精品解析：江苏无锡市江阴市2025年秋学期期末学业水平调研测试九年级数学试题

2025年秋学期学业水平调研测试 九年级数学试题 本试卷分试题和答题卡两部分，所有答案一律写在答题卡上．考试时间为120分钟．试卷满分150分． 注意事项： 1．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写在答题卡的相应位置上，并认真核对条形码上的姓名、准考证号是否与本人的相符合． 2．答选择题必须用铅笔将答题卡上对应题目中的选项标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔作答，写在答题卡上各题目指定区域内相应的位置，在其他位置答题一律无效． 3．作图必须用铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚． 4、卷中除要求近似计算的结果取近似值外，其他均应给出精确结果． 一、选择题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分，在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请用铅笔把答题卷上相应的选项标号涂黑） 1. 的值是（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查特殊锐角的正切值，直接依据初中教材中特殊角的三角函数值即可求解． 【详解】解：． 故选：A． 2. 已知关于的一元二次方程有一个根为2，则的值为（ ） A. 0 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解．把代入方程，即可得解． 【详解】解：把代入方程可得， ， 解得． 故选：B． 3. 若的半径为4，圆心O到直线l的距离为3，则直线l与的位置关系是（ ） A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】根据圆心O到直线l的距离小于半径即可判定直线l与O的位置关系为相交． 【详解】解：∵的半径为4，圆心O到直线l的距离为3，且4＞3， ∴直线l与的位置关系是相交． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，熟练掌握若d<r，则直线与圆相交；若d=r，则直线于圆相切；若d>r，则直线与圆相离，其中圆心到直线的距离为d，半径为r是解题的关键． 4. 一个不透明布袋中有2个红球，3个白球，这些球除颜色外无其他差别，摇匀后从中随机摸出一个小球，该小球是红色的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查随机事件概率的计算，根据概率公式事件A可能出现的结果数所有可能出现的结果数求解即可． 【详解】解：∵布袋中有2个红球，3个白球， ∴球的总个数为个， ∵从中随机摸出一个红球的可能结果数为2， ∴P(摸出红球) 故选：D． 5. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数顶点式的性质，直接根据顶点式的特征即可得出顶点坐标． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是． 故选：D． 6. 下列图形中，则这两个三角形不是位似图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据位似图形的性质，①两个图形必须是相似形；②对应点的连线都经过同一点；③对应边平行，对各选项逐一分析，即可得出答案． 【详解】对应顶点的连线相交于一点的两个相似多边形叫位似图形． 根据位似图形的概念， C、B、D三个图形中的两个图形都是位似图形； A中的两个图形不符合位似图形的概念，对应边不平行，故不是位似图形． 故选：A． 【点睛】此题考查位似图形，解题关键在于掌握位似与相似既有联系又有区别，相似仅要求两个图形形状完全相同；而位似是在相似的基础上要求对应点的连线相交于一点． 7. 下列命题中的真命题是（ ） A. 三角形的外心到三条边的距离都相等 B. 正n边形都是中心对称图形 C. 相等的弧所对的圆周角相等 D. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形的外心，中心对称，等弧所对的圆周角相等，正方形的判定对各选项进行判断作答即可． 【详解】解：由题意知，A中三角形的外心到三顶点的距离都相等，不是真命题，故不符合要求； B中正n边形不都是中心对称图形，不是真命题，故不符合要求； C中相等的弧所对的圆周角相等，是真命题，故符合要求； D中对角线互相垂直、平分且相等的四边形是正方形，不是真命题，故不符合要求； 故选：C． 【点睛】本题考查了真命题，三角形的外心，中心对称，等弧所对的圆周角相等，正方形的判定等知识．熟练掌握命题，三角形的外心，中心对称，等弧所对的圆周角相等，正方形的判定是解题的关键． 8. 二次函数的自变量与函数值的部分对应值如下表： ．．． 0 1 2 3 ．．． ．．． 1 1 ．．． 下列判断正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，根据表格中函数值相等的两点确定二次函数的对称轴，再利用二次函数的对称性判断m与n的关系． 【详解】解：∵二次函数图象过点和， ∴该抛物线的对称轴为， ∵，， ∴点与点关于对称轴对称， ∴． 故选：C． 9. 如图，已知的半径为，点为直径延长线上一点，．过点任作一直线，若直线上总存在点，使过点所作的的两切线的夹角为，当最大时，的正弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】是的切线，切点为，连接，如图所示，由四边形内角和为求出，再由得到，解直角三角形得到，从而确定点在以为圆心、为半径的圆上运动，进而得到当是以为圆心、为半径的圆的切线时，最大，在中，求出，由的正弦值定义列式计算即可得到答案． 【详解】解：是的切线，切点为，连接，如图所示： ， 在四边形中，，，则， ， ， ， 在中，，，则， 解得， 则点在以为圆心、为半径的圆上运动，如图所示： 当是以为圆心、为半径的圆的切线时，最大，此时的最大角为，如图所示： 在中，，，， 则， 故选：B． 【点睛】本题考查求角度正弦值，涉及切线性质、四边形内角和、全等三角形的判定与性质、余弦函数值等知识，读懂题意，确定点在以为圆心、为半径的圆上运动是解决问题的关键． 10. 在平面直角坐标系中，若某函数图像上存在两点关于原点对称，则把该函数叫做“函数”，这一对对称点叫做该函数的“点”．下列结论： ①若一次函数是“函数”，则其图像经过第二、四象限； ②函数一定是“函数”； ③若二次函数是“函数”，则其图像上只存在一对“点”； ④若关于的二次函数是“函数”，点，两点为该函数“点”，则．其中，正确的是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了“函数”与“点”的定义，点关于原点对称的点的特点，解决本题的关键是读懂题意理解“函数”与“点”的定义． 根据“函数”与“点”的定义，逐一验证四个结论，通过代入对称点坐标到函数解析式，求解参数或判断是否存在符合条件的点来确定结论正误． 【详解】解：①对于一次函数， 设其图像上存在关于原点对称的点与， ∵两点均在函数图像上， ∴， 将第一个式子代入第二个式子，消去得：， 解得，即， 又∵一次函数一次项系数不能为0，即， ∴， 此时函数解析式为，其图像经过第二、四象限，故①正确． ②对于函数，假设存在关于原点对称的点与在其图像上， ∵两点均在函数图像上， ∴， 将第一个式子代入第二个式子得：，化简得，矛盾， ∴不存在这样的点，该函数不是“函数”，故②错误． ③对于二次函数，设其图像上存在关于原点对称的点与， ∵两点均在函数图像上， ∴， 将第一个式子代入第二个式子得：， 化简得，即， 解得或，对应点为与，仅一对“点”，故③正确． ④∵与是“点”， ∴， ∵两点均在二次函数图像上， ∴， 两式相减得：，解得， 将代入，得，化简得，故④正确． 综上，正确的结论是①③④． 故选：C． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，其中第18题第1空1分，第2空2分．不需要写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卷上相应的位置） 11. 若，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据等式性质，在两边都加上1，则问题可解． 【详解】解：根据等式的性质，两边都加上1，即可得，通分得． 故答案为：． 【点睛】本题考查了等式的性质和分式的加减法，解答关键是根据相关法则进行计算． 12. 某二次函数图像经过点，且开口向上，请写出一个符合上述条件的函数表达式：___________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查了写二次函数解析式，根据二次函数开口向上可知二次项系数为正，经过点可知常数项为1，可设函数表达式． 【详解】解：设二次函数解析式为， ∵图像经过点， ∴代入得， 又∵开口向上， ∴． 取，，得． 故答案为：（答案不唯一）． 13. 已知圆锥底面圆的半径为5，母线长为8，则其侧面展开图的面积为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了求圆锥侧面展开图的面积，圆锥侧面展开图是扇形，弧长等于底面圆的周长，面积由扇形面积公式计算即可． 【详解】解：圆锥底面圆的半径，母线长，底面周长为： ， 侧面展开图的面积． 故答案为：． 14. 在比例尺为1：38000的泰州旅游地图上，某条道路的长为7cm，则这条道路的实际长度为_________km． 【答案】． 【解析】 【分析】根据比例尺图上距离：实际距离，依题意列比例式直接求解即可． 【详解】解：设这条道路的实际长度为，则： 解得． 故答案是：． 【点睛】能够根据比例尺正确进行计算，注意单位的转换． 15. 如图，线段是的直径，点在上，，则的大小为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查圆中求角度，涉及圆周角定理、平角定义等知识，熟记圆周角定理是解决问题的关键． 先由圆周角定理得到，再由平角定义，利用邻补角关系计算即可得到答案． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 16. 小丽投掷10次标枪，前9次标枪落点如图所示，这9次成绩平均数为，方差为．若第10次标枪成绩恰为，这10次成绩方差为，则___________（填“>”“=”或“<”）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查方差，正确掌握方差的计算是解题的关键． 根据方差的计算公式，分别表示出，的值，比较即可． 【详解】解：设前9次的成绩分别为，，，， 则，， ． 故答案为：． 17. 用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，使图形之间没有空隙，也没有重叠地铺成一片，我们称之为图形的密铺．如图，是用全等的三角形或四边形材料密铺而成的地面．以下哪两种边长相等的正多边形材料组合能够密铺地面___________（填序号）①正三角形与正八边形；②正方形与正八边形；③正三角形与正六边形；④正五边形与正十边形． 【答案】②③④ 【解析】 【分析】本题考查平面镶嵌，验证同一个顶点处的几个角之和是否为是确定密铺的关键． 密铺需要确定一个顶点处的几个角之和是，由题中所给情况逐项验证即可得到答案． 【详解】解：①正三角形与正八边形： 设围绕一个顶点需要个正三角形与个正八边形，为正整数， 则， 不存在正整数使方程成立， 正三角形与正八边形组合不能密铺地面， 故①不符合题意； ②正方形与正八边形： 设围绕一个顶点需要个正方形与个正八边形，为正整数， 则， 当时，方程成立， 正方形与正八边形组合能密铺地面， 故②符合题意； ③正三角形与正六边形： 设围绕一个顶点需要个正三角形与个正六边形，为正整数， 则， 当时，方程成立；当时，方程成立； 正三角形与正六边形组合能密铺地面， 故③符合题意； ④正五边形与正十边形： 设围绕一个顶点需要个正五边形与个正十边形，为正整数， 则， 当时，方程成立， 正五边形与正十边形组合能密铺地面， 故④符合题意； 故答案为：②③④． 18. 如图，直线，且、之间的距离为，中，，顶点，，分别落在、、上，与相交于点．当、之间的距离为时，则的最小值是___________；当、之间的距离为时，则的最小值是___________．（用含的代数式表示） 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，完全平方公式的变形，非负数的性质，运用数形结合思想是解题关键． 延长交于点，作，垂足为，过点作的垂线，交于点，交于点，设，，根据题意可得，．利用平行可证明，则，因此最小时，最小．容易证明，则，从而求得．根据，求出的最小值，进而计算出的最小值．将代入所求的代数式，求出此时的最小值． 【详解】解：如图，延长交于点，作，垂足为，过点作的垂线，交于点，交于点，设，， ∵， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴最小时，最小， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 当时，取得最小值，即最小为， ∴的最小值为； 当时，的最小值为． 故答案为：；． 三、解答题（本大题共10小题，共96分．请在答卷相应的区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19. （1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】本题考查了含特殊角的三角函数值的混合运算，解一元二次方程． （1）分别计算绝对值，特殊角的三角函数值，再进行二次根式的混合运算； （2）利用因式分解法解方程即可， 【详解】解：（1） （2） 或 ∴， 20. 已知一元二次方程． （1）若方程有两个实数根，求的范围； （2）若方程的两个实数根为，且，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式，根与系数的关系，熟知一元二次方程的根的判别式和根与系数的关系是解题的关键． （1）根据题意可得，解之即可得到答案； （2）根据根与系数的关系可得，，再由题意可得，据此求出，的值即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵关于x的一元二次方程的两个实数根为，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴符合题意． ∴． 21. 如图，小明从点出发，沿着坡角为的坡道向上走了到达点，再沿着坡角为的坡道向上走了到达点．问小明沿垂直方向一共升高了多少m？ （精确到，参考数据：，，，，，） 【答案】小明沿垂直方向一共升高了． 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用．分别在和中，根据正弦函数的定义列式计算求得和的长，由此即可得． 【详解】解：分别过点和作地面的垂线，垂足分别为点和，作于点， 则四边形是矩形， ∴，在中，，， ∵， ∴， 在中，，， ∵， ∴， ∴， 答：小明沿垂直方向一共升高了． 22. 在一次演讲比赛中，评委对5位选手的“语言表达”与“演讲内容”两项成绩打分如图所示． （1）5位选手“语言表达”成绩的众数是___________分，“演讲内容”成绩的中位数是___________分： （2）求5位选手“演讲内容”成绩的平均分； （3）根据规定，“语言表达”与“演讲内容”成绩按一定比例计算最终成绩，若选手按比例计算后最终成绩为分，求“语言表达”所占比例为多少？（结果用百分数表示） 【答案】（1）90；85 （2）86分 （3） 【解析】 【分析】本题考查了加权平均数、中位数、众数的意义．平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数；中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）；一组数据中出现次数最多的数据叫做众数． （1）分别根据众数、中位数的定义计算即可； （2）根据平均数的定义计算即可； （3）根据加权平均数的计算公式解答即可． 【小问1详解】 解：∵5位选手“语言表达”成绩出现次数最多的是90， ∴5位选手“语言表达”成绩的众数是90分； ∵5位选手“演讲内容”成绩按从小到大顺序排列为：80，80，85，90，95， ∴5位选手“演讲内容”成绩的中位数是85分； 【小问2详解】 解：5位选手“演讲内容”成绩的平均分（分）； 【小问3详解】 解：设选手B“语言表达”所占比例为，则“演讲内容”为，根据题意得： ， 解得， 答：选手B“语言表达”所占比例为． 23. 将正面分别写有数字的四张卡片（除数字外卡片完全相同）反面朝上放在桌面上，从中任意抽取一张卡片记下数字后反面朝上放回洗匀，洗匀后再抽取一张．若将第一次抽取的卡片数字记为点的横坐标，第二次抽取的卡片数字记为点的纵坐标． （1）请用列表法或画树状图法表示两次抽取卡片后所有可能的点的坐标． （2）小明和小亮玩一个游戏，规则如下：如图，在平面直角坐标系中，这些点若落在以原点为圆心，半径为2的圆内，则小明获胜；若落在圆上或圆外，则小亮获胜．这个游戏公平吗？判断并说明理由． 【答案】（1）见解析 （2）不公平，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查用列表法 / 树状图法求概率及游戏公平性判断，解题关键是通过列举法得出所有可能的点坐标，再结合点与圆的位置关系计算双方获胜的概率来判断公平性． （1）通过列表/树状图列举两次抽卡的所有组合，得到种可能的点坐标； （2）先根据点到原点的距离判断点与圆的位置，统计圆内、圆上、圆外的结果数，计算两人获胜概率，比较概率是否相等来判断游戏公平性． 【小问1详解】 列表如下： 第一次 第二次 【小问2详解】 不公平． 理由：如图，落在圆上或圆外． 这个游戏不公平． 24. 如图，已知． （1）请用直尺和圆规在内作一点，使点到两边的距离相等，且；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若，则______． 【答案】（1）作图见详解 （2） 【解析】 【分析】（1）由角平分线的性质可知，当点到两边的距离相等时，点在的角平分线上；当时，点在边的垂直平分线上，尺规作图角平分线及垂直平分线，找到满足这两个条件的点即为所求； （2）过点作于点，过点作于点，连接如图所示，在中，由已知条件求出，进而得到，在中，由勾股定理求出，由（1）中结论得到相关线段关系及长度，然后由等面积法列方程求出，最后在中，由勾股定理求出即可得到答案． 【小问1详解】 解：如图所示： 根据垂直平分线性质可知；由角平分线性质可知点到两边的距离相等， 点即为所求； 【小问2详解】 解：过点作于点，过点作于点，连接如图所示： ， 在中，，，设，则， 由勾股定理可得，即， 解得或（线段长为负值，舍去）， 则， ， 在中，，，则由勾股定理可得， 由（1）知垂直平分，则，， 由（1）知是的角平分线，则，， ， 则， ， ， 则， ， ， 解得， 在中，，，，则由勾股定理可得， 故答案为：． 【点睛】本题考查几何综合，涉及尺规作图-作垂直平分线、尺规作图-作角平分线、解直角三角形、勾股定理、垂直平分线的性质、角平分线性质、三角形面积公式、梯形面积公式、解方程等知识，熟练掌握基本尺规作图及相关几何性质是解决问题的关键． 25. 如图，在四边形中，点在上，，． （1）求证：； （2）若面积为的面积为1，求的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】此题考查的是相似三角形的判定及性质，掌握相似三角形的判定定理和相似三角形的面积比等于相似比的平方是解决此题的关键． （1）根据，，可得，即可求证； （2）分别过点A，C，E作，垂足分别为点F，G，H，根据三角形的面积可得，再结合，可得，从而得到，进而得到与的相似比为，即可求解． 【小问1详解】 证明：∵，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图，分别过点A，C，E作，垂足分别为点F，G，H， ∵面积为的面积为1， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴与的相似比为， ∴， ∴． 26. 如图，在中，，点在延长线上，且，过点作，交的延长线于点，以为直径的交于点． （1）求的半径及弦的长度； （2）设交于点，试说明点是的中点． 【答案】（1）的半径为， （2）说明见详解 【解析】 【分析】（1）在中，由勾股定理求出，再判定，由相似比列方程求解即可得到答案；连接，如图所示，由直径所对的圆周角是直角，得到，进而判定，由相似比列方程求出，在中，由勾股定理求解即可得到的长度； （2）由（1）知，根据平行线分线段成比例列方程求解，求出，即是等腰三角形，连接，如图所示，由直径所对的圆周角是直角确定，则由等腰三角形三线合一性质可知为等腰底边上的中线，从而说明点是的中点． 【小问1详解】 解：在中，，则由勾股定理可得， ， ， ， ， ， ， 则， 解得， 的半径为； 连接，如图所示： 为的直径， ， ， 则， ， 则， ， 解得， 在中，，，，则由勾股定理可得； 【小问2详解】 解：如图所示： 由（1）知，则， ， 解得， ， ， ， ， 即是等腰三角形， 连接，如图所示： 为的直径， ， 则由等腰三角形三线合一性质可知为等腰底边上的中线， 即， 点是的中点． 【点睛】本题考查圆综合，涉及勾股定理、相似三角形的判定与性质、直径所对的圆周角是直角、解方程、平行线分线段成比例、等腰三角形的判定与性质等知识，熟记圆的相关性质及相似三角形的判定与性质是解决问题的关键． 27. 如图1，平行四边形中，，点从点出发，以的速度，沿着折线作匀速运动，记的面积为，点的运动时间为．已知与的函数关系如图2中的折线段所示． （1）___________，___________，_________； （2）当点在边上运动时，过点作的垂线，交折线于点，连接．设面积为，求的最大值． 【答案】（1）；； （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意得：点F从点D到点C运动时间为，从点C到点B的运动时间为，，可得到，过点A作于点P，则，从而得到，再利用特殊角锐角函数可得，即可求解； （2）先求出当点E与点A重合时，，然后分两种情况解答即可． 【小问1详解】 解：根据题意得：点F从点D到点C运动时间为，从点C到点B的运动时间为，， ∴， 如图，过点A作于点P，则， ∴，即， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：当点E与点A重合时，， 此时， 如图，过点F作于点G，交的延长线于点H， 由（1）得：， 根据题意得：，则， 在中，， ∴， 当点E在边上时，此时， 在中，， ∴， ∴， ∴ ； ∴当时，y随x的增大而增大， 此时当时，y取得最大值，最大值为； 当点E在边上时，连接交于点Q，则，此时， ∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是菱形， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴，， ∴ ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴， 此时y随x的增大而减小， 当时，y取得最大值，最大值为； ∴的最大值为． 【点睛】本题主要考查了函数图象的动点问题，菱形的判定和性质，解直角三角形，利用数形结合思想和分类讨论思想解答是解题的关键． 28. 汽车前视野盲区是由于驾驶员位于正常驾驶位置时，其视线被车头结构遮挡，而不能直接观察到的那部分区域． 研究时可简化模型：如图所示为汽车的左视图和俯视图．在左视图中，驾驶员眼睛距地面的高度为，障碍物高度为，车头前沿到驾驶员眼睛所在位置的水平距离，驾驶员的视线与地面交点到车头前沿的水平距离为盲区长度．事实上视野盲区在地面上不是一条线段，而是一个区域，我们可以借助汽车俯视图来呈现． 问题1： （1）请结合左视图，在俯视图中画出驾驶员的视线从点出发，因遮挡而产生的视野盲区； （2）已知，，请用含、的代数式来表示俯视图中盲区的面积； 问题2：下表为某型小轿车实验数据： （实验条件：平坦路面、驾驶员坐直目视前方） （1）用、、和的数量关系验算下表四个实验，数据差异最大的实验是___________（填序号）． 实验编号 眼高 障碍物高 水平距离 实测盲区 ① 1.40 1.00 1.50 3.70 ② 1.50 1.00 2.00 3.50 ③ 1.60 1.00 2.00 3.20 （2）若、保持不变，减小，则___________（填“减小”、“不变”或“增大”），请用数学的方法说明理由． 【答案】问题1：（1）见解析；（2）；问题2：（1）②；（2）增大，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了三视图、相似三角形的性质与判定、反比例函数的性质，理解题意，正确画出视野盲区是解题的关键． 问题1：（1）结合左视图，画出视野盲区即可； （2）先证明得到，进而得到，，再证明，再利用相似三角形的性质得到，再利用即可求解； 问题2：（1）结合问题1可知，根据、、的数据分别验算实验①②③中的长，找出数据差异最大即可得出答案； （2）根据反比例函数的性质即可求解． 【详解】解：问题1： （1）如图所示，视野盲区即为所求： （2）由题意得，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 由题意得，， ∴， 结合左视图和俯视图可得，是的高，是的高， ∴，， ∴， ∵， ∴， 即盲区的面积为； 问题2： （1）由问题1可知，， ①当，，，则； ②当，，，则； ③当，，，则； 结合实验数据可知，数据差异最大的实验是②； 故答案为：②； （2）若、保持不变，减小，则增大，理由如下： 令，则，其中， ∴是关于的反比例函数， ∵， ∴当时，随着的增大而减小， ∴当减小时，也减小，即减小，则增大， ∴若、保持不变，减小，则增大． 故答案为：增大． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年秋学期学业水平调研测试 九年级数学试题 本试卷分试题和答题卡两部分，所有答案一律写在答题卡上．考试时间为120分钟．试卷满分150分． 注意事项： 1．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写在答题卡的相应位置上，并认真核对条形码上的姓名、准考证号是否与本人的相符合． 2．答选择题必须用铅笔将答题卡上对应题目中的选项标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔作答，写在答题卡上各题目指定区域内相应的位置，在其他位置答题一律无效． 3．作图必须用铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚． 4、卷中除要求近似计算的结果取近似值外，其他均应给出精确结果． 一、选择题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分，在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请用铅笔把答题卷上相应的选项标号涂黑） 1. 的值是（ ） A. 1 B. C. D. 2. 已知关于的一元二次方程有一个根为2，则的值为（ ） A. 0 B. C. 2 D. 3. 若的半径为4，圆心O到直线l的距离为3，则直线l与的位置关系是（ ） A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 无法确定 4. 一个不透明布袋中有2个红球，3个白球，这些球除颜色外无其他差别，摇匀后从中随机摸出一个小球，该小球是红色的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 6. 下列图形中，则这两个三角形不是位似图形的是（ ） A. B. C. D. 7. 下列命题中的真命题是（ ） A. 三角形的外心到三条边的距离都相等 B. 正n边形都是中心对称图形 C. 相等的弧所对的圆周角相等 D. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 8. 二次函数的自变量与函数值的部分对应值如下表： ．．． 0 1 2 3 ．．． ．．． 1 1 ．．． 下列判断正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，已知的半径为，点为直径延长线上一点，．过点任作一直线，若直线上总存在点，使过点所作的的两切线的夹角为，当最大时，的正弦值为（ ） A. B. C. D. 10. 在平面直角坐标系中，若某函数图像上存在两点关于原点对称，则把该函数叫做“函数”，这一对对称点叫做该函数的“点”．下列结论： ①若一次函数是“函数”，则其图像经过第二、四象限； ②函数一定是“函数”； ③若二次函数是“函数”，则其图像上只存在一对“点”； ④若关于的二次函数是“函数”，点，两点为该函数“点”，则．其中，正确的是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，其中第18题第1空1分，第2空2分．不需要写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卷上相应的位置） 11. 若，则_________． 12. 某二次函数图像经过点，且开口向上，请写出一个符合上述条件的函数表达式：___________． 13. 已知圆锥底面圆的半径为5，母线长为8，则其侧面展开图的面积为___________． 14. 在比例尺为1：38000的泰州旅游地图上，某条道路的长为7cm，则这条道路的实际长度为_________km． 15. 如图，线段是的直径，点在上，，则的大小为___________． 16. 小丽投掷10次标枪，前9次标枪落点如图所示，这9次成绩平均数为，方差为．若第10次标枪成绩恰为，这10次成绩方差为，则___________（填“>”“=”或“<”）． 17. 用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，使图形之间没有空隙，也没有重叠地铺成一片，我们称之为图形的密铺．如图，是用全等的三角形或四边形材料密铺而成的地面．以下哪两种边长相等的正多边形材料组合能够密铺地面___________（填序号）①正三角形与正八边形；②正方形与正八边形；③正三角形与正六边形；④正五边形与正十边形． 18. 如图，直线，且、之间的距离为，中，，顶点，，分别落在、、上，与相交于点．当、之间的距离为时，则的最小值是___________；当、之间的距离为时，则的最小值是___________．（用含的代数式表示） 三、解答题（本大题共10小题，共96分．请在答卷相应的区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19. （1）计算：； （2）解方程：． 20. 已知一元二次方程． （1）若方程有两个实数根，求的范围； （2）若方程的两个实数根为，且，求的值． 21. 如图，小明从点出发，沿着坡角为的坡道向上走了到达点，再沿着坡角为的坡道向上走了到达点．问小明沿垂直方向一共升高了多少m？ （精确到，参考数据：，，，，，） 22. 在一次演讲比赛中，评委对5位选手的“语言表达”与“演讲内容”两项成绩打分如图所示． （1）5位选手“语言表达”成绩的众数是___________分，“演讲内容”成绩的中位数是___________分： （2）求5位选手“演讲内容”成绩的平均分； （3）根据规定，“语言表达”与“演讲内容”成绩按一定比例计算最终成绩，若选手按比例计算后最终成绩为分，求“语言表达”所占比例为多少？（结果用百分数表示） 23. 将正面分别写有数字的四张卡片（除数字外卡片完全相同）反面朝上放在桌面上，从中任意抽取一张卡片记下数字后反面朝上放回洗匀，洗匀后再抽取一张．若将第一次抽取的卡片数字记为点的横坐标，第二次抽取的卡片数字记为点的纵坐标． （1）请用列表法或画树状图法表示两次抽取卡片后所有可能的点的坐标． （2）小明和小亮玩一个游戏，规则如下：如图，在平面直角坐标系中，这些点若落在以原点为圆心，半径为2的圆内，则小明获胜；若落在圆上或圆外，则小亮获胜．这个游戏公平吗？判断并说明理由． 24. 如图，已知． （1）请用直尺和圆规在内作一点，使点到两边的距离相等，且；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若，则______． 25. 如图，在四边形中，点在上，，． （1）求证：； （2）若面积为的面积为1，求的面积． 26. 如图，在中，，点在延长线上，且，过点作，交的延长线于点，以为直径的交于点． （1）求的半径及弦的长度； （2）设交于点，试说明点是的中点． 27. 如图1，平行四边形中，，点从点出发，以的速度，沿着折线作匀速运动，记的面积为，点的运动时间为．已知与的函数关系如图2中的折线段所示． （1）___________，___________，_________； （2）当点在边上运动时，过点作的垂线，交折线于点，连接．设面积为，求的最大值． 28. 汽车前视野盲区是由于驾驶员位于正常驾驶位置时，其视线被车头结构遮挡，而不能直接观察到的那部分区域． 研究时可简化模型：如图所示为汽车的左视图和俯视图．在左视图中，驾驶员眼睛距地面的高度为，障碍物高度为，车头前沿到驾驶员眼睛所在位置的水平距离，驾驶员的视线与地面交点到车头前沿的水平距离为盲区长度．事实上视野盲区在地面上不是一条线段，而是一个区域，我们可以借助汽车俯视图来呈现． 问题1： （1）请结合左视图，在俯视图中画出驾驶员的视线从点出发，因遮挡而产生的视野盲区； （2）已知，，请用含、的代数式来表示俯视图中盲区的面积； 问题2：下表为某型小轿车实验数据： （实验条件：平坦路面、驾驶员坐直目视前方） （1）用、、和的数量关系验算下表四个实验，数据差异最大的实验是___________（填序号）． 实验编号 眼高 障碍物高 水平距离 实测盲区 ① 1.40 1.00 1.50 3.70 ② 1.50 1.00 2.00 3.50 ③ 1.60 1.00 2.00 3.20 （2）若、保持不变，减小，则___________（填“减小”、“不变”或“增大”），请用数学的方法说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $