 设米，则米，米． 在中， ， 米， 米 在中， ． ， （米） （米） 答：此时飞机的高度米 23. 阅读下列材料： 已知实数，满足，试求的值． 解：设，则原方程变为，整理得，，，即． 上面这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化． 根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程． （1）已知实数，满足，则_____； （2）若，求的值； （3）若四个连续正整数的积为120，求这四个连续正整数． 【答案】（1） （2）该式的值为9 （3）2，3，4，5 【解析】 【分析】本题考查了换元法，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替(即换元)，则能使复杂的问题简单化． （1）设，则，解得：，得； （2）设，则，即，解得或，由，得，即可求解； （3）设最小正整数为x，则，即：，设，则，解得：，，由x为正整数，得，解得，（舍去），即可求解． 【小问1详解】 解：， 设， 则原方程变为， 整理得，，， 即． 故答案为：. 【小问2详解】 设， 则，， 解得：或， 由，得， 即． 故该式的值为9. 【小问3详解】 设最小正整数为，则， 即：， 设，则， 解得：，， 为正整数， ， ． 解得，（舍去）， ，，． 这四个连续正整数为2，3，4，5． 24. 某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究： 【初步感知】 （）如图，在正方形中，点，分别是，上的两点，连结、且，则的值为_____； （）如图，在矩形中，，，点是边上一点，连结，当时，求的值； 【类比探究】 （）如图，在四边形中，，点为边上一点，连结，过点作的垂线交的延长线于点，交的延长线于点，若，，，求的长度； 【拓展延伸】 （）如图，在四边形中，，，在中，，点、分别在边、上，连结、且，求的值． 【答案】（）；（）；（）；（） 【解析】 【分析】本题考查矩形和正方形的性质，全等三角形和相似三角形的判定和性质，面积相等求线段长，解直角三角形等，正确掌握相关知识是解题的关键． ()根据“”，易证，得，计算即可求解； ()根据“”，易证，得，计算即可求解； ()过点作，交的延长线于点，根据“”，易证，得，从而得，再根据“三个角是直角的四边形是矩形”判定四边形为矩形，求得和，最后利用三角函数，计算即可求解； ()连结交于点，过点作，垂足为.根据“”，易证，得，从而垂直平分，进而，根据正切函数和面积相等，求出，最后根据“”，易证，得，计算即可求解． 【详解】（）∵正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∴ ∴ ∴ 故答案为：； （）∵矩形， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴ 故的值为； （）（方法不唯一，正确即可得分） 过点作，交的延长线于点. ， ， ， ， ， ， ， ， . ， 四边形为矩形， . ， ， 中， ， . （）连结，过点作，垂足为. ， 和是直角三角形 ，， ， ， ， 垂直平分， . 中， ， ， ， ， . ，， ， ， 在中，， ， ， ， ，， ， ， . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $