2026年中考数学第一轮专题复习-二次函数压轴题（特殊四边形问题）

2026年中考数学第一轮专题复习-二次函数压轴题（特殊四边形问题） 1．如图所示，已知抛物线与一次函数的图象相交于，两点，点是抛物线上不与，重合的一个动点，点是轴上的一个动点． （1）直接写出抛物线和一次函数的解析式及关于的不等式的解集； （2）当点在直线上方时，求出面积最大时点的坐标； （3）是否存在以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出的坐标；若不存在，请说明理由． 2．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），点A的坐标为（﹣1，0），与y轴交于点C（0，2），直线CD：y＝﹣x+2与x轴交于点D．动点M在抛物线上运动，过点M作MP⊥x轴，垂足为P，交直线CD于点N． （1）求抛物线的解析式； （2）当点P在线段OD上时，△CDM的面积是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由； （3）点E是抛物线对称轴与x轴的交点，点F是x轴上一动点，点M在运动过程中，若以C、E、FM为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点F的坐标． 3．如图，已知抛物线与x轴交于，两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)点D是第四象限内抛物线上的一个动点（与点C，B不重合），过点D作轴于点F，交直线于点E，连接，若，求出点D的坐标； (3)若P为x轴上一动点，Q为抛物线上一动点，是否存在点P、Q，使得以点B，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出P的坐标；若不存在，请说明理由． 4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于点，点为轴上一点，其纵坐标为，连接，以为边向右作正方形． (1)求的值； (2)设抛物线的顶点为，当点在上时，求的值； (3)当点在抛物线上时，求的值； (4)当抛物线与正方形有两个交点时，直接写出的取值范围． 5．如图，已知抛物线经过点，，． (1)求该抛物线的解析式； (2)点M是抛物线上的一个动点，设点M的横坐标为．当的面积最大时，求点M的坐标； (3)若点Q在x轴上，点P在抛物线上，是否存在以点B，C，Q，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由． 6．如图，已知抛物线与x轴交于点A，B两点，与y轴交于点C，点P是上方抛物线上的一动点，作轴于点M，点M的横坐标为，交于点D．    (1)求A，B的坐标和直线的解析式； (2)连接，求面积的最大值； (3)已知点Q也在抛物线上，点Q的横坐标为，作轴于点F，交于点E，若P，D，Q，E为顶点的四边形为平行四边形，求t的值． 7．如图，抛物线与x轴交于、B两点（点B在点A的右侧），与y轴交于点C，且，点D为抛物线的对称轴与x轴的交点，连接． (1)求抛物线的函数表达式； (2)点F为坐标平面内一点，在第一象限的抛物线上是否存在点E，使得以点C、D、E、F为顶点的四边形是以为边的矩形？若存在，请求出符合条件的点E的横坐标；若不存在，请说明理由． 8．综合与探究 如图，已知抛物线与x轴相交于点A，B（点B在点A的右侧），与y轴相交于点C，其顶点为点D，连接AC，BC． （1）求点A，B，D的坐标； （2）设抛物线的对称轴DE交线段BC于点E，P为第四象限内抛物线上一点，过点P作x轴的垂线，交线段BC于点F．若四边形DEFP为平行四边形，求点P的坐标； （3）设点M是线段BC上的一个动点，过点M作，交AC于点N．点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段BA向点A运动，运动时间为t（）秒，直接写出当t为何值时，为等腰直角三角形． 9．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，是上方抛物线上的一个动点，其横坐标为．连接，，． (1)求直线的解析式． (2)当的面积等于时，求的值． (3)在（2）的条件下，若是轴上一动点，是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点，使得以，，，为顶点的四边形是以为边的平行四边形．若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 10．如图，在平面直角坐标系中，抛物线、为常数．且经过点，交轴于点、在的左侧），其顶点的横坐标为2． (1)求抛物线的函数表达式； (2)将抛物线向左平移2个单位长度后得到抛物线，为抛物线上的动点，点为抛物线的对称轴上的动点，请问是否存在以、、、为顶点且以为边的四边形是平行四边形？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由． 11．如图，已知抛物线过点、，点C的坐标为． (1)求此抛物线对应的函数解析式； (2)直接写出抛物线的对称轴； (3)点P是抛物线对称轴上的一个动点，当的值最小时，求点P的坐标； (4)点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，是否存在以点B、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 12．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，点在轴右侧的轴上，抛物线经过A，B，C三点，顶点为． (1)求抛物线的解析式及点B，D的坐标； (2)点在直线AC上运动，当的周长最小时，求点的坐标； (3)探究在内部能否截出面积最大的矩形（顶点E，F，G，H在各边上）？若能，求出此时矩形在边上的顶点的坐标；若不能，请说明理由． 13．如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接． (1)求A、B，C三点的坐标． (2)点P是直线下方抛物线上的一个动点，过点P作的平行线l，交线段于点D．在直线l上是否存在点E，使得以点D，C，B，E为顶点的四边形为菱形，若存在，求出点E的坐标，若不存在，请说明理由． 14．如图，抛物线（）的图象与轴交于点和点，与轴交于点，抛物线的顶点为． (1)求该抛物线的解析式和点的坐标； (2)连接，若线段上方的抛物线上有一点，求点到线段距离的最大值，并写出此时点的坐标； (3)在抛物线上找一点，使，求点的坐标； (4)在对称轴上找一点，使最大，直接写出点的坐标； (5)  为抛物线上一点，若，请直接写出点的坐标； (6)若点在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点，使以，，，为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．（1），；或  （2）   （3）存在；或或 【分析】（1）根据待定系数法得出a，k，b的值，进而得出函数解析式，再根据图象可得不等式的解集； （2）过点A作y轴的平行线，过点B作x轴的平行线，两者交于点C，连接PC．根据三角形的面积公式解答即可； （3）根据平行四边形的性质和坐标特点解答即可． 【详解】（1）解：（1）把A（-1，-1），代入y=ax2中，可得：a=-1， 把A（-1，-1），B（2，-4）代入y=kx+b中，可得： 解得： 抛物线的解析式为：，一次函数的解析式： 由图象可得：关于x的不等式ax2＜kx-2的解集是x＜-1或x＞2， （2）过点作轴的平行线，过点作轴的平行线，两者交于点． ， ， 设点的横坐标为，则点的纵坐标为． 过点作于，作于．则，， ，． ，，， 当时，的值最大． 当时， 即面积的最大时点的坐标为 （3）存在三个符合条件的点， 当以P，Q，A，B为顶点的四边形是平行四边形时， ∵AP=BQ，AQ=BP，A（-1，-1），B（2，-4）， 可得坐标如下： ①P′的横坐标为-3，代入二次函数表达式，解得：P'（-3，-9），； ②P″的横坐标为3，代入二次函数表达式，解得：P″（3，-9）； ③P的横坐标为1，代入二次函数表达式，解得：P（1，-1）． 故：P的坐标为（-3，-9）或（3，-9）或（1，-1）， 【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． 2．（1）y＝﹣x2+x+2；（2）存在．当a＝时，S△CDM有最大值为；（3）F点坐标为（3，0）或（﹣1，0）或（，0）或（﹣，0）． 【分析】（1）直接利用待定系数法求解即可； （2）先求出D点坐标，然后设M（x，﹣x2+x+2），则N（x，﹣x+2），求出MN，然后表示出，根据二次函数的性质即可求出面积的最大值； （3）先求出抛物线的对称轴为直线x＝1得到E（1，0），讨论：当CM∥EF时，则M（2，2），利用平行四边形的性质得CM＝EF＝2，从而得到此时F点坐标；当CE∥MF时，由于点C向右平移1个单位，向下平移2个单位得到E点，所以点F向右平移1个单位，向下平移2个单位得到M点，设F（t，0），则M（t＋1，-2），然后把M（t＋1，-2）代入y＝﹣x2+x+2得，则解方程求出得到此时F点坐标． 【详解】解：（1）∵抛物线经过点A（﹣1，0），点C（0，2）， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+2； （2）存在． 当y＝0，﹣x+2＝0， 解得x＝2，则D（2，0）， 设M（x，﹣x2+x+2），则N（x，﹣x+2）， ∴MN＝﹣x2+x+2﹣（﹣x+2）＝， ∴， ∵a＝＜0， ∴当a＝时，S△CDM有最大值为； （3）∵抛物线的对称轴为直线， ∴E（1，0）， 当CM∥EF时，则M（2，2）， ∵以C、E、F、M为顶点的四边形是平行四边形， ∴CM＝EF＝2， ∴F点坐标为（3，0）或（﹣1，0）； 当CE∥MF时， ∵以C、E、F、M为顶点的四边形是平行四边形， ∴CE＝MF， ∵点C向右平移1个单位，向下平移2个单位得到E点， ∴点F向右平移1个单位，向下平移2个单位得到M点， 设F（t，0），则M（t+1，﹣2）， 把M（t+1，﹣2）代入y＝﹣x2+x+2， 得到， 解得t1＝，t2＝﹣， 此时F点坐标为（，0），（﹣，0）， 综上所述，F点坐标为（3，0）或（﹣1，0）或（，0）或（﹣，0）． 【点睛】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和平行四边形的性质是解题的关键． 3．(1)抛物线的解析式为 (2)点的坐标为 (3)存在，P的坐标为、、、 【分析】（1）因为经过，两点，所以，再代，即可作答． （2）先把、代入，并解出直线BC的解析式为，因为，所以，解得，得，即可作答． （3）结合平行四边形的性质，要进行分类讨论，即①当为对角线；②当为对角线；③当为对角线，然后列出方程组解方程，即可作答． 【详解】（1）解：设抛物线为， 经过，两点， ， 把代入得：， ， 抛物线的解析式为． （2）解：设直线的解析式为， 把、代入得： 直线的解析式为， 设，则，， ，， ， ， ， 解得（不符合，舍去），， 经检验：是方程的解 把代入，解得 点的坐标为． （3）解：存在，过程如下： 依题意，设，且，， ∵以点B，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形 ∴①当为对角线时，则 ， ； ②当为对角线时，则 ， ，； ③当为对角线时，则 ， ． 综上所述，P的坐标为、、、． 【点睛】本题考查了二次函数的几何综合，平行四边形的性质，二次函数与一次函数的解析式、二次函数与一次函数的图象性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 4．(1) (2) (3)或 (4)；； 【分析】（1）根据题意，将代入表达式解方程即可得出结论； （2）根据题意作出图像，结合图像得出关于的方程求解即可； （3）结合题意，分两种情况讨论：当时；当时，作出相应图像求解即可； （4）根据（3）中的求解情况，分三类求解即可得出结论． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴相交于点， ∴把点代入得； （2）如图①所示： ， ∴顶点的坐标为．              ∵点在上，且点的坐标为， ． （3）如图②所示： 当时，由得． ∵四边形为正方形， ． ∴点的坐标为． ∵点在抛物线上， ∴把点代入，得， 解得（舍去），．              如图③所示： 当时，由得． ∵四边形为正方形，． ∴点的坐标为． ∵点在抛物线上， ∴把点代入 得，解得（舍去），． 综上可知：当点在抛物线上时，或． （4）分三种情况讨论： 根据①中，抛物线的顶点为P，当点P在上时，抛物线与正方形刚好有3个交点，此时，如图所示： 显然，当时，抛物线与正方形只有2个交点； 根据②中，当，点C在抛物线上时，抛物线与正方形刚好有3个交点，此时，如图所示： 显然，当时，点C在抛物线上方，抛物线与正方形只有2个交点； ，当，，解得或，即正方形边长为，如图所示： 显然，当时，抛物线与正方形只有2个交点， 综上所述，当抛物线与正方形有两个交点时，或或． 【点睛】本题考查二次函数综合，难度较大，尤其是分类讨论比较繁琐，涉及到待定系数法求解析式、图形与抛物线交点变化问题，读懂题意，根据要求准确作出相应图像是解决问题的关键． 5．(1) (2) (3)存在以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，此时点坐标为或或． 【分析】此题考查了二次函数的综合题，涉及了待定系数法求解析式，与面积有关的综合问题，平行四边形的性质，解题的关键是熟练掌握相关基础性质． （1）将、、代入抛物线求解即可； （2）过点作轴交于点，可求直线，则，，那么，再由，建立二次函数关系式，再配方求解最值即可； （3）设，，分三种情况，、或为对角线时，求解即可． 【详解】（1）解：将、、代入抛物线可得， ，解得 则抛物线解析式为： （2）解：过点作轴交于点， 设直线， 代入点得， 解得， ∴直线， ∵点M的横坐标为 ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， 配方得 ∵， ∴当时，面积取得最大值，此时； （3）解：存在以点、、、为顶点的四边形是平行四边形， 设，， 、 当以为对角线时，由平行四边形的性质可得： 解得（舍去）或 即； 当以为对角线时，由平行四边形的性质可得： 解得（舍去）或 即； 当以为对角线时，由平行四边形的性质可得： ，解得或 当时，，即 当时，，即； 综上，存在以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，此时点坐标为或或． 6．(1)，； (2) (3)或 【分析】（1）令，则，解方程求出x的值即可；根据B，C坐标，用待定系数法求一次函数解析式即可； （2）根娱点M的横坐标为t，点Q在抛物线上，D在直线，得出，，从而得出，然后由三角形的面积公式得出，再由函数的性质求最值即可； （3）分四边形为平行四边形和四边形为平行四边形两种情况，由P，Q的坐标求出，，再根据得出关于t的方程，解方程求出t即可． 【详解】（1）解：令，则， 解得，， ，； 令，则， ， 设直线的解析式为， 把，代入解析式得：， 解得， ∴直线的解析式为； （2）∵点M的横坐标为t，点P在抛物线上，D在直线， ，， ， ， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为， ∴面积的最大值为； （3）①如图所示，当四边形为平行四边形时，   轴，轴， ， ∵四边形为平行四边形， ， ∵点Q的横坐标为，点Q在抛物线上，E在直线， ，， ， ， 解得； ②如图所示，当四边形为平行四边形时，    同①得出， ， 解得， ， ， ． 综上所述，或． 【点睛】本题考查二次函数的综合题，关键是掌握待定系数法求函数解析式，函数的性质以及平行四边形的性质及判定． 7．(1) (2)存在，点E的横坐标为：或 【分析】（1）用待定系数法即可求解； （2）当四边形为矩形时，过点E作轴于点M，证明，得到点，把代入抛物线解析式中求解即可；当四边形为矩形时，同理可解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， 把，，代入到抛物线解析式得：， ∴， ∴抛物线解析式为； （2）解：∵抛物线解析式为， ∴抛物线对称轴为直线， ∴， ∴； 当四边形为矩形时，如下图，过点E作轴于点M， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴点， 将点E的坐标代入抛物线表达式得：， 解得：（舍去）或， ∴点E的横坐标为； 当四边形为矩形时，如下图，过点E作轴于点M， 同理可得点， 将点E的坐标代入抛物线表达式得：， 解得（负值已舍去）， ∴点E的横坐标为：； 综上，点E的横坐标为：或． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，解直角三角形、矩形的性质等，其中（2）利用分类求解是本题解题的关键． 8．（1）点A为（，0）；点B为（4，0）；点D为（1，）；（2）点P为（3，）；（3）当为等腰直角三角形时，t的值为：或或． 【分析】（1）直接令，即可求出点A、B的坐标，把一般式化为顶点式，即可求出点D的坐标； （2）由题意，先求出直线BC的解析式，然后得到，结合当DE∥PF，时，四边形DEFP为平行四边形，然后设点P为（m，），则点F为（m，），求出PF的长度，即可求出点P的坐标； （3）先求出直线AC的解析式，设点M为（，），则点N的坐标为（，）；然后结合为等腰直角三角形，可分为三种情况进行分析：①当，时；②当，时；③当，时；分别求出每种情况的答案即可． 【详解】解：（1）∵抛物线与x轴相交于点A，B， ∴令，则， 解得：，， ∴点A为（，0），点B为（4，0）； ∵， ∴顶点D的坐标为（1，）； （2）根据题意，如图： 则抛物线的对称轴为，点D为（1，）； ∵， ∴令，则， ∴点C为（0，）； 设直线BC的解析式为，则 ，解得， ∴直线BC的解析式为； 当时，， ∴点E的坐标为（1，）， ∴； ∵DE∥PF， 当时，四边形DEFP为平行四边形， 设点P为（m，），则点F为（m，）， ∴， 解得：或（不符合题意，舍去）， ∴， ∴点P的坐标为（3，）； （3）根据题意， ∵点A为（，0），点C为（0，）； ∴直线AC的解析式为：； ∵点M在直线BC上，点N在直线AC上，且MN∥AB， 设点M为（，）， ∴点N的纵坐标为，即， ∴点N的横坐标为， ∴点N的坐标为（，）； 点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段BA向点A运动，AB=6， ∵是等腰直角三角形， ①当，时，如图： 此时，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②当，时，如图： 此时，， ∴， ∴， ∴点N的横坐标为， ∴， ∴， ∴； ③当，时，如图：过点Q作QP⊥MN，垂足为P； ∵点M为（，），点N的坐标为（，）； ∴点Q在MN的垂直平分线上，则， ∴点Q的横坐标为：， ∵，， ∴， ∴， ∴点Q的横坐标为：， ∴， ∴， ∴； 综合上述，当为等腰直角三角形时，t的值为：或或． 【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，二次函数的性质，等腰直角三角形的判定和性质，求一次函数的解析式，平行四边形的判定和性质，线段的动点问题，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确作出辅助线，运用数形结合的思想，以及分类讨论的思想进行解题，本题难度较大． 9．(1) (2) (3)存在，或或 【分析】（1）根据抛物线解析式求得的坐标；用待定系数法求解，将点的坐标代入即可． （2）先求出点坐标，再根据抛物线解析式设点的坐标，过点作轴的平行线，根据三角形面积求解． （3）根据边作为平行四边形的边时，分别画出图形，根据平行四边形的性质即可求解． 【详解】（1）解：抛物线与轴交于，两点，与轴交于点， 当时，，当时，， 解得： 设直线的解析式为， 解得： 直线的解析式为； （2）过点作轴的平行线交于点，如图所示： 设点的坐标为，则 的面积等于时， 即 解得：， （3）存在，理由如下： 由（2）可得，则，则轴， 当是平行四边形的一条边时 如图所示： 、分别有三个点 设点 点的纵坐标为绝对值为 即 解得：（舍去），或，或 故点、、的横坐标分别为：，， ， 点的坐标为：或或； 即点的坐标为：或或； 综上所述，存在这样的点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形．点的坐标为：或或． 【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查一次函数的性质，平行四边形的性质，与二次函数图像相结合的三角形面积的计算等，解题的关键是各知识点的综合应用． 10．(1)； (2)存在，的坐标为或． 【分析】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，平行四边形性质及应用，解题的关键是用含字母的式子表示相关点坐标和相关线段的长度． （1）用待定系数法可得抛物线的函数表达式为； （2）求出，抛物线的解析式为，设，，以为边的四边形是平行四边形分两种情况：①以，为对角线，则，中点重合，，②以，为对角线，，解方程组可得答案． 【详解】（1）解：根据题意得：， 解得， 抛物线的函数表达式为； （2）解：存在以、、、为顶点且以为边的四边形是平行四边形，理由如下： 在中，令得， 解得或， ， 把抛物线向左平移2个单位长度后得到抛物线的解析式为； 由抛物线顶点的横坐标为2知其对称轴为直线， 设，， 又， ①以，为对角线，则，中点重合， ， 解得， ； ②以，为对角线，则，的中点重合， ， 解得， ； 综上所述，的坐标为或． 11．(1) (2) (3) (4)存在，或 【分析】（1）利用待定系数法解可得该抛物线的函数解析式； （2）将抛物线解析式转化为顶点式，即可确定该抛物线的对称轴； （3）可知该抛物线的对称轴为，并确定该抛物线与轴的另一个交点的坐标；结合点是直线上一点，并根据抛物线轴对称的性质可得，易得，故当点均在轴上时，即时，的值最小，即的值最小，即可确定答案； （4）根据题意，设，，分是平行四边形的一边和是平行四边形的对角线两种情况，分别求解即可． 【详解】（1）解：将点，代入抛物线， 可得，解得， ∴此抛物线的函数解析式为， （2）解：∵， ∴该抛物线的对称轴为直线； （3）解：∵抛物线， ∴该抛物线的对称轴为， 设该抛物线与轴的另一个交点为， 令，可得， 解得，， ∴， 如下图， ∵点是抛物线对称轴上的一个动点， ∴， ∴， ∵点C的坐标为 ∴点在直线上， 当点均在轴上时，即时，的值最小，即的值最小， 如下图， 此时， ∴， ∴点的坐标为； （4）解：∵点在抛物线上，点在抛物线的对称轴上， ∴可设，， ①如下图， 当是平行四边形的一边时， 则有， ∴，解得， ∴； ②如下图， 当是平行四边形的对角线时， 则有， ∴，解得， ∴． 综上所述，存在以点为顶点的四边形是平行四边形，符合条件的点的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数和二次函数解析式、二次函数的图象与性质、平行四边形的性质、轴对称的性质等知识，解题关键是运用数形结合和分类讨论的思想分析问题． 12．(1)，．； (2)． (3)能，边上的顶点的坐标为，或． 【分析】（1）求得点A，C坐标，利用待定系数法即可求得抛物线的解析式；利用抛物线的解析式令，解方程即可求得点B在横坐标；利用配方法即可求得点D的坐标； （2）利用勾股定理及其逆定理得到，延长至点，使，连接，交直线于点P，利用轴对称的性质可得，B关于直线对称，此时的周长最小，过点作轴于点E，利用三角形的中位线定理得到点坐标，利用待定系数法求得直线的解析式为，再与直线联立即可求得点P坐标； （3）利用分类讨论的思想方法分两种情况讨论解答：①设与交于点K，设，利用矩形的性质，相似三角形的判定与性质求得其面积，利用二次函数的性质得到当时，矩形的面积取得最大值为，再利用三角形的中位线定理解答即可；②顶点E，F，G，H在各边上，H与点C重合，设，利用矩形的性质，相似三角形的判定与性质求得据的面积，利用二次函数的性质得到当时，矩形的面积取得最大值为，再利用三角形的中位线定理解答即可． 【详解】（1）解：中， 令，则， ∴， 令，则， ∴， ∴， ∵抛物线经过A，B，C三点， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为． 令，则， ∴，或， ∴． ∵ ∴顶点； （2）∵，，， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 延长至点，使，连接，交直线于点P，如图， 则，B关于直线对称，此时的周长最小， 过点作轴于点E， ∵轴，轴， ∴ ， ∵， ∴为的中位线， ∴， ∴， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， ∴， ∴， ∴． （3）在内部能截出面积最大的矩形（顶点E，F，G，H在各边上），此时矩形在边上的顶点的坐标为，或． ①如图，顶点E，F，G，H在各边上，设与交于点K， 设， ∵四边形为矩形，， ∴四边形，为矩形，， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴矩形的面积 ∵， ∴当时，矩形EFGH的面积取得最大值为． ∴， ∵， ∴H为的中点， ∴． 同理，点G为的中点， ∴． ②如图，顶点E，F，G，H在各边上，H与点C重合， 设， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴矩形的面积 ∵， ∴当时，矩形的面积取得最大值为． ∴， ∴点G为的中点， ∵， ∴为的中位线， ∴ ∴， ∴． 综上，在内部能截出面积最大的矩形(顶点E，F，G，H在各边上），此时矩形在边上的顶点的坐标为，或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，待定系数法，配方法，抛物线上点的坐标的特征，一次函数的图象与性质，一次函数图象上点的坐标的特征，轴对称的性质，分类讨论的思想方法，矩形的性质，直角三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键． 13．(1)，， (2)存在；或 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质、一次函数图象和性质、菱形的性质，熟练掌握菱形的性质和待定系数法是解题的关键． （1）分别令，，即可求出三点的坐标； （2）根据三点的坐标求直线的函数表达式，根据直线的表达式设点D的坐标为，然后分为四边形是菱形和四边形是菱形两种情况分别讨论即可． 【详解】（1）解：对于来说， 当时 ，； 故点， 当时，有， 解得：， ∴，； （2）解：存在： 设直线的表达式为：； 将，代入得： ， 解得： 故直线的表达式为： ； 设点D的坐标为，其中， ∵，， ∴，，， ∵， ∴当时，以点D，C，B，E为顶点的四边形为平行四边形， 分两种情况： 如图，当时，四边形为菱形， ∴， ∴， 解得：，（舍去）， ∴点D的坐标为， ∵点D向左移动2个单位长度，向下移动6个单位长度得到点E， ∴点E的坐标为； 如图，当时，四边形为菱形， ∴， ∴， 解得：，（舍去）， ∴点D的坐标为， ∵点D向右移动2个单位长度，向上移动6个单位长度得到点E， ∴点E的坐标为； 综上，存在点E，使得以点D，C，B，E为顶点的四边形为菱形，点E的坐标为或； 14．(1)； (2)； (3) (4) (5) (6)存在；点的坐标为、和 【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线解析式，根据顶点坐标公式求解即可； （2）过点作轴，交直线于点，过点作于点，设点，点坐标为，得到直线的解析式，进而得到的最大值，从而得到点的坐标，根据，求出点到线段距离的最大值； （3）过点作且，连接，过点、作轴的平行线，与过点作轴的平行线，分别交于点、，取的中点，作射线与抛物线交于点，此时，易证得，根据全等三角形的性质易得点的坐标，进而得到点的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式，与抛物线解析式联立求出点的坐标； （4）作点关于对称轴的对称点，作射线，交对称轴于点，要使最大，点应在直线上，利用待定系数法求出直线的解析式，从而求出点的坐标； （5）根据可得点、到的距离相等，分两种情况讨论：①当、在同侧时，，利用待定系数法求出直线的解析式，再与抛物线解析式联立求出点的坐标；②当、在两侧时，延长到点使，则点坐标为，即为点，过点作的平行线，利用待定系数法求出平行线的解析式，根据图像发现，此时不存在点； （6）分类讨论：当为平行四边形的对角线时和当且时，根据平行四边形对角线中点坐标相同进行列方程求解即可． 【详解】（1）解：将点和点代入抛物线得： 解得 则抛物线的解析式为， 对称轴为， 将代入得， 则点的坐标为； （2）解：根据抛物线与轴交于点得，点的坐标为， 设直线的解析式为， 将点和点代入得 解得 则直线的解析式为， 过点作轴，交直线于点，过点作于点， 设点，点坐标为， ， 当时，有最大值，最大值为， ， 则点坐标为， 根据点和点得、， 则 由于，轴， 则、， ， 因此，点到线段距离的最大值为，点的坐标为； （3）解：过点作且，连接，过点、作轴的平行线，与过点作轴的平行线，分别交于点、，取的中点，作射线与抛物线交于点，此时，如图： 则、、， ， ， ， 点、， 、， 点的坐标为， 中点的横坐标为、纵坐标为， 即点的坐标为， 设直线的解析式为， 将点和代入得， ， 解得， 则直线的解析式为， 将直线与抛物线联立得： ， 解得或， 由于点， 则点的横坐标为， 将代入得， 因此点的坐标为； （4）解：作点关于对称轴的对称点，作射线，交对称轴于点，如图所示： 由（1）知，抛物线的对称轴为， 点关于对称轴的对称点为，即为点， 设直线的解析式为， 将点和代入得， ， 解得， 则直线的解析式为， 当时，， 因此，点的坐标为； （5）解：根据题意得： ， 则点、到的距离相等， 分两种情况： ①当、在同侧时，， 由（2）可知，直线的解析式为， 设直线的解析式为， 将点代入得，， 解得， 则直线的解析式为， 将直线的解析式与抛物线解析式联立得， ， 解得或（舍去）， 将代入得，， 因此，点的坐标为； ②当、在两侧时，延长到点使，则点坐标为，即为点，过点作的平行线，如图： 设过的直线解析式为， 将点代入得，， 解得， 则直线解析式为， 由图像发现，此时过点的直线与抛物线没有交点， 则点不存在， 综上所述，点的坐标为； （6）解：存在点，点坐标为、和； 理由如下： 由（1）知，抛物线的解析式为，对称轴为， 设点，， 当为平行四边形的对角线时， 根据题意得：， 解得， 当时，， 则点的坐标为； 当且时， 根据题意得：， 解得或， 当时，， 当时，， 则点的坐标为和， 综上所述，抛物线上存在点，使以，，，为顶点的四边形为平行四边形，满足条件的点的坐标为、和． 【点睛】本题考查二次函数与一次函数的综合题，是二次函数压轴题，掌握利用待定系数法求解析式，全等三角形的运用，等腰直角三角形的性质、利用轴对称解决路径问题，三角形等面积的性质、平行四边形的性质，正确作出辅助线，熟练运用数形结合思想是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $