精品解析：江苏省江阴市2024—2025学年上学期九年级数学期末考试卷

江苏省江阴市2024—2025学年上学期九年级数学期末考试卷 本试卷分试题和答题卡两部分，所有答案一律写在答题卡上．考试时间为120分钟．试卷满分150分． 注意事项： 1．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写在答题卡的相应位置上，并认真核对条形码上的姓名、准考证号是否与本人的相符合． 2．答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应题目中的选项标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0．5毫米黑色墨水签字笔作答，写在答题卡上各题目指定区域内相应的位置，在其他位置答题一律无效． 3．作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚． 4．卷中除要求近似计算的结果取近似值外，其他均应给出精确结果． 一、选择题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分，在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请用2B铅笔把答题卷上相应的选项标号涂黑） 1. 的值是（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据特殊角的三角函数值进行解答即可． 【详解】， 故选A． 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题的关键． 2. 一元二次方程的解为（ ） A. B. C. D. 无解 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，根据一元二次方程的解法，先将方程左边因式分解，再求解即可，掌握一元二次方程的解法是解题的关键． 【详解】解：， ∴， ∴或， 解得：，， 故选：C． 3. 如图，点A、B、C都在上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，利用圆周角定理即同弧（弦）或等弧（弦）所对的圆周角是圆心角的一半进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：B． 4. 一组数据81，82，82，83，84的众数为（ ） A. 81 B. 82 C. 83 D. 84 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查众数，关键是掌握众数的定义．一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，即可得到答案． 【详解】解：一组数据81，82，82，83，84中，82出现了2次，其余数字只出现1次， ∴众数为82， 故选：B． 5. 如图，，直线a、b与分别相交于点A、B、C和点D、E、F．设，，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，根据平行线分线段成比例定理得出，然后代入数值求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴，即， ∴， 故选：C． 6. 已知，，的面积为1，则的面积为（ ） A. 1 B. 3 C. 9 D. 81 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，根据相似三角形面积比等于相似比的平方，由此即可求解． 【详解】解：已知，， ∴， ∴， ∵的面积为1， ∴． 故选：C ． 7. 某商品经过两次降价，售价由原来的每件25元降到每件16元，已知两次降价的百分率相同，设平均每次降价的百分率为，可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程即可，掌握一元二次方程的应用是解题的关键． 【详解】解：由题意得：， 故选：A． 8. 下列说法正确的是（ ） A. 三点确定一个圆 B. 相等的圆周角所对的弧相等 C. 各边都相等的多边形是正多边形 D. 三角形的内心到三角形三边的距离相等 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查三角形的内心和外心、垂径定理、确定圆的条件，根据不在同一条直线上的三个点确定一个圆，如果三个点在同一条直线上，则没有同时过这三个点的圆，可以判断A；根据垂径定理可以判断B；根据正多边形的定义，可以判断C；根据三角形的内心到三角形三边的矩离相等，三角形的外心到三角形各个顶点的距离相等，可以判断D． 【详解】解：不在同一条直线上的三个点确定一个圆，如果三个点在同一条直线上，则没有同时过这三个点的圆，故选项A错误，不符合题意； 在同圆或等圆中，相等圆周角所对的弧相等，故选项B错误，不符合题意； 各边都相等各角都相等的多边形是正多边形，故选项C错误，不符合题意； 三角形的内心到三角形三边的矩离相等，故选项D正确，符合题意； 故选：D． 9. 已知二次函数的图像经过点，则下列结论错误的是（ ） A. 该图像的开口向下 B. 当时，有最大值3 C. 该图像与轴有两个交点 D. 当时，在轴左侧，随的增大而增大 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：二次函数中，， ∴抛物线开口向下，故选项A正确，但不符合题意； 二次函数， ∴当时，y有最大值为，故选项B错误，符合题意； ∵二次函数的图像经过点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴该图像与轴有两个交点，选项C正确，但不符合题意； 当时，， ∴对称轴在轴右侧， 又开口向下， ∴当时，随的增大而增大， ∴在轴左侧，随的增大而增大，选项D正确，但不符合题意； 故选：B． 10. 在平面直角坐标系中，对于点和点，若满足，我们称点和点互为等和点．下列结论： ①若点坐标为，则点的等和点在直线上； ②若点坐标为，则无论取何值，直线上有且只有一个点是点的等和点； ③若点分别在函数的图像上，点和互为等和点，则点的坐标为； ④若点坐标为，则二次函数图像上总存在点的等和点． 其中正确的为（ ） A. ①④ B. ②③ C. ②④ D. ①③ 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了新定义，反比例函数、一次函数、二次函数图象上点的坐标特征，以及性质，根据互为等和点的定义，结合一次函数、二次函数、反比例函数的图象与性质依次判断即可． 【详解】解：①∵，点和点互为等和点 ∴， ∴， ∴点在直线上，故①正确； ②设点P的等和点为， 则， ∴， ∴点P的等和点在直线上， 当时，直线解析式为， 而直线与直线平行， ∴点P的等和点此时一定不在直线上，故②错误； ③设，， ∵点和互为等和点， ∴， 解得或， ∴点P的坐标为或，故③错误； ④设P的等和点坐标为， ∴ ∴点P的等和点在直线上， 由，得， ∴ ， ∴此方程有两个不相等的实数根， ∴二次函数图像上总存在点的等和点，故④正确， 故选：A． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，其中第18题第1空1分，第2空2分．不需要写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卷上相应的位置） 11. 已知= ，则 的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据比例设a=k，b=3k，然后代入比例式进行计算即可得解． 【详解】解：=， ∴设a=k，b=3k（k≠0）， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了比例的性质，利用“设k法”求解更简便． 12. 甲、乙两名运动员在某次打靶射击训练中，他们射击成绩的方差分别是：，，其中成绩较稳定的是______（填“甲”或“乙”）． 【答案】甲 【解析】 【分析】本题考查了方差的意义，根据方差的意义即可判断，掌握方差的意义是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∴射击成绩较稳定的是甲， 故答案：甲． 13. 若圆锥的底面半径为3cm，母线长是5cm，则它的侧面展开图的面积为__________cm2． 【答案】15π 【解析】 【分析】根据圆锥的侧面积计算公式计算即可． 【详解】解：底面半径为3cm，则底面周长=6πcm，侧面面积=×6π×5=15πcm2． 故答案为：15π． 【点睛】本题考查了圆锥的侧面积的计算，解题的关键是掌握圆锥的侧面积公式． 14. 请写出一个二次函数的表达式，使其图像关于轴对称：______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．根据题意可以写出一个符合要求的函数表达式，注意本题答案不唯一，只要符合要求即可． 【详解】解：根据题意，得， 故答案为：（答案不唯一）． 15. 小球在如图所示的方砖上自由滚动，并随机停留在任何一块方砖上，每一块方砖除颜色外完全相同，它最终停留在黑色方砖上的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查几何概率的求法．根据几何概率的求法：最终停留在黑色的方砖上的概率就是黑色区域的面积与总面积的比值． 【详解】解：设每块方砖的边长为1，这个图形的总面积为9，黑色方砖的面积为5，因此黑色方砖占整体的， 所以小球最终停留在黑色方砖上的概率是， 故答案为：． 16. 如图，某校数学兴趣小组为了测量塔的高度，将无人机飞升至距水平地面米的处，测得塔顶端的俯角为，底端的俯角为，则该塔的高度是______米．（参考数据：） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查解直角三角形的应用-仰角与俯角问题，延长交距水平地面米的水平线于点，根据，求出米，即可求解，理解题意，作出辅助线是解题关键． 【详解】解：延长交距水平地面米的水平线于点，如图： 由题可知，米， 设米， ， 米， ， （米）， ∴（米）， 故答案为：． 17. 如图，在矩形中，，对角线、相交于点，过点的直线交的延长线于点，交边于点，若，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，根据面积求线段的长度等知识，设直线交于点，由矩形的性质得，而，则，可证明，得，则，由，求得，于是得到问题的答案，证明是解题的关键． 【详解】解：设直线交于点，如图： ∵四边形是矩形，，对角线交于点， ， ，， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 18. 如图，在中，直径是上一动点，作的垂直平分线，交于D、E两点，连接、．当点与点重合时，______；在点的运动过程中，的最大值为______． 【答案】 ①. 2 ②. 【解析】 【分析】当C和O重合时，连接，根据线段垂直平分线的性质得出，根据垂径定理得出，即可求解；设、相交于F，连接，设（），则，证明，并结合垂径定理可求出，在中，根据勾股定理求出，则，然后根据二次函数的性质求解即可． 【详解】解：当C和O重合时，连接， ∵垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴； 设、相交于F，连接，设（），则， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴在中，， ∴ ， ∴当即时，取最大值为， 故答案为：2，． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，垂径定理，弧与弦的关系，相似三角形的判定与性质，勾股定理，二次函数的性质等知识，正确作出辅助线，构造相似三角形是解题的关键． 三、解答题（本大题共10小题，共96分．请在答卷相应的区域内作答，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 19. （1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1）3；（2）， 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算，解一元二次方程，解题的关键是： （1）根据特殊角的三角函数值，零指数幂的意义，负整数指数幂的意义计算即可； （2）先计算，然后根据公式法求解即可． 【详解】解：（1）原式 ； （2）， ，，， ∴， ∴， ∴，． 20. 已知关于的一元二次方程． （1）若方程有两个不相等的实数根，求实数的取值范围； （2）若方程有一个实数根为1，求该方程的另一个实数根． 【答案】（1） （2）2 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根判别式，根与系数的关系，熟练掌握相关知识是解题关键． （1）根据题意可得，据此求解即可； （2）由根与系数的关系得到，解方程即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得； 【小问2详解】 解：设方程的两根为，， 根据根与系数的关系，得， ∴， 即方程的另一个实数根为2． 21. 如图，在四边形中，平分． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）6 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是： （1）根据角平分线定义得出，然后根据相似三角形的判定即可得证； （2）根据相似三角形的性质求解即可． 【小问1详解】 解：∵平分， ∴， 又， ∴； 【小问2详解】 解：∵，， ∴，即， 解得（负值舍去）． 22. 近年来，国家对青少年近视问题越来越重视．某校为了解九年级学生的视力情况（双眼的平均视力），计划采用抽样调查的方式来估计该校九年级800名学生的视力情况（双眼的平均视力），制定以下两种抽样方案： ①从九年级的一个班级中随机抽取20名学生； ②从九年级全体学生中随机抽取20名学生． （1）你认为更合理的方案是______（填“①”或“②”）； 该校用合理的方案抽取了20名学生进行视力检查（双眼的平均视力），检查结果如下： 4.0 4.7 4.9 4.4 5.0 4.2 42 4.4 46 4.8 4.9 4.5 4.8 4.9 4.5 4.3 5.0 4.9 4.1 4.9 整理上面的数据得到如下表格： 双眼的平均视力 4.0 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 5.0 人数 1 1 2 1 2 m 1 1 2 5 2 数据处理： 平均数 众数 中位数 4.6 4.9 b 请根据所给信息，解答下列问题： （2）______，______； （3）根据样本数据，估计该校九年级学生双眼的平均视力在4.6及4.6以上的学生人数． 【答案】（1）② （2）2； （3）440人 【解析】 【分析】本题主要考查了抽样调查的特点，中位数，用样本估计总体等知识，掌握中位数，用样本估计总体是解题的关键． （1）根据抽样调查的特点回答即可， （2）从检查结果的数据可得出m，根据中位数的定义即可求出b； （3）用样本估计总体即可． 【小问1详解】 解：认为更合理的方案是②，因为抽样调查应具有广泛性和可靠性． 故答案为：②； 【小问2详解】 解：从检查结果的数据可知视力为4.5的人数有2人， ∴， ∵一共有20名学生，且第10位和11位的数据为：4.6和4.7， ∴中位数为： 故答案为：2；； 【小问3详解】 解：， 故该校九年级学生双眼的平均视力在4.6及4.6以上的学生人数有440人． 23. 小红和小明准备在寒假期间游览一个江阴本地的著名景点，备选景点有鹅鼻嘴公园（记为A）、海澜飞马水城（记为B）、华西村（记为C）、徐霞客故居（记为D），他们各自在这四个景点中任选一个，每个景点被选中的可能性相同． （1）小红选择去海澜飞马水城的概率为______； （2）若小红已去过鹅鼻嘴公园，准备在B、C、D中选一个地点游玩，若小明已去过徐霞客故居，准备在A、B、C中选一个地点游玩，请用树状图或列表的方法求小红和小明正好选择同一个景点的概率． 【答案】（1）； （2）小红和小明正好选择同一个景点的概率为． 【解析】 【分析】本题考查了画树状图或列表法求概率，简单的概率公式，掌握相关知识是解题的关键． （1）直接利用概率公式求解即可； （2）用列表法展示所有种等可能的结果数，找出小红和小明正好选择同一个景点的结果数，然后利用概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：由题意知，共有种等可能的结果，其中小红选择去海澜飞马水城的结果有种， ∴小红选择去海澜飞马水城的概率为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：列表如下： A B C B C D 共有种等可能情况，其中小红和小明正好选择同一个景点的结果有：，，共两种， ∴小红和小明正好选择同一个景点的概率为． 24. 如图，中，请利用没有刻度的直尺和圆规，按下列要求作图并计算． （1）在边上作一点，使点到两边所在的直线的距离相等，在边上作一点，使；（注：不写作法，保留作图痕迹，对图中涉及到的点用字母进行标注）； （2）在（1）的条件下，若，，，则的长为______． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）作出的平分线交边于点，作交边于点即可； （2）作作于点，利用三角函数的定义求得，利用勾股定理求得，在中，利用勾股定理求得，再证明，设，则，证明，根据相似三角形的性质列式计算即可求解． 【小问1详解】 解：点，点如图所示， ； 【小问2详解】 解：作于点， ∵，， ∴， ∴，， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴，平分， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴，即， 解得， ∴的长为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了尺规作图，三角函数的定义，相似三角形的判定和性质，勾股定理．解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题． 25. 如图，某饲养员想用长为的栅栏，并借助一段围墙围成一个矩形鸡场，在边上留一个宽为的门（门不需要栅栏），已知围墙的长度为．     （1）当为多少米时，能围成一个面积为的鸡场？ （2）求鸡场能围成的最大面积． 【答案】（1）当为米时，能围成一个面积为的鸡场； （2）鸡场能围成的最大面积是． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程和二次函数的应用，找到周长等量关系列出方程与矩形的边的二次函数关系是解决本题的关键． （1）根据栅栏总长，再利用矩形面积公式即可求出； （2）根据题意求出鸡场的面积与矩形的边的二次函数关系，再根据二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设， 根据题意，得， 解得，， ∵门的宽度是1m，围墙的长度为， ， 解得：， ， 答：当为米时，能围成一个面积为的鸡场； 【小问2详解】 解：设羊圈的面积为，则矩形的边， 根据题意，得， 对称轴是，且 ∴当时，有最大值，最大值为， ∴鸡场能围成的最大面积是， 答：鸡场能围成的最大面积是． 26. 如图，是的直径，C，D是上两点，平分，过点作，垂足为． （1）求证：是的切线； （2）已知，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（）由，则，由平分，则，再由圆周角定理和等边对等角可得，所以，从而证明，通过平行线的性质证明，最后根据“过半径的外端垂直于半径的直线是圆的切线”进行证明； （）根据圆周角定理得到 ，根据勾股定理求出，证明求出，，证明求出，即可求解． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； 【小问2详解】 解：∵是的直径， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了切线的判定，相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，圆周角定理等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 27. 如图，菱形中，，，连接，将绕点逆时针旋转得到，边分别交于、，边分别交于、． （1）设，，则______； （2）设，，求关于的函数表达式： （3）当以为三边长所构成的三角形是直角三角形时，直接写出的长． 【答案】（1）4 （2）； （3）或． 【解析】 【分析】（1）先证明为等边三角形，得到，再证明，得到，据此根据线段的和差关系可得答案； （2）设交于O，利用菱形的性质和勾股定理可求出；证明，，得到，，由（1）可知，，整理后即可得到关系式； （3）由（2）可知当以为三边长所构成的三角形是直角三角形时，是直角三角形，据此分当时，当时，两种情况讨论求解即可． 【小问1详解】 解：∵菱形中，， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵将绕点逆时针旋转得到， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：4； 【小问2详解】 解：如图所示，设交于O， 在菱形中，，， ，，，，， ， ， ， 设，， ，， ，， ，， ，， ，， ，， 由（1）可知，， ， 整理得：， 关于的函数表达式为； 【小问3详解】 解；由（2）可知，， ∴当以为三边长所构成的三角形是直角三角形时，是直角三角形， 如图所示，当时，则， ∴，， 由（2）可知，， ∴， ∴， ∴； 如图所示，当时，则 ， ∴， 由（2）可知，， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的长为或． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的判定和性质，分母有理化，旋转的性质，等边三角形的性质与判定，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质等等，正确利用手拉手模型构造全等三角形以及熟练掌握半角模型是解题的关键． 28. 平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点A、B，与轴交于点． （1）若点的坐标为，且二次函数图象关于直线对称，求二次函数的表达式； （2）在（1）的条件下，该函数位于第一象限内的图像上是否存在点，满足点关于直线的对称点恰好落在轴上？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； （3）若二次函数位于轴上方的图象上存在点，满足．过点作轴，垂足为．试说明：的长为定值． 【答案】（1） （2）存在，点的坐标为 （3）理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据对称性求得，再运用待定系数法即可求得抛物线的解析式； （2）利用待定系数法可得直线的解析式为，过点作，过点作轴的垂线交直线于点，再证得，，得出，即直线与抛物线的交点关于直线的对称点恰好落在轴上，运用待定系数法可得直线的解析式为，联立方程组即可求得点的坐标； （3）首先设，，表示出，，的长度，再证得，即可根据得到，再根据点D在二次函数的图象上得到，联立之后即可求出的长度为定值． 【小问1详解】 解：∵二次函数的图象与轴交于点，且二次函数图象关于直线对称， ∴点关于直线对称， ∵点的坐标为， ， 把和分别代入， 得， 解得：， ∴该二次函数的表达式为； 【小问2详解】 解：存在点关于直线的对称点恰好落在轴上， 理由如下： ∵抛物线与轴交于点， ∴， 设直线的解析式为，把和代入， 得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 如图，过点作，过点作轴的垂线交直线于点， 则，， 在和中， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ， 沿直线翻折落在轴上，即直线与抛物线的交点关于直线的对称点恰好落在轴上， 设直线的解析式为，则， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立得：， 解得：（舍去），， ∴点的坐标为； 【小问3详解】 解：∵二次函数的图象与轴交于点， ∴， 设，， 当时，，即， ∴，， 设， ∴,,， ∵，轴， ∴， ∴，即， ∴， ∴① ∵点D在二次函数的图象上， ∴，即② 联立①②得：，解得：（舍去），， ∴为定值2． 【点睛】本题考查了二次函数和图象与性质，待定系数法求函数解析式，轴对称的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，熟练掌握待定系数法、相似三角形的判定和性质是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省江阴市2024—2025学年上学期九年级数学期末考试卷 本试卷分试题和答题卡两部分，所有答案一律写在答题卡上．考试时间为120分钟．试卷满分150分． 注意事项： 1．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写在答题卡的相应位置上，并认真核对条形码上的姓名、准考证号是否与本人的相符合． 2．答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应题目中的选项标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0．5毫米黑色墨水签字笔作答，写在答题卡上各题目指定区域内相应的位置，在其他位置答题一律无效． 3．作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚． 4．卷中除要求近似计算的结果取近似值外，其他均应给出精确结果． 一、选择题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分，在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请用2B铅笔把答题卷上相应的选项标号涂黑） 1. 的值是（ ） A. B. C. 1 D. 2. 一元二次方程的解为（ ） A. B. C. D. 无解 3. 如图，点A、B、C都在上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 一组数据81，82，82，83，84的众数为（ ） A. 81 B. 82 C. 83 D. 84 5. 如图，，直线a、b与分别相交于点A、B、C和点D、E、F．设，，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 6. 已知，，的面积为1，则的面积为（ ） A. 1 B. 3 C. 9 D. 81 7. 某商品经过两次降价，售价由原来的每件25元降到每件16元，已知两次降价的百分率相同，设平均每次降价的百分率为，可列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 下列说法正确的是（ ） A. 三点确定一个圆 B. 相等的圆周角所对的弧相等 C. 各边都相等的多边形是正多边形 D. 三角形的内心到三角形三边的距离相等 9. 已知二次函数的图像经过点，则下列结论错误的是（ ） A. 该图像的开口向下 B. 当时，有最大值3 C. 该图像与轴有两个交点 D. 当时，在轴左侧，随的增大而增大 10. 在平面直角坐标系中，对于点和点，若满足，我们称点和点互为等和点．下列结论： ①若点坐标为，则点的等和点在直线上； ②若点坐标为，则无论取何值，直线上有且只有一个点是点的等和点； ③若点分别在函数的图像上，点和互为等和点，则点的坐标为； ④若点坐标为，则二次函数图像上总存在点的等和点． 其中正确的为（ ） A. ①④ B. ②③ C. ②④ D. ①③ 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，其中第18题第1空1分，第2空2分．不需要写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卷上相应的位置） 11. 已知= ，则 的值为________． 12. 甲、乙两名运动员在某次打靶射击训练中，他们射击成绩的方差分别是：，，其中成绩较稳定的是______（填“甲”或“乙”）． 13. 若圆锥的底面半径为3cm，母线长是5cm，则它的侧面展开图的面积为__________cm2． 14. 请写出一个二次函数的表达式，使其图像关于轴对称：______． 15. 小球在如图所示的方砖上自由滚动，并随机停留在任何一块方砖上，每一块方砖除颜色外完全相同，它最终停留在黑色方砖上的概率是______． 16. 如图，某校数学兴趣小组为了测量塔的高度，将无人机飞升至距水平地面米的处，测得塔顶端的俯角为，底端的俯角为，则该塔的高度是______米．（参考数据：） 17. 如图，在矩形中，，对角线、相交于点，过点的直线交的延长线于点，交边于点，若，则的长为______． 18. 如图，在中，直径是上一动点，作的垂直平分线，交于D、E两点，连接、．当点与点重合时，______；在点的运动过程中，的最大值为______． 三、解答题（本大题共10小题，共96分．请在答卷相应的区域内作答，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 19. （1）计算：； （2）解方程：． 20. 已知关于的一元二次方程． （1）若方程有两个不相等的实数根，求实数的取值范围； （2）若方程有一个实数根为1，求该方程的另一个实数根． 21. 如图，在四边形中，平分． （1）求证：； （2）若，求的长． 22. 近年来，国家对青少年近视问题越来越重视．某校为了解九年级学生的视力情况（双眼的平均视力），计划采用抽样调查的方式来估计该校九年级800名学生的视力情况（双眼的平均视力），制定以下两种抽样方案： ①从九年级的一个班级中随机抽取20名学生； ②从九年级全体学生中随机抽取20名学生． （1）你认为更合理的方案是______（填“①”或“②”）； 该校用合理的方案抽取了20名学生进行视力检查（双眼的平均视力），检查结果如下： 4.0 4.7 4.9 4.4 50 4.2 4.2 4.4 4.6 4.8 4.9 4.5 4.8 4.9 4.5 4.3 5.0 4.9 4.1 4.9 整理上面数据得到如下表格： 双眼的平均视力 4.0 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 46 4.7 4.8 4.9 5.0 人数 1 1 2 1 2 m 1 1 2 5 2 数据处理： 平均数 众数 中位数 4.6 4.9 b 请根据所给信息，解答下列问题： （2）______，______； （3）根据样本数据，估计该校九年级学生双眼的平均视力在4.6及4.6以上的学生人数． 23. 小红和小明准备在寒假期间游览一个江阴本地的著名景点，备选景点有鹅鼻嘴公园（记为A）、海澜飞马水城（记为B）、华西村（记为C）、徐霞客故居（记为D），他们各自在这四个景点中任选一个，每个景点被选中的可能性相同． （1）小红选择去海澜飞马水城的概率为______； （2）若小红已去过鹅鼻嘴公园，准备在B、C、D中选一个地点游玩，若小明已去过徐霞客故居，准备在A、B、C中选一个地点游玩，请用树状图或列表的方法求小红和小明正好选择同一个景点的概率． 24. 如图，中，请利用没有刻度的直尺和圆规，按下列要求作图并计算． （1）在边上作一点，使点到两边所在的直线的距离相等，在边上作一点，使；（注：不写作法，保留作图痕迹，对图中涉及到的点用字母进行标注）； （2）在（1）的条件下，若，，，则的长为______． 25. 如图，某饲养员想用长为的栅栏，并借助一段围墙围成一个矩形鸡场，在边上留一个宽为的门（门不需要栅栏），已知围墙的长度为．     （1）当为多少米时，能围成一个面积为的鸡场？ （2）求鸡场能围成的最大面积． 26. 如图，是的直径，C，D是上两点，平分，过点作，垂足为． （1）求证：是的切线； （2）已知，求的长． 27. 如图，菱形中，，，连接，将绕点逆时针旋转得到，边分别交于、，边分别交于、． （1）设，，则______； （2）设，，求关于的函数表达式： （3）当以为三边长所构成的三角形是直角三角形时，直接写出的长． 28. 平面直角坐标系中，二次函数图象与轴交于点A、B，与轴交于点． （1）若点坐标为，且二次函数图象关于直线对称，求二次函数的表达式； （2）在（1）的条件下，该函数位于第一象限内的图像上是否存在点，满足点关于直线的对称点恰好落在轴上？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； （3）若二次函数位于轴上方的图象上存在点，满足．过点作轴，垂足为．试说明：的长为定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $