精品解析：山西晋城市高平市2025-2026学年上学期九年级期末质量监测数学试题

2026届九年级期末质量监测 数学 注意事项： 1．满分120分，答题时间为120分钟． 2．请将各题答案填写在答题卡上． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 一元二次方程的一次项系数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的项与系数的定义，需明确一元二次方程一般形式中一次项系数的概念进行求解． 【详解】解：一元二次方程的一般形式为（），其中是一次项，为一次项系数， 又一元二次方程的一次项是， 该方程的一次项系数是 ． 故选：A． 2. 下列是相似图形但不是位似图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查相似图形与位似图形的定义，关键在于明确位似图形是特殊的相似图形，需额外满足“对应顶点的连线交于同一点，且对应边互相平行或共线”的条件． 【详解】解：根据相似图形与位似图形的定义：相似图形指形状相同的图形；位似图形是特殊的相似图形，需同时满足“对应顶点的连线交于同一点”和“对应边互相平行或共线”． 选项A、B、C的图形均为位似图形(同时是相似图形)； 选项D的图形是相似图形，但对应顶点连线未交于同一点，不是位似图形． 故选：D． 3. 要使代数式有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 全体实数 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，需根据被开方数为非负数列出不等式组，求解不等式组的公共解即可得到的取值范围． 【详解】解：有意义， 可得不等式组：， 解不等式①可得： ， 解不等式②可得：， ． 故选：C． 4. 下列函数中，是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的概念和解析式的形式．整理后根据二次函数的定义和条件判断即可． 【详解】解：A、是反比例函数，该选项不符合题意； B、，是一次函数，该选项不符合题意； C、，右边不是整式，不是二次函数，该选项不符合题意； D、是二次函数，该选项符合题意； 故选：D． 5. 如图，一张锐角三角形纸片，点，分别在边 ，上，， ，沿将剪开，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，利用相似三角形的性质解答即可求解，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键. 设，则，可得，即可求解. 【详解】解：设， ， ， ， ， ， ， 故选：B. 6. 如图， 是 的弦，若弦 的长为16，圆心 到弦 的距离 为6，则该 的半径 的长为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理和垂径定理，熟知垂直于弦的直径平分弦是解题的关键． 由垂径定理得到，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵圆心O到 的距离 为6， ∴ ，即， ∴， ∴， ∴ 的半径为 ， 故选：D． 7. 如图，若随机闭合开关，，中的两个，则能让灯泡发光的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查等可能事件概率的计算与电路通路的判断，关键是先确定所有闭合两个开关的等可能情况，再筛选出能使发光的情况，最后利用概率公式计算． 【详解】解：随机闭合开关，，中的两个，所有等可能的情况为：、、，共3种，其中能让灯泡发光的情况只有， ∴能让灯泡发光的概率为． 故选：A． 8. 设二次函数，下表列出了与 的6对对应值： 0 1 2 3 4 5 13 23 根据表格中的内容，能够判断一元二次方程的一个解的大致范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的解的关系，解本题的关键在找出当函数值y为0时，对应的一元二次方程的一个解的取值范围． 根据二次函数图象的连续性，当两个x值对应的函数值异号时，这两个x值之间的区间内存在一元二次方程的解，通过表格数据找出y异号的x区间即可． 【详解】解：∵当时，；当 时，； 又∵二次函数的图象是连续的抛物线； ∴在 的区间内，存在使得，即一元二次方程的一个解的大致范围是 ． 故选：B 9. 如图，的三个顶点A，B，C均在的正方形网格的格点（网格线的交点）上，则的值是（ ） A. B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查锐角三角函数的定义及运用以及勾股定理应用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边． 【详解】解：根据题意得 满足 ∴ 是直角三角形，， ∴； 故答案为：C. 10. 如图，在设计人体雕像时，雕刻者总是按照一定的比例进行设计雕刻，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，恰好等于下部与全部（全身）的高度比，以增加视觉美感．若按照这样的要求，设计的这个雕像的高为 ，设雕像上部的高为，则下列结论不正确的是（ ） A. 雕像的上部高度与下部高度的关系为 B. 根据题意可以列方程 C. 依题意可以列方程 D. 雕像下部高度为 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割，一元二次方程的应用，准确熟练地进行计算是解题的关键． 根据黄金分割的定义进行计算，逐一判断即可解答． 【详解】解：∵设计的这个雕像的高为 ，雕像上部的高为， ∴雕像下部的高为， ∴雕像的上部高度与下部高度的关系为，故A选项正确，不符合题意； 依题意列方程，即，故C选项错误，符合题意； 整理得：，故B选项正确，不符合题意； 解得：（舍去）， ∴雕像下部高度为，故D选项正确，不符合题意； 故选：C 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 实数在数轴上对应点的位置如图所示，化简：________． 【答案】## 【解析】 【分析】利用二次根式的性质和绝对值的性质，即可求解． 【详解】由数轴位置可知， ． 【点睛】本题考查二次根式化简运算，掌握二次根式的性质是关键． 12. 如图，正方形 由8个大小相等的三角形构成，随机地往正方形 内投掷一个棋子，则棋子落在阴影区域的概率为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查几何概率的计算，关键是利用几何概率的定义：事件发生的概率等于该事件对应的区域面积与总区域面积的比值．题目中正方形被等分为8个小三角形，只需确定阴影部分包含的小三角形数量，通过计算数量比即可得到面积比，也就是所求概率． 【详解】解：设每个小三角形的面积为， ∵正方形由8个大小相等的三角形构成， ∴正方形的面积为， 由图可知阴影区域包含3个该小三角形，其面积为， ∴棋子落在阴影区域的概率为； 故答案为：． 13. 如图，某数学兴趣小组在凉亭的右边点处放置了一平面镜，并测得米，然后沿着直线后退到点处，使得眼睛恰好看到镜子里凉亭的顶端，并测得 米，眼睛到地面的距离米(此时)，那么凉亭 的高为________米． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的实际应用，核心知识点是“两角分别相等的两个三角形相似”及相似三角形对应边成比例的性质．首先根据垂直关系得到两个直角相等，结合已知的角相等，证明与相似；再利用相似三角形对应边成比例的关系，计算出凉亭 的高度． 【详解】解：∵ ， ， ∴， 又∵， ∴， ∴， 解得(米)； 故答案为：． 14. 如图，抛物线 与轴相交于点，，与 轴相交于点 ，过点 作轴，点在抛物线上，则________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与坐标轴的交点问题．根据题意得出抛物线的对称轴为直线，根据抛物线与 轴相交于点 ，轴，求得点的坐标，即可得到答案． 【详解】解：抛物线 与轴相交于点，， 抛物线的对称轴为直线， 抛物线与 轴相交于点 ， ， 轴，点在抛物线上， ， ， 故答案为：1． 15. 如图，与 均为直角三角形，， ， ，，，射线与直线交于点．若，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理判定和性质，解直角三角形，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考压轴题． 令交 于点 ，过点作，则， ，则 ，可得，，，都是等腰直角三角形，则，，即可求解. 【详解】解：如图，令交 于点 ，过点作，则， ， ，，， ， ， ， ， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ，，，都是等腰直角三角形， ，，， ，， ， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. （1）计算：． （2）解方程：． 【答案】（1）； （2）， 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算、绝对值的化简、零次幂的性质以及一元二次方程的因式分解法，关键是熟练掌握相关运算法则和因式分解的技巧． （1）先利用平方差公式简化二次根式的乘积运算，再根据绝对值内数的正负性化简绝对值，依据零指数幂定义计算零次幂，最后依次进行加减运算得到结果； （2）观察方程结构，通过提取公因式将原方程转化为两个一元一次方程的乘积形式，求解一元一次方程，得到原方程的根． 【详解】（1）解： ； （2）解：， 因式分解，得， 或 ， 解得，． 17. 如图，在中，，． （1）尺规作图：在的边 上找一点，使．(不写作法，保留作图痕迹) （2）求的度数． 【答案】（1）作图见详解(作法不唯一)； （2） 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质及尺规作图．关键是利用“两角分别相等的两个三角形相似”，通过作相等的角构造与相等的角；然后根据等腰三角形内角和定理求出的内角，再结合相似三角形的对应角相等计算的度数． （1）要使，已知是公共角，只需构造，利用尺规作即可实现； （2）先由等腰三角形两底角相等算出和的度数，再根据相似三角形对应角相等直接得到的度数． 【小问1详解】 解：要使，已经有，只需即可，即作，如图所示(作法不唯一)： 【小问2详解】 解： ，， ， ， ． 18. 在“趣味化学实验室”课上，张老师用毛笔蘸取透明无色液体，并在白纸上书写，立即显现出红色的文字，这是酚酞产生的神奇变化．酚酞是化学领域重要的酸碱指示剂，它遇碱变红，遇酸或中性溶液不变色．现有四个完全相同且无标签的滴瓶，里面分别装有四种无色溶液． A.酚酞 B.氢氧化钠溶液（碱性） C.盐酸溶液（酸性） D.蒸馏水（中性） （1）小明同学从中随机拿出一瓶，选中酚酞的概率是________． （2）张老师从这四瓶无色液体中随机选取两瓶，并分别取一定量的溶液混合均匀，请利用画树状图或列表的方法求混合后溶液变红的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查列表法、概率公式求概率，解决本题的关键是理解题目意义． （1）直接由概率公式求解即可； （2）列表可得出所有等可能的结果数以及混合后的溶液变红色的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：由题意知，共有4种等可能的结果，其中选中酚酞的结果有1种， ∴小明同学从中随机拿出一瓶，选中酚酞的概率是， 故答案为：； 【小问2详解】 解：列表如下． 共有12种等可能的结果，其中混合后的溶液变红色的结果有，，共2种， 混合后的溶液变红色的概率为． 19. 浑源黄芪，又称正北芪．早在清朝，就以名贵特产进贡于朝廷．它是国内绿色保健品种的佳品，也是我国外贸出口的名贵药材．某药材公司以20元/千克的价格收购一批浑源黄芪进行销售，日销售量 （单位：千克）与销售价格（单位：元/千克）之间满足一次函数的关系，经过市场调查获得部分数据如下表． 销售价格（元/千克） 20 25 30 35 40 日销售量 千克 600 450 300 150 0 （1）根据表中的数据，求 与的函数表达式． （2）该药材公司应该如何确定这批浑源黄芪的销售价格，才能使日销售利润恰好为3000元？ 【答案】（1） （2）30元/千克 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数的实际运用、一元二次方程的实际应用，理解题目表格中的数据之间的关系是解题的关键． （1）利用待定系数法求解函数表达式即可； （2）根据利润单件利润 销售量得到，解一元二次方程即可求解． 【小问1详解】 解：设 与之间的函数表达式为． 将，代入， 得，解得， 与的函数表达式为； 【小问2详解】 解：由题意，得， 即， 整理得， 即， 解得． 答：这批浑源黄芪的销售价格定为30元/千克，才能使日销售利润恰好为3000元． 20. 项目学习： 项目背景：某地区田地边因下大雨形成了一个塌陷洞口，数学兴趣小组成员要测量塌陷口最大直径，因为靠近有危险，该小组的同学围绕“塌陷洞口的测量与计算”开展项目学习活动，形成了如下活动报告． 项目主题 塌陷洞口的测量与计算 驱动问题 如何测量塌陷洞口的直径数据 活动内容 利用三角形、三角函数等有关知识进行测量与计算 活动过程 方案说明 甲组：如图1，A，B两点分别为塌陷洞口最大距离的两端（其中A，B两点均在地面上）．因为A，B两点间的实际距离无法直接测量，所以在平地上取一个可以直接到达点A，B的点O，连接 ，并延长到点C，连接，并延长到点D，使 ， ，连接，测出的长即可． 乙组：如图2，A，B两点分别为塌陷洞口最大距离的两端（其中A，B两点均在地面上）．因为A，B两点间的实际距离无法直接测量，所以先确定直线 ，过点B作直线，在直线上找可以直接到达点A的一点D，连接 ，作 ，交直线 于点C，最后测量的长即可． 丙组：如图3，根据塌陷周围地形状况，在安全地面选取合适的点P．测量A，P两点间的距离以及 和 ，测量三次取平均值，得到数据： ， ， ． 参考数据 ， ， ， ， 计算 …… 交流展示 …… 请根据上述材料，回答下面的问题． （1）甲、乙两组的方案哪个可行？________（填“甲”或“乙”），并说明可行的理由． （2）根据丙组的测量方案，计算塌陷洞口的最大直径（即A，B两点间的距离，结果精确到 ）． 【答案】（1）甲， ， ， ， ， ， 故甲组方案可行． （2） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形判定与性质的应用，解直角三角形的应用，正确理解题意是关键． （1）根据全等三角形的判定与性质，即可解答； （2）过点作 于点，在中，根据，可求得，在 中，根据，即可求得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，过点作 于点， ， ， ， 在中， ， ， ， 在 中， ， ， 答：塌陷洞口的最大直径约为 ． 21. 阅读与思考 下面是小明在数学兴趣活动中遇到的一个问题，请认真阅读并完成相应的任务． 阅读材料：我们学习了《二次根式》和《乘法公式》，可以发现，当时，有，，当且仅当时，取等号． 【问题解决】 例如：当时，求的最小值． 解：，，又，． 当且仅当，即 时，取等号，的最小值为4． 任务： （1）当时，的最小值为________． （2）当时，求的最小值． 【答案】（1）2 （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式混合运算，解答本题的关键是明确题意，利用题目中阅读内容解答． （1）根据阅读中的公式计算即可； （2）首先化简得到，运用公式计算即可． 【小问1详解】 解：当时， ∴的最小值为2； 【小问2详解】 解：， ，， ， 当且仅当，即时，取等号， 的最小值为， 的最小值为， 的最小值为． 22. 综合与实践 【问题背景】 近几年，越来越多的演唱会落地，让有2500多年建城史的太原多了一个新标签—歌迷之城．如图，这是山西体育场某次演唱会的座位图，四周为看台座，中间为内场座．数学小组因条件有限仅针对这次演唱会的内场，研究了排队人数、安检时间与安检通道数之间的关系． 【研究条件】 条件1：演唱会内场与看台的安检通道分别设置，互不影响，以下数据均为内场数据． 条件2：观众进场需排队安检，在任意时刻都满足：排队人数现场总人数 —已入场人数． 条件3：山西体育场最多可为内场开放8条安检通道，平均每条通道每分钟可安检10人． 【模型构建】 本次演唱会提前80分钟开始进行安检，经研究发现，现场总人数 与安检时间（单位：分钟）之间满足函数关系式：． （1）当开放3条安检通道，安检时间为分钟时，已入场人数为________，排队人数 与安检时间的函数关系式为________． 【模型应用】 （2）在（1）的条件下，排队人数 在第几分钟达到最大值，人数最多为多少？ （3）当开放5条安检通道时，是否存在某一时刻，排队人数是（2）中最多排队人数的？若存在，求出此时的安检时间；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），；（2）排队人数在第25分钟达到最大值，最多人数为625；（3）存在，理由见解析 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的应用，根据题意正确列出函数解析式是关键． （1）根据“已入场人数=每分钟安检人数×安检时间”表示出已入场人数，再根据“排队人数现场总人数已入场人数”列出函数关系式． （2）将函数关系式配方，根据二次函数的性质求最值即可． （3）根据题意可得，再根据排队人数是（2）中最多排队人数的，列出方程，即可求解． 【详解】解：（1）∵平均每条通道每分钟可安检10人． ∴开放3条安检通道，安检时间为分钟时，已入场人数为人， ∵现场总人数 与安检时间之间满足函数关系式：． ∴排队人数 与安检时间的函数关系式为， 故答案为：；． （2）由题意，可得． ， 当时， 取得最大值，最大值为625． 答：排队人数在第25分钟达到最大值，最多人数为625． （3）存在．理由如下： 平均每条通道每分钟可安检10人， 开放5条安检通道，安检时间为分钟时，已入场人数为， ． 由题意，可得， 解得，， 在第5分钟或25分钟时，排队人数是（2）中最多排队人数的． 23. 综合与探究 【问题情境】如图1，在 中，弦 平分圆周角 ，我们将圆中以为公共点的三条弦 ，， 构成的图形称为“爪形”，弦 ，， 称为“爪形”的爪． 【猜想证明】 （1）如图2，四边形 内接于 ，，连接 ． ①试判断圆中是否存在“爪形”，并说明理由． ②若，试猜想 ，， 之间的数量关系，并说明理由． 【深入探究】 （2）如图3，若 ，试猜想“爪形”的爪 ， ，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）①存在，理由见解析，②，理由见解析；（2），理由见解析 【解析】 【分析】（1）①根据得到，推出 ，然后根据“爪形”的定义求解即可； ②如图1，延长至点，使得，连接，证明出，得到，然后证明出是等边三角形，得到 ，进而求解即可； （2）如图2，延长至点，使得，连接，证明出，得到为等腰直角三角形，进而求解即可． 【详解】解：（1）①存在． 理由：， ， ， 平分圆周角， 圆中存在“爪形”； ②． 理由：如图1，延长至点，使得，连接． ，， ． ，， ， ． ， ， 是等边三角形， ， ； （2）． 理由：如图2，延长至点，使得，连接． ，， ． 圆中存在“爪形”，且 ， ， ． ， ， ， ， 为等腰直角三角形， ， ． 【点睛】本题考查了圆周角的性质，圆内接四边形的性质，全等三角形的性质和判定，等边三角形的判定，等腰直角三角形性质和判定等知识，读懂题意正确理解题中圆中“爪形A”是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届九年级期末质量监测 数学 注意事项： 1．满分120分，答题时间为120分钟． 2．请将各题答案填写在答题卡上． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 一元二次方程的一次项系数是（ ） A. B. C. D. 2. 下列是相似图形但不是位似图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 要使代数式有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 全体实数 4. 下列函数中，是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，一张锐角三角形纸片，点 ，分别在边，上，， ，沿将剪开，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，是 的弦，若弦的长为16，圆心 到弦的距离 为6，则该 的半径 的长为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 7. 如图，若随机闭合开关，，中的两个，则能让灯泡发光的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 设二次函数，下表列出了与 的6对对应值： 0 1 2 3 4 5 13 23 根据表格中的内容，能够判断一元二次方程的一个解的大致范围是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，的三个顶点A，B，C均在的正方形网格的格点（网格线的交点）上，则的值是（ ） A. B. C. D. 1 10. 如图，在设计人体雕像时，雕刻者总是按照一定的比例进行设计雕刻，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，恰好等于下部与全部（全身）的高度比，以增加视觉美感．若按照这样的要求，设计的这个雕像的高为 ，设雕像上部的高为，则下列结论不正确的是（ ） A. 雕像的上部高度与下部高度的关系为 B. 根据题意可以列方程 C. 依题意可以列方程 D. 雕像下部高度为 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 实数在数轴上对应点的位置如图所示，化简：________． 12. 如图，正方形 由8个大小相等的三角形构成，随机地往正方形 内投掷一个棋子，则棋子落在阴影区域的概率为________． 13. 如图，某数学兴趣小组在凉亭的右边点处放置了一平面镜，并测得米，然后沿着直线后退到点 处，使得眼睛恰好看到镜子里凉亭的顶端，并测得 米，眼睛到地面的距离米(此时)，那么凉亭的高为________米． 14. 如图，抛物线 与轴相交于点，，与 轴相交于点 ，过点 作轴，点 在抛物线上，则________． 15. 如图，与 均为直角三角形，， ， ，，，射线与直线交于点．若，则的值为________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. （1）计算：． （2）解方程：． 17. 如图，在中，，． （1）尺规作图：在的边上找一点，使．(不写作法，保留作图痕迹) （2）求的度数． 18. 在“趣味化学实验室”课上，张老师用毛笔蘸取透明无色液体，并在白纸上书写，立即显现出红色的文字，这是酚酞产生的神奇变化．酚酞是化学领域重要的酸碱指示剂，它遇碱变红，遇酸或中性溶液不变色．现有四个完全相同且无标签的滴瓶，里面分别装有四种无色溶液． A.酚酞 B.氢氧化钠溶液（碱性） C.盐酸溶液（酸性） D.蒸馏水（中性） （1）小明同学从中随机拿出一瓶，选中酚酞的概率是________． （2）张老师从这四瓶无色液体中随机选取两瓶，并分别取一定量的溶液混合均匀，请利用画树状图或列表的方法求混合后溶液变红的概率． 19. 浑源黄芪，又称正北芪．早在清朝，就以名贵特产进贡于朝廷．它是国内绿色保健品种的佳品，也是我国外贸出口的名贵药材．某药材公司以20元/千克的价格收购一批浑源黄芪进行销售，日销售量 （单位：千克）与销售价格（单位：元/千克）之间满足一次函数的关系，经过市场调查获得部分数据如下表． 销售价格（元/千克） 20 25 30 35 40 日销售量 千克 600 450 300 150 0 （1）根据表中的数据，求 与的函数表达式． （2）该药材公司应该如何确定这批浑源黄芪的销售价格，才能使日销售利润恰好为3000元？ 20. 项目学习： 项目背景：某地区田地边因下大雨形成了一个塌陷洞口，数学兴趣小组成员要测量塌陷口最大直径，因为靠近有危险，该小组的同学围绕“塌陷洞口的测量与计算”开展项目学习活动，形成了如下活动报告． 项目主题 塌陷洞口的测量与计算 驱动问题 如何测量塌陷洞口的直径数据 活动内容 利用三角形、三角函数等有关知识进行测量与计算 活动过程 方案说明 甲组：如图1，A，B两点分别为塌陷洞口最大距离的两端（其中A，B两点均在地面上）．因为A，B两点间的实际距离无法直接测量，所以在平地上取一个可以直接到达点A，B的点O，连接，并延长到点C，连接，并延长到点D，使 ， ，连接，测出的长即可． 乙组：如图2，A，B两点分别为塌陷洞口最大距离的两端（其中A，B两点均在地面上）．因为A，B两点间的实际距离无法直接测量，所以先确定直线，过点B作直线，在直线上找可以直接到达点A的一点D，连接 ，作 ，交直线于点C，最后测量的长即可． 丙组：如图3，根据塌陷周围地形状况，在安全地面选取合适的点P．测量A，P两点间的距离以及 和 ，测量三次取平均值，得到数据： ， ， ． 参考数据 ， ， ， ， 计算 …… 交流展示 …… 请根据上述材料，回答下面的问题． （1）甲、乙两组的方案哪个可行？________（填“甲”或“乙”），并说明可行的理由． （2）根据丙组的测量方案，计算塌陷洞口的最大直径（即A，B两点间的距离，结果精确到 ）． 21. 阅读与思考 下面是小明在数学兴趣活动中遇到的一个问题，请认真阅读并完成相应的任务． 阅读材料：我们学习了《二次根式》和《乘法公式》，可以发现，当时，有，，当且仅当时，取等号． 【问题解决】 例如：当时，求的最小值． 解：，，又，． 当且仅当，即 时，取等号，的最小值为4． 任务： （1）当时，的最小值为________． （2）当时，求的最小值． 22. 综合与实践 【问题背景】 近几年，越来越多的演唱会落地，让有2500多年建城史的太原多了一个新标签—歌迷之城．如图，这是山西体育场某次演唱会的座位图，四周为看台座，中间为内场座．数学小组因条件有限仅针对这次演唱会的内场，研究了排队人数、安检时间与安检通道数之间的关系． 【研究条件】 条件1：演唱会内场与看台的安检通道分别设置，互不影响，以下数据均为内场数据． 条件2：观众进场需排队安检，在任意时刻都满足：排队人数现场总人数 —已入场人数． 条件3：山西体育场最多可为内场开放8条安检通道，平均每条通道每分钟可安检10人． 【模型构建】 本次演唱会提前80分钟开始进行安检，经研究发现，现场总人数 与安检时间（单位：分钟）之间满足函数关系式：． （1）当开放3条安检通道，安检时间为分钟时，已入场人数为________，排队人数 与安检时间的函数关系式为________． 【模型应用】 （2）在（1）的条件下，排队人数 在第几分钟达到最大值，人数最多为多少？ （3）当开放5条安检通道时，是否存在某一时刻，排队人数是（2）中最多排队人数的？若存在，求出此时的安检时间；若不存在，请说明理由． 23. 综合与探究 【问题情境】如图1，在 中，弦 平分圆周角 ，我们将圆中以为公共点的三条弦，， 构成的图形称为“爪形”，弦，， 称为“爪形”的爪． 【猜想证明】 （1）如图2，四边形 内接于 ，，连接． ①试判断圆中是否存在“爪形 ”，并说明理由． ②若，试猜想 ，，之间的数量关系，并说明理由． 【深入探究】 （2）如图3，若 ，试猜想“爪形 ”的爪 ，，之间的数量关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $